2、程(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因為00，所以原點在圓外．
答案 B
3．已知圓C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圓C2與圓C1關于直線x－y－1＝0對稱，則圓C2的方程為( )
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1
D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
解析 只要求出圓心關于直線的對稱點，就是對稱圓的圓心，兩個圓的半徑不變．設圓C2的圓心為(a，b)，則依題意，有
解得對稱圓的半徑不變，為1.
答案 B
4．若圓(x－3)2＋(y＋5
3、)2＝r2上有且只有兩個點到直線4x－3y－2＝0的距離等于1，則半徑r的取值范圍是( )．
A．(4,6) B．[4,6) C．(4,6] D．[4,6]
解析 因為圓心(3，－5)到直線4x－3y－2＝0的距離為5，所以當半徑r＝4 時，圓上有1個點到直線4x－3y－2＝0的距離等于1，當半徑r＝6時，圓上有3個點到直線4x－3y－2＝0的距離等于1，所以圓上有且只有兩個點到直線4x－3y－2＝0的距離等于1時，4＜r＜6.
答案 A
5．已知圓C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在兩點關于直線x－y＋3＝0對稱，則實數m的值為
4、 ( )．
A．8 B．－4 C．6 D．無法確定
解析 圓上存在關于直線x－y＋3＝0對稱的兩點，則x－y＋3＝0過圓心，即－＋3＝0，∴m＝6.
答案 C
6．圓心為C的圓與直線l：x＋2y－3＝0交于P，Q兩點，O為坐標原點，且滿足·＝0，則圓C的方程為 ( )．
A.2＋(y－3)2＝ B.2＋(y＋3)2＝
C.2＋(y－3)2＝ D.2＋(y＋3)2＝
解析 法一 ∵圓心為C，
∴設圓的方程為2＋(y－3)2＝r2.
設P(x1，y1)，Q(x2，y2
5、)．
由圓方程與直線l的方程聯立得：5x2＋10x＋10－4r2＝0，
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝.
由·＝0，得x1x2＋y1y2＝0，即：
x1x2－(x1＋x2)＋＝＋＝0，
解得r2＝，經檢驗滿足判別式Δ>0.
故圓C的方程為2＋(y－3)2＝.
法二 ∵圓心為C，
∴設圓的方程為2＋(y－3)2＝r2，
在所給的四個選項中只有一個方程所寫的圓心是正確的，即2＋(y－3)2＝，故選C.
答案 C
二、填空題
7．過兩點A(0,4)，B(4,6)，且圓心在直線x－2y－2＝0上的圓的標準方程是________．
解析 設圓心坐標為(a，b)，圓半徑為r，則
6、圓方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∵圓心在直線x－2y－2＝0上，∴a－2b－2＝0，①
又∵圓過兩點A(0,4)，B(4,6)，∴(0－a)2＋(4－b)2＝r2，②且(4－a)2＋(6－b)2＝r2，③
由①②③得：a＝4，b＝1，r＝5，
∴圓的方程為(x－4)2＋(y－1)2＝25.
答案 (x－4)2＋(y－1)2＝25
8．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，點A(0，－1)，B(0,1)．P是圓C上的動點，當|PA|2＋|PB|2取最大值時，點P的坐標是________．
解析 設P(x0，y0)，則|PA|2＋|PB|2＝x＋(y0＋1)2＋x＋
7、(y0－1)2＝2(x＋y)＋2，
顯然x＋y的最大值為(5＋1)2，
∴dmax＝74，此時＝－6，結合點P在圓上，解得點P的坐標為.
答案
9．已知平面區(qū)域恰好被面積最小的圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其內部所覆蓋，則圓C的方程為________．
解析 由題意知，此平面區(qū)域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所構成的三角形及其內部，所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓，又△OPQ為直角三角形，故其圓心為斜邊PQ的中點(2,1)，半徑為＝，∴圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.
答案 (x－2)2＋(y－1)2＝5
10．已知圓C：(x－3
8、)2＋(y－4)2＝1，點A(－1,0)，B(1,0)，點P是圓上的動點，則d＝|PA|2＋|PB|2的最大值為________，最小值為________．
解析 設點P(x0，y0)，則d＝(x0＋1)2＋y＋(x0－1)2＋y＝2(x＋y)＋2，欲求d的最值，只需求u＝x＋y的最值，即求圓C上的點到原點的距離平方的最值．圓C上的點到原點的距離的最大值為6，最小值為4，故d的最大值為74，最小值為34.
答案 74 34
三、解答題
11．已知以點P為圓心的圓經過點A(－1,0)和B(3,4)，線段AB的垂直平分線交圓P于點C和D，且|CD|＝4.
(1)求直線CD的方程；
(2
9、)求圓P的方程．
解 (1)直線AB的斜率k＝1，AB的中點坐標為(1,2)，
∴直線CD的方程為y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)設圓心P(a，b)，則由P在CD上得a＋b－3＝0. ①
又直徑|CD|＝4，∴|PA|＝2，
∴(a＋1)2＋b2＝40， ②
由①②解得或
∴圓心P(－3,6)或P(5，－2)，
∴圓P的方程為(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
12．已知圓M過兩點C(1，－1)，D(－1,1)，且圓心M在x＋y－2＝0上．
(1)求圓M的方程；
(2)設P是直線3x
10、＋4y＋8＝0上的動點，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B為切點，求四邊形PAMB面積的最小值．
解 (1)設圓M的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
根據題意得：
解得a＝b＝1，r＝2，
故所求圓M的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)因為四邊形PAMB的面積
S＝S△PAM＋S△PBM＝|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|，
又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，
而|PA|＝＝，
即S＝2.
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
即在直線3x＋4y＋8＝0上找一點P，使得|PM|的值最小，
所以
11、|PM|min＝＝3，
所以四邊形PAMB面積的最小值為
S＝2＝2＝2.
13．已知圓C過點P(1,1)，且與圓M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)關于直線x＋y＋2＝0對稱．
(1)求圓C的方程；
(2)設Q為圓C上的一個動點，求·的最小值．
解 (1)設圓心C(a，b)，則解得
則圓C的方程為x2＋y2＝r2，將點P的坐標代入得r2＝2，
故圓C的方程為x2＋y2＝2.
(2)設Q(x，y)，則x2＋y2＝2，且·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2，
令x＝cos θ，y＝sin θ，
∴·＝x＋y－2＝(sin
12、θ＋cos θ)－2
＝2sin－2，
所以·的最小值為－4.
14．已知點A(－3,0)，B(3,0)，動點P滿足|PA|＝2|PB|.
(1)若點P的軌跡為曲線C，求此曲線的方程；
(2)若點Q在直線l1：x＋y＋3＝0上，直線l2經過點Q且與曲線C只有一個公共點M，求|QM|的最小值．
解 (1)設點P的坐標為(x，y)，
則＝2.
化簡可得(x－5)2＋y2＝16，此即為所求．
(2)曲線C是以點(5,0)為圓心，4為半徑的圓，如圖，
由直線l2是此圓的切線，連接CQ，
則|QM|＝＝，
當CQ⊥l1時，|CQ|取最小值，
|CQ|＝＝4，
此時|QM|的最小值為＝4.
新編高考數學浙江理科一輪【第九章】解析幾何 第2講圓的方程
