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1、新編高考數學復習資料 第7章　不等式、推理與證明 學案32　不等關系及一元二次不等式 導學目標： 1.會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通過函數圖象了解一元二次不等式與相應的二次函數、一元二次方程的聯系.3.會解一元二次不等式并能應用一元二次不等式解決某些實際問題． 自主梳理 1．一元二次不等式的定義 只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是____的不等式叫做一元二次不等式． 2．二次函數的圖象、一元二次方程的根與一元二次不等式的解集之間的關系 判別式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函數 y＝ax2＋bx ＋c(a>0)的圖

2、象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有兩相異實根 x1,2＝ (x10 的解集 a>0 (－∞，x1) ∪(x2，＋∞) (－∞，－) ∪(－，＋∞) a<0 (x1，x2) 自我檢測 1．(2010·廣州一模)已知p：關于x的不等式x2＋2ax－a>0的解集是R，q：－1f(1)的解集是________． 3

3、．(2011·上海改編)若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是________．(填序號) ①a2＋b2>2ab；②a＋b≥2； ③＋>；④＋≥2. 4．已知f(x)＝ax2－x－c>0的解集為(－3,2)，則a＝________，c＝________. 5．當x∈(1,2)時，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，則m的取值范圍為________________． 探究點一　一元二次不等式的解法 例1　解下列不等式： (1)－x2＋2x－>0； (2)9x2－6x＋1≥0. 變式遷移1　解下列不等式： (1)2x2＋4x＋3<0；

4、 (2)－3x2－2x＋8≤0； (3)8x－1≥16x2. 探究點二　含參數的一元二次不等式的解法 例2　已知常數a∈R，解關于x的不等式ax2－2x＋a<0. 變式遷移2　解關于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. 探究點三　一元二次不等式恒成立問題 例3　已知f(x)＝x2－2ax＋2 (a∈R)，當x∈[－1，＋∞)時，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍． 變式遷移3　(1)關于x的不等式<2對任意實數x恒成立，求實數m的取值范圍． (2)若不等式x2＋px>4x

5、＋p－3對一切0≤p≤4均成立，試求實數x的取值范圍． 轉化與化歸思想與三個“二次”的關系 例　(14分)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(α，β)，且0<α<β，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 【答題模板】 解　由已知不等式的解集為(α，β)可得a<0，∵α，β為方程ax2＋bx＋c＝0的兩根， ∴由根與系數的關系可得[4分] ∵a<0，∴由②得c<0，[6分] 則cx2＋bx＋a<0可化為x2＋x＋>0.[8分] ①÷②，得＝＝－<0，由②得＝＝·>0， ∴、為方程x2＋x＋＝0的兩根．[12分] ∵0<α<β，∴不等式cx2＋b

6、x＋a<0的解集為{x|x<或x>}．[14分] 【突破思維障礙】 由ax2＋bx＋c>0的解集是一個開區(qū)間，結合不等式對應的函數圖象知a<0，要求cx2＋bx＋a<0的解集首先需要判斷二次項系數c的正負，由方程根與系數關系知＝α·β>0，因a<0，∴c<0，從而知道cx2＋bx＋a<0的解集是x大于大根及小于小根對應的兩個集合．要想求出解集，需用已知量α，β代替參數c、b、a，需對不等式cx2＋bx＋a<0兩邊同除c或a，用α、β代替后，就不難找到要求不等式對應方程的兩根，從而求出不等式的解集．本題較好地體現了三個“二次”之間的相互轉化． 1．三個“二次”的關系：二次函數是主體

7、，一元二次方程和一元二次不等式分別為二次函數的函數值為零和不為零的兩種情況，一般討論二次函數常將問題轉化為一元二次方程和一元二次不等式來研究，而討論一元二次方程和一元二次不等式又常與相應的二次函數相聯系，通過二次函數的圖象及性質來解決．一元二次不等式解集的端點值就是相應的一元二次方程的根，也是相應的二次函數的圖象與x軸交點的橫坐標，即二次函數的零點． 2．解含參數的一元二次不等式的步驟：解含參數的一元二次不等式可按如下步驟進行：1°二次項若含有參數應討論參數是等于0、小于0、還是大于0.然后將不等式轉化為二次項系數為正的形式.2°判斷方程的根的個數，討論判別式Δ與0的關系.3°確定無根時可直

8、接寫出解集，確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關系，從而確定解集的形式． 3．不等式恒成立問題：不等式恒成立，即不等式的解集為R，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0 (a≠0)恒成立的條件是ax2＋bx＋c<0 (a≠0)恒成立的條件是 (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．(2011·宿遷模擬)函數y＝的定義域是____________． 2．(原創(chuàng)題)若不等式3kx2＋k＋8>()－6kx的解集為空集，則實數k的取值范圍是________． 3．(2010·寧夏銀川一中一模)已知集合M＝{x|x2－2 008x－2 009>0}，N＝{x|x2＋a

9、x＋b≤0}，若M∪N＝R，M∩N＝(2 009,2 010]，則a＝__________，b＝__________. 4．若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0對任何實數x恒成立，則實數m的取值范圍是________． 5．(創(chuàng)新題)已知a1>a2>a3>0，則使得(1－aix)2<1 (i＝1,2,3)都成立的x的取值范圍是________． 6．(2011·揚州模擬)在R上定義運算?：x?y＝x(1－y)，若不等式(x－a)?(x＋a)<1對任意實數x恒成立，則a的取值范圍為______________． 7．已知函數f(x)＝則滿足f(x)>1的x的取值范圍為____

10、____． 8. 已知函數f(x)的定義域為(－∞，＋∞)，f′(x)為f(x)的導函數，函數y＝f′(x)的圖象如右圖所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，則不等式f(x2－6)>1的解集為__________________． 二、解答題(共42分) 9．(14分)解關于x的不等式<0 (a∈R)． 10．(14分)若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 11．(14分)已知函數f(x)＝x2＋ax＋3. (1)當x∈R時，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍； (2)當x∈

11、[－2,2]時，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍． 學案32　不等關系及一元二次不等式 答案 自主梳理 1．2　2.－　R　?　? 自我檢測 1．充要 解析　不等式x2＋2ax－a>0的解集是R等價于4a2＋4a<0，即－13，解得x>3或0≤x<1；當x<0時，x＋6>3，解得－3f(1)的解集為(－3，1)∪(3，＋∞)． 3．④ 解析　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴①錯誤．

12、 對于②③，當a<0，b<0時，明顯錯誤． 對于④，∵ab>0，∴＋≥2＝2. 4．－1　－6 解析　因為f(x)＝ax2－x－c>0的解集為(－3,2)，所以－3＋2＝－，a＝－1，－3×2＝，c＝－6. 5．(－∞，－5] 解析　記f(x)＝x2＋mx＋4，根據題意得 　解得m≤－5. 課堂活動區(qū) 例1　解題導引　解一元二次不等式的一般步驟： (1)對不等式變形，使一端為0且二次項系數大于0，即ax2＋bx＋c>0(a>0)，ax2＋bx＋c<0(a>0)； (2)計算相應的判別式； (3)當Δ≥0時，求出相應的一元二次方程的根； (4)根據對應二次函數的圖象，寫

13、出不等式的解集． 解　(1)兩邊都乘以－3，得3x2－6x＋2<0， 因為3>0，且方程3x2－6x＋2＝0的解是 x1＝1－，x2＝1＋， 所以原不等式的解集是{x|1－0， ∴2x2＋4x＋3<0的解集為?. (2)兩邊都乘以－1，得3x2＋2x－8≥0，

14、 因為3>0，且方程3x2＋2x－8＝0的解是 x1＝－2，x2＝， 所以原不等式的解集是(－∞，－2]∪[，＋∞)． (3)原不等式可轉化為16x2－8x＋1≤0， 即(4x－1)2≤0， ∴原不等式的解集為{}． 例2　解題導引　(1)含參數的一元二次不等式，若二次項系數為常數，可先考慮分解因式，再對參數進行討論；若不易因式分解，則可對判別式進行分類討論，分類要不重不漏． (2)若二次項系數為參數，則應先考慮二次項是否為零，然后再討論二次項系數不為零時的情形，以便確定解集的形式． (3)其次對方程的根進行討論，比較大小，以便寫出解集． 解　(1)a＝0時，解為x>0.

15、 (2)a>0時，Δ＝4－4a2. ①當Δ>0，即01時，x∈?. (3)當a<0時， ①Δ>0，即－1}． ②Δ＝0，即a＝－1時，不等式化為(x＋1)2>0， ∴解為x∈R且x≠－1. ③Δ<0，即a<－1時，x∈R. 綜上所述，當a≥1時， 原不等式的解集為?； 當00}； 當－1

16、或x>}； 當a＝－1時，解集為{x|x∈R且x≠－1}； 當a<－1時，解集為R. 變式遷移2　解?、佼攁＝0時，解得x>1. ②當a>0時，原不等式變形為(x－)(x－1)<0， ∴a>1時，解得0， ∵<1，∴解不等式可得x<或x>1. 綜上所述，當a<0時，不等式解集為(－∞，)∪(1，＋∞)； 當a＝0時，不等式解集為(1，＋∞)； 當01時，不等式解集為(，1)． 例3

17、　解題導引　注意等價轉化思想的運用，二次不等式在區(qū)間上恒成立的問題可轉化為二次函數區(qū)間最值問題． 解　方法一　f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函數圖象的對稱軸為x＝a. ①當a∈(－∞，－1)時，f(x)在[－1，＋∞)上單調遞增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a， 即2a＋3≥a，解得－3≤a<－1； ②當a∈[－1，＋∞)時，f(x)min＝f(a)＝2－a2， 由2－a2≥a，解得－1≤a≤1. 綜上所述，所求a的取值范圍為－3≤a≤1. 方法二　令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知， 得x2－2ax＋2－a

18、≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或 解得－3≤a≤1. 變式遷移3　解　(1)∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， ∴不等式<2同解于4x＋m<2x2－4x＋6， 即2x2－8x＋6－m>0. 要使原不等式對任意實數x恒成立，只要2x2－8x＋6－m>0對任意實數x恒成立． ∴Δ<0，即64－8(6－m)<0，整理并解得m<－2. ∴實數m的取值范圍為(－∞，－2)． (2)∵x2＋px>4x＋p－3，∴(x－1)p＋x2－4x＋3>0. 令g(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3， 則要使它對0≤p≤4均有g(p)>0， 只要有.∴x>

19、3或x<－1. ∴實數x的取值范圍為(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 課后練習區(qū) 1．[－，－1)∪(1，]　2.[0,1] 3．－2 009?。? 010 解析　化簡得M＝{x|x<－1或x>2 009}， 由M∪N＝R，M∩N＝(2 009,2 010]可知N＝{x|－1≤x≤2 010}，即－1,2 010是方程x2＋ax＋b＝0的兩個根． 所以b＝－1×2 010＝－2 010，－a＝－1＋2 010， 即a＝－2 009. 4．m<－ 解析　當m＝－1時，不等式變?yōu)?x－6<0，即x<3，不符合題意．當m≠－1時，由題意知 化簡，得解得m<－. 5. 解析

20、　(1－aix)2<1，即ax2－2aix<0， 即aix(aix－2)<0，由于ai>0，這個不等式可以化為 x<0，即00. 因上式對x∈R都成立，所以Δ＝1＋4(a2－a－1)<0， 即4a2－4a－3<0.所以－0時，由log2x>1，得x>2； 當x≤0時，由x2>1，得x<－1. 綜上可知，x的取值范圍為(－∞，－1)∪

21、(2，＋∞)． 8．(2,3)∪(－3，－2) 解析　由導函數圖象知當x<0時，f′(x)>0， 即f(x)在(－∞，0)上為增函數； 當x>0時，f′(x)<0，即f(x)在(0，＋∞)上為減函數， 故不等式f(x2－6)>1等價于f(x2－6)>f(－2)或f(x2－6)>f(3)，即－21時，aa2，此時a2

22、13分) 綜上，當a<0或a>1時，原不等式的解集為{x|a0. 又－，2為方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根，(7分) ∴－＝，即＝－. 又∵＝－，∴b＝－a，c＝－a.(10分) ∴不等式cx2＋bx＋a<0變?yōu)閤2＋x＋a<0，即2ax2＋5ax－3a>0. 又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0， ∴所求不等式的解集為.(14分) 11．解　(1)∵x∈R時，有x

23、2＋ax＋3－a≥0恒成立， 需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0， ∴－6≤a≤2.(4分) (2)當x∈[－2,2]時，設g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三種情況討論(如圖所示)： ①如圖a，當g(x)的圖象恒在x軸上方，滿足條件時， 有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.(7分) ②如圖b，g(x)的圖象與x軸有交點， 但在x∈[－2，＋∞)時，g(x)≥0， 即 即? 解之，得a∈?.(10分) ③如圖c，g(x)的圖象與x軸有交點， 但在x∈(－∞，2]時，g(x)≥0，即 即? ?－7≤a≤－6.(13分) 綜合①②③，得a∈[－7,2]．(14分)