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2、 1 第二十七章圓章末測(cè)試（二） 總分120分120分鐘 一．選擇題（共8小題，每題 3分） 1．如圖，BC是⊙O的直徑，AD⊥BC，若∠D=36°．則∠BAD的度數(shù)是（　?。? A．72° B．54° C．45° D．36° 2．將沿弦BC折疊，交直徑AB于點(diǎn)D，

3、若AD=4，DB=5，則BC的長(zhǎng)是（　?。? A．3 B．8 C． D．2 3．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，且點(diǎn)C、D在AB的異側(cè)，連結(jié)AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，則∠AOD的度數(shù)為（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 4．如圖，等圓⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，⊙O1經(jīng)過(guò)⊙O2的圓心O2，連接AO1并延長(zhǎng)交⊙O1于點(diǎn)C，則∠ACO2的度數(shù)為（　　） A．60° B．45° C．30° D．20° 5．關(guān)于半徑為5的圓，下列說(shuō)法正確的是（　?。? A．若有一點(diǎn)到圓心的距離為5，則該點(diǎn)在圓外 B．若有一點(diǎn)

4、在圓外，則該點(diǎn)到圓心的距離不小于5 C．圓上任意兩點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)度不大于10 D．圓上任意兩點(diǎn)之間的部分可以大于10π 6．如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，AO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)BC，若∠A=36°，則∠C等于（　?。? A．36° B．54° C．60° D．27° 7．如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PO的延長(zhǎng)線與⊙O交于點(diǎn)C，若⊙O的半徑為3，PA=4．弦AC的長(zhǎng)為（　?。? A．5 B． C． D． 8．如圖，PA切⊙O于點(diǎn)A，PB切⊙O于點(diǎn)B，如果∠APB=60°，⊙O半徑是3，則劣弧AB的長(zhǎng)為（　?。? A． B．π C．2π D．4π 二．填空

5、題（共6小題，每題3分） 9．在邊長(zhǎng)為1的3×3的方格中，點(diǎn)B、O都在格點(diǎn)上，則劣弧BC的長(zhǎng)是　_________　． 10．已知扇形弧長(zhǎng)為2π，半徑為3cm，則此扇形所對(duì)的圓心角為　_________　度． 11．已知⊙A的半徑為5，圓心A（3，4），坐標(biāo)原點(diǎn)O與⊙A的位置關(guān)系是　_________?。? 12．如圖，⊙O的半徑OC=5cm，直線l⊥OC，垂足為H，且l交⊙O于A、B兩點(diǎn)，AB=8cm，則l沿OC所在直線向下平移　_________　cm時(shí)與⊙O相切． 13．如圖，∠APB=30°，點(diǎn)O是射線PB上的一點(diǎn)，OP=5cm，若以點(diǎn)O為圓心，半徑為1.5

6、cm的⊙O沿BP方向移動(dòng)，當(dāng)⊙O與PA相切時(shí)，圓心O移動(dòng)的距離為　_________　cm． 14．如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)H，若∠D=30°，CH=1cm，則AB=　_________　 cm． 三．解答題（共10小題） 15．（6分）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，C是弧AB的中點(diǎn)． （1）判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由； （2）若BC=6cm，求圖中陰影部分的面積． 16．（6分）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD為△ABC的高，以AD為直徑的⊙0與AB、AC兩邊分別交于點(diǎn)E、F．連接DE、DF． （1）求證：

7、BE=CF； （2）若AD=BC=2．求ED的長(zhǎng)． 17．（6分）如圖，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓劣弧AC上的點(diǎn)（不與A，C重合），延長(zhǎng)BD至E． （1）求證：AD的延長(zhǎng)線平分∠CDE； （2）若∠BAC=30°，且△ABC底邊BC邊上高為1，求△ABC外接圓的周長(zhǎng)． 18．（8分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點(diǎn)，OD⊥AC，垂足為E，連接BD （1）求證：BD平分∠ABC； （2）當(dāng)∠ODB=30°時(shí)，求證：BC=OD． 19．（8分）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD交AC于點(diǎn)E．

8、（1）求證：△ADE∽△BCE； （2）如果AD2=AE?AC，求證：CD=CB． 20．（8分）如圖，以AB為直徑的⊙O交∠BAD的角平分線于C，過(guò)C作CD⊥AD于D，交AB的延長(zhǎng)線于E． （1）求證：CD為⊙O的切線． （2）若=，求cos∠DAB． 21．（8分）如圖，AC=BC，∠C=90°，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，CE=CF，連結(jié)AF和BE，點(diǎn)O在BE上，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、F，交BE于點(diǎn)G． （1）求證：△ACF≌△BCE； （2）求證：AF是⊙O的切線． 22．（8分）如圖，在△ABC中，∠C=60°，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)P在直徑B

9、D的延長(zhǎng)線上，且AB=AP． （1）求證：PA是⊙O的切線； （2）若AB=2，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π和根號(hào)） 23．（10分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，∠AOC=60°，OC=2． （1）求OE和CD的長(zhǎng)； （2）求圖中陰影部分的面積． 24．（10分）如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D均在已知圓上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四邊形ABCD的周長(zhǎng)為15． （1）求此圓的半徑； （2）求圖中陰影部分的面積．  第二十七章圓章末測(cè)試（二） 參考答案與試題解析 一．選擇題（共8小題） 1．如圖

10、，BC是⊙O的直徑，AD⊥BC，若∠D=36°．則∠BAD的度數(shù)是（　?。? A． 72° B．54° C．45° D． 36° 考點(diǎn)： 圓周角定理． 分析： 先根據(jù)圓周角定理求出∠B的度數(shù)，再根據(jù)AD⊥BC求出∠AEB的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論． 解答： 解：∵∠B與∠D是同弧所對(duì)的圓周角，∠D=36°， ∴∠B=36°． ∵AD⊥BC， ∴∠AEB=90°， ∴∠BAD=90°﹣36°=54°． 故選B． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等是解答此題的關(guān)鍵． 2．將沿弦BC折疊，交直徑AB于點(diǎn)D，

11、若AD=4，DB=5，則BC的長(zhǎng)是（　　） A． 3 B．8 C． D． 2 考點(diǎn)： 圓周角定理；翻折變換（折疊問(wèn)題）；射影定理． 專題： 計(jì)算題． 分析： 若連接CD、AC，則根據(jù)同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弦相等，求得AC=CD；過(guò)C作AB的垂線，設(shè)垂足為E，則DE=AD，由此可求出BE的長(zhǎng)，進(jìn)而可在Rt△ABC中，根據(jù)射影定理求出BC的長(zhǎng)． 解答： 解：連接CA、CD； 根據(jù)折疊的性質(zhì)，知所對(duì)的圓周角等于∠CBD， 又∵所對(duì)的圓周角是∠CBA， ∵∠CBD=∠CBA， ∴AC=CD（相等的圓周角所對(duì)的弦相等）； ∴△CAD是等腰三角形； 過(guò)C作CE⊥AB

12、于E． ∵AD=4，則AE=DE=2； ∴BE=BD+DE=7； 在Rt△ACB中，CE⊥AB，根據(jù)射影定理，得： BC2=BE?AB=7×9=63； 故BC=3． 故選A． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查的是折疊的性質(zhì)、圓周角定理、以及射影定理；能夠根據(jù)圓周角定理來(lái)判斷出△ACD是等腰三角形，是解答此題的關(guān)鍵． 3．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，且點(diǎn)C、D在AB的異側(cè)，連結(jié)AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，則∠AOD的度數(shù)為（　?。? A． 70° B．60° C．50° D． 40° 考點(diǎn)： 圓的認(rèn)識(shí)；平行線的性質(zhì)． 分析： 首先由AD∥

13、OC可以得到∠BOC=∠DAO，又由OD=OA得到∠ADO=∠DAO，由此即可求出∠AOD的度數(shù)． 解答： 解：∵AD∥OC， ∴∠AOC=∠DAO=70°， 又∵OD=OA， ∴∠ADO=∠DAO=70°， ∴∠AOD=180﹣70°﹣70°=40°． 故選D． 點(diǎn)評(píng)： 此題比較簡(jiǎn)單，主要考查了平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，綜合利用它們即可解決問(wèn)題． 4．如圖，等圓⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，⊙O1經(jīng)過(guò)⊙O2的圓心O2，連接AO1并延長(zhǎng)交⊙O1于點(diǎn)C，則∠ACO2的度數(shù)為（　?。? A． 60° B．45° C．30° D． 20° 考點(diǎn)： 相交兩圓的性質(zhì)

14、；等邊三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理． 分析： 利用等圓的性質(zhì)進(jìn)而得出△AO1O2是等邊三角形，再利用圓周角定理得出∠ACO2的度數(shù)． 解答： 解：連接O1O2，AO2， ∵等圓⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，⊙O1經(jīng)過(guò)⊙O2的圓心O2，連接AO1并延長(zhǎng)交⊙O1于點(diǎn)C， ∴AO1=AO2=O1O2， ∴△AO1O2是等邊三角形， ∴∠AO1O2=60°， ∴∠ACO2的度數(shù)為；30°． 故選：C． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了相交兩圓的性質(zhì)以及等邊三角形的判定和圓周角定理等知識(shí)，得出△AO1O2是等邊三角形是解題關(guān)鍵． 5．關(guān)于半徑為5的圓，下列說(shuō)法正確的是（　?。? A

15、． 若有一點(diǎn)到圓心的距離為5，則該點(diǎn)在圓外 B． 若有一點(diǎn)在圓外，則該點(diǎn)到圓心的距離不小于5 C． 圓上任意兩點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)度不大于10 D． 圓上任意兩點(diǎn)之間的部分可以大于10π 考點(diǎn)： 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系． 分析： 根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系進(jìn)而分別判斷得出即可． 解答： 解：A、關(guān)于半徑為5的圓，有一點(diǎn)到圓心的距離為5，則該點(diǎn)在圓上，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、關(guān)于半徑為5的圓，若有一點(diǎn)在圓外，則該點(diǎn)到圓心的距離大于5，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、圓上任意兩點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)度不大于10，此選項(xiàng)正確； D、圓上任意兩點(diǎn)之間的部分不可以大于10π，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； 故選：C． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要

16、考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則有： ①點(diǎn)P在圓外?d＞r，②點(diǎn)P在圓上?d=r，③點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r． 6．如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，AO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)BC，若∠A=36°，則∠C等于（　　） A． 36° B．54° C．60° D． 27° 考點(diǎn)： 切線的性質(zhì)． 分析： 根據(jù)題目條件易求∠BOA，根據(jù)圓周角定理求出∠C=∠BOA，即可求出答案． 解答： ∵AB與⊙O相切于點(diǎn)B， ∴∠ABO=90°， ∵∠A=36°， ∴∠BOA=54°， ∴由圓周角定理得：∠C=∠BOA=27°，

17、 故選D． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了三角形內(nèi)角和定理，切線的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出∠BOA度數(shù)． 7．如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PO的延長(zhǎng)線與⊙O交于點(diǎn)C，若⊙O的半徑為3，PA=4．弦AC的長(zhǎng)為（　?。? A． 5 B． C． D． 考點(diǎn)： 切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 壓軸題． 分析： 連接AO，AB，因?yàn)镻A是切線，所以∠PAO=90°，在Rt△PAO中，PA=4，OA=3，故PO=5，所以PB=2；BC是直徑，所以∠BAC=90°，∠PAB和∠CAO都是∠BAO的余角， 進(jìn)而證明△PAB∽△PCA，利用相似三角形的性質(zhì)即

18、可求出BA和AC的比值，進(jìn)一步利用勾股定理即可求出AC的長(zhǎng)． 解答： 解：連接AO，AB，因?yàn)镻A是切線，所以∠PAO=90°，在Rt△PAO中，PA=4，OA=3，故PO=5， 所以PB=2； ∵BC是直徑， ∴∠BAC=90°， 因?yàn)椤螾AB和∠CAO都是∠BAO的余角， 所以∠PAB=∠CAO， 又因?yàn)椤螩AO=∠ACO， 所以∠PAB=∠ACO， 又因?yàn)椤螾是公共角， 所以△PAB∽△PCA， 故， 所以， 在Rt△BAC中，AB2+（2AB）2=62； 解得：AB=， 所以AC= 故選：D． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的

19、判定和性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，題目的綜合性很強(qiáng)，難度中等． 8．如圖，PA切⊙O于點(diǎn)A，PB切⊙O于點(diǎn)B，如果∠APB=60°，⊙O半徑是3，則劣弧AB的長(zhǎng)為（　?。? A． B．π C．2π D． 4π 考點(diǎn)： 弧長(zhǎng)的計(jì)算；切線的性質(zhì)． 分析： 連接OA，OB，根據(jù)切線的性質(zhì)，以及四邊形的內(nèi)角和定理求得∠AOB的度數(shù)，利用弧長(zhǎng)的計(jì)算公式即可求解． 解答： 解：連接OA，OB． 則OA⊥PA，OB⊥PB ∵∠APB=60° ∴∠AOB=120° ∴劣弧AB的長(zhǎng)是：=2π． 故選C． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了切線的性質(zhì)定理以及弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，正確求得∠AOB的

20、度數(shù)是解題的關(guān)鍵． 二．填空題（共6小題） 9．在邊長(zhǎng)為1的3×3的方格中，點(diǎn)B、O都在格點(diǎn)上，則劣弧BC的長(zhǎng)是　?。? 考點(diǎn)： 弧長(zhǎng)的計(jì)算． 分析： 根據(jù)網(wǎng)格得出BO的長(zhǎng)，再利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算得出即可． 解答： 解：如圖所示：∠BOC=45°，BO=2， ∴劣弧BC的長(zhǎng)是：=． 故答案為：． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，熟練記憶弧長(zhǎng)公式是解題關(guān)鍵． 10．已知扇形弧長(zhǎng)為2π，半徑為3cm，則此扇形所對(duì)的圓心角為　120　度． 考點(diǎn)： 弧長(zhǎng)的計(jì)算． 分析： 直接利用扇形弧長(zhǎng)公式代入求出即可． 解答： 解：∵扇形弧長(zhǎng)為2π，半徑為3cm， ∴l(xiāng)

21、==2π，即=2π， 解得：n=120°， ∴此扇形所對(duì)的圓心角為：120°． 故答案為：120． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，正確利用弧長(zhǎng)公式是解題關(guān)鍵． 11．已知⊙A的半徑為5，圓心A（3，4），坐標(biāo)原點(diǎn)O與⊙A的位置關(guān)系是　在⊙A上?。? 考點(diǎn)： 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 分析： 先根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出OA，然后根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法判斷點(diǎn)O與⊙A的位置關(guān)系． 解答： 解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，3）， ∴OA==5， ∵半徑為5， 而5=5， ∴點(diǎn)O在⊙A上． 故答案為：在⊙A上． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)

22、與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，當(dāng)點(diǎn)P在圓外?d＞r；當(dāng)點(diǎn)P在圓上?d=r；當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r． 12．如圖，⊙O的半徑OC=5cm，直線l⊥OC，垂足為H，且l交⊙O于A、B兩點(diǎn)，AB=8cm，則l沿OC所在直線向下平移　2　cm時(shí)與⊙O相切． 考點(diǎn)： 直線與圓的位置關(guān)系；垂徑定理． 分析： 根據(jù)直線和圓相切，則只需滿足OH=5．又由垂徑定理構(gòu)造直角三角形可求出此時(shí)OH的長(zhǎng)，從而計(jì)算出平移的距離． 解答： 解：∵直線和圓相切時(shí)，OH=5， 又∵在直角三角形OHA中，HA==4，OA=5， ∴OH=3． ∴需要平移5﹣3=2cm．故

23、答案為：2． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查垂徑定理及直線和圓的位置關(guān)系．注意：直線和圓相切，則應(yīng)滿足d=R． 13．如圖，∠APB=30°，點(diǎn)O是射線PB上的一點(diǎn)，OP=5cm，若以點(diǎn)O為圓心，半徑為1.5cm的⊙O沿BP方向移動(dòng)，當(dāng)⊙O與PA相切時(shí)，圓心O移動(dòng)的距離為　2或8　cm． 考點(diǎn)： 直線與圓的位置關(guān)系． 分析： 首先根據(jù)題意畫出圖形，然后由切線的性質(zhì)，可得∠O′CP=90°，又由∠APB=30°，O′C=1cm，即可求得O′P的長(zhǎng)，繼而求得答案． 解答： 解：①如圖1，當(dāng)⊙O平移到⊙O′位置時(shí)，⊙O與PA相切時(shí)，且切點(diǎn)為C， 連接O′C，則O′C⊥PA， 即∠O′CP

24、=90°， ∵∠APB=30°，O′C=1.5cm， ∴O′P=2O′C=3cm， ∵OP=5cm， ∴OO′=OP﹣O′P=2（cm）； ②如圖2：同理可得：O′P=3cm， ∴O′O=8cm． 故答案為：2或8． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了切線的性質(zhì)與含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 14．如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)H，若∠D=30°，CH=1cm，則AB=　2　 cm． 考點(diǎn)： 垂徑定理． 專題： 推理填空題． 分析： 連接AC、BC．利用圓周角定理知∠D=∠B，然后根據(jù)已知條

25、件“CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)H”，利用垂徑定理知BH=AB；最后再由直角三角形CHB的正切函數(shù)求得BH的長(zhǎng)度，從而求得AB的長(zhǎng)度． 解答： 解：連接AC、BC． ∵∠D=∠B（同弧所對(duì)的圓周角相等），∠D=30°， ∴∠B=30°； 又∵CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)H， ∴BH=AB； 在Rt△CHB中，∠B=30°，CH=1cm， ∴BH=，即BH=； ∴AB=2cm． 故答案是：2． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了垂徑定理和直角三角形的性質(zhì)，解此類題目要注意將圓的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形的問(wèn)題再進(jìn)行計(jì)算． 三．解答題（共10小題） 15．如圖，點(diǎn)A、B、C、D在

26、⊙O上，∠ADC=60°，C是弧AB的中點(diǎn)． （1）判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由； （2）若BC=6cm，求圖中陰影部分的面積． 考點(diǎn)： 圓周角定理；等邊三角形的判定與性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系；扇形面積的計(jì)算． 分析： （1）先由C是弧AB的中點(diǎn)可得出=，由圓周角定理可知∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠BDC=60°，再由三角形內(nèi)角和定理可知∠ACB=60°，故可得出結(jié)論； （2）連接BO、OC，過(guò)O作OE⊥BC于E，由垂徑定理可得出BE的長(zhǎng)，根據(jù)圓周角定理可得出∠BOC的度數(shù)，在Rt△BOE中由銳角三角函數(shù)的定義求出OB的長(zhǎng)，根據(jù)S陰影=S扇形﹣S△BOC即可得出結(jié)論．

27、 解答： 解：（1）△ABC是等邊三角形． ∵C是弧AB的中點(diǎn)， ∴=， ∴∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠BDC=60° ∴∠ACB=60°， ∴AC=AB=BC， ∴△ABC是等邊三角形； （2）連接BO、OC，過(guò)O作OE⊥BC于E， ∵BC=6cm， ∴BE=EC=3cm， ∵∠BAC=60°， ∴∠BOC=120°， ∴∠BOE=60°，在Rt△BOE中，sin60°=， ∴OB=6cm， ∴S扇形==12πcm2， ∵S△BOC=×6×3=9cm2， ∴S陰影=12π﹣9cm2， 答：圖中陰影部分的面積是（12π﹣9）cm2． 點(diǎn)評(píng)： 本

28、題考查的是圓周角定理、垂徑定理及扇形的面積等相關(guān)知識(shí)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵． 16．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD為△ABC的高，以AD為直徑的⊙0與AB、AC兩邊分別交于點(diǎn)E、F．連接DE、DF． （1）求證：BE=CF； （2）若AD=BC=2．求ED的長(zhǎng)． 考點(diǎn)： 圓周角定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理． 分析： （1）根據(jù)等腰三角形“三合一”的性質(zhì)推知∠1=∠2．由“直徑所對(duì)的圓周角是直角”得到∠AED=∠AFD=90°．則根據(jù)角平分線的性質(zhì)證得結(jié)論； （2）在直角△ABD中利用勾股定理求得斜邊AB的

29、長(zhǎng)度，然后根據(jù)面積法來(lái)求ED的長(zhǎng)度． 解答： （1）證明：如圖，∵在△ABC中，AB=AC，AD為△ABC的高， ∴∠1=∠2． 又∵AD為直徑， ∴∠AED=∠AFD=90°，即DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF； （2）如圖，∵在△ABC中，AB=AC，AD為△ABC的高，AD=BC=2． ∴BD=CD=BC=． ∴由勾股定理得到AB==5． ∵由（1）知DE⊥AB， ∴AD?BD=AB?ED， ∴ED===2． 故ED的長(zhǎng)為2． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理．注意，勾股定理應(yīng)用于直角三角形中． 17．如圖，已知在△ABC中，AB

30、=AC，D是△ABC外接圓劣弧AC上的點(diǎn)（不與A，C重合），延長(zhǎng)BD至E． （1）求證：AD的延長(zhǎng)線平分∠CDE； （2）若∠BAC=30°，且△ABC底邊BC邊上高為1，求△ABC外接圓的周長(zhǎng)． 考點(diǎn)： 圓周角定理；勾股定理；垂徑定理． 分析： （1）要證明AD的延長(zhǎng)線平分∠CDE，即證明∠EDF=∠CDF，轉(zhuǎn)化為證明∠ADB=∠CDF，再根據(jù)A，B，C，D四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，和等腰三角形角之間的關(guān)系即可得到． （2）求△ABC外接圓的面積，只需解出圓半徑，故作等腰三角形底邊上的垂直平分線即過(guò)圓心，再連接OC，根據(jù)角之間的關(guān)系在三角形內(nèi)即可求得圓半徑，可得到外接圓面積． 解答

31、： （1）證明：如圖，設(shè)F為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， ∵A，B，C，D四點(diǎn)共圓， ∴∠CDF=∠ABC， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵∠ADB=∠ACB， ∴∠ADB=∠CDF， ∵∠ADB=∠EDF（對(duì)頂角相等）， ∴∠EDF=∠CDF， 即AD的延長(zhǎng)線平分∠CDE． （2）解：設(shè)O為外接圓圓心，連接AO比延長(zhǎng)交BC于H，連接OC， ∵AB=AC， ∴=， ∴AH⊥BC， ∴∠OAC=∠OAB=∠BAC=×30°=15°， ∴∠COH=2∠OAC=30°， 設(shè)圓半徑為r， 則OH=OC?cos30°=r， ∵△ABC中BC邊上的高為1，

32、∴AH=OA+OH=r+r=1， 解得：r=2（2﹣）， ∴△ABC的外接圓的周長(zhǎng)為：4π（2﹣）． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外接圓的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用． 18．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點(diǎn)，OD⊥AC，垂足為E，連接BD （1）求證：BD平分∠ABC； （2）當(dāng)∠ODB=30°時(shí)，求證：BC=OD． 考點(diǎn)： 圓周角定理；含30度角的直角三角形；垂徑定理． 專題： 證明題；壓軸題． 分析： （1）由OD⊥AC OD為

33、半徑，根據(jù)垂徑定理，即可得=，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，即可證得BD平分∠ABC； （2）首先由OB=OD，易求得∠AOD的度數(shù)，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度數(shù)，然后由AB是⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理，可得∠ACB=90°，繼而可證得BC=OD． 解答： 證明：（1）∵OD⊥AC OD為半徑， ∴=， ∴∠CBD=∠ABD， ∴BD平分∠ABC； （2）∵OB=OD， ∴∠OBD=∠0DB=30°， ∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°， 又∵OD⊥AC于E， ∴∠OEA=90°， ∴∠A=180°﹣∠OEA﹣∠AOD

34、=180°﹣90°﹣60°=30°， 又∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ACB=90°， 在Rt△ACB中，BC=AB， ∵OD=AB， ∴BC=OD． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了圓周角定理、垂徑定理以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 19．如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD交AC于點(diǎn)E． （1）求證：△ADE∽△BCE； （2）如果AD2=AE?AC，求證：CD=CB． 考點(diǎn)： 圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)． 專題： 證明題． 分析： （1）由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，即可得∠A=∠B，又由對(duì)頂角相等，可證得：△A

35、DE∽△BCE； （2）由AD2=AE?AC，可得，又由∠A是公共角，可證得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直徑，以求得AC⊥BD，由垂徑定理即可證得CD=CB． 解答： 證明：（1）如圖，∵∠A與∠B是對(duì)的圓周角， ∴∠A=∠B， 又∵∠1=∠2， ∴△ADE∽△BCE； （2）如圖， ∵AD2=AE?AC， ∴， 又∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACD， ∴∠AED=∠ADC， 又∵AC是⊙O的直徑， ∴∠ADC=90°， 即∠AED=90°， ∴直徑AC⊥BD， ∴=， ∴CD=CB． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了圓周角定理、垂徑定理一相似三角形

36、的判定與性質(zhì)．此題難度不大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 20．如圖，以AB為直徑的⊙O交∠BAD的角平分線于C，過(guò)C作CD⊥AD于D，交AB的延長(zhǎng)線于E． （1）求證：CD為⊙O的切線． （2）若=，求cos∠DAB． 考點(diǎn)： 切線的判定；角平分線的性質(zhì)；勾股定理；解直角三角形． 專題： 幾何綜合題． 分析： （1）連接OC，推出∠DAC=∠CAB，∠OAC=∠OCA，求出∠DAC=∠OCA，得出OC∥AD，推出OC⊥DC，根據(jù)切線的判定判斷即可； （2）連接BC，可證明△ACD∽△ABC，得出比例式，求出BC，求出圓的直徑AB，再根據(jù)勾股定理得出CE，即可求出答案．

37、 解答： （1）證明：連接OC， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠CAB， ∵OC=OA， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠OCA， ∴OC∥AD， ∵AD⊥CD， ∴OC⊥CD， ∵OC為⊙O半徑， ∴CD是⊙O的切線； （2）解：連接BC， ∵AB為直徑， ∴∠ACB=90°， ∵AC平分∠BAD， ∴∠CAD=∠CAB， ∵=， ∴令CD=3，AD=4，得AC=5， ∴=， =， ∴BC=， 由勾股定理得AB=， ∴OC=， ∵OC∥AD， ∴=， ∴=， 解得AE=， ∴cos∠DAB===． 點(diǎn)評(píng)： 本題考

38、查了切線的判定以及角平分線的定義、勾股定理和解直角三角形，是中學(xué)階段的重點(diǎn)內(nèi)容． 21．如圖，AC=BC，∠C=90°，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，CE=CF，連結(jié)AF和BE，點(diǎn)O在BE上，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、F，交BE于點(diǎn)G． （1）求證：△ACF≌△BCE； （2）求證：AF是⊙O的切線． 考點(diǎn)： 切線的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)． 專題： 證明題． 分析： （1）利用“SAS”證明△ACF≌△BCE； （2）連結(jié)OF，如圖，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，由△ACF≌△BCE得到∠A=∠B，則∠B+∠AFC=90°，加上∠B=∠OFB，所以∠OFB+∠AFC=90°，則∠AF

39、O=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到AF是⊙O的切線． 解答： 證明：（1）在△ACF和△BCE中， ， ∴△ACF≌△BCE（SAS）； （2）連結(jié)OF，如圖， ∵△ACF≌△BCE， ∴∠A=∠B， 而∠A+∠AFC=90°， ∴∠B+∠AFC=90°， ∵OB=OF， ∴∠B=∠OFB， ∴∠OFB+∠AFC=90°， ∴∠AFO=90°， ∴OF⊥AF， ∴AF是⊙O的切線． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過(guò)圓心作該直線的垂

40、線段，證明該線段的長(zhǎng)等于半徑；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過(guò)該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)． 22．如圖，在△ABC中，∠C=60°，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)P在直徑BD的延長(zhǎng)線上，且AB=AP． （1）求證：PA是⊙O的切線； （2）若AB=2，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π和根號(hào)） 考點(diǎn)： 切線的判定；扇形面積的計(jì)算． 分析： （1）如圖，連接OA；證明∠OAP=90°，即可解決問(wèn)題． （2）如圖，作輔助線；求出OM=1，OA=2；求出△AOB、扇形AOB的面積，即可解決問(wèn)題． 解答： 解：（1）如

41、圖，連接OA； ∵∠C=60°， ∴∠AOB=120°；而OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA=30°；而AB=AP， ∴∠P=∠ABO=30°； ∵∠AOB=∠OAP+∠P， ∴∠OAP=120°﹣30°=90°， ∴PA是⊙O的切線． （2）如圖，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB，則AM=BM=， ∵tan30°=，sin30°=， ∴OM=1，OA=2； ∴=××1=， =， ∴圖中陰影部分的面積=． 點(diǎn)評(píng)： 該題主要考查了切線的判定、扇形的面積公式及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是作輔助線；靈活運(yùn)用圓周角定理及其推論、垂徑定理等幾何知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析、判斷、解答． 23．如圖，

42、已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，∠AOC=60°，OC=2． （1）求OE和CD的長(zhǎng)； （2）求圖中陰影部分的面積． 考點(diǎn)： 扇形面積的計(jì)算；垂徑定理． 分析： （1）在△OCE中，利用三角函數(shù)即可求得CE，OE的長(zhǎng)，再根據(jù)垂徑定理即可求得CD的長(zhǎng)； （2）根據(jù)半圓的面積減去△ABC的面積，即可求解． 解答： 解：（1）在△OCE中， ∵∠CEO=90°，∠EOC=60°，OC=2， ∴OE=OC=1， ∴CE=OC=， ∵OA⊥CD， ∴CE=DE， ∴CD=； （2）∵S△ABC=AB?EC=×4×=2， ∴． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了

43、垂徑定理以及三角函數(shù)，一些不規(guī)則的圖形的面積可以轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和或差求解． 24．如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D均在已知圓上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四邊形ABCD的周長(zhǎng)為15． （1）求此圓的半徑； （2）求圖中陰影部分的面積． 考點(diǎn)： 扇形面積的計(jì)算；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理． 分析： （1）根據(jù)條件可以證得四邊形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=DC，∠BDC=90°，在直角△BDC中，BC是圓的直徑，BC=2DC，根據(jù)四邊形ABCD的周長(zhǎng)為15，即可求得BC，即可得到圓的半徑； （2）根據(jù)S陰影=S扇形AOD﹣S△AOD即可

44、求解． 解答： 解：（1）∵AD∥BC，∠BAD=120°， ∴∠ABC=∠DCB=180°﹣∠BAD=180°﹣120°=60°， 又∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC=30°， ∴∠DBC+∠DCB=90°， ∴∠BDC=90° ∴BC是圓的直徑． ∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30° ∴==，∠BCD=60° ∴AB=AD=DC， ∵BC是直徑， ∴∠BDC=90°， 在直角△BDC中，BC是圓的直徑，BC=2DC． ∴BC+BC=15， 解得：BC=6 故此圓的半徑為3． （2）設(shè)BC的中點(diǎn)為O，由（1）可知O即為圓心． 連接OA，OD，過(guò)O作OE⊥AD于E． 在直角△AOE中，∠AOE=30° ∴OE=OA?cos30°= S△AOD=×3×=． ∴S陰影=S扇形AOD﹣S△AOD=﹣=﹣=． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了扇形的面積的計(jì)算，正確證得四邊形ABCD是等腰梯形，是解題的關(guān)鍵．