《高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第11章 第1節(jié) 兩個計數(shù)原理、排列與組合 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第11章 第1節(jié) 兩個計數(shù)原理、排列與組合 Word版含解析（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 全國卷五年考情圖解 高考命題規(guī)律把握 1.考查形式 高考在本章一般命制1道小題或者1道解答題，分值占5～17分． 2.考查內(nèi)容 計數(shù)原理常與古典概型綜合考查；幾何概型均以選擇題的形式單獨考查；對二項式定理的考查主要是利用通項公式求特定項；對正態(tài)分布的考查，可能單獨考查也可能在解答題中出現(xiàn)；以實際問題為背景，考查分布列、期望等是高考的熱點題型． 3.備考策略 從2019年高考試題可以看出，概率統(tǒng)計試題的閱讀量和信息量都有所加強，考查角度趨向于應(yīng)用概率統(tǒng)計知識對實際問題作出決策. 第一節(jié)　兩個計數(shù)原理、排列與組合 [最新考綱]　1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原

2、理.2.能正確區(qū)分“類”和“步”，并能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題.3.理解排列的概念及排列數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡單的實際問題.4.理解組合的概念及組合數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡單的實際問題． 1．分類加法計數(shù)原理 完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法，…，在第n類辦法中有mn種方法．那么，完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種方法．(也稱加法原理) 2．分步乘法計數(shù)原理 完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，…，做第n步有mn種方法．那么，完成這件事共有N＝m1×m2

3、×…×mn種方法． 3．排列、組合的定義 排列的定義　 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素 按照一定的順序排成一列 組合的定義　 合成一組 4．排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì) 排列數(shù) 組合數(shù) 定 義 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù) 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù) 公 式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝ 性 質(zhì) A＝n！， 0?。? C＝C， C＋C＝C 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列．(　　)

4、 (2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．(　　) (3)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．(　　) (4)kC＝nC.(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 二、教材改編 1．圖書館的一個書架有三層，第一層有3本不同的數(shù)學(xué)書，第二層有5本不同的語文書，第三層有8本不同的英語書，現(xiàn)從中任取1本書，不同的取法有(　　) A．12　 B．16　　　 C．64　 D．120 B　[書架上共有3＋5＋8＝16本不同的書，從中任取一本共有16種不同的取法，故選B.] 2．用數(shù)字1,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的四

5、位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為(　　) A．8 B．24 C．48 D．120 C　[末位只能從2,4中選一個，其余的三個數(shù)字任意排列，故這樣的偶數(shù)共有AC＝4×3×2×2＝48個．故選C.] 3．6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為(　　) A．144 B．120 C．72 D．24 D　[“插空法”，先排3個空位，形成4個空隙供3人選擇就座，因此任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為A＝4×3×2＝24.] 4．五名學(xué)生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，則不同的報名方法的種數(shù)為________．五名學(xué)生爭奪四項比賽的冠軍(冠軍不并列)，則獲得冠軍的可能性有_____

6、___種. (用數(shù)字作答) 45　54[五名學(xué)生參加四項體育比賽，每人限報一項，可逐個學(xué)生落實，每個學(xué)生有4種報名方法，共有45種不同的報名方法．五名學(xué)生爭奪四項比賽的冠軍，可對4個冠軍逐一落實，每個冠軍有5種獲得的可能性，共有54種獲得冠軍的可能性．] 考點1　兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用 　利用兩個基本計數(shù)原理解決問題的步驟 第一步，審清題意，弄清要完成的事件是怎樣的． 第二步，分析完成這件事應(yīng)采用分類、分步、先分類后分步、先分步后分類這四種方法中的哪一種． 第三步，弄清在每一類或每一步中的方法種數(shù)． 第四步，根據(jù)兩個基本計數(shù)原理計算出完成這件事的方法種數(shù)． 　(1)如果一

7、個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1＜a2，且a2＞a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為(　　) A．240　 B．204　　　 C．729　 D．920 (2)(2016·全國卷Ⅱ)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(　　) A．24 B．18 C．12 D．9 (3)如圖所示的五個區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為(　　) A．24 B．48 C．72 D

8、．96 (1)A　(2)B　(3)C　[(1)如果這個三位數(shù)含0，則0必在末位，共有這樣的凸數(shù)C個；如果這個三位數(shù)不含0，則這樣的凸數(shù)共有CA＋C個．即共有2C＋CA＝240個． (2)從E到G需要分兩步完成：先從E到F，再從F到G.從F到G的最短路徑，只要考慮縱向路徑即可，一旦縱向路徑確定，橫向路徑即可確定，故從F到G的最短路徑共有3條．如圖，從E到F的最短路徑有兩類：先從E到A，再從A到F，或先從E到B，再從B到F.因為從A到F或從B到F都與從F到G的路徑形狀相同，所以從A到F，從B到F最短路徑的條數(shù)都是3，所以從E到F的最短路徑有3＋3＝6(條)．所以小明到老年公寓的最短路徑條數(shù)

9、為6×3＝18. (3)法一：(以位置為主考慮)分兩種情況： ①A，C不同色，先涂A有4種，C有3種，E有2種，B，D各有1種，有4×3×2＝24種涂法． ②A，C同色，先涂A有4種，E有3種，C有1種，B，D各有2種，有4×3×2×2＝48種涂法． 故共有24＋48＝72種涂色方法． 法二：(以顏色為主考慮) 分兩類． (1)取4色：著色方法有2A＝48(種)． (2)取3色：著色方法有A＝24(種)． 所以共有著色方法48＋24＝72(種)．] 　 (1)應(yīng)用兩個計數(shù)原理的難點在于明確是分類還是分步：分類要做到“不重不漏”，正確把握分類標(biāo)準(zhǔn)是關(guān)鍵；分步要做到“步驟完

10、整”，步步相連才能將事件完成． (2)較復(fù)雜的問題可借助圖表來完成． (3)對于涂色問題：①分清元素的數(shù)目以及在不相鄰的區(qū)域內(nèi)是否可以使用同類元素；②注意對每個區(qū)域逐一進行，分步處理． [教師備選例題] 1．甲、乙、丙三人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有(　　) A．4種　 B．6種　　　 C．10種　 D．16種 B　[分兩類：甲第一次踢給乙時，滿足條件的有3種傳遞方式(如圖)；同理，甲第一次踢給丙時，滿足條件的也有3種傳遞方式． 由分類加法計數(shù)原理可知，共有3＋3＝6(種)傳遞方式．] 2.如圖所

11、示的幾何體是由三棱錐P-ABC與三棱柱ABC-A1B1C1組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對這個幾何體的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有(　　) A．6種 B．9種 C．12種 D．36種 C　[先涂三棱錐P-ABC的三個側(cè)面，有3×2＝6(種)涂法；然后涂三棱柱的三個側(cè)面，有2×1＝2(種)涂法．共有6×2＝12(種)不同的涂法．] 　1.一個旅游景區(qū)的游覽線路如圖所示，某人從P點處進，Q點處出，沿圖中線路游覽A，B，C三個景點及沿途風(fēng)景，則不同(除交匯點O外)的游覽線路有(　　) A．6種 B．8種 C．12種 D．48種

12、 D　[從點P處進入后，參觀第一個景點時，有6個路口可以選擇，從中任選一個，有C種選法，參觀完第一個景點，參觀第二個景點時，有4個路口可以選擇，從中任選一個，有C種選法，參觀完第二個景點，參觀第三個景點時，有2個路口可以選擇，從中任選一個，有C種選法，則共有CCC＝48(種)線路．故選D.] 2．(2019·河北六校聯(lián)考)甲與其四位同事各有一輛私家車，車牌尾數(shù)分別是9,0,2,1,5，為遵守當(dāng)?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定(奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行)，五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數(shù)為(　　) A．

13、64 B．80 C．96 D．120 B　[5日至9日，日期尾數(shù)分別為5,6,7,8,9，有3天是奇數(shù)日，2天是偶數(shù)日．第一步，安排偶數(shù)日出行，每天都有2種選擇，共有2×2＝4(種)；第二步，安排奇數(shù)日出行，分兩類，第一類，選1天安排甲的車，另外2天安排其他車，有3×2×2＝12(種)，第二類，不安排甲的車，每天都有2種選擇，共有23＝8(種)，共計12＋8＝20(種)．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的用車方案種數(shù)為4×20＝80.] 考點2　排列問題 　求解排列應(yīng)用問題的6種常用方法 直接法 把符合條件的排列數(shù)直接列式計算 優(yōu)先法 優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置 捆綁法

14、相隔問題把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列 插空法 對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中 定序問題 除法處理 對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 間接法 正難則反、等價轉(zhuǎn)化的方法 　3名女生和5名男生排成一排． (1)若女生全排在一起，有多少種排法？ (2)若女生都不相鄰，有多少種排法？ (3)[一題多解]若女生不站兩端，有多少種排法？ (4)其中甲必須排在乙左邊(可不鄰)，有多少種排法？ (5)[一題多解]其中甲不站最左邊，乙不站最右邊，有多少種排法？ [

15、解]　(1)(捆綁法)由于女生排在一起，可把她們看成一個整體，這樣同5名男生合在一起有6個元素，排成一排有A種排法，而其中每一種排法中，3名女生之間又有A種排法，因此共有A·A＝4 320種不同排法． (2)(插空法)先排5名男生，有A種排法，這5名男生之間和兩端有6個位置，從中選取3個位置排女生，有A種排法，因此共有A·A＝14 400種不同排法． (3)法一(位置分析法)：因為兩端不排女生，只能從5名男生中選2人排，有A種排法，剩余的位置沒有特殊要求，有A種排法，因此共有A·A＝14 400種不同排法． 法二(元素分析法)：從中間6個位置選3個安排女生，有A種排法，其余位置無限制，有

16、A種排法，因此共有A·A＝14 400種不同排法. (4)8名學(xué)生的所有排列共A種，其中甲在乙左邊與乙在甲左邊的各占，因此符合要求的排法種數(shù)為A＝20 160. (5)甲、乙為特殊元素，左、右兩邊為特殊位置． 法一(特殊元素法)：甲在最右邊時，其他的可全排，有A種不同排法；甲不在最右邊時，可從余下6個位置中任選一個，有A種．而乙可排在除去最右邊位置后剩余的6個中的任一個上，有A種，其余人全排列，共有A·A·A種不同排法． 由分類加法計數(shù)原理知，共有A＋A·A·A＝30 960種不同排法． 法二(特殊位置法)：先排最左邊，除去甲外，有A種排法，余下7個位置全排，有A種排法，但應(yīng)剔除乙

17、在最右邊時的排法A·A種，因此共有A·A－A·A＝30 960種排法． 法三(間接法)：8名學(xué)生全排列，共A種，其中，不符合條件的有甲在最左邊時，有A種排法，乙在最右邊時，有A種排法，其中都包含了甲在最左邊，同時乙在最右邊的情形，有A種排法．因此共有A－2A＋A＝30 960種排法． 　(1)對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法，在實際進行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法． (2)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法． 　1.

18、把5件不同的產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種． 36　[(捆綁法和插空法的綜合應(yīng)用)記其余兩種產(chǎn)品為D，E.將A，B視為一個元素，先與D，E進行排列，有AA種方法，再將C插入，每種排列均只有3個空位可選， 故不同的擺法共有AA×3＝2×6×3＝36(種)．] 2．(2019·衡水高三大聯(lián)考)現(xiàn)有一圓桌，周邊有標(biāo)號為1,2,3,4的四個座位，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)坐在一起探討一個數(shù)學(xué)課題，每人只能坐一個座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有________種．(用數(shù)字作答) 8　[先按排甲，其選座方法有C種，由于甲、

19、乙不能相鄰，所以乙只能坐甲對面，而丙、丁兩位同學(xué)坐另兩個位置的坐法有A種，所以共有坐法種數(shù)為C·A＝4×2＝8種．] 考點3　組合問題 　 組合問題的常見類型與處理方法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選?。? (2)“至少”或“至多”含有幾個元素的題型：若直接法分類復(fù)雜時，逆向思維，間接求解． 　某課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名隊長．現(xiàn)從中選5人主持某種活動，依下列條件各有多少種選法？ (1)只有一名女生當(dāng)選； (2)兩隊長當(dāng)選； (3

20、)至少有一名隊長當(dāng)選； (4)至多有兩名女生當(dāng)選． [解]　(1)只有一名女生當(dāng)選等價于有一名女生和四名男生當(dāng)選．故共有C·C＝350種． (2)兩隊長當(dāng)選，共有C·C＝165種． (3)至少有一名隊長當(dāng)選含有兩類：只有一名隊長當(dāng)選，有兩名隊長當(dāng)選．故共有C·C＋C·C＝825種．(或采用排除法：C－C＝825(種))． (4)至多有兩名女生當(dāng)選含有三類：有兩名女生當(dāng)選，只有一名女生當(dāng)選，沒有女生當(dāng)選．故選法共有C·C＋C·C＋C＝966種． 　含有附加條件的組合問題通常用直接法或間接法，應(yīng)注意“至少”“最多”“恰好”等詞的含義的理解． 　1.某單位擬安排6位員工在今年6月9日至

21、11日值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位員工中的甲不值9日，乙不值11日，則不同的安排方法共有(　　) A．30種 B．36種 C．42種 D．48種 C　[若甲在11日值班，則在除乙外的4人中任選1人在11日值班，有C種選法，9日、10日有CC種安排方法，共有CCC＝24(種)安排方法； 若甲在10日值班，乙在9日值班，余下的4人有CCC種安排方法，共有12種安排方法； 若甲、乙都在10日值班，則共有CC＝6(種)安排方法． 所以總共有24＋12＋6＝42(種)安排方法．] 2．現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不

22、能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為(　　) A．232 B．252 C．472 D．484 C　[分兩類：第一類，含有1張紅色卡片，不同的取法共有CC＝264(種)； 第二類，不含有紅色卡片，不同的取法共有C－3C＝220－12＝208(種)． 由分類加法計數(shù)原理知，不同的取法有264＋208＝472(種)．] 考點4　分組、分配問題 　分組、分配問題是排列組合的綜合問題，解題思想是先分組后分配． (1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組方法有三種： ①完全均勻分組，每組元素的個數(shù)都相等； ②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)； ③完全非均勻分組，這種

23、分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象． (2)分配問題屬于“排列”問題，常見的分配方法有三種： ①相同元素的分配問題，常用“擋板法”； ②不同元素的分配問題，利用分步乘法計數(shù)原理，先分組，后分配； ③有限制條件的分配問題，采用分類求解． 　整體均分問題 　國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點師范大學(xué)免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教．現(xiàn)有6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校去任教，有________種不同的分派方法． 90　[先把6個畢業(yè)生平均分成3組，有種方法，再將3組畢業(yè)生分到3所學(xué)校，有A＝6種方法，故6個畢業(yè)生平均分到3所學(xué)校，共有·A＝90種分派方法．

24、] 　本題屬于整體均分問題，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以A(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計數(shù)． 　部分均分問題 　將6本不同的書分給甲、乙、丙、丁4個人，每人至少1本的不同分法共有________種．(用數(shù)字作答) 1 560　[把6本不同的書分成4組，每組至少1本的分法有2種． ①有1組3本，其余3組每組1本，不同的分法共有＝20(種)； ②有2組每組2本，其余2組每組1本，不同的分法共有·＝45(種)． 所以不同的分組方法共有20＋45＝65(種)． 然后把分好的4組書分給4個人，所以不同的分法共有65×A＝1 560(種)．]

25、 　本題屬于局部均分問題，解題時注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以m！，一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數(shù)． 　(2019·淄博模擬)第二屆“一帶一路”國際合作高峰論壇于2019年4月25日至27日在北京舉行，為了保護各國元首的安全，將5個安保小組全部安排到指定三個區(qū)域內(nèi)工作，且這三個區(qū)域每個區(qū)域至少有一個安保小組，則這樣的安排方法共有(　　) A．96種 B．100種 C．124種 D．150種 D　[因為三個區(qū)域每個區(qū)域至少有一個安保小組，所以可以把5個安保小組分成三組，有兩種分組的情況：一種是1,1,3，另一種是

26、1,2,2.當(dāng)按照1,1,3來分時，共有N1＝·A＝60(種)，當(dāng)按照1,2,2來分時，共有N2＝·A＝90(種)，根據(jù)分類加法計數(shù)原理知N＝N1＋N2＝150種．] 　不等分問題 　(1)若將6名教師分到3所中學(xué)任教，一所1名， 一所2名，一所3名，則有________種不同的分法． (2)把8個相同的小球全部放入編號為1,2,3,4的四個盒中，則不同的放法種數(shù)為(　　) A．35 B．70 C．165 D．1 860 (1)360　(2)C　[(1)將6名教師分組，分三步完成： 第1步，在6名教師中任取1名作為一組，有C種分法； 第2步，在余下的5名教師中任取2名作為

27、一組，有C種分法； 第3步，余下的3名教師作為一組，有C種分法． 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有CCC＝60種分法． 再將這3組教師分配到3所中學(xué)，有A＝6種分法， 故共有60×6＝360種不同的分法． (2)根據(jù)題意，分4種情況討論： ①沒有空盒，將8個相同的小球排成一列，排好后，各球之間共有7個空位，在7個空位中任選3個，插入隔板，將小球分成4組，順次對應(yīng)4個盒子，有C＝35種放法； ②有1個空盒，在4個盒中任選3個，放入小球，有C＝4種選法，將8個相同的小球排成一列，排好后，各球之間共有7個空位，在7個空位中任選2個，插入隔板，將小球分成3組，順次對應(yīng)3個盒子，有C＝21種分組

28、方法，則有4×21＝84種放法； ③有2個空盒，在4個盒中任選2個，放入小球，有C＝6種選法，將8個相同的小球排成一列，排好后，各球之間共有7個空位，在7個空位中任選1個，插入隔板，將小球分成2組，順次對應(yīng)2個盒子，有C＝7種分組方法，則有6×7＝42種方法； ④有3個空盒，即將8個小球全部放進1個盒子，有4種放法． 故一共有35＋84＋42＋4＝165種放法．] 　本題屬于不等分問題，只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)． 　1.將甲、乙等5名交警分配到三個不同路口疏導(dǎo)交通，每個路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有(　　) A．18種 B．24種 C．36種 D．72種 C　[1個路口3人，其余路口各1人的分配方法有CCA種.1個路口1人，2個路口各2人的分配方法有CCA種，由分類加法計數(shù)原理知，甲、乙在同一路口的分配方案為CCA＋CCA＝36種．] 2．(2019·唐山二模)將六名教師分配到甲、乙、丙、丁四所學(xué)校任教，其中甲校至少分配兩名教師，其它三所學(xué)校至少分配一名教師，則不同的分配方案共有________種．(用數(shù)字作答) 660　[若甲校2人，乙、丙、丁其中一校2人，共有CCA種，若甲校3人，乙、丙、丁每校1人，共有CA種，則不同的分配方案共有CCA＋CA＝660種．]