6、 判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法
(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系．
(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程組，消元得一元二次方程之后利用Δ判斷．
(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．
上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問題．
1.若直線ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則點(diǎn)P(a，b)與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系是( )
A．在圓上 B．在圓外
C．在圓內(nèi) D．以上都有可能
B [由題意知圓心到直線的距離d＝＜1，即a2＋b2＞1，則點(diǎn)P(a，b)在圓x2＋y2＝1的外部，故選B.]
2．直線l：mx－y＋
7、1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是( )
A．相交 B．相切
C．相離 D．不確定
A [法一：由
消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
因?yàn)棣ぃ?6m2＋20＞0，
所以直線l與圓相交．
法二：由題意知，圓心(0,1)到直線l的距離d＝＜1＜，故直線l與圓相交．
法三：直線l：mx－y＋1－m＝0過定點(diǎn)(1,1)，因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在圓x2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部，所以直線l與圓相交．]
3．圓(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直線3x＋4y－11＝0的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C
8、 [如圖所示，因?yàn)閳A心到直線的距離為＝2，又因?yàn)閳A的半徑為3，所以直線與圓相交，圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有3個(gè)．]
若直線方程中x(或y)的系數(shù)含參數(shù)，則此直線為過定點(diǎn)的動(dòng)直線，一般是求出定點(diǎn)，再求解．
直線與圓相切的問題
1．求過圓上的一點(diǎn)(x0，y0)的切線方程的方法
先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，若k不存在，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為y＝y(tǒng)0；若k＝0，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為x＝x0；若k存在且k≠0，則由垂直關(guān)系知切線的斜率為－，由點(diǎn)斜式可寫出切線方程．
2．求過圓外一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的兩種方法
幾何法
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則切線方程為y
9、－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出k的值，進(jìn)而寫出切線方程
代數(shù)法
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓的方程，得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切線方程即可求出
(1)過點(diǎn)P(2,4)作圓(x－1)2＋(y－1)2＝1的切線，則切線方程為( )
A．3x＋4y－4＝0
B．4x－3y＋4＝0
C．x＝2或4x－3y＋4＝0
D．y＝4或3x＋4y－4＝0
(2)(2019·浙江高考)已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0，m)，半徑長(zhǎng)是r.若直線2x－y＋3＝0與
10、圓C相切于點(diǎn)A(－2，－1)，則m＝________，r＝________.
(1)C (2)－2 [(1)當(dāng)斜率不存在時(shí)，x＝2與圓相切；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，則＝1，解得k＝，則切線方程為4x－3y＋4＝0，故切線方程為x＝2或4x－3y＋4＝0，故選C.
(2)由圓心與切點(diǎn)的連線和切線垂直，得＝－，解得m＝－2，因此圓心坐標(biāo)為(0，－2)，半徑r＝＝.]
已知切點(diǎn)，則圓心與切點(diǎn)的連線垂直于切線是常用的結(jié)論，如本例T(2)．
弦長(zhǎng)問題
弦長(zhǎng)的兩種求法
(1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方
11、程．在判別式Δ＞0的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)．
(2)幾何方法：若弦心距為d，圓的半徑長(zhǎng)為r，則弦長(zhǎng)l＝2.
(1)設(shè)圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0,3)與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，則直線l的方程為( )
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
(2)(2019·衡水模擬)已知直線ax＋y－1＝0與圓C：(x－1)2＋(y＋a)2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，且△ABC為等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)a的值為( )
12、A.或－1 B．－1
C．1 D．1或－1
(1)B (2)D [(1)當(dāng)直線l的斜率不存在，即直線l的方程為x＝0時(shí)，弦長(zhǎng)為2，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋3，由弦長(zhǎng)為2，半徑為2可知，圓心到該直線的距離為1，從而有＝1，解得k＝－，綜上，直線l的方程為x＝0或3x＋4y－12＝0，故選B.
(2)由題意得△ABC為等腰直角三角形，∴圓心C(1，－a)到直線ax＋y－1＝0的距離d＝rsin 45°(r為圓C的半徑)．又∵半徑r＝1，∴d＝，即＝，整理得1＋a2＝2，即a2＝1，解得a＝－1或1.故選D.]
解答本例T(2)的關(guān)鍵是求圓心到直線的距離
13、d＝rsin 45°.
[教師備選例題]
若a2＋b2＝2c2(c≠0)，則直線ax＋by＋c＝0被圓x2＋y2＝1所截得的弦長(zhǎng)為( )
A. B．1
C. D.
D [因?yàn)閳A心(0,0)到直線ax＋by＋c＝0的距離d＝＝＝，因此根據(jù)直角三角形的關(guān)系，弦長(zhǎng)的一半就等于＝，所以弦長(zhǎng)為.]
1.已知圓的方程是x2＋y2＝1，則經(jīng)過圓上一點(diǎn)M的切線方程是________．
x＋y－＝0 [因?yàn)镸是圓x2＋y2＝1上的點(diǎn)，所以過點(diǎn)M的圓的切線的斜率為－1，則設(shè)切線方程為x＋y＋a＝0，所以＋＋a＝0，得a＝－，故切線方程為x＋y－＝0.]
2．已知直線l：ax＋b
14、y－3＝0與圓M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于點(diǎn)P(－1,2)，則直線l的方程為________．
x＋2y－3＝0 [圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋y2＝5，則M(－2,0)
直線MP的斜率kMP＝＝2，
由題意得解得
因此直線l的方程為x＋2y－3＝0.]
3．(2019·雅安模擬)已知直線l：x－y＋6＝0與圓x2＋y2＝12相交于A，B兩點(diǎn)，則∠AOB＝________.(O為坐標(biāo)原點(diǎn))
60° [圓心O(0,0)到直線AB的距離d＝＝3，
則|AB|＝2＝2，則有|OA|＝|OB|＝|AB|，
即△AOB是等邊三角形，∴∠AOB＝60°.]
⊙考點(diǎn)2 圓與圓的位置
15、關(guān)系
1．幾何法判斷圓與圓的位置關(guān)系的三步驟
(1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)；
(2)利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；
(3)比較d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，寫出結(jié)論．
2．兩圓公共弦長(zhǎng)的求法
(1)求公共弦所在的直線方程：由兩個(gè)圓的方程相減得到．
(2)在一個(gè)圓中求公共弦長(zhǎng)：按照求弦長(zhǎng)的方法求解．
(1)已知圓O1的方程為x2＋y2＝4，圓O2的方程為(x－a)2＋(y－1)2＝1，那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系不可能是( )
A．外離 B．外切
C．內(nèi)含 D．內(nèi)切
(2)(2019·南通模擬)圓O1：x2＋y2＝9與圓O
16、2：x2＋y2－4x＋2y－3＝0的公共弦的長(zhǎng)為________．
(1)C (2) [(1)圓O1：x2＋y2＝4的圓心O1(0,0)，半徑r1＝2，圓O2：(x－a)2＋(y－1)2＝1的圓心O2(a,1)，半徑r2＝1，兩圓的圓心距|O1O2|＝≥1＝2－1，所以兩個(gè)圓的位置關(guān)系不可能是內(nèi)含，故選C.
(2)由得兩圓的公共弦所在的直線方程為2x－y－3＝0，圓O1：x2＋y2＝9的圓心O1(0,0)到直線2x－y－3＝0的距離d＝＝，
則公共弦長(zhǎng)為2＝.]
本例T(1)中，圓O2的圓心在直線y＝1上，數(shù)形結(jié)合也可得到答案．
[教師備選例題]
(2016·山東高考)已知圓M：
17、x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長(zhǎng)度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是( )
A．內(nèi)切 B．相交
C．外切 D．相離
B [法一：由得兩交點(diǎn)為(0,0)，(－a，a)．
∵圓M截直線所得線段長(zhǎng)度為2，
∴＝2.又a>0，∴a＝2.
∴圓M的方程為x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圓心M(0,2)，半徑r1＝2.
又圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心N(1,1)，半徑r2＝1，
∴|MN|＝＝.
∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴兩圓相交．
法二：∵x2＋y2－2ay＝0(a
18、>0)?x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
∴M(0，a)，r1＝a.
依題意，有＝，解得a＝2.
以下同法一．]
1.(2019·哈爾濱模擬)圓x2－4x＋y2＝0與圓x2＋y2＋4x＋3＝0的公切線共有( )
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
D [x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝22，圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑為2；x2＋y2＋4x＋3＝0，即(x＋2)2＋y2＝12，圓心坐標(biāo)為(－2,0)，半徑為1.所以兩圓圓心距為4，兩圓半徑和為3.因?yàn)?＞3，所以兩圓的位置關(guān)系是外離，故兩圓的公切線共有4條．故選D.]
2．(2019·揭陽模擬)若
19、圓x2＋y2＝1與圓x2＋y2－6x－8y－m＝0相切，則m的值為________．
－9或11 [圓的方程x2＋y2－6x－8y－m＝0可化為(x－3)2＋(y－4)2＝25＋m，
其圓心坐標(biāo)為(3,4)，半徑r＝(m＞－25)．
若兩圓外切，則＋1＝5，解得m＝－9；
若兩圓內(nèi)切，則－1＝5，解得m＝11.]
⊙考點(diǎn)3 直線與圓的綜合問題
直線與圓的綜合問題的求解策略
(1)利用解析幾何的基本思想方法(即幾何問題代數(shù)化)，把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)的計(jì)算，使問題得到解決．
(2)直線與圓和平面幾何聯(lián)系十分緊密，可充分考慮平面幾何知識(shí)的運(yùn)用，如在直線與圓相交的有關(guān)線段長(zhǎng)度
20、計(jì)算中，要把圓的半徑、圓心到直線的距離、直線被圓截得的線段長(zhǎng)度放到一起綜合考慮．
已知過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點(diǎn)．
(1)求k的取值范圍；
(2)若·＝12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.
[解](1)由題設(shè)可知直線l的方程為y＝kx＋1.
因?yàn)橹本€l與圓C交于兩點(diǎn)，所以<1，
解得
21、y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝＋8.
由題設(shè)可得＋8＝12，解得k＝1，
所以直線l的方程為y＝x＋1.
故圓心C在直線l上，所以|MN|＝2.
解答本例T(2)問時(shí)，把·表示成點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)和與積的形式是解題的關(guān)鍵．
(2019·衡陽模擬)已知點(diǎn)P是圓C：(x－3)2＋y2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A(－3,0)，M是線段AP的中點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)M的軌跡方程；
(2)若點(diǎn)M的軌跡與直線l：2x－y＋n＝0交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且OE⊥OF，求n的值．
[解](1)設(shè)M(x，y)為所求軌跡上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P為(x1，y1)，則(x1－3)2＋y＝4. ①
又∵M(jìn)是線段AP的中點(diǎn)，∴
則代入①式得x2＋y2＝1.
(2)聯(lián)立消去y得5x2＋4nx＋n2－1＝0.
由Δ＞0得－＜n＜. ②
設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，則 ③
由OE⊥OF可得x1x2＋y1y2＝0.∵y＝2x＋n，
∴x1x2＋(2x1＋n)(2x2＋n)＝0，展開得5x1x2＋2n(x1＋x2)＋n2＝0.
由③式可得5×＋2n×＋n2＝0，化簡(jiǎn)得n2＝.④
根據(jù)②④得n＝±.
高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書：第9章 第4節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 Word版含解析
