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新版高三數(shù)學(xué) 第45練 簡單的線性規(guī)劃問題練習(xí)

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1、 1

2、 1 第45練 簡單的線性規(guī)劃問題 訓(xùn)練目標(biāo) (1)掌握不等式(組)表示的平面區(qū)域的確定方法;(2)會求目標(biāo)函數(shù)的最值;(3)了解目標(biāo)函數(shù)的簡單應(yīng)用. 訓(xùn)練題型 (1)求平面區(qū)域面積;(2)求目標(biāo)函數(shù)最值;(3)求參數(shù)值或參數(shù)范圍;(4)求最優(yōu)解;(5)實際應(yīng)用問題. 解題策略 (1)根據(jù)不等式(組)畫出可行域;(2)準(zhǔn)確理解目標(biāo)函數(shù)的變量及相關(guān)參數(shù)的幾何意義;(3)用

3、好數(shù)形結(jié)合思想,將要解決的問題恰當(dāng)?shù)呐c圖形相聯(lián)系;(4)注意目標(biāo)函數(shù)的變形應(yīng)用. 一、選擇題 1.下列各點中,與點(1,2)位于直線x+y-1=0的同一側(cè)的是(  ) A.(0,0) B.(-1,3) C.(-1,1) D.(2,-3) 2.若變量x,y滿足約束條件則z=2x+y的最大值和最小值分別為(  ) A.4和3 B.4和2 C.3和2 D.2和0 3.設(shè)正數(shù)x,y滿足-1

4、最小值為5,則其最大值為(  ) A.10 B.12 C.14 D.15 5.設(shè)變量x,y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z=x+ky(k>0)的最小值為13,則實數(shù)k等于(  ) A.7 B.5或13 C.5或 D.13 6.(20xx·貴州七校聯(lián)考)一個平行四邊形的三個頂點的坐標(biāo)分別為(-1,2),(3,4),(4,-2),點(x,y)在這個平行四邊形的內(nèi)部或邊上,則z=2x-5y的最大值是(  ) A.16 B.18 C.20 D.36 7.若不等式組表示的平面區(qū)域是面積為的三角形,則m的值為(  ) A. B. C.- D. 8.已知x,y滿足約束條件

5、當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)在該約束條件下取到最小值2時,a2+b2的最小值為(  ) A.5 B.4 C. D.2 二、填空題 9.已知實數(shù)x,y滿足則z=2x+y的最大值為________. 10.(20xx·遼寧五校聯(lián)考)已知A,B是平面區(qū)域內(nèi)的兩個動點,向量n=(3,-2),則·n的最大值是________. 11.(20xx·全國乙卷)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5個工時;生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3個工時,生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元

6、,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg,乙材料90 kg,則在不超過600個工時的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為________元. 12.已知函數(shù)f(x)=x2-2x,點集M={(x,y)|f(x)+f(y)≤2},N={(x,y)|f(x)-f(y)≥0},則M∩N所構(gòu)成平面區(qū)域的面積為______. 答案精析 1.B [由x+y-1=0,將點(1,2)代入得1+2-1>0,故所選的點代入直線方程大于零在同側(cè),將點(-1,3)代入得,-1+3-1>0成立.] 2.B [在平面直角坐標(biāo)系中,作出變量x,y的約束條件的區(qū)域,如圖陰影部分

7、所示, 由圖可知,當(dāng)z=2x+y過點A(1,0)時,z最小,zmin=2,當(dāng)z=2x+y過點B(2,0)時,z最大,zmax=4,所以z=2x+y的最大值和最小值分別為4和2.故選B.] 3.B [作出x,y所滿足的條件所對應(yīng)的可行域,如圖所示,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=x-2y經(jīng)過點(2,0)時,z=x-2y取得最大值(不能取到)2,所以z∈(-∞,2),故選B.] 4.A [畫出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖陰影部分所示.作直線l:y=-3x,平移l,從而可知當(dāng)x=2,y=4-c時,z取得最小值,zmin=3×2+4-c=10-c=5,所以c=5,當(dāng)x==3,y==1時,z取得最大值,zm

8、ax=3×3+1=10.] 5.C [作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖所示,可知z=x+ky(k>0)過點A(,)或B(,)時取得最小值,所以+k=13或+k=13,解得k=5或.] 6.C [平行四邊形的對角線互相平分,如圖,當(dāng)以AC為對角線時,由中點坐標(biāo)公式得AC的中點為(,0),也是BD的中點,可知頂點D1的坐標(biāo)為(0,-4).同理,當(dāng)以BC為對角線時,得D2的坐標(biāo)為(8,0),當(dāng)以AB為對角線時,得D3的坐標(biāo)為(-2,8),由此作出(x,y)所在的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示,由圖可知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=2x-5y經(jīng)過點D1(0,-4)時,取得最大值,最大值為2×0-5×(-4)

9、=20,故選C.] 7.C [畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,由圖可得A(m,),B(m,m),C(2,2)?S=××(2-m)==?m=-,故選C.] 8.B [線性約束條件所表示的可行域如圖陰影部分所示. 由解得 所以z=ax+by在A(2,1)處取得最小值,故2a+b=2, a2+b2=a2+(2-2a)2=(a-4)2+4≥4.] 9.8 解析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示. 由z=2x+y,得y=-2x+z. 平移直線y=-2x+z,由圖象可知當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過點C時,在y軸上的截距最大,此時z最大. 由解得即C(3,2),此時z=

10、2×3+2=8. 10.10 解析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),=(x2-x1,y2-y1),則·n=3(x2-x1)-2(y2-y1)=3x2-2y2-(3x1-2y1).令z=3x-2y,畫出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖中陰影部分所示),可知zmax=6,zmin=-4,則·n的最大值為zmax-zmin=10. 11.216 000 解析 設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件,B產(chǎn)品y件,根據(jù)所耗費的材料要求、工時要求等其他限制條件,得線性約束條件為 目標(biāo)函數(shù)z=2 100x+900y. 作出可行域為圖中的四邊形,包括邊界,頂點為(60,100),(0,200),(0,0)

11、,(90,0),z在(60,100)處取得最大值,zmax=2 100×60+900×100=216 000(元). 12.2π 解析 由f(x)+f(y)=x2-2x+y2-2y≤2,得(x-1)2+(y-1)2≤4, 于是點集M={(x,y)|f(x)+f(y)≤2} 表示的平面區(qū)域是以(1,1)為圓心,半徑r=2的圓面. 同理,由f(x)-f(y)=x2-2x-y2+2y≥0, 可得(x-y)(x+y-2)≥0, 即或 于是點集N={(x,y)|f(x)-f(y)≥0}表示的平面區(qū)域就是不等式組所表示的平面區(qū)域.所以M∩N所構(gòu)成的平面區(qū)域如圖所示, 所以S=·π·r2=2π.

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