《高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書：第6章 第3節(jié)　等比數(shù)列及其前n項和 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書：第6章 第3節(jié)　等比數(shù)列及其前n項和 Word版含解析（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第三節(jié)　等比數(shù)列及其前n項和 [最新考綱]　1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系． (對應(yīng)學(xué)生用書第99頁) 1．等比數(shù)列的有關(guān)概念 (1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為＝q(n∈N*，q為非零常數(shù))． (2)等比中項：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項．即G是a與b的等比

2、中項?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab. 2．等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式 (1)通項公式：an＝a1qn－1. (2)前n項和公式： Sn＝ 3．等比數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項公式的推廣：an＝am·qn－m(n，m∈N*)． (2)若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq；若2s＝p＋r，則apar＝a，其中m，n，p，q，s，r∈N*. (3)若數(shù)列{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比數(shù)列． (4)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等

3、比數(shù)列，公比為qk. (5)當(dāng)q≠－1時，數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比數(shù)列． 1．“G2＝ab”是“a，G，b成等比數(shù)列”的必要不充分條件． 2．若q≠0，q≠1，則Sn＝k－kqn(k≠0)是數(shù)列{an}成等比數(shù)列的充要條件，此時k＝. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列． (　　) (2)三個數(shù)a，b，c成等比數(shù)列的充要條件是b2＝ac. (　　) (3)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，bn＝a2n－1＋a2n，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列． (　　) (4)

4、如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{ln an}是等差數(shù)列．(　　) [答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．等比數(shù)列{an}中，a3＝12，a4＝18，則a6等于(　　) A．27　　　　B．36　　　　C.　　　　D．54 C　[公比q＝＝＝，則a6＝a4q2＝18×＝.] 2．在等比數(shù)列{an}中，a3＝，S3＝，則a1，q的值分別為(　　) A．6， B．6，－ C.，1 D.，1或6，－ D　[由S3＝a1＋a2＋a3＝a3(q－2＋q－1＋1)，得 q－2＋q－1＋1＝3，即2q2－q－1＝0， 解得q＝1或q＝－. 當(dāng)q＝1時，a

5、1＝；當(dāng)q＝－時，a1＝6， 故選D.] 3．7＋3與7－3的等比中項為________． ±2　[由G2＝(7＋3)(7－3)＝4得G＝±2.] 4．在9與243中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個數(shù)為__________． 27,81　[設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知， 243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3. ∴插入的兩個數(shù)分別為9×3＝27,27×3＝81.] (對應(yīng)學(xué)生用書第99頁) ⊙考點1　等比數(shù)列的基本運算 (1)等比數(shù)列基本運算的通法是設(shè)出首項a1和公比q，通過方程組求出結(jié)果，進而解決問題，體現(xiàn)了方程的思想． (2)在使用等比數(shù)列前n項

6、和公式時，應(yīng)注意判斷公比q是不是1，從而選擇不同的求和公式． (1)(2019·全國卷Ⅲ)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項和為15，且a5＝3a3＋4a1，則a3＝(　　) A．16　　　　B．8　　　　C．4　　　　D．2 (2)(2018·全國卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. ①求{an}的通項公式； ②記Sn為{an}的前n項和．若Sm＝63，求m. (1)C　[(1)設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為q， 則 解得∴a3＝a1q2＝4，故選C.] (2)[解]　①設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2，解得q＝

7、0(舍去)或q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. ②若an＝(－2)n－1，則Sn＝. 由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數(shù)解． 若an＝2n－1，則Sn＝＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6. 綜上，m＝6. 　把S4表示成S4＝a1＋a1q＋a1q2＋a1q3，不需要考慮q是不是1的情況，如本例T(1)． [教師備選例題] 已知等比數(shù)列{an}單調(diào)遞減，若a3＝1，a2＋a4＝，則a1＝(　　) A．2　　　B．4　　　C.　　　D．2 B　[設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題意知0＜q＜1， 由a3＝1，a2＋a4＝得，

8、 整理得2q2－5q＋2＝0， 解得q＝或q＝2(舍去)，所以a1＝＝4，故選B.] 　1.已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn，若a2＝2，S6－S4＝6a4，則a5＝(　　) A．4 B．10 C．16 D．32 C　[設(shè)公比為q(q＞0)，S6－S4＝a5＋a6＝6a4，因為a2＝2，所以2q3＋2q4＝12q2，即q2＋q－6＝0，所以q＝2或q＝－3(舍去)，則a5＝2×23＝16.] 2．(2019·全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝1，S3＝，則S4＝________. 　[設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則an＝a1qn－1＝qn－1

9、. ∵a1＝1，S3＝，∴a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝， 即4q2＋4q＋1＝0，∴q＝－， ∴S4＝＝.] 3．(2017·江蘇高考)等比數(shù)列{an}的各項均為實數(shù)，其前n項和為Sn.已知S3＝，S6＝，則a8＝________. 32　[設(shè){an}的首項為a1，公比為q，則 解得 所以a8＝×27＝25＝32.] ⊙考點2　等比數(shù)列的判定與證明 　判定等比數(shù)列的四種方法 (1)定義法：若＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列． (2)等比中項法：若數(shù)列{an}中，an≠0，且a＝an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列． (3)通項公式

10、法：若數(shù)列通項公式可寫成an＝c·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列． (4)前n項和公式法：若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝kqn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列． 　(2018·全國卷Ⅰ)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.設(shè)bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由； (3)求{an}的通項公式． [解](1)由條件可得an＋1＝an. 將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4. 將n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12. 從而b1＝

11、1，b2＝2，b3＝4. (2){bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列． 由條件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列． (3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1. 　本例中由bn＋1＝2bn，不能判定{bn}是等比數(shù)列，還要驗證b1≠0. 　(2016·全國卷Ⅲ)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項公式； (2)若S5＝，求λ. [解](1)證明：由題意得a1＝S1＝1＋λa1， 故λ≠1，a1＝，故a1≠0. 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1

12、得an＋1＝λan＋1－λan， 即an＋1(λ－1)＝λan. 由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝. 因此{(lán)an}是首項為，公比為的等比數(shù)列， 于是an＝. (2)由(1)得Sn＝1－. 由S5＝得1－＝，即＝. 解得λ＝－1. [教師備選例題] 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)設(shè)bn＝an＋1－2an，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項公式． [解](1)證明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2， 有a1＋a2＝S2＝4a1＋2. ∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3. 又 ①－②，得an＋

13、1＝4an－4an－1(n≥2)， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)． ∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)， 故{bn}是首項b1＝3，公比為2的等比數(shù)列． (2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1， ∴－＝， 故是首項為，公差為的等差數(shù)列． ∴＝＋(n－1)·＝， 故an＝(3n－1)·2n－2. ⊙考點3　等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 　應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)的兩個關(guān)注點 (1)轉(zhuǎn)化意識：在等比數(shù)列中，兩項之積可轉(zhuǎn)化為另外兩項之積或某項的平方，這是最常用的性質(zhì)． (2)化歸意識：把非等比數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題解決，例如有關(guān)Sm

14、，S2m，S3m的問題可利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等比數(shù)列求解． 　等比數(shù)列項的性質(zhì) (1)若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________. (2)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若an＞0，q＞1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，則S5＝________. (1)50　(2)31　[(1)因為a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5. 所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20 ＝ln(a1a2…a20) ＝ln[(a1a20)·(a2a19)

15、·…·(a10a11)] ＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11) ＝10ln e5＝50ln e＝50. (2)由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a3a5＝a2a6＝64，于是由且an＞0，q＞1，得a3＝4，a5＝16，所以解得 所以S5＝＝31.] 　本例T(2)也可以先求出a1和q，再求S5，但運算量大，易出錯． 　等比數(shù)列前n項和的性質(zhì) (1)[一題多解]設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若＝，則＝________. (2)已知等比數(shù)列{an}共有2n項，其和為－240，且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80，則公比q＝________. (1)　(2)2　[(1)法一：(

16、整體代入法) 因為S6∶S3＝1∶2，所以{an}的公比q≠1. 由÷＝，得q3＝－， 所以＝＝. 法二：(性質(zhì)法) 由題意知S3，S6－S3，S9－S6成等比數(shù)列． 又＝，即S3＝2S6，所以2S6，－S6，S9－S6成等比數(shù)列． ∴S9－S6＝S6，即S9＝S6. ∴＝＝. (2)由題意，得 解得所以q＝＝＝2.] 　對于本例T(2)，熟練掌握S偶與S奇的關(guān)系為解答本題提供了保障，避免了繁瑣的運算． 　1.在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，則的值為(　　) A．－ B．－ C. D．－或 B　[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為a

17、3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，所以a3·a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，所以a3＜0，a15＜0，則a9＝－，所以＝＝a9＝－，故選B.] 2．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S2＝－1，S4＝－5，則S6等于(　　) A．－9 B．－21 C．－25 D．－63 B　[因為S2＝－1≠0，所以q≠－1，由等比數(shù)列性質(zhì)得S2，S4－S2，S6－S4成等比數(shù)列，即－1×(S6＋5)＝(－5＋1)2，所以S6＝－21，故選B.] ⊙考點4　等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合計算 　等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合計算的策略 (1)將已知條件轉(zhuǎn)化為等差與等比數(shù)列的基本量之間的關(guān)系，利

18、用方程思想和通項公式、前n項和公式求解．求解時，應(yīng)“瞄準(zhǔn)目標(biāo)”，靈活應(yīng)用數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，簡化運算過程．求解方程中注意合理選擇有關(guān)公式，正確判斷是否需要分類討論． (2)一定條件下，等差數(shù)列與等比數(shù)列之間是可以相互轉(zhuǎn)化的，即{an}為等差數(shù)列?{a}(a＞0且a≠1)為等比數(shù)列；{an}為正項等比數(shù)列?{logaan}(a＞0且a≠1)為等差數(shù)列． (1)已知等比數(shù)列{an}的各項都為正數(shù)，且a3，a5，a4成等差數(shù)列，則的值是(　　) A. B. C. D. (2)(2018·北京高考)設(shè){an}是等差數(shù)列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2. ①求{an}的通項公式； ②

19、求e＋e＋…＋e. (1)A　[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a3，a5，a4成等差數(shù)列可得a5＝a3＋a4，即a3q2＝a3＋a3q，故q2－q－1＝0，解得q＝或q＝(舍去)，由＝＝＝＝＝＝，故選A. (2)[解]?、僭O(shè){an}的公差為d. 因為a2＋a3＝5ln 2， 所以2a1＋3d＝5ln 2. 又a1＝ln 2，所以d＝ln 2. 所以an＝a1＋(n－1)d＝nln 2. ②因為e＝eln 2＝2，＝ean－an－1＝eln 2＝2， 所以數(shù)列{e}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列． 所以e＋e＋…＋e＝2×＝2(2n－1)＝2n＋1－2. 　本例T(2)中，

20、解答第②問的關(guān)鍵是證明數(shù)列{e}是等比數(shù)列． 　1.已知{an}為等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，則數(shù)列{bn}的前n項和為(　　) A．3n＋1 B．3n－1 C. D. C　[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， ∵an(bn＋1－bn)＝an＋1， ∴bn＋1－bn＝q(常數(shù))， 即數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，公差為q. ∵b1＝2，b2＝5， ∴q＝3， ∴數(shù)列{bn}的前n項和為2n＋×3＝. 故選C.] 2．(2019·全國卷Ⅱ)已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝2，a3＝2a2＋16. (1)求{an}的通項公式； (2)設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列{bn}的前n項和． [解](1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0. 解得q＝－2(舍去)或q＝4. 因此{(lán)an}的通項公式為an＝2×4n－1＝22n－1. (2)由(1)得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，因此數(shù)列{bn}的前n項和為1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.