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1、 第二章 函數(shù)與基本初等函數(shù)I 第1講 函數(shù)及其表示 一、選擇題 1．下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝定義域相同的函數(shù)為 (　　)． A．y＝ B．y＝ C．y＝xex D．y＝ 解析　函數(shù)y＝的定義域?yàn)閧x|x≠0，x∈R}與函數(shù)y＝的定義域相同，故選D. 答案　D 2．若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，則函數(shù)解析式為y＝x2＋1，值域?yàn)閧1,3}的同族函數(shù)有 (　　)． A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 解析　由x2＋1＝1，得x＝0.由x2＋1＝3，得x＝±，所以函數(shù)的定義域可

2、以是{0，}，{0，－}，{0，，－}，故值域?yàn)閧1,3}的同族函數(shù)共有3個(gè)． 答案　C 3．若函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镸＝{x|－2≤x≤2}，值域?yàn)镹＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是(　　)． 解析　根據(jù)函數(shù)的定義，觀察得出選項(xiàng)B. 答案　B 4．已知函數(shù)f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，則abc的取值范圍是 (　　)． A．(1,10) B．(5,6) C．(10,12) D．(20,24) 解析　a，b，c互不相等，不妨設(shè)a

3、

4、x)＝x－x2， ∴f(x)＝ f(x)的圖象如圖所示，c≤－2或－1＜c＜－. 答案　B 6.設(shè)甲、乙兩地的距離為a(a>0)，小王騎自行車勻速從甲地到乙地用了20分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又勻速從乙地返回甲地用了30分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程y和其所用的時(shí)間x的函數(shù)的圖象為（ ） 解析 注意本題中選擇項(xiàng)的橫坐標(biāo)為小王從出發(fā)到返回原地所用的時(shí)間，縱坐標(biāo)是經(jīng)過的路程，故選D. 答案　D 二、填空題 7．已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出， x 1 2 3 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x) 3

5、2 1 則f[g(1)]的值為________，滿足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是________． 解析　∵g(1)＝3，∴f[g(1)]＝f(3)＝1，由表格可以發(fā)現(xiàn)g(2)＝2，f(2)＝3，∴f(g(2))＝3，g(f(2))＝1. 答案　1　2 8．已知函數(shù)f(x)＝則滿足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范圍是________． 解析　由題意有或解得－1

6、，須f(x)＞0，由f(x)的圖象可知, 當(dāng)x∈(2,8］時(shí)，f(x)＞0. 答案 (2,8］ 10．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)時(shí)總有x1＝x2，則稱f(x)為單函數(shù)．例如，函數(shù)f(x)＝2x＋1(x∈R)是單函數(shù)．下列命題： ①函數(shù)f(x)＝x2(x∈R)是單函數(shù)； ②若f(x)為單函數(shù)，x1，x2∈A且x1≠x2，則f(x1)≠f(x2)； ③若f：A→B為單函數(shù)，則對(duì)于任意b∈B，它至多有一個(gè)原象； ④函數(shù)f(x)在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則f(x)一定是單函數(shù)． 其中的真命題是________．(寫出所有真命題的編號(hào)) 解析　對(duì)①，

7、f(x)＝x2，則f(－1)＝f(1)，此時(shí)－1≠1，則f(x)＝x2不是單函數(shù)，①錯(cuò)；對(duì)②，當(dāng)x1，x2∈A，f(x1)＝f(x2)時(shí)有x1＝x2，與x1≠x2時(shí)，f(x1)≠f(x2)互為逆否命題，②正確；對(duì)③，若b∈B，b有兩個(gè)原象時(shí)．不妨設(shè)為a1，a2可知a1≠a2，但f(a1)＝f(a2)，與題中條件矛盾，故③正確；對(duì)④，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，但f(x)＝x2在R上就不是單函數(shù)，④錯(cuò)誤；綜上可知②③正確． 答案?、冖? 三、解答題 11．設(shè)函數(shù)f(x)＝g(x)＝f(x)－ax， x∈[1,3]，其中a∈R，記函數(shù)g(x)的最大值與最小值的差為h(a)．

8、 (1)求函數(shù)h(a)的解析式； (2)畫出函數(shù)y＝h(x)的圖象并指出h(x)的最小值． 解　(1)由題意知g(x)＝ 當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)g(x)是[1,3]上的增函數(shù)，此時(shí)g(x)max＝g(3)＝2－3a，g(x)min＝g(1)＝1－a，所以h(a)＝1－2a； 當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)g(x)是[1,3]上的減函數(shù)，此時(shí)g(x)min＝g(3)＝2－3a，g(x)max＝g(1)＝1－a，所以h(a)＝2a－1； 當(dāng)0≤a≤1時(shí)，若x∈[1,2]，則g(x)＝1－ax，有g(shù)(2)≤g(x)≤g(1)； 若x∈(2,3]，則g(x)＝(1－a)x－1，有g(shù)(2)

9、，因此g(x)min＝g(2)＝1－2a，而g(3)－g(1)＝(2－3a)－(1－a)＝1－2a， 故當(dāng)0≤a≤時(shí)，g(x)max＝g(3)＝2－3a，有h(a)＝1－a； 當(dāng)

10、3)即或x＜－1，解得1＜x＜9. 故該函數(shù)的定義域?yàn)?1,9)． 13. 設(shè)x≥0時(shí)，f(x)=2;x＜0時(shí)，f(x)=1，又規(guī)定：g(x)= (x＞0)，試寫出y=g(x)的解析式，并畫出其圖象. 解 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，x-1＜0,x-2＜0, ∴g(x)= =1. 當(dāng)1≤x＜2時(shí)，x-1≥0，x-2＜0, ∴g(x)= ; 當(dāng)x≥2時(shí)，x-1＞0，x-2≥0, ∴g(x)= =2. 故g(x)= 其圖象如圖所示. 14．二次函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)在區(qū)間[－1,1]上，函數(shù)y＝f(x)的圖象恒在直線y＝2x＋m的上方，試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解　(1)由f(0)＝1，可設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，故f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b，由題意，得解得 故f(x)＝x2－x＋1. (2)由題意，得x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1>m，對(duì)x∈[－1,1]恒成立．令g(x)＝x2－3x＋1，則問題可轉(zhuǎn)化為g(x)min>m，又因?yàn)間(x)在[－1,1]上遞減， 所以g(x)min＝g(1)＝－1，故m<－1.