《2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)： 第8章 第7節(jié) 拋物線》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)： 第8章 第7節(jié) 拋物線（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第七節(jié)　拋物線 [考綱傳真]　1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率).2.理解數(shù)形結(jié)合的思想.3.了解拋物線的實際背景及拋物線的簡單應(yīng)用． 1．拋物線的概念 平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線． 2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線．(　　) (2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點在

2、x軸上的拋物線，且其焦點坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x＝－.(　　) (3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．(　　) (4)AB為拋物線y2＝2px(p>0)的過焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝，y1y2＝－p2，弦長|AB|＝x1＋x2＋p.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)若拋物線y＝4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標(biāo)是(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D.0 B　[M到準(zhǔn)線的距離等于M到焦點的距離，又準(zhǔn)線方程為y＝－， 設(shè)M(x，y)，則y＋＝1，∴y＝.] 3．拋物線y＝x

3、2的準(zhǔn)線方程是(　　) A．y＝－1　　　　　　 B.y＝－2 C．x＝－1 D.x＝－2 A　[∵y＝x2，∴x2＝4y，∴準(zhǔn)線方程為y＝－1.] 4．(2017·西安質(zhì)檢)若拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2－y2＝1的一個焦點，則p＝__________. 2　[拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－，p>0，雙曲線的焦點為F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，所以－＝－，p＝2.] 5．(2016·浙江高考)若拋物線y2＝4x上的點M到焦點的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是________． 9　[設(shè)點M的橫坐標(biāo)為x0，則點M到準(zhǔn)線x＝－1的距離為x0＋1，由拋物線的定義知x0＋

4、1＝10，∴x0＝9， ∴點M到y(tǒng)軸的距離為9.] 拋物線的定義及應(yīng)用 　(1)(2014·全國卷Ⅰ)已知拋物線C：y2＝x的焦點為F，點A(x0，y0)是C上一點，|AF|＝x0，則x0＝(　　) A．1　　　　　　 B.2 C．4 D.8 (2)(2017·廣東汕頭調(diào)研)已知P是拋物線y2＝4x上的一個動點，Q是圓(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一個動點，N(1,0)是一個定點，則|PQ|＋|PN|的最小值為(　　) A．3 B.4 C．5 D.＋1 (1)A　(2)A　[(1)由y2＝x，知2p＝1，即p＝， 因此焦點F，準(zhǔn)線l的方程為x＝－. 設(shè)點

5、A(x0，y0)到準(zhǔn)線l的距離為d，則由拋物線的定義可知d＝|AF|. 從而x0＋＝x0，解得x0＝1. (2)由拋物線方程y2＝4x，可得拋物線的焦點F(1,0)，又N(1,0)，所以N與F重合． 過圓(x－3)2＋(y－1)2＝1的圓心M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MH，交圓于Q，交拋物線于P，則|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3.] [規(guī)律方法]　1.凡涉及拋物線上的點到焦點距離時，一般運用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理．如本例充分運用拋物線定義實施轉(zhuǎn)化，使解答簡捷、明快． 2．若P(x0，y0)為拋物線y2＝2px(p>0)上一點，由定義易得|PF|＝x0＋；若過焦點的弦AB

6、的端點坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長為|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出． [變式訓(xùn)練1]　(2017·鄭州調(diào)研)已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若＝4 ，則|QF|＝(　　) A. B. C．3 D.2 C　[∵＝4 ， ∴||＝4||， ∴＝. 如圖，過Q作QQ′⊥l，垂足為Q′，設(shè)l與x軸的交點為A，則|AF|＝4， ∴＝＝， ∴|QQ′|＝3. 根據(jù)拋物線定義可知|QF|＝|QQ′|＝3.] 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 　(1)點M(5,3)到拋物線

7、y＝ax2的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：01772323】 A．x2＝y(tǒng)　　　　 B.x2＝y(tǒng)或x2＝－y C．x2＝－y D.x2＝12y或x2＝－36y (2)(2016·全國卷Ⅰ)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為 (　　) A．2 B.4 C．6 D.8 (1)D　(2)B　[(1)將y＝ax2化為x2＝y(tǒng). 當(dāng)a>0時，準(zhǔn)線y＝－，則3＋＝6，∴a＝. 當(dāng)a<0時，準(zhǔn)線y＝－，則＝6，∴a＝－. ∴拋物線方程為x2＝12y或x2＝－36

8、y. (2)設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，圓的方程為x2＋y2＝r2. ∵|AB|＝4，|DE|＝2， 拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－， ∴不妨設(shè)A，D. ∵點A，D在圓x2＋y2＝r2上， ∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(負(fù)值舍去)． ∴C的焦點到準(zhǔn)線的距離為4.] [規(guī)律方法]　1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法： (1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，因為未知數(shù)只有p，所以只需一個條件確定p值即可． (2)因為拋物線方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式，因此求拋物線方程時，需先定位，再定量． 2．由拋物線的方程可以確定拋物線的開口方向、焦點位置、焦點到準(zhǔn)線的距離；從而進一步確定拋物線的焦點

9、坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程． [變式訓(xùn)練2]　(1)(2017·河南中原名校聯(lián)考)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，O為坐標(biāo)原點，M為拋物線上一點，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面積為4，則拋物線的方程為 (　　) A．y2＝6x B.y2＝8x C．y2＝16x D.y2＝ (2)若拋物線y2＝2px的焦點與橢圓＋＝1的右焦點重合，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為__________． (1)B　(2)x＝－2　[(1)設(shè)M(x，y)，因為|OF|＝，|MF|＝4|OF|， 所以|MF|＝2p， 由拋物線定義知x＋＝2p， 所以x＝p，所以y＝±p. 又△MFO的面積為4， 所以

10、××p＝4，解得p＝4(p＝－4舍去)． 所以拋物線的方程為y2＝8x. (2)由橢圓＋＝1，知a＝3，b＝， 所以c2＝a2－b2＝4，所以c＝2. 因此橢圓的右焦點為(2,0)， 又拋物線y2＝2px的焦點為. 依題意，得＝2， 于是拋物線的準(zhǔn)線x＝－2.] 直線與拋物線的位置關(guān)系 ?角度1　直線與拋物線的交點問題 　(2016·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y＝t(t≠0)交y軸于點M，交拋物線C：y2＝2px(p>0)于點P，M關(guān)于點P的對稱點為N，連接ON并延長交C于點H. (1)求； (2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點？說明理由．

11、 [解]　(1)如圖，由已知得M(0，t)，P. 又N為M關(guān)于點P的對稱點， 故N，2分 故直線ON的方程為y＝x， 將其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0, 解得x1＝0，x2＝.因此H. 所以N為OH的中點，即＝2.5分 (2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點．理由如下： 直線MH的方程為y－t＝x，即x＝(y－t).8分 代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y(tǒng)2＝2t， 即直線MH與C只有一個公共點， 所以除H以外，直線MH與C沒有其他公共點.12分 [規(guī)律方法]　1.(1)本題求解的關(guān)鍵是求出點N，H的坐標(biāo)．(2)第(2)

12、問將直線MH的方程與拋物線C的方程聯(lián)立，根據(jù)方程組的解的個數(shù)進行判斷． 2．(1)判斷直線與圓錐曲線的交點個數(shù)時，可直接求解相應(yīng)方程組得到交點坐標(biāo)，也可利用消元后的一元二次方程的判別式來確定，需注意利用判別式的前提是二次項系數(shù)不為0.(2)解題時注意應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及設(shè)而不求、整體代換的技巧． ?角度2　與拋物線弦長或中點有關(guān)的問題 　(2017·泰安模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，拋物線C與直線l1：y＝－x的一個交點的橫坐標(biāo)為8. 【導(dǎo)學(xué)號：01772324】 (1)求拋物線C的方程； (2)不過原點的直線l2與l1的垂直，且與拋物線交于不同的兩點A，

13、B，若線段AB的中點為P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面積． [解]　(1)易知直線與拋物線的交點坐標(biāo)為(8，－8)，2分 ∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴拋物線方程為y2＝8x.5分 (2)直線l2與l1垂直，故可設(shè)直線l2：x＝y(tǒng)＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸的交點為M.6分 由得y2－8y－8m＝0， Δ＝64＋32m>0，∴m>－2. y1＋y2＝8，y1y2＝－8m， ∴x1x2＝＝m2.8分 由題意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0， ∴m＝8或m＝0(舍)， ∴直線l2：x＝y(tǒng)＋8，M(8,0).10分

14、 故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2| ＝3＝24.12分 [規(guī)律方法]　1.有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式． 2．涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等方法． 3．涉及弦的中點、斜率時，一般用“點差法”求解． [思想與方法] 1．拋物線定義的實質(zhì)可歸結(jié)為“一動三定”：一個動點M，一個定點F(拋物線的焦點)，一條定直線l(拋物線的準(zhǔn)線)，一個定值1(拋物線的離心率)． 2．拋

15、物線的定義中指明了拋物線上點到焦點的距離與到準(zhǔn)線距離的等價性，故二者可相互轉(zhuǎn)化，這一轉(zhuǎn)化思想在解題中有著重要作用． 3．拋物線的焦點弦：設(shè)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點的直線與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則： (1)y1y2＝－p2，x1x2＝； (2)若直線AB的傾斜角為θ，則|AB|＝＝x1＋x2＋p. [易錯與防范] 1．認(rèn)真區(qū)分四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程． (1)區(qū)分y＝ax2(a≠0)與y2＝2px(p>0)，前者不是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． (2)求標(biāo)準(zhǔn)方程要先確定形式，必要時要進行分類討論，標(biāo)準(zhǔn)方程有時可設(shè)為y2＝mx或x2＝my(m≠0)． 2．直線與拋物線結(jié)合的問題，不要忘記驗證判別式． 3．拋物線的定義中易忽視“定點不在定直線上”這一條件，當(dāng)定點在定直線上時，動點的軌跡是過定點且與直線垂直的直線．當(dāng)直線與拋物線有一個公共點，并不表明直線與拋物線相切．