《高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第3章 第2節(jié) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第3章 第2節(jié) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 Word版含解析（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第二節(jié)　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 [最新考綱]　1.了解函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不會超過三次)． 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 條件 結(jié)論 函數(shù)y＝f(x)在 區(qū)間(a，b)上可導(dǎo) f′(x)＞0 f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增 f′(x)＜0 f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減 f′(x)＝0 f(x)在(a，b)內(nèi)是常數(shù)函數(shù) 1．在某區(qū)間內(nèi)f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件． 2．可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是對

2、任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，那么一定有f′(x)＞0.(　　) (2)如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性．(　　) (3)在(a，b)內(nèi)f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限個，則f(x)在(a，b)內(nèi)是減函數(shù)．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√ 二、教材改編 1．如圖是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖像，則下面判斷正確的是(　　)

3、 A．在區(qū)間(－3,1)上f(x)是增函數(shù) B．在區(qū)間(1,3)上f(x)是減函數(shù) C．在區(qū)間(4,5)上f(x)是增函數(shù) D．在區(qū)間(3,5)上f(x)是增函數(shù) C　[由圖像可知，當(dāng)x∈(4,5)時，f′(x)＞0，故f(x)在(4,5)上是增函數(shù)．] 2．函數(shù)f(x)＝cos x－x在(0，π)上的單調(diào)性是(　　) A．先增后減　　　　　 B．先減后增 C．增函數(shù) D．減函數(shù) D　[因為f′(x)＝－sin x－1＜0在(0，π)上恒成立， 所以f(x)在(0，π)上是減函數(shù)，故選D.] 3．函數(shù)f(x)＝x－ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為________． (0,1

4、]　[函數(shù)f(x)的定義域為{x|x＞0}，由f′(x)＝1－≤0，得0＜x≤1， 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1]．] 4．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的最大值是________． 3　[f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2， 又因為x∈[1，＋∞ )，所以a≤3，即a的最大值是3.] 考點1　不含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性 　求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟 (1)確定函數(shù)f(x)的定義域． (2)求f′(x)． (3)在定義域內(nèi)解不等式f′(x)＞0，得單調(diào)遞增區(qū)間． (4)在定義域內(nèi)解不等式f′(x)＜0，得單調(diào)遞減區(qū)間． 　1.函數(shù)f

5、(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上是(　　) A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減 C．在(0，π)上增，在(π，2π)上減 D．在(0，π)上減，在(π，2π)上增 A　[f′(x)＝1－cos x＞0在(0,2π)上恒成立，所以在(0,2π)上單調(diào)遞增．] 2．函數(shù)y＝x2－ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為(　　) A．(－1,1]　　　　　 B．(0,1] C．[1，＋∞) D．(0，＋∞) B　[∵y＝x2－ln x， ∴x∈(0，＋∞)，y′＝x－＝. 由y′≤0可解得0＜x≤1， ∴y＝x2－ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1]，故選B.] 3．已知定義在區(qū)間(－

6、π，π)上的函數(shù)f(x)＝xsin x＋cos x，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________． 和　[f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x， 令f′(x)＝xcos x＞0， 則其在區(qū)間(－π，π)上的解集為和， 即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和.] 　求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，一定要樹立函數(shù)的定義域優(yōu)先的原則，否則極易出錯．如T2. 考點2　含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性 　研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，需注意依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進(jìn)行分類討論． (1)討論分以下四個方面 ①二次項系數(shù)討論； ②根的有無討論； ③根的大小討論； ④根在不在定義域內(nèi)討論．

7、(2)討論時要根據(jù)上面四種情況，找準(zhǔn)參數(shù)討論的分類． (3)討論完畢須寫綜述． 　已知函數(shù)f(x)＝x2－2aln x＋(a－2)x，當(dāng)a＜0時，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性． [解]　函數(shù)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝x－＋a－2＝. ①當(dāng)－a＝2，即a＝－2時，f′(x)＝≥0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． ②當(dāng)0＜－a＜2，即－2＜a＜0時，∵0＜x＜－a或x＞2時，f′(x)＞0；－a＜x＜2時，f′(x)＜0， ∴f(x)在(0，－a)，(2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－a,2)上單調(diào)遞減． ③當(dāng)－a＞2，即a＜－2時， ∵0＜x＜2或x＞－a時，f′(x)＞0；

8、2＜x＜－a時，f′(x)＜0， ∴f(x)在(0,2)，(－a，＋∞)上單調(diào)遞增，在(2，－a)上單調(diào)遞減． 綜上所述，當(dāng)－2＜a＜0時，f(x)在(0，－a)，(2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－a,2)上單調(diào)遞減；當(dāng)a＝－2時，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a＜－2時，f(x)在(0,2)，(－a，＋∞)上單調(diào)遞增，在(2，－a)上單調(diào)遞減． 　含參數(shù)的問題，應(yīng)就參數(shù)范圍討論導(dǎo)數(shù)大于(或小于)零的不等式的解，在劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，要在函數(shù)定義域內(nèi)確定導(dǎo)數(shù)為零的點和函數(shù)的間斷點． 　已知函數(shù)f(x)＝ln(ex＋1)－ax(a＞0)，討論函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間． [解]　f

9、′(x)＝－a＝1－－a. ①當(dāng)a≥1時，f′(x)＜0恒成立， ∴當(dāng)a∈[1，＋∞)時， 函數(shù)y＝f(x)在R上單調(diào)遞減． ②當(dāng)0＜a＜1時， 由f′(x)＞0，得(1－a)(ex＋1)＞1， 即ex＞－1＋，解得x＞ln ， 由f′(x)＜0，得(1－a)(ex＋1)＜1， 即ex＜－1＋，解得x＜ln . ∴當(dāng)a∈(0,1)時， 函數(shù)y＝f(x)在上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減． 綜上，當(dāng)a∈[1，＋∞)時，f(x)在R上單調(diào)遞減； 當(dāng)a∈(0,1)時，f(x)在上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減． 考點3　已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù) 　根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般方法

10、 (1)利用集合間的包含關(guān)系處理：y＝f(x)在(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集． (2)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上，f′(x)不恒為零，應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解． (3)函數(shù)在某個區(qū)間存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題． 　已知函數(shù)f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)． (1)若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍； (2)若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍． [解]　(1)h(x)＝l

11、n x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)， 所以h′(x)＝－ax－2，由于h(x)在(0，＋∞)上存在單調(diào)遞減區(qū)間， 所以當(dāng)x∈(0，＋∞)時，－ax－2＜0有解， 即a＞－有解． 設(shè)G(x)＝－，所以只要a＞G(x)min即可． 而G(x)＝2－1，所以G(x)min＝－1. 所以a＞－1且a≠0，即a的取值范圍是(－1,0)∪(0，＋∞)． (2)由h(x)在[1,4]上單調(diào)遞減得， 當(dāng)x∈[1,4]時，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立， 即a≥－恒成立． 所以a≥G(x)max，而G(x)＝2－1， 因為x∈[1,4]，所以∈， 所以G(x)max＝－(此時x＝4

12、)， 所以a≥－且a≠0，即a的取值范圍是∪(0，＋∞)． [母題探究] 1．(變問法)若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍． [解]　由h(x)在[1,4]上單調(diào)遞增得，當(dāng)x∈[1,4]時，h′(x)≥0恒成立， 所以當(dāng)x∈[1,4]時，a≤－恒成立， 又當(dāng)x∈[1,4]時，min＝－1(此時x＝1)， 所以a≤－1且a≠0，即a的取值范圍是(－∞，－1]． 2．(變問法)若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍． [解]　h(x)在[1,4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間， 則h′(x)＜0在[1,4]上有

13、解， 所以當(dāng)x∈[1,4]時，a＞－有解， 又當(dāng)x∈[1,4]時，min＝－1， 所以a＞－1且a≠0，即a的取值范圍是(－1,0)∪(0，＋∞)． 3．(變條件)若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上不單調(diào)，求a的取值范圍． [解]　因為h(x)在[1,4]上不單調(diào)， 所以h′(x)＝0在(1,4)上有解， 即a＝－有解，令m(x)＝－，x∈(1,4)， 則－1＜m(x)＜－， 所以實數(shù)a的取值范圍為. 　(1)f(x)在D上單調(diào)遞增(減)，只要滿足f′(x)≥0(≤0)在D上恒成立即可．如果能夠分離參數(shù)，則可分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為參數(shù)值與函數(shù)最值之間的關(guān)系． (2

14、)二次函數(shù)在區(qū)間D上大于零恒成立，討論的標(biāo)準(zhǔn)是二次函數(shù)的圖像的對稱軸與區(qū)間D的相對位置，一般分對稱軸在區(qū)間左側(cè)、內(nèi)部、右側(cè)進(jìn)行討論． 　已知函數(shù)f(x)＝－2x2＋ln x在區(qū)間[1,2]上為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍． [解]　f′(x)＝－4x＋，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為單調(diào)函數(shù)，即在[1,2]上，f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0， 即－4x＋≥0或－4x＋≤0在[1,2]上恒成立， 即≥4x－或≤4x－. 令h(x)＝4x－，因為函數(shù)h(x)在[1,2]上單調(diào)遞增， 所以≥h(2)或≤h(1)，即≥或≤3， 解得a＜0或0＜a≤或a≥1. 考點

15、4　利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式 　用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式，常常要構(gòu)造新函數(shù)，把比較大小或求解不等式的問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的問題，再由單調(diào)性比較大小或解不等式． 常見構(gòu)造的輔助函數(shù)形式有： (1)f(x)＞g(x)→F(x)＝f(x)－g(x)； (2)xf′(x)＋f(x)→[xf(x)]′； (3)xf′(x)－f(x)→′； (4)f′(x)＋f(x)→[exf(x)]′； (5)f′(x)－f(x)→′. 　(1)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若對任意x＞0都有2f(x)＋xf′(x)＞0成立，則(　　) A．4

16、f(－2)＜9f(3) B．4f(－2)＞9f(3) C．2f(3)＞3f(－2) D．3f(－3)＜2f(－2) (2)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(2)＝0，當(dāng)x＞0時，有＜0恒成立，則不等式x2f(x)＞0的解集是________． (1)A　(2)(－∞，－2)∪(0,2)　[(1)根據(jù)題意，令g(x)＝x2f(x)，其導(dǎo)數(shù)g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，又對任意x＞0都有2f(x)＋xf′(x)＞0成立，則當(dāng)x＞0時，有g(shù)′(x)＝x(2f(x)＋xf′(x))＞0恒成立，即函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，又由函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，則f

17、(－x)＝f(x)，則有g(shù)(－x)＝(－x)2f(－x)＝x2f(x)＝g(x)，即函數(shù)g(x)也為偶函數(shù)，則有g(shù)(－2)＝g(2)，且g(2)＜g(3)，則有g(shù)(－2)＜g(3)，即有4f(－2)＜9f(3)．故選A. (2)令φ(x)＝，∵當(dāng)x＞0時，′＜0， ∴φ(x)＝在(0，＋∞)上為減函數(shù)，又φ(2)＝0， ∴在(0，＋∞)上，當(dāng)且僅當(dāng)0＜x＜2時，φ(x)＞0， 此時x2f(x)＞0. 又f(x)為奇函數(shù)，∴h(x)＝x2f(x)也為奇函數(shù)． 故x2f(x)＞0的解集為(－∞，－2)∪(0,2)．] 　如本例(1)已知條件“2f(x)＋xf′(x)＞0”，需構(gòu)造函數(shù)

18、g(x)＝x2f(x)，求導(dǎo)后得x＞0時，g′(x)＞0，即函數(shù)g(x)在(0，＋∞) 上為增函數(shù)，從而問題得以解決．而本例(2)則需構(gòu)造函數(shù)φ(x)＝解決． 　1.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f′(x)＞f(x)恒成立，若x1＜x2，則ex1f(x2)與ex2f(x1)的大小關(guān)系為(　　) A．e x1f(x2)＞e x2f(x1) B．e x1f(x2)＜e x2f(x1) C．e x1f(x2)＝e x2f(x1) D．e x1f(x2)與e x2f(x1)的大小關(guān)系不確定 A　[設(shè)g(x)＝，則g′(x)＝＝，由題意得g′(x)＞0，所以g(x)在R上單調(diào)遞增，當(dāng)x1＜x2時，g(x1)＜g(x2)，即＜，所以e x1f(x2)＞e x2f(x1)．] 2．已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(1)＝1，且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＜，則不等式f(x2)＜＋的解集為________． (－∞，－1)∪(1，＋∞)　[由題意構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－x，則F′(x)＝f′(x)－.因為f′(x)＜，所以F′(x)＝f′(x)－＜0，即函數(shù)F(x)在R上單調(diào)遞減． 因為f(x2)＜＋，f(1)＝1，所以f(x2)－＜f(1)－，所以F(x2)＜F(1)，又函數(shù)F(x)在R上單調(diào)遞減，所以x2＞1，即x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]