《2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)： 第5章 第3節(jié) 課時分層訓(xùn)練30》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)： 第5章 第3節(jié) 課時分層訓(xùn)練30（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 課時分層訓(xùn)練(三十) 等比數(shù)列及其前n項和 A組　基礎(chǔ)達標 (建議用時：30分鐘) 一、選擇題 1．對任意等比數(shù)列{an}，下列說法一定正確的是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：01772184】 A．a(chǎn)1，a3，a9成等比數(shù)列 B．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列 C．a(chǎn)2，a4，a8成等比數(shù)列 D．a(chǎn)3，a6，a9成等比數(shù)列 D　[由等比數(shù)列的性質(zhì)得，a3·a9＝a≠0，因此a3，a6，a9一定成等比數(shù)列，選D.] 2．(2016·重慶巴蜀中學(xué)3月模擬)我國古代有用一首詩歌形式提出的數(shù)列問題：遠望巍巍塔七層，紅燈向下成倍增．共燈三百八十一，請問塔頂幾盞燈？ (　　) 【導(dǎo)學(xué)

2、號：01772185】 A．5　　　　　　　　　 B.4 C．3 D.2 C　[設(shè)塔頂有x盞燈，則由題意知＝381，解得x＝3.故選C.] 3．(2016·廣東肇慶三模)在等比數(shù)列{an}中，Sn表示前n項和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，則公比q等于(　　) A．－3 B.－1 C．1 D.3 D　[兩式相減得a4－a3＝2a3，從而求得＝3，即q＝3.] 4．(2015·全國卷Ⅱ)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，則a3＋a5＋a7＝(　　) A．21 B.42 C．63 D.84 B　[∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴

3、3＋3q2＋3q4＝21. ∴1＋q2＋q4＝7，解得q2＝2或q2＝－3(舍去)． ∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故選B.] 5．(2017·合肥二次質(zhì)檢)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2＝12，a3·a5＝4，則下列說法正確的是(　　) A．{an}是單調(diào)遞減數(shù)列 B．{Sn}是單調(diào)遞減數(shù)列 C．{a2n}是單調(diào)遞減數(shù)列 D．{S2n}是單調(diào)遞減數(shù)列 C　[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a3·a5＝a2q·a2q3＝4，又因為a2＝12，所以q4＝，則q2＝，所以數(shù)列{a2n}是首項為12，公比為的等比數(shù)列，則數(shù)列{a2n}為單

4、調(diào)遞減數(shù)列，故選C.] 二、填空題 6．若三個正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，其中a＝5＋2，c＝5－2，則b＝__________. 【導(dǎo)學(xué)號：01772186】 1　[∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝a·c＝(5＋2)(5－2)＝1.又b>0，∴b＝1.] 7．(2016·浙江高考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝________，S5＝________. 1　121　[∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1， ∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋＝3， ∴數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列， ∴＝3. 又S2＝4，∴

5、S1＝1，∴a1＝1， ∴S5＋＝×34＝×34＝， ∴S5＝121.] 8．(2017·深圳二次調(diào)研)《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學(xué)的古典名題：“今有垣厚若干尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢，各穿幾何？”題意是“有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻，大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半．”如果墻足夠厚，Sn為前n天兩只老鼠打洞長度之和，則Sn＝__________尺． 2n－＋1　[依題意大老鼠每天打洞的距離構(gòu)成以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以前n天大老鼠打洞的距離共為＝2n－1.同理可得前n天小老鼠打洞

6、的距離共為＝2－，所以Sn＝2n－1＋2－＝2n－＋1.] 三、解答題 9．數(shù)列{bn}滿足：bn＋1＝2bn＋2，bn＝an＋1－an，且a1＝2，a2＝4. (1)求數(shù)列{bn}的通項公式； (2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn. [解]　(1)由bn＋1＝2bn＋2，得bn＋1＋2＝2(bn＋2)，2分 ∴＝2, 又b1＋2＝a2－a1＋2＝4， ∴數(shù)列{bn＋2}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列． ∴bn＋2＝4·2n－1＝2n＋1，∴bn＝2n＋1－2.5分 (2)由(1)知，an－an－1＝bn－1＝2n－2(n≥2)， ∴an－1－an－2＝2n－1－2(n>2

7、)， …，a2－a1＝22－2， ∴an－2＝(22＋23＋…＋2n)－2(n－1)，9分 ∴an＝(2＋22＋23＋…＋2n)－2n＋2＝－2n＋2＝2n＋1－2n. ∴Sn＝－＝2n＋2－(n2＋n＋4).12分 10．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝4an－3(n∈N*)． (1)證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列； (2)若數(shù)列{bn}滿足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求數(shù)列{bn}的通項公式． [解]　(1)證明：依題意Sn＝4an－3(n∈N*)， n＝1時，a1＝4a1－3，解得a1＝1.2分 因為Sn＝4an－3，則Sn－1＝4an－1－

8、3(n≥2)， 所以當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1， 整理得an＝an－1. 又a1＝1≠0，所以{an}是首項為1，公比為的等比數(shù)列.5分 (2)由(1)知an＝n－1， 由bn＋1＝an＋bn(n∈N*)， 得bn＋1－bn＝n－1.7分 可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1) ＝2＋ ＝3·n－1－1(n≥2).10分 當n＝1時也滿足， 所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝3·n－1－1(n∈N*).12分 B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．(2016·安徽安慶二模)數(shù)列{an}滿足：an＋1＝λ

9、an－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若數(shù)列{an－1}是等比數(shù)列，則λ的值等于(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：01772187】 A．1　　　　　　　　　　 B.－1 C. D.2 D　[由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ.由于數(shù)列{an－1}是等比數(shù)列，所以＝1，得λ＝2.] 2．(2016·廣東肇慶三模)設(shè)數(shù)列{an}(n＝1,2,3，…)的前n項和Sn滿足Sn＋a1＝2an，且a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列，則a1＋a5＝__________. 34　[由Sn＋a1＝2an，得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．從而

10、a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.又因為a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列，所以a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，所以數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故an＝2n，所以a1＋a5＝2＋25＝34.] 3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)． (1)求證：{an＋1＋2an}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項公式； [解]　(1)證明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)， ∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2).2分 ∵a1＝5，a2＝5， ∴a2＋2a1＝15， ∴an＋2an－1≠0(n≥2)， ∴＝3(n≥2)， ∴數(shù)列{an＋1＋2an}是以15為首項，3為公比的等比數(shù)列.6分 (2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n， 則an＋1＝－2an＋5×3n，8分 ∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)． 又∵a1－3＝2，∴an－3n≠0， ∴{an－3n}是以2為首項，－2為公比的等比數(shù)列.10分 ∴an－3n＝2×(－2)n－1， 即an＝2×(－2)n－1＋3n.12分