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1、 數(shù) 學(xué) N單元 選修4系列 N1 選修4-1 幾何證明選講 15．N1[2014·廣東卷] (幾何證明選講選做題)如圖1-1所示，在平行四邊形ABCD中，點E在AB上且EB＝2AE，AC與DE交于點F，則＝________． 圖1-1 15．3　[解析] 本題考查相似三角形的性質(zhì)定理，周長比等于相似比．∵EB＝2AE，∴AE＝AB＝CD.又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴△AEF～△CDF，∴＝＝3. 21．N1[2014·江蘇卷] A．[選修4-1：幾何證明選講] 如圖1-7所示，AB是圓O的直徑，C，D是圓O上

2、位于AB異側(cè)的兩點． 證明：∠OCB＝∠D. 圖1-7 證明：因為B，C是圓O上的兩點，所以O(shè)B＝OC， 所以∠OCB＝∠B. 又因為C，D是圓O上位于AB異側(cè)的兩點， 所以∠B，∠D為同弧所對的兩個圓周角， 所以∠B＝∠D，因此∠OCB＝∠D. 21. N2[2014·江蘇卷] B．[選修4-2：矩陣與變換] 已知矩陣A＝，B＝，向量α＝，x，y為實數(shù)．若Aα＝Bα，求x＋y的值． 解：由已知得，Aα＝＝)， Bα＝　)))＝)． 因為Aα＝Bα，所以)＝)． 故解得 所以x＋y＝. 22．N1[2014·遼寧卷] 選修4-1：幾何證明選講 圖1-6

3、 如圖1-6，EP交圓于E，C兩點，PD切圓于D，G為CE上一點且PG＝PD，連接DG并延長交圓于點A，作弦AB垂直EP，垂足為F. (1)求證：AB為圓的直徑； (2)若AC＝BD，求證：AB＝ED. 22．證明：(1)因為PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD. 由于PD為切線，故∠PDA＝∠DBA. 又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA， 所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD， 從而∠BDA＝∠PFA. 因為AF⊥EP，所以∠PFA＝90°， 所以∠BDA＝90°，故AB為圓的直徑． (2)連接BC，DC. 由于AB是直徑，故∠BDA＝∠ACB＝9

4、0°. 在Rt△BDA與Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，從而Rt△BDA≌Rt△ACB，所以∠DAB＝∠CBA. 又因為∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB. 因為AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE為直角． 所以ED為直徑．又由(1)知AB為圓的直徑，所以ED＝AB. 22．N1[2014·新課標(biāo)全國卷Ⅱ] 選修4-1：幾何證明選講 如圖1-5，P是⊙O外一點，PA是切線，A為切點，割線PBC與⊙O相交于點B，C，PC＝2PA，D為PC的中點，AD的延長線交⊙O于點E.證明： (1)BE＝EC； (2)AD·DE＝2PB2. 圖1-5 22

5、．證明：(1)連接AB，AC.由題設(shè)知PA＝PD， 故∠PAD＝∠PDA. 因為∠PDA＝∠DAC＋∠DCA， ∠PAD＝∠BAD＋∠PAB， ∠DCA＝∠PAB， 所以∠DAC＝∠BAD，從而BE＝EC. 因此BE＝EC. (2)由切割線定理得PA2＝PB·PC. 因為PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB. 由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC， 所以AD·DE＝2PB2. 22．N1[2014·全國新課標(biāo)卷Ⅰ] 選修4－1：幾何證明選講 如圖1-5，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB的延長線與DC的延長線交于點E，且CB＝CE. 圖1-5

6、(1)證明：∠D＝∠E； (2)設(shè)AD不是⊙O的直徑，AD的中點為M，且MB＝MC，證明：△ADE為等邊三角形． 22．證明：(1)由題設(shè)知A，B，C，D四點共圓， 所以∠D＝∠CBE. 由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E. (2)設(shè)BC的中點為N，連接MN，則由MB＝MC知MN⊥BC，故點O在直線MN上． 又AD不是⊙O的直徑，M為AD的中點， 故OM⊥AD，即MN⊥AD， 所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE. 又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E. 由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE為等邊三角形． 15．N1 [2014·陜西卷] B.(幾何證明選做題)如圖1-3

7、所示，△ABC中，BC＝6，以BC為直徑的半圓分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，若AC＝2AE，則EF＝________． 圖1-3 15．　3　 [解析]由題目中所給圖形的位置關(guān)系，可知∠AEF＝∠ACB，又∠A＝∠A，所以△AEF∽△ACB，所以＝.又AC＝2AE，BC＝6，所以EF＝3. 7．N1[2014·天津卷] 如圖1-1所示，△ABC是圓的內(nèi)接三角形，∠BAC的平分線交圓于點D，交BC于點E，過點B的圓的切線與AD的延長線交于點F.在上述條件下，給出下列四個結(jié)論：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.則所有正確結(jié)論的序號

8、是(　　) A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 7．D　[解析] ∵∠DBC＝∠DAC，∠DBF＝∠DAB，且∠DAC＝∠DAB，∴∠DBC＝∠DBF，∴BD平分∠CBF，∴△ABF∽△BDF，∴＝＝， ∴AB·BF＝AF·BD，BF2＝AF·DF.故①②④正確．由相交弦定理得AE·DE＝BE·CE，故③錯誤． N2 選修4-2 矩陣 N3 選修4-4 參數(shù)與參數(shù)方程 14．N3[2014·廣東卷] (坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系中，曲線C1與C2的方程分別為2ρcos2θ＝sin θ與ρcos θ＝1.以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，

9、極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則曲線C1與C2交點的直角坐標(biāo)為________． 14．(1，2)　[解析] 本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化以及曲線交點坐標(biāo)的求解． 曲線C1的直角坐標(biāo)方程是2x2＝y(tǒng)，曲線C2的直角坐標(biāo)是x＝1.聯(lián)立方程C1與C2得 解得所以交點的直角坐標(biāo)是(1，2)． 12．N3[2014·湖南卷] 在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C：(t為參數(shù))的普通方程為________． 12．x－y－1＝0　[解析] 依題意，消去參數(shù)可得x－2＝y(tǒng)－1，即x－y－1＝0. 21. N3[2014·江蘇卷] C．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在平面直角坐

10、標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點，求線段AB的長． 解：將直線l的參數(shù)方程代入拋物線方程y2＝4x， 得＝4， 解得t1＝0，t2＝－8 ， 所以AB＝|t1－t2|＝8 . 23．N3[2014·遼寧卷] 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 將圓x2＋y2＝1上每一點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C. (1)寫出C的參數(shù)方程； (2)設(shè)直線l：2x＋y－2＝0與C的交點為P1，P2，以 坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程． 23．解：(1)設(shè)(

11、x1，y1)為圓上的點，經(jīng)變換為C上的點(x，y)，依題意，得由x＋y＝1得x2＋＝1，即曲線C的方程為x2＋＝1. 故C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (2)由解得或 不妨設(shè)P1(1，0)，P2(0，2)，則線段P1P2的中點坐標(biāo)為，所求直線斜率k＝，于是所求直線方程為y－1＝，即2x－4y＝－3， 化為極坐標(biāo)方程，得2 ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝. 23．N3[2014·新課標(biāo)全國卷Ⅱ] 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ，θ∈. (1)求C的參數(shù)方程； (

12、2)設(shè)點D在C上，C在D處的切線與直線l：y＝x＋2垂直，根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo)． 23．解：(1)C的普通方程為 (x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)． 可得C的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)，0≤t≤π)． (2)設(shè)D(1＋cos t，sin t)．由(1)知C是以G(1，0)為圓心，1為半徑的上半圓．因為C在點D處的切線與l垂直，所以直線GD與l的斜率相同，tan t＝，t＝. 故D的直角坐標(biāo)為，即. 23．N3[2014·全國新課標(biāo)卷Ⅰ] 選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知曲線C：＋＝1，直線l：(t為參數(shù))． (1)寫出曲線C的參數(shù)方程、直線l的普通方程

13、； (2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值． 23．解：(1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))， 直線l的普通方程為2x＋y－6＝0. (2)曲線C上任意一點P(2cos θ，3sin θ)到直線l的距離d＝|4cos θ＋3sin θ－6|， 則|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|， 其中α為銳角，且tan α＝. 當(dāng)sin(θ＋α)＝－1時，|PA|取得最大值， 最大值為. 當(dāng)sin(θ＋α)＝1時，|PA|取得最小值， 最小值為. 15．N3 [2014·陜西卷] C.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系中，點

14、到直線ρ sin＝1的距離是________． 15． 1　[解析]易知點的直角坐標(biāo)為(，1)，直線ρsin＝1的直角坐標(biāo)方程為x－y＋2＝0.由點到直線距離公式，得d＝＝1. N4 選修4-5 不等式選講 21. N4[2014·江蘇卷] D．[選修4-5：不等式選講] 已知x>0，y>0，證明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy. 證明：因為x>0，y>0， 所以1＋x＋y2≥3>0， 1＋x2＋y≥3>0， 故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy. 15．N4[2014·江西卷] x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，則x

15、＋y的取值范圍為________． 15．[0，2]　[解析] ?|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≥2?|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|＝2???0≤x＋y≤2. 24．N4[2014·遼寧卷] 選修4-5：不等式選講 設(shè)函數(shù)f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.記f(x)≤1的解集為M，g(x)≤4的解集為N. (1)求M； (2)當(dāng)x∈M∩N時，證明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤. 24．解：(1)f(x)＝ 當(dāng)x≥1時，由f(x)＝3x－3≤1得x≤， 故1≤x≤； 當(dāng)x＜1時，由f(x)＝1－x≤1得x≥0， 故0≤x＜1.

16、 所以f(x)≤1的解集M＝. (2)由g(x)＝16x2－8x＋1≤4得16≤4， 解得－≤x≤， 因此N＝， 故M∩N＝. 當(dāng)x∈M∩N時，f(x)＝1－x，于是 x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝xf(x)＝ x(1－x)＝－≤. 24．N4[2014·新課標(biāo)全國卷Ⅱ] 選修4-5：不等式選講 設(shè)函數(shù)f(x)＝＋|x－a|(a＞0)． (1)證明：f(x)≥2； (2)若f(3)＜5，求a的取值范圍． 24．解：(1)證明：由a>0 ，有f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2， 所以f(x)≥2. (2)f(3)＝＋|3－a|. 當(dāng)a

17、>3時，f(3)＝a＋，由f(3)<5得36，從而不存在a，b，使2a＋3b＝6. 15

18、．N4 [2014·陜西卷] A.(不等式選做題)設(shè)a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，則的最小值為________． 15．A.　 [解析]由柯西不等式可知(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2，即5(m2＋n2)≥25，當(dāng)且僅當(dāng)an＝bm時，等號成立，所以 ≥. 1．[2014·長沙模擬] 已知點P所在曲線的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ，點Q所在曲線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則|PQ|的最小值是(　　) A．2 B.＋1 C．1 D.－1 1．D　[解析] 易知點P在圓x2＋y2－2x＝0上，圓心為(1，0)，半徑為1，點Q在直線2x－y＋2＝0

19、上，故|PQ|的最小值是－1＝－1. 4．[2014·株洲模擬] 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸)中，直線C2的方程為ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，則曲線C1與C2的交點的個數(shù)為________． 4．2　[解析] 由題意，曲線C1的參數(shù)方程(α為參數(shù))可化為一般方程＋＝1，直線C2的極坐標(biāo)方程ρ·(cos θ－sin θ)＋1＝0可化為普通方程x－y＋1＝0.聯(lián)立兩個方程，消去y可得＋＝1，即7x2＋8x－8＝0.因為Δ＝82＋4×7×8>0，所以直線與橢圓相交，且有兩

20、個交點． 5．[2014·湖南長郡中學(xué)月考] 在極坐標(biāo)系中，圓C1的方程為ρ＝4 cos，以極點為坐標(biāo)原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，已知圓C2的參數(shù)方程為(a＞0，θ為參數(shù))．若圓C1與圓C2外切，則實數(shù)a＝____________． 5.　[解析] 依題意，ρ＝4 cosθ－＝4cos θ＋4sin θ，化成普通方程為x2＋y2＝4x＋4y，即(x－2)2＋(y－2)2＝8，即該圓的圓心為C1(2，2)，半徑r1＝2 .將(a>0，θ為參數(shù))化成普通方程為(x＋1)2＋(y＋1)2＝a2，即圓心為C2(－1，－1)，半徑r2＝a.由丙點間兩圓外切可得|C1C2|＝3 ＝

21、2 ＋a，所以a＝. 6．[2014·衡陽模擬] 已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ.若以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，則曲線C的參數(shù)方程為________． 6.(θ為參數(shù))　[解析] 由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ，可得其普通方程為x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，所以曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 7．[2014·湖南雅禮中學(xué)月考] 已知極坐標(biāo)系下曲線ρ＝4sin θ表示圓，則點A到圓心的距離為____________． 7．2 　[解析] 將曲線ρ＝4sin θ化成普通方程為x2＋y2＝4y，則該圓的圓心為(0，2)，而點A的直角坐標(biāo)為(2 ，2)，由兩點間距離公式可得d＝＝2 . 8．[2014·湖南十三校聯(lián)考] 以直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ，若直線l經(jīng)過圓C的圓心，則常數(shù)a的值為________． 8．1　[解析] 將直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程為y＝x－a，將圓C的極坐標(biāo)方程ρ＝2cos θ化為普通方程為x2＋y2＝2x，則圓心為(1，0)，代入直線y＝x－a可得a＝1.