《教師招聘考試數學專業(yè)知識通版講義[共189頁]》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《教師招聘考試數學專業(yè)知識通版講義[共189頁]（192頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第一部分 小學數學 第一章 數與代數 第一節(jié) 數的認識 一、基礎知識 （一）整數： 1.整數的讀法和寫法 例：“3121700”讀作：三百一十二萬一千七百 2.整數的近似數 “四舍五入” 3.整數的運算 加法： 減法： 乘法： 除法： 四則混合運算： 4.自然數： 5.數的整除： ①整數a除以整數b(b≠0），除得的商是整數而沒有余數，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a。 ②如果數a能被數b（b≠0）整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的約數（或a的因數）。倍數和約數是相互依存的。 ③個位上是0、2、4、6、8的數，都能被2整除。 個位上是

2、0或5的數，都能被5整除。 一個數的各位上的數的和能被3整除，這個數就能被3整除。 一個數各位數上的和能被9整除，這個數就能被9整除。 能被3整除的數不一定能被9整除，但是能被9整除的數一定能被3整除。 一個數的末兩位數能被4（或25）整除，這個數就能被4（或25）整除一個數的末三位數能被8（或125）整除，這個數就能被8（或125）整除。 ④偶數、奇數 ⑤一個數，如果只有1和它本身兩個約數，這樣的數叫做質數（或素數） ⑥一個數，如果除了1和它本身還有別的約數，這樣的數叫做合數。 注意：1不是質數也不是合數，自然數除了1外，不是質數就是合數。 ⑦每個合數都可以寫成幾個質數

3、相乘的形式。其中每個質數都是這個合數的因數，叫做這個合數的質因數。 把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。 ⑧幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數。其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。 ⑨公約數只有1的兩個數，叫做互質數，成互質關系的兩個數，有下列幾種情況：1和任何自然數互質；相鄰的兩個自然數互質；兩個不同的質數互質。當合數不是質數的倍數時，這個合數和這個質數互質。 ⑩幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數，其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數。 （二）小數： 1.小數的讀法和寫法: 2.小數的分類： ①純小數、帶小數 ②有限小數：小數部分的數

4、位是有限的小數，叫做有限小數； 無限小數：小數部分的數位是無限的小數，叫做無限小數。 ③無限不循環(huán)小數：一個數的小數部分，數字排列無規(guī)律且位數無限. 循環(huán)小數：一個數的小數部分，有一個數字或者幾個數字依次不斷重復出現，這個數叫做循環(huán)小數。 （三）分數： 1.分數的意義 ①把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數叫做分數。 ②在分數里，中間的橫線叫做分數線；分數線下面的數，叫做分母，表示把單位“1”平均分成多少份；分數線下面的數叫做分子，表示有這樣的多少份。 ③把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的數，叫做分數單位。 2.分數的分類 ①真分數： ②假分數

5、： ③帶分數： 3.約分和通分 ①把一個分數化成同它相等但是分子、分母都比較小的分數，叫做約分。 ②分子分母是互質數的分數，叫做最簡分數。 ③把異分母分數分別化成和原來分數相等的同分母分數，叫做通分。 4.百分數 ①表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫做百分數,也叫做百分率或百分比。 ②百分數通常用"%"來表示。百分號是表示百分數的符號。 （四）常見的量 1.時間 2.長度 3.面積 4.體積 5.容積 6.質量 二、能力訓練 1．一個九位數，最高位是是奇數中最小的合數，百萬位上是最小的質數，萬位上是最大的一位數，千位上是同時能被2和3整除的一位數，百位上

6、是最小的合數，其余各位上都是最小的自然數，這個數寫作________________，讀作________________。 2.三個連續(xù)奇數的和是645。這三個奇數中，最小的奇數是________________。 3.在一條長50米的大路兩旁，每隔5米栽一棵樹（兩端都要栽），一共可栽___________棵樹。 4.被減數減去減數，差是0.4，被減數、減數與差的和是2，減數是____________。 5.兩個數的積是45.6，一個因數擴大100倍，另一個因數縮小到原來的,積是____________。 6.的分數單位是____________，它含有____________個這

7、樣的單位，它的倒數是____________。 7.的分子加上12，要使分數的大小不變，分母應加上____________。 8.一個三位小數，保留兩位小數取近似值后是5.60，這個三位小數最小是____________，最大是____________。 9.5是8的____________%，8是5的____________%，5比8少____________%，8比5多____________%。 10.自然數按因數的個數分，可以分為（ ）. A.奇數和偶數 B.素數和合數 C.奇數、偶數和1 D.素數、合數、0和1 11.已知a+b=5，（a、b均為自

8、然數），則a和b兩個數的最大公因數是（ ）。 A.5 B.b C.a D.1 12.分數單位是1/11的最大真分數和最小假分數的和是（ ）。 A．21/11 B.2 C.20/11 D.1 13.下面各組數，一定不能成為互質數的一組是（ ）。 A.質數與合數 B.奇數與偶數 C.質數與質數 D.偶數與偶數 14.把210分解質因數是（ ）。 A.210＝2×7×3×5×1 B.210＝2×5×21 C.210＝3×5×2×7 D.210=2×5×21×1 15.兩個奇數的和（ ）。 A.是奇數

9、 B.是偶數 C.可能是奇數，也可能是偶數 D.一定不是奇數 16.一個合數至少有（ ）個約數。 A.1 B.2 C.3 D.4 17.有4、5、7、8這四個數，能組成（ ）組互質數。 A.3 B.4 C.5 D.6 18.四位數“3AA1”是9的倍數，則A=________。 19.能同時被2，3，5整除的最大三位數是_______。 20.所有能被3整除的兩位數的和是________。 三、拓展提高 1.在10以內任意選兩個不同的素數，就可以寫一個分數，其中最小的是____________。 2.如果A和B是自然

10、數，并且A÷B=5.那么A和B的最小公倍數是____________，5是____________的因數。 3.兩個素數的和是31，這兩個素數的積是____________。 4.將循環(huán)小數和轉換成分數。 5.有三十個數：1.64,1.64+，1.64+，……，1.64+，1.64+，如果取每個數的整數部分（例如：1.64的整數部分是1,1.64+的整數部分是2）。并且將這些的整數相加，那么它們的和是多少？ 6.設一個五位數，其中d-b=3，若這個數能被11整除，則a的范圍是_________，c=_____。 7.能同時被2,5,

11、7整除的最大五位數是_________。 8.六位數X2010Y能被88整除，則X、Y的取值分別為多少？ A.X=9，Y=4 B.X=7，Y=4 C.X=9，Y=8 D.X=8，Y=4 9.有一大筐蘋果和梨分成若干堆，如果你一定可以找到這樣的兩堆，其蘋果數之和與梨數之和都是偶數，最少要把這些蘋果和梨分成_______堆。 10.有兩個容器，一個容量為27升，一個容量為15升，如何利用他們從一桶油中倒出6升油來？ 要 點 回 顧 第二節(jié) 比與比例 一、基礎知識

12、 1.比的意義和性質 （1）比的意義：兩個數相除又叫做兩個數的比。 ①“：”是比號，讀作“比”。比號前面的數叫做比的前項，比號后面的數叫做比的后項（比的后項不能是零）。比的前項除以后項所得的商，叫做比值。 ②同除法比較，比的前項相當于被除數，后項相當于除數，比值相當于商。 ③比值通常用分數表示，也可以用小數表示，有時也可能是整數。 ④根據分數與除法的關系，可知比的前項相當于分子，后項相當于分母，比值相當于分數值。 （2）比的性質：比的前項和后項同時乘上或者除以相同的數（0除外），比值不變，這叫做比的基本性質。 （3）求比值和化簡比 ①求比值的方法：用比的前項除以后項，它的結果是

13、一個數值可以是整數，也可以是小數或分數。 ②根據比的基本性質可以把比化成最簡單的整數比。它的結果必須是一個最簡比，即前、后項是互質的數。 （4）比例尺 ①數值比例尺：圖上距離：實際距離=比例尺 ②線段比例尺：在圖上附有一條注有數目的線段，用來表示和地面上相對應的實際距離。 2.比例的意義和性質 （1）比例的意義 表示兩個比相等的式子叫做比例。 組成比例的四個數，叫做比例的項。 兩端的兩項叫做外項，中間的兩項叫做內項。 （2）比例的性質 在比例里，兩個外項的積等于兩個兩個內向的積。這叫做比例的基本性質。 （3）解比例 根據比例的基本性質，如果已知比例中的任何三項，就可以

14、求出這個數比例中的另外一個未知項。求比例中的未知項，叫做解比例。 3.正比例和反比例 （1）成正比例的量 兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，他們的關系叫做正比例關系。 用字母表示y/x=k(一定） （2）成反比例的量 兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，他們的關系叫做反比例關系。 用字母表示x×y=k(一定) 二、能力訓練 1.在比例中，兩個內項的積是6，其中一個外項是，另一個外項__________。

15、 2.如果y=5x，那么x和y成__________比例。 3.一幅地圖上用5厘米表示實際距離20千米，這幅地圖的比例尺是__________。 4.1.2千克∶250克化成最簡整數比是__________，比值是__________。 5.一個三個角形三個內角度數的比是1∶4∶1，這是一個__________三角形。 6.如果7x=8y，那么x∶y=__________。 7.男生人數比女生多20％，則女生人數與男生人數的比是__________，女生比男生少__________。 8.已知甲數的1/6相當于乙數的1/5，那么甲數的一半相當于乙數的__________。 9．

16、把一堆化肥裝入麻袋，麻袋的數量和每袋化肥的重量．（ ） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 10．和一定，加數和另一個加數．（ ） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 11．在汽車每次運貨噸數，運貨次數和運貨的總噸數這三種量中，成正比例關系是（ ），成反比例關系是（ ）． A．汽車每次運貨噸數一定，運貨次數和運貨總噸數． B．汽車運貨次數一定，每次運貨的噸數和運貨總噸數． C．汽車運貨總噸數一定，每次運貨的噸數和運貨的次數． 三、拓展提高 1.把280棵樹苗栽在兩塊長方形地上，一塊長15米，寬8米；另一塊長12米，寬4米，如

17、按面積大小分配栽種，這兩塊地分別要栽多少棵？ 2.配制一種農藥，其中藥與水的比為1∶150。 ①要配制這種農藥755千克，需要藥和水各多少千克？ ②有藥3千克，能配制這種農藥多少千克？ ③如果有水525千克，要配制這種農藥，需要放進多少千克的藥？ 要 點 回 顧 第三節(jié) 計算和巧算 一、基礎知識 1.運算定律 （1）加法交換律：a+b=b+a。 （2）加法結合律：（a+b)+c=a+(b+c)。 （3）乘法交換律：a×b=b×a。 （4）乘法結合律：(a

18、×b)×c=a×(b×c)。 （5）乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c。 （6）減法的性質：a-b-c=a-(b+c)。 2.運算順序 （1）小數四則運算的運算順序和整數四則運算順序相同。 （2）分數四則運算的運算順序和整數四則運算順序相同。 （3）沒有括號的混合運算:同級運算從左往右依次運算；兩級運算先算乘、除法，后算加減法。 （4）有括號的混合運算:先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算括號外面的。 （5）第一級運算：加法和減法叫做第一級運算。 （6）第二級運算：乘法和除法叫做第二級運算。 二、能力訓練 1.有13個自然數，小紅計算它們的平

19、均數精確到百分位是12.56，老師說最后一個數字寫錯了，那么正確的答案應該是____________。 2.直接寫出得數： （1）____________ （2）8.5÷0.01=__________ （3）0.1×99-0.1=____________ （4）____________ （5）27.25×4÷27.25×4=____________ （6）777×9+111×37=____________ （7）1÷0.625=____________ （8）____________ 3.計算下列各題： （1）123+234+345+456+567+678

20、 （2）789×788788-788×789789 （3）1627+27018×25 （4）0.888×125×73+999×3 （5）6789×6789-6790×6788 三、拓展提高 1.（1） （2） 2.（1） （2） 要 點 回 顧 第二章 空間與

21、圖形 第一節(jié) 平面圖形 一、基礎知識 1．長方形 （1）特征： （2）計算公式：c=2(a+b)；s=ab。 2．正方形 （1）特征： （2）計算公式：c=4a，s=a2。 3．三角形 （1）特征： （2）計算公式：s=ah/2。 （3）分類： ①按角分 銳角三角形： 直角三角形： 鈍角三角形： ②按邊分 不等邊三角形： 等腰三角形： 等邊三角形： 4．平行四邊形 （1）特征： （2）計算公式：s=ah。 5．梯形 （1）特征： （2）計算公式：s=(a+b)h/2 6．圓 （1）圓的認識 圓心： 半徑： 直徑：

22、（2）圓的畫法： （3）圓的周長：C =πd，C=2πr（d是直徑，r是半徑） （4）圓的面積：s=πr2 7．扇形 （1）扇形的認識：一條弧和經過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。 圓上AB兩點之間的部分叫做弧，讀作“弧AB”。 (2)扇形面積計算公式：。 8．環(huán)形 (1)特征：由兩個半徑不相等的同心圓相減而成，有無數條對稱軸。 (2)計算公式：s=∏(R2-r2）。 9．軸對稱圖形 特征：如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側的圖形能夠完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形。折痕所在的這條直線叫做對稱軸。 正方形有4條對稱軸，長方形有2條對稱軸。 等腰三

23、角形有2條對稱軸，等邊三角形有3條對稱軸。 等腰梯形有一條對稱軸，圓有無數條對稱軸。 菱形有4條對稱軸，扇形有一條對稱軸。 二、能力訓練 1.一個平行四邊形底縮小10倍，高擴大10倍，這個平行四邊形的面積( )。 A.大小與原來相等 B.縮小10倍 C.擴大10倍 D.擴大100倍 2.將一個長方形拉成一個平行四邊形（四條邊長度不變），它的面積( )。 A.比原來小 B.比原來大 C.與原來相等 D.無法比較 3.兩個完全一樣的直角三角形，不可能拼成一個（ ）。 A.梯形 B.正方形 C.三角形 D.平行四邊形 4.在面積為4

24、2平方米的平行四邊形內畫一個最大的三角形，這個三角形的面積是（ ）。 A.21 B.30 C.14 D.42 5.周長都相等，（ ）的面積最大。 A.正方形 B.長方形 C.圓 D.一樣大 6.面積都相等，（ ）的周長最大。 A.正方形 B.長方形 C.圓 D.三角形 7.下列敘述中，正確的是( ) A．只有一組對邊平行的四邊形是梯形 B．矩形可以看作是一種特殊的梯形 C．梯形有兩個內角是銳角，其余兩個角是鈍角 D．梯形的對角互補 8．等腰梯形的上底與高相等，下底是上底的3倍，則底角的度數是( ) A．30o和1

25、50o B．45o和135o C．60o和120o D．都是90o 9．菱形和矩形一定都具有的性質是（ ） A．對角線相等． B．對角線互相平分． C．對角線互相垂直． D．每條對角線平分一組對角． 10．下列說法正確的是（ ） A．對角線互相垂直且相等的四邊形是菱形 B．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 C．對角線互相平分且相等的四邊形是菱形 D．對角線相等的四邊形是菱形 三、拓展提高 1.將一個平行四邊形拼成一個長方形，面積___________，周長___________；將一個平行四邊形拉成一個長方形，面積________

26、___，周長___________。（填“增大”或者“減小”） A．變大 B.變小 C.不變 D.無法比較 2.能拼成一個平行四邊形的兩個三角形必須具備( )。 A.面積相等 B.形狀相同 C.完全一樣 D.任意兩個均可 3.周長相等的一個正方形，一個長方形，一個平行四邊形，( )面積最大。 A.正方形 B.長方形 C.平行四邊形 D.無法比較 4.把一個平行四邊形任意分割成兩個梯形，這兩個梯形的( )總是相等的。 A.高 B.面積 C.上、下底的和 D.無法確定 5.一個三角形和一個平行四邊形底相等，面積也相等，如果平行四邊形的

27、高是6厘米，那么三角形的高是( )厘米。 A.6 B.3 C.12 D.18 6.一個梯形的上底長36dm，如果補上一塊底為64dm，面積為64dm2的三角形， 就變成了一個平行四邊形，這個梯形的面積是( )。 A.200dm2 B.136dm2 C.272dm2 D.68dm2 要 點 回 顧 第二節(jié) 空間圖形 一、基礎知識 （一）長方體 1．特征： 2.計算公式：s=2(ab+ah+bh)，V=sh，V=abh（a表示長，b表示寬，h表示高）。 （二）正方體 1.特征： 2

28、.計算公式：S表=6a2，v=a3（a表示棱長）。 （三）圓柱 1.圓柱的認識：圓柱的上下兩個面叫做底面。圓柱有一個曲面叫做側面。圓柱兩個底面之間的距離叫做高。 2.計算公式：S表=S側+S底×2，V=sh/3。 （四）圓錐 1.圓錐的認識： 2.計算公式：V=sh/3。 二、能力訓練 1.一個正方體的底面周長與高分別與一個圓柱體的底周長和高相等，那么體積比較（ ） A.正方體大 B.圓柱體大 C.兩者一樣大 D.無法判斷 2.一個圓錐的底面半徑和高都擴大2倍，體積擴大了（ ） A．12倍 B.8倍 C.4倍 D.6

29、倍 3.一個底面積為24平方厘米的圓錐體和一個棱長為4厘米的正方體的體積相等，圓錐的高是（ ）。 A.3厘米 B.4厘米 C.8厘米 D.12厘米 4.圓柱底面直徑是圓錐底面直徑的1/2，如果高相等，那么圓錐的體積是圓柱體積的（ ） A. B. C. D. 5.把一個棱長2分米的正方體鋸成兩個長方體，表面積總和（ ）。 A.不變 B.增加4平方分米 C.增加8平方分米 D.不一定 要 點 回 顧 第三章 統(tǒng)計與可

30、能性 一、基礎知識 （一）統(tǒng)計： 1.條形統(tǒng)計圖：用一個單位長度表示一定的數量，根據數量的多少畫成長短不同的直條，然后把這些直線按照一定的順序排列起來。 優(yōu)點：很容易看出各種數量的多少。 2.折線統(tǒng)計圖：用一個單位長度表示一定的數量，根據數量的多少描出各點，然后把各點用線段順次連接起來。 優(yōu)點：不但可以表示數量的多少，而且能夠清楚地表示出數量增減變化的情況。 3.扇形統(tǒng)計圖：用整個圓的面積表示總數，用扇形面積表示各部分所占總數的百分數。 優(yōu)點：很清楚地表示出各部分同總數之間的關系。 4.平均數： 中位數： 眾數： （二）可能性： 隨機事件的概率 二、能力訓練

31、1.從標有1，2，3，4的四張卡片中任抽一張。 （1）抽到卡片“1”的可能性是____________。 （2）抽到卡片“2”、“4”的可能性是____________。 （3）抽到數字小于4的卡片的可能性是____________。 2.口袋里有大小相同的6個球，1個紅球，2個白球，3個黃球，從袋中任意摸出一個球。 （1）摸出什么顏色的球的可能性最大，是多少？ （2）摸出什么顏色的球的可能性最小，是多少？ （3）摸出不是紅球的可能性是多少？ 3.盒子裝有15個球，分別寫著1—15各數。如果摸到是2的倍數，小剛贏，如果摸到不是2的倍數，小強贏。 （1）這樣約定公平

32、嗎？為什么？ （2）小強一定會輸嗎？ 4.某商品舉行促銷活動，前100名的購買者可以抽獎，一等獎20個，二等獎30個，三等獎50個。 （1）這次抽獎活動，中獎的可能性是____________。 （2）第一個人抽獎中一等獎可能性是___________，中二等獎的可能性是___________，中三等獎的可能性是___________。 （3）抽獎到一半，已經有8人中一等獎，15人中二等獎，24人中三等獎。這里李明第51個抽獎，中一等獎的可能性是___________，中三等獎的可能性是___________，中三等獎的可能性是___________。 5.

33、下面記錄的是五（3）班第1組女生的一次跳遠成績。（單位：m） 2.83 3.32 2.75 3.17 2.58 2.65 3.24 3.29 3.41 3.26 2.98 3.52 （1）這組數據的中位數，平均數各是多少？ （2）用哪個數代表這個組數據的一般水平更合適？ （3）如果2.80m以上為及格，有多少名同學及格了，超過半數了嗎？ 6.8個數的平均數是2.1，前3個數的平均數為2.6，后4個數的平均數為1.4，第四個數是多少？ 要 點 回 顧 第四章 實踐與綜合應用 一

34、、基礎知識 1.歸一問題 含義：在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標準，求出所要求的數量。這類應用題叫做歸一問題 數量關系：總量÷份數＝1份數量 1份數量×所占份數＝所求幾份的數量 另一總量÷（總量÷份數）＝所求份數 解題思路：先求出單一量，以單一量為標準，求出所要求的數量。 2.歸總問題 含義：解題時，常常先找出“總數量”，然后再根據其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數量”是指貨物的總價、幾小時（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產量、幾小時行的總路程等。? 數量關系：1份數量×份數＝總量 總量÷1份數量＝份數 總量÷另一份數＝另一每份數量?

35、 解題的思路和方法：先求出總數量，再根據題意得出所求的數量。 3.和差問題 含義：已知兩個數量的和與差，求這兩個數量各是多少，這類應用題叫和差問題。? 數量關系：大數＝（和＋差）÷2 小數＝（和－差）÷ 2? 解題思路和方法：簡單的題目可以直接套用公式；復雜的題目變通后再用公式。? 4.和倍問題 含義：已知兩個數的和及大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做和倍問題。 數量關系：總和÷（幾倍＋1）＝較小的數 總和－較小的數＝較大的數 較小的數×幾倍＝較大的數 解題思路和方法：簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。 5

36、.差倍問題 含義：已知兩個數的差及大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做差倍問題。 數量關系：兩個數的差÷（幾倍－1）＝較小的數 較小的數×幾倍＝較大的數 解題思路和方法：簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。 6.倍比問題 含義：有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題時先求出這個倍數，再用倍比的方法算出要求的數，這類應用題叫做倍比問題。 數量關系：總量÷一個數量＝倍數 另一個數量×倍數＝另一總量 解題思路與方法：先求出倍數，再用倍比關系求出要求的數。 7.相遇問題 含義：兩個運動的物體同時由兩地出發(fā)相

37、向而行，在途中相遇。這類應用題叫做相遇問題。 數量關系：相遇時間＝總路程÷（甲速＋乙速） 總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時間 解題思路和方法：簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。 8.追及問題 含義：兩個運動物體在不同地點同時出發(fā)（或者在同一地點而不是同時出發(fā)，或者在不同地點又不是同時出發(fā)）作同向運動，在后面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內，后面的追上前面的物體。這類應用題就叫做追及問題。 數量關系：追及時間＝追及路程÷（快速－慢速） 追及路程＝（快速－慢速）×追及時間 解題思路和方法：簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式

38、。 9.植樹問題 含義：按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應用題叫做植樹問題。 數量關系：線形植樹 棵數＝距離÷棵距＋1 環(huán)形植樹 棵數＝距離÷棵距 方形植樹（端點不植樹） 棵數＝距離÷棵距－4 三角形植樹（端點不植樹） 棵數＝距離÷棵距－3 面積植樹 棵數＝面積÷（棵距×行距） 解題思路和方法：先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。 10.年齡問題 含義：這類問題是根據題目的內容而得名，它的主要特點是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數關系隨著年齡的增長在發(fā)生變化。 數量關系：年齡問題往

39、往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點。 解題思路和方法：可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。 11.行船問題 含義：行船問題也就是與航行有關的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順水航行的速度是船速與水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差。 數量關系：（順水速度＋逆水速度）÷2＝船速 （順水速度－逆水速度）÷2＝水速 順水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2 逆水速＝船速×2－順水速＝順水速－水速×2 解題思路和方法：大多數

40、情況可以直接利用數量關系的公式。 12.列車問題 含義：這是與列車行駛有關的一些問題，解答時要注意列車車身的長度。 數量關系：火車過橋：過橋時間＝（車長＋橋長）÷車速 火車追及：追及時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速－乙車速） 火車相遇：相遇時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速＋乙車速） 解題思路和方法：大多數情況可以直接利用數量關系的公式。 13.時鐘問題 含義：就是研究鐘面上時針與分針關系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比。 數量關系：分針的速度是時針的12倍，二者的速度差為。通常按追及問題來對待，也可以按差

41、倍問題來計算。 解題思路和方法：變通為“追及問題”后可以直接利用公式。 14.盈虧問題 含義：根據一定的人數，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數或物品數，這類應用題叫做盈虧問題。 數量關系：一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有： 參加分配總人數＝（盈＋虧）÷分配差 如果兩次都盈或都虧，則有： 參加分配總人數＝（大盈－小盈）÷分配差 參加分配總人數＝（大虧－小虧）÷分配差 解題思路和方法：大多數情況可以直接利用數量關系的公式。 15.工程問題 含義：工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的

42、關系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量。 數量關系：解答工程問題的關鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數（它表示單位時間內完成工作總量的幾分之幾），進而就可以根據工作量、工作效率、工作時間三者之間的關系列出算式。 工作量＝工作效率×工作時間 工作時間＝工作量÷工作效率 工作時間＝總工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率） 解題思路和方法：變通后可以利用上述數量關系的公式。 16.正反比例問題 含義：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，

43、如果這兩種量中相對應的兩個數的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。正比例應用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。 兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。反比例應用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用。 數量關系：判斷正比例或反比例關系是解這類應用題的關鍵。許多典型應用題都可以轉化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷。 解題思路和方法：解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數）轉化為比，應用比和比例的性質去解應用題。 正反比例問題與前面

44、講過的倍比問題基本類似。 17.按比例分配問題 含義：所謂按比例分配，就是把一個數按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數量的份數，另一種是直接給出份數。 數量關系：從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從問題看，求幾個部分量各是多少?？偡輸担奖鹊那昂箜椫? 解題思路和方法：先把各部分量的比轉化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項相加求出總份數，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數作分母，比的前后項分別作分子），再按照求一個數的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。 18.百分數問題 含義：百分數是表示一個數是另一個數的百分

45、之幾的數。百分數是一種特殊的分數。分數常?？梢酝ǚ?、約分，而百分數則無需；分數既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分數只能表示“率”；分數的分子、分母必須是自然數，而百分數的分子可以是小數；百分數有一個專門的記號“%”。 在實際中和常用到“百分點”這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%。 數量關系：掌握“百分數”、“標準量”“比較量”三者之間的數量關系： 百分數＝比較量÷標準量 標準量＝比較量÷百分數 解題思路和方法：一般有三種基本類型： （1）求一個數是另一個數的百分之幾； （2）已知一個數，求它的百分之幾是多少； （3）已知一個數的百分之幾是多少，求這個數。

46、 百分數又叫百分率，百分率在工農業(yè)生產中應用很廣泛，常見的百分率有： 增長率＝增長數÷原來基數×100% 合格率＝合格產品數÷產品總數×100% 出勤率＝實際出勤人數÷應出勤人數×100% 出勤率＝實際出勤天數÷應出勤天數×100% 缺席率＝缺席人數÷實有總人數×100% 發(fā)芽率＝發(fā)芽種子數÷試驗種子總數×100% 成活率＝成活棵數÷種植總棵數×100% 出粉率＝面粉重量÷小麥重量×100% 出油率＝油的重量÷油料重量×100% 廢品率＝廢品數量÷全部產品數量×100% 命中率＝命中次數÷總次數×100% 烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100% 及格率＝及格人數÷參加

47、考試人數×100% 19.“牛吃草”問題 含義： “牛吃草”問題是大科學家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素。 數量關系：草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數 解題思路和方法：解這類題的關鍵是求出草每天的生長量。 20.雞兔同籠問題 含義：這是古典的算術問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。 數量關系：第一雞兔同籠問題： 假設全都是雞，則有 兔數＝（實際腳數－2×雞兔總數）÷（4－2） 假設全都是兔，則

48、有 雞數＝（4×雞兔總數－實際腳數）÷（4－2） 第二雞兔同籠問題： 假設全都是雞，則有 兔數＝（2×雞兔總數－雞與兔腳之差）÷（4＋2） 假設全都是兔，則有 雞數＝（4×雞兔總數＋雞與兔腳之差）÷（4＋2） 解題思路和方法：解答此類題目一般都用假設法，可以先假設都是雞，也可以假設都是兔。如果先假設都是雞，然后以兔換雞；如果先假設都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設，再置換，使問題得到解決。 21.方陣問題 含義：將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據已知條件求總人數或總物數，這類問題就叫做方陣問題。 數量關系：（1）方陣每邊人數與四周人

49、數的關系： 四周人數＝（每邊人數－1）×4 每邊人數＝四周人數÷4＋1 （2）方陣總人數的求法： 實心方陣：總人數＝每邊人數×每邊人數 空心方陣：總人數＝（外邊人數）?－（內邊人數）? 內邊人數＝外邊人數－層數×2 （3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則： 總人數＝（每邊人數－層數）×層數×4 解題思路和方法：方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應根據具體情況確定。 22.商品利潤問題 含義：這是一種在生產經營中經常遇到的問題，包括成本、利潤、利潤率和虧損、虧損率等方面的問題。 數量關系：利潤＝售價－進貨價 利

50、潤率＝（售價－進貨價）÷進貨價×100% 售價＝進貨價×（1＋利潤率） 虧損＝進貨價－售價 虧損率＝（進貨價－售價）÷進貨價×100% 解題思路和方法：簡單的題目可以直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。 23.存款利率問題 含義：把錢存入銀行是有一定利息的，利息的多少，與本金、利率、存期這三個因素有關。利率一般有年利率和月利率兩種。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分數；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分數。 數量關系：年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）數×100% 利息＝本金×存款年（月）數×年（月）利率 本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋年（月）利率×存款

51、年（月）數］ 解題思路和方法：簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。 二、能力訓練 1.東西兩城相距75千米，小東從東向西而走，每小時6.5千米；小希從西向東而走，每小時走6千米；小輝騎自行車從東向西而行，每小時走15千米。三人同時動身，途中小輝遇見了小希即折回向東行；遇見了小東又折回向西而行；再遇見小希又折回向東行，這樣往返一直到三人在途中相遇為止，小輝共行了多少千米？ 2.食堂運來一批蔬菜，原計劃每天吃50千克，30天慢慢消費完這批蔬菜。后來根據大家的意見，每天比原計劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？

52、 3.甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？ 4.甲乙丙三數之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數各是多少？ 5.糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運出小麥和玉米各是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？ 6.鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣16000

53、畝果園共收入多少元？ 7.甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時行13千米，兩人在距中點3千米處相遇，求兩地的距離。 8.兄妹二人同時由家上學，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時發(fā)現忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180米處和妹妹相遇。問他們家離學校有多遠？ 9.孫亮打算上課前5分鐘到學校，他以每小時4千米的速度從家步行去學校，當他走了1千米時，發(fā)現手表慢了10分鐘，因此立即跑步前進，到學校恰好準時上課。后來算了

54、一下，如果孫亮從家一開始就跑步，可比原來步行早9分鐘到學校。求孫亮跑步的速度。 10.一座大橋長500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50米有一個電桿，每個電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？ 11.甲對乙說：“當我的歲數曾經是你現在的歲數時，你才4歲”。乙對甲說：“當我的歲數將來是你現在的歲數時，你將61歲”。求甲乙現在的歲數各是多少？ 12.甲船逆水行360千米需18小時，返回原地需10小時；乙船逆水行同樣一段距離需15小時，返回原地需多少時間？

55、 13.一列火車穿越一條長2000米的隧道用了88秒，以同樣的速度通過一條長1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車速和車身長度各是多少？ 14.四點和五點之間，時針和分針在什么時候成直角？ 15.修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長8天；如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？ 16.學校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人；如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？ 17.一個水池，底

56、部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個同樣粗細的進水管。當打開4個進水管時，需要5小時才能注滿水池；當打開2個進水管時，需要15小時才能注滿水池；現在要用2小時將水池注滿，至少要打開多少個進水管？ 18.修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？ 19.學校把植樹560棵的任務按人數分配給五年級三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵？ 20.從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分

57、給三個兒子，大兒子分總數的，二兒子分總數的，三兒子分總數的，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。 21.紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數的百分之幾？ 22.一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？ 23.一只船有一個漏洞，水以均勻速度進入船內，發(fā)現漏洞時已經進了一些水。如果有12個人淘水，3小時可以淘完；如果只有5人淘水，要10小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完？

58、 24.有100個饃100個和尚吃，大和尚一人吃3個饃，小和尚3人吃1個饃，問大小和尚各多少人？ 25.有一隊學生，排成一個中空方陣，最外層人數是52人，最內層人數是28人，這隊學生共多少人？ 26.某種商品，甲店的進貨價比乙店的進貨價便宜10%，甲店按30%的利潤定價，乙店按20%的利潤定價，結果乙店的定價比甲店的定價貴6元，求乙店的定價。 27.李大強存入銀行1200元，月利率0.8%，到期后連本帶利共取出1488元，求存款期多長。

59、 28.銀行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%，三年期8.28%，五年期9%。如果甲乙二人同時各存入1萬元，甲先存二年期，到期后連本帶利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同時取出，那么，誰的收益多？多多少元？ 三、拓展提高 1.某飛機所載油料最多只能在空中連續(xù)飛行4小時，飛去時速度為900千米/小時，飛回時速度為850千米/小時。問該飛機最遠飛出多少千米就返回？（保留整數） 2.某人執(zhí)行爆破任務時，點燃導火線后往70米開外的安全地帶奔跑，其奔跑速度為7米/秒。已知導火線燃燒的速度是0.

60、112米/秒。問：導火線的長度至少多長才能確保安全？（精確到0.1米） 3.老師在黑板上寫了13個數，讓小明求平均數（保留到兩位小數），小明的答案是12.43。老師說最后一位數字錯了，其他的都對。正確的答案是什么？ 4.小紅看一本書，第一天看了全書的4/7，第二天看了剩下的3/5，還剩42頁沒有看，這本書共多少頁？ 5. 雞兔同籠不知數，三十六頭籠中露。數清腳共五十雙，各有多少雞和兔？ 6. 一次數學競賽共有20道題。做對一道題得5分，做錯一題倒扣3分，劉冬考了52分，你知道劉冬做對

61、了幾道題？ 第二部分 中學數學 第一章 數與代數 一、基礎知識 1.實數的分類 2.數軸，絕對值，相反數 數軸：原點、正方向、單位長度。 絕對值： 相反數： 3.有理數的運算 ⑴加法法則： ⑵減法法則： ⑶乘法法則： ⑷除法法則： 4.整式（定義及運算） （1）單項式：都是數字與字母的乘積的代數式叫做單項式。 （2）多項式:幾個單項式的和叫做多項式。 （3）整式：單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。 （4）同類項： （5）整式的乘法： 5.平方（根）、立方（根）

62、 二、能力訓練 1．的絕對值是（ ） A． B． C．﹣6 D．6 2．下列結論正確的是（ ） A. B. C. D. 3．下列各組數中互為相反數的是（ ） A. B. C. D. 4．如果代數式有意義，那么x的取值范圍是（ ） A． B． C． D．且 5．若式子有意義，則x的取值范圍是（ ） A．x≥－2 B．x＞－2且x≠1 C．x≤－2 D．x≥－2且x≠1 6．有理數在數軸上表示的點如下圖所示，則的大小關系是（ ） A. B. C.

63、D. 7．已知，那么_______. 8．如圖是一個數值轉換機．若輸入數3，則輸出數是_______． 三、拓展提高 1.32÷7商的小數點后面第2014位數是幾？ 2.如果和2（2x+y-3）2互為相反數，那么x、y的值分別為_______. 3.計算：30－［19.08＋（3.2－0.299÷0.23）］×0.5 4.某農具廠計劃在6天內生產某種新式農具144件，第一天已生產了19件，后5天平均每天應當生產多少件？ 5.一列火車從甲地開往乙地，如果將車速提高20％，可以比原計劃提前1小時到達；如

64、果先以原速度行駛240千米后，再將速度提高25％，則可提前40分鐘到達，求甲、乙兩地之間的距離及火車原來的速度。 6．甲、乙兩件服裝的成本共500元，商店老板為獲取利潤，決定將甲服裝按50﹪的利潤定價，乙服裝按40﹪的利潤定價。在實際出售時，應顧客要求，兩件服裝均按9折出售，這樣商店共獲利157元，求甲、乙兩件服裝的成本各是多少元？ 7．A、B兩地相距169千米，甲以42千米/時的速度從A駛向B地，出發(fā)30分鐘后因故障需停車修理，這時，乙車以39千米/時的速度B地向A地駛來。已知甲排除故障用了20分鐘，問乙車出發(fā)后經過多少

65、時間與甲車相遇？ 要 點 回 顧 第二章 方程與不等式 一、基礎知識 （一）方程 1.一元一次方程 （1）定義： （2）解一元一次方程方法與步驟： 2.二元一次方程組 （1）定義： （2）二元一次方程組的解法： 代入消元法： 加減消元法： 3.分式方程： 4.一元二次方程 （二）不等式： 1.不等式定義： 2.不等式性質 性質1：如果a＞b,那么:a+c＞b+c，a–c＞b-c 性質2：如果a＞b,并且c＞0,那么:ac＞bc. 性質

66、3：如果a＞b，并且c＜0,那么:ac＜bc. 不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。 3.一元一次不等式（組） 4.一元二次方程解法： 二、能力訓練 1.因式分解：________。 2.因式分解：________。 3.解不等式組的解集是________。 4.已知，求代數式的值。 5.解方程：. 6.解方程：. 7.先化簡，再求值： ，其中。 8.先化簡，然后從的范圍內選取一個合適的整數作為的值代入求值。 9.解方程組 10.求不等式組的整數解。 三、拓展提高 1.已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是_____________. 2.閱讀下列材料，然后解答后面的問題： 利用完全平方公式，通過配方可對進行適當的變形，如或。從而使某些問題得到解決。 問題：（1）已知，則___