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1、 1

2、 1 第三節(jié)　等比數列 [考綱傳真]　1.理解等比數列的概念.2.掌握等比數列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數列的等比關系，并能用有關知識解決相應的問題.4.了解等比數列與指數函數的關系． 1．等比數列的有關概念 (1)定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(不為零)，那么這個數列就叫作等比數列．這個常數叫作等比數列

3、的公比，通常用字母q表示，定義的表達式為＝q(n∈N*，q為非零常數)． (2)等比中項：如果a，G，b成等比數列，那么G叫作a與b的等比中項．即G是a與b的等比中項?a，G，b成等比數列?G2＝ab. 2．等比數列的有關公式 (1)通項公式：an＝a1qn－1. (2)前n項和公式：Sn＝ 3．等比數列的常用性質 (1)通項公式的推廣：an＝am·qn－m(n，m∈N*)． (2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則am·an＝ap·aq＝a； (3)若數列{an}，{bn}(項數相同)是等比數列，則{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比

4、數列； (4)在等比數列{an}中，等距離取出若干項也構成一個等比數列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數列，公比為qk. 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數)的數列{an}為等比數列．(　　) (2)G為a，b的等比中項?G2＝ab.(　　) (3)若{an}為等比數列，bn＝a2n－1＋a2n，則數列{bn}也是等比數列．(　　) (4)數列{an}的通項公式是an＝an，則其前n項和為Sn＝.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(20xx·

5、廣州綜合測試(二))已知等比數列{an}的公比為－，則的值是(　　) A．－2 B．－ C. D．2 A　[＝＝－2.] 3．(20xx·東北三省四市一聯(lián))等比數列{an}中，an>0，a1＋a2＝6，a3＝8，則a6＝(　　) 【導學號：57962249】 A．64 B．128 C．256 D．512 A　[設等比數列的首項為a1，公比為q，則由解得或(舍去)，所以a6＝a1q5＝64，故選A.] 4．(教材改編)在9與243中間插入兩個數，使它們同這兩個數成等比數列，則這兩個數為__________． 27,81　[設該數列的公比為q，由題意知， 243＝9×q3，q

6、3＝27，∴q＝3. ∴插入的兩個數分別為9×3＝27,27×3＝81.] 5．(20xx·全國卷Ⅰ)在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項和．若Sn＝126，則n＝__________. 6　[∵a1＝2，an＋1＝2an， ∴數列{an}是首項為2，公比為2的等比數列． 又∵Sn＝126，∴＝126，解得n＝6.] 等比數列的基本運算 　(1)(20xx·陜西質檢(二))已知等比數列{an}的前n項和為Sn.若S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1＝(　　) A.　　 B．－ C. D．－ (2)已知數列{an}是遞增的等比數列，a

7、1＋a4＝9，a2a3＝8，則數列{an}的前n項和等于__________． (1)C　(2)2n－1　[(1)設等比數列的公比為q，則由S3＝a2＋10a1得a1＋a1q2＝10a1，則q2＝9，又因為a5＝a1q4＝9，所以a1＝. (2)設等比數列的公比為q，則有 解得或 又{an}為遞增數列，∴∴Sn＝＝2n－1.] [規(guī)律方法]　1.等比數列的通項公式與前n項和公式共涉及五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，體現(xiàn)了方程思想的應用． 2．在使用等比數列的前n項和公式時，應根據公比q的情況進行分類討論，在運算過程中，應善于運用整體代換思想簡化運算． [變式

8、訓練1]　(1)在等比數列{an}中，a3＝7，前3項和S3＝21，則公比q的值為(　　) 【導學號：57962250】 A．1 B．－ C．1或－ D．－1或 (2)設等比數列{an}的前n項和為Sn，若27a3－a6＝0，則＝__________. 【導學號：57962251】 (1)C　(2)28　[(1)根據已知條件得 ②÷①得＝3. 整理得2q2－q－1＝0， 解得q＝1或q＝－. (2)由題可知{an}為等比數列，設首項為a1，公比為q，所以a3＝a1q2，a6＝a1q5，所以27a1q2＝a1q5，所以q＝3，由Sn＝，得S6＝，S3＝，所以＝·＝28.]

9、 等比數列的判定與證明 　(20xx·全國卷Ⅲ)已知數列{an}的前n項和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)證明{an}是等比數列，并求其通項公式； (2)若S5＝，求λ. [解]　(1)證明：由題意得a1＝S1＝1＋λa1， 2分 故λ≠1，a1＝，故a1≠0. 3分 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan， 即an＋1(λ－1)＝λan. 5分 由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝. 因此{an}是首項為，公比為的等比數列， 于是an＝. 7分 (2)由(1)得Sn＝1－. 9分 由S5＝得1－＝，即＝. 10分 解得λ

10、＝－1. 12分 [規(guī)律方法]　等比數列的判定方法 (1)定義法：若＝q(q為非零常數，n∈N*)，則{an}是等比數列． (2)等比中項法：若數列{an}中，an≠0，且a＝an·an＋2(n∈N*)，則數列{an}是等比數列． (3)通項公式法：若數列通項公式可寫成an＝c·qn(c，q均是不為0的常數，n∈N*)，則{an}是等比數列． 說明：前兩種方法是證明等比數列的常用方法，后者常用于選擇題、填空題中的判定． [變式訓練2]　設數列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)設bn＝an＋1－2an，證明：數列{bn}是等比數列； (2)求數

11、列{an}的通項公式． [解]　(1)證明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2， 有a1＋a2＝S2＝4a1＋2. ∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3. 又 ①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2). 3分 ∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)， 故{bn}是首項b1＝3，公比為2的等比數列. 6分 (2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1， ∴－＝， 故是首項為，公差為的等差數列. 9分 ∴＝＋(n－1)·＝， 故an＝(3n－1)·2n－2. 12分 等比數列的性質

12、及應用 　(1)(20xx·安徽六安一中綜合訓練)在各項均為正數的等比數列{an}中，若am＋1·am－1＝2am(m≥2)，數列{an}的前n項積為Tn，若T2m－1＝512，則m的值為(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 (2)(20xx·天津高考)設{an}是首項為正數的等比數列，公比為q，則“q<0”是“對任意的正整數n，a2n－1＋a2n<0”的(　　) A．充要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件 (1)B　(2)C　[(1)由等比數列的性質可知am＋1·am－1＝a＝2am(m≥2)，所以am＝2，即數列{an}為常數

13、列，an＝2，所以T2m－1＝22m－1＝512＝29，即2m－1＝9，所以m＝5，故選B. (2)若對任意的正整數n，a2n－1＋a2n<0，則a1＋a2<0，又a1>0，所以a2<0，所以q＝<0.若q<0，可取q＝－1，a1＝1，則a1＋a2＝1－1＝0，不滿足對任意的正整數n，a2n－1＋a2n<0.所以“q<0”是“對任意的正整數n，a2n－1＋a2n<0”的必要而不充分條件．故選C.] [規(guī)律方法]　1.在解決等比數列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質，特別是性質“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運算量，提高解題速度． 2．等比數列的性質可以分為

14、三類：一是通項公式的變形，二是等比中項的變形，三是前n項和公式的變形．根據題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口． [變式訓練3]　(1)(20xx·合肥三次質檢)在正項等比數列{an}中，a1 008·a1 009＝，則lg a1＋lg a2＋…＋lg a2 016＝(　　) 【導學號：57962252】 A．2 015 B．2 016 C．－2 015 D．－2 016 (2)(20xx·南昌一模)若等比數列的各項均為正數，前4項的和為9，積為，則前4項倒數的和為(　　) 【導學號：57962253】 A. B． C．1 D．2 (1)D　(2)D

15、　[(1)lg a1＋lg a2＋…＋lg a2 016＝lg a1a2…a2 016＝lg(a1 008·a1 009)1 008＝lg1 008＝lg1 008＝－2 016，故選D. (2)由題意得S4＝＝9，所以＝.由a1·a1q·a1q2·a1q3＝(aq3)2＝得aq3＝.由等比數列的性質知該數列前4項倒數的和為＝＝·＝＝2，故選D.] [思想與方法] 1．方程的思想．等比數列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求解． 2．函數的思想．通項公式an ＝a1qn－1可化為an＝qn，因此an是關于n的函數，即{an}中的各項所表示的點

16、(n，an)在曲線y＝qx上，是一群孤立的點． 3．分類討論思想．當q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當q≠1時，{an}的前n項和Sn＝＝.等比數列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，此處是常考易錯點． [易錯與防范] 1．特別注意q＝1時，Sn＝na1這一特殊情況． 2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數列，還要驗證a1≠0. 3．在運用等比數列的前n項和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽視q＝1這一特殊情形而導致解題失誤． 4．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比數列(例如：當公比q＝－1且n為偶數時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比數列；當q≠－1或q＝－1且n為奇數時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數列)．