《彈性力學(xué)課件 應(yīng)變狀態(tài)理論 V2012.docx》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《彈性力學(xué)課件 應(yīng)變狀態(tài)理論 V2012.docx（33頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、應(yīng)變狀態(tài)理論 0、復(fù)習(xí) 1. 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：（凡提到應(yīng)力，跟過某點(diǎn)的微分面有關(guān)） 2. 平衡方程是彈性體內(nèi)部微元體的平衡： 3. 邊界條件是彈性體邊界部分的內(nèi)應(yīng)力與外力的平衡； 4. 坐標(biāo)、投影、點(diǎn)積、夾角的余弦基矢量等概念的內(nèi)在聯(lián)系； 5. 二階張量不是矩陣；一階張量不是列陣；（在笛卡爾坐標(biāo)下，表現(xiàn)形式是矩陣、列陣）一、位移的描述（拉格朗日描述與歐拉描述） 變形前，建立一個(gè)物質(zhì)坐標(biāo)系O"皿，描述質(zhì)點(diǎn)P；變形后，建立一個(gè)空間坐標(biāo)系 兩個(gè)坐標(biāo)系是重合的。 變形前 變形后 構(gòu)型 B B' 質(zhì)點(diǎn) 。（也，工2，毛） 在這一變形過程中，變形矢量斤的

2、分量為”|,綸，"3，且有 u2=x2-a2（0.1）=工3 變形的拉格朗日描述包括兩點(diǎn)： 1. 將變形后的質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)看成變形前質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)；(0.2) 2. 變形位移看成變形前質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù): %y=a、N時(shí)，只有形狀改變，無轉(zhuǎn)動(dòng)；當(dāng)axyayz時(shí)，有轉(zhuǎn)動(dòng)。但是只要a+avz不變,乙，就不變。換句話說：僅用剪應(yīng)變, 乙，就不變。換句話說：僅用剪應(yīng)變, 不能完全刻畫變形，還要考慮轉(zhuǎn)動(dòng)的情況。 通過分析彈性體內(nèi)無限鄰近兩點(diǎn)的位置變化，則可得出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)位移與純變形位移之間的關(guān)系。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)通過轉(zhuǎn)動(dòng)分量描述。 剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移的物理意義：如果彈性體內(nèi)某點(diǎn)沒有變形，則

3、無限鄰近它的任意一點(diǎn)的位移由兩部分組成，平動(dòng)位移和轉(zhuǎn)動(dòng)位移。如果發(fā)生變形，位移中還包括純變形位移。 1、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位移 應(yīng)變可以描述一點(diǎn)的變形，即對(duì)微分平行六面體單元棱邊的伸長(zhǎng)以及棱邊之間夾角的改變做出定義。但是這還不足以完全描述彈性體的變形，原因是應(yīng)變分析僅僅討論了棱邊伸長(zhǎng)和夾角變化，而沒有考慮微分單元體位置的改變，即單元體的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。 通過分析彈性體內(nèi)無限鄰近兩點(diǎn)的位置變化，則可得出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)位移與純變形位移之間的關(guān)系。 設(shè)P點(diǎn)無限鄰近。點(diǎn)，P點(diǎn)及其附近區(qū)域繞0作剛性轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)過微小角度。 設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)矢量為c，OP之間的距離矢量為p,如圖所示。 co=o）xk p=xi+yj-\-

4、zk引入哈密頓算子（那勃勒算子） dxdydz2、轉(zhuǎn)動(dòng)位移分量 設(shè)P點(diǎn)的位移矢量為U,有U-ui+uj+uk 由于位移矢量可以表示為U*xp,xU xU 并且，萬是。的旋度的Ld>=-V22 dxdz) OUcvv dzdx dvou fdwdv 3dy) 13、 1 0=~~2 注意：這里的系數(shù)與吳家龍教材P35不一致，但是不影響其正確性。（都是正確的?。┤?，袱，好為轉(zhuǎn)動(dòng)分量，是坐標(biāo)的函數(shù)，表示了彈性體內(nèi)微分單元體的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)。 2、純變形位移與轉(zhuǎn)動(dòng)位移 設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y,z）,位移（〃，y,vr）o與M點(diǎn)鄰近的N點(diǎn)，坐標(biāo)為（x+dr,y+dy,z+

5、dz）,位移為（w+dw,v+dv,hh-cIhOo 則枷兩點(diǎn)的相對(duì)位移為（d/Gdv,dvv）o因?yàn)槲灰茷樽鴺?biāo)的函數(shù)，所以 -duttdut.du.dw=——dx+—dy+——dzdxdydz =準(zhǔn)+絲W+J竺+絲)也二(即- dx2dxdy2dxdz2dx 同理可得dv=+—/^dx+—/xdz-^dz+ 22dw=szdz+—y}Sdx+—y)Bdy-a)ydx+必曲 22 以上位移增量公式中，前三項(xiàng)為產(chǎn)生變形的純變形位移，后兩項(xiàng)是某點(diǎn)鄰近區(qū)域的材料繞該點(diǎn)像剛體一樣轉(zhuǎn)動(dòng)的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移。 剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移的物理意義為，如果彈性體中某點(diǎn)及鄰近區(qū)域沒有變形，則與某點(diǎn)無限鄰近這一

6、點(diǎn)的位移，根據(jù)剛體動(dòng)力學(xué)可知，是由兩部分組成。分別是隨這點(diǎn)的平動(dòng)位移和繞這點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)位移。對(duì)于彈性體中某一點(diǎn)，一般還要發(fā)生變形,因此位移中還包括純變形位移。 3、位移的分解 總得來講，與M點(diǎn)無限鄰近的N點(diǎn)的位移由三部分組成的: 1、隨同M點(diǎn)作平動(dòng)位移。 2、繞M點(diǎn)作剛性轉(zhuǎn)動(dòng)在N點(diǎn)產(chǎn)生的位移。 3、由于M點(diǎn)及其鄰近區(qū)域的變形在N點(diǎn)引起的位移。 轉(zhuǎn)動(dòng)分量0“少”口，對(duì)于微分單元體，描述的是剛性轉(zhuǎn)動(dòng)，但其對(duì)于整個(gè)彈性體來講，仍屬于變形的一部分。三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)分量和六個(gè)應(yīng)變分量合在一起，不僅確定了微分單元體形狀的變化，而且確定了方位的變化。 位移增量公式如果使用矩陣形式表示，可得血 d

7、vdw 顯然，位移的增量是由兩部分組成的，一部分是轉(zhuǎn)動(dòng)分量引起的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位移，另一部分是應(yīng)變分量引起的變形位移增量。 五、轉(zhuǎn)軸時(shí)應(yīng)變分量的變換（符合張量的變換規(guī)律）吳家龍教材P37學(xué)習(xí)思路： 復(fù)習(xí)：什么是一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)？（與點(diǎn)和微分面有關(guān)） 與應(yīng)力狀態(tài)分析相同，一點(diǎn)的應(yīng)變分量在不同坐標(biāo)系下的描述是不相同的，因此討論應(yīng)變狀態(tài)，就必須建立坐標(biāo)變換，就是坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的應(yīng)變分量變換關(guān)系。 本節(jié)通過新坐標(biāo)系與舊坐標(biāo)系之間的位移變換關(guān)系式，根據(jù)幾何方程，通過復(fù)合函數(shù)的微分，就可以得到應(yīng)變分量的轉(zhuǎn)軸公式。 轉(zhuǎn)軸公式表明應(yīng)變張量也是二階對(duì)稱張量。 根據(jù)轉(zhuǎn)軸公式，一點(diǎn)的六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變分量一旦確定，則

8、任意坐標(biāo)系下的應(yīng)變分量均可確定，即應(yīng)變狀態(tài)完全確定。 應(yīng)變狀態(tài)分析表明：坐標(biāo)變換后各個(gè)應(yīng)變分量均發(fā)生改變，但是作為一個(gè)整體，一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)是不會(huì)改變的。 1、坐標(biāo)變換 本節(jié)將討論不同坐標(biāo)系下一點(diǎn)的應(yīng)變分量的關(guān)系。與坐標(biāo)轉(zhuǎn)軸時(shí)的應(yīng)力分量的變換一樣，我們將建立應(yīng)變分量轉(zhuǎn)軸的變換公式，即已知礦:/在舊坐標(biāo)系中的分量，求其在新坐標(biāo)系中的各分量幻7。 根據(jù)幾何方程，坐標(biāo)平動(dòng)將不會(huì)影響應(yīng)變分量。因此只需坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的應(yīng)變分量變換關(guān)系，設(shè)新坐標(biāo)系QxVz，是舊坐標(biāo)系O.^z經(jīng)過轉(zhuǎn)動(dòng)得到的，如圖所 新舊坐標(biāo)軸之間的夾角的方向余弦為 xyzx'Zj勺y'以2 z'l3nz設(shè)變形前的A/點(diǎn)，變形后移

9、至點(diǎn)，設(shè)其位移矢量MM*=t/,則S二必+即+川丘二必，+v'J'+w'k' 2、應(yīng)變分量坐標(biāo)轉(zhuǎn)軸公式 所以，新坐標(biāo)系的位移分量為 /=5■/r=td1+g] v'C，z'）=S?

10、 3二辨2勺+2代3,+2時(shí)疙+（饑+頃1）4+（"2+用2而乙+（部2+以）心%=2/加+2嗎處弓+2〃必3烏+但沈3+頃2）匕+（5+演3%）乙+（源3+以成皿，=+2叫也由+2奶電+（頃1+饑3）均+（5+叫角），繆+W1+部3成3、應(yīng)變張量 如果以nij（/,>1,2,3）表示新舊坐標(biāo)系之間的夾角的方向余弦，并注意到應(yīng)變張量表達(dá)式，則上述應(yīng)變分量變換公式可以寫作因此，如果將應(yīng)變分量寫作下列形式 1 i 2r^ 2rx 1 弓 2r>e 1 勺，12公。21&勺3 %與2#33. 則應(yīng)變分量滿足張量變換關(guān)系。 與應(yīng)力張量相同，

11、應(yīng)變張量也是二階對(duì)稱張量。 由公式可知，一點(diǎn)的六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變分量一旦確定，則任意坐標(biāo)系下的應(yīng)變分量均可確定，即一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)就完全確定了。不難理解，坐標(biāo)變換后各應(yīng)變分量均發(fā)生改變，但它們作為一個(gè)整體，所描述的一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)是不會(huì)改變的。 六、主應(yīng)變應(yīng)變張量不變量學(xué)習(xí)思路： 應(yīng)變狀態(tài)分析需要確定一點(diǎn)的最大正應(yīng)變及其方位，就是確定主應(yīng)變和主平Elo 對(duì)于任意一點(diǎn)，至少有三個(gè)垂直方向，在該方向僅有正應(yīng)變而切應(yīng)變?yōu)榱?。具有該性質(zhì)的方向，稱為應(yīng)變主軸或應(yīng)變主方向，該方向的正應(yīng)變稱為主應(yīng)變。 本節(jié)根據(jù)位移增量與應(yīng)變分量以及主應(yīng)變的關(guān)系，推導(dǎo)求解主應(yīng)變及其方向余弦的齊次方程組。根據(jù)齊次方程組非零解

12、的條件，可以確定關(guān)于求解主應(yīng)力的應(yīng)變狀態(tài)特征方程。 根據(jù)特征方程，可以確定三個(gè)主應(yīng)變。如果將主應(yīng)變回代齊次方程組，并且注意到任意截面的三個(gè)方向余弦的平方和等于1,則可解應(yīng)變主軸的方向余弦。 根據(jù)特征方程和應(yīng)變不變量可知，主應(yīng)變和應(yīng)變主軸的特性與主應(yīng)力和應(yīng)力主軸是類似的。 1、位移微分表達(dá)式 彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的六個(gè)應(yīng)變分量，即應(yīng)變張量隨著坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)而改變。因此是否可以像應(yīng)力張量一樣，對(duì)于某一個(gè)確定點(diǎn)，在某個(gè)坐標(biāo)系下所有的切應(yīng)變分量都為零，僅有正應(yīng)變分量不等于零。即能否找到三個(gè)相互垂直的方向，在這三個(gè)方向上的微分線段在物體變形后只是各自改變長(zhǎng)度，而其夾角仍為直角。答案是肯定的。 在任何應(yīng)

13、變狀態(tài)下，至少可以找到三個(gè)這樣的垂直方向，在該方向僅有正應(yīng)變而切應(yīng)變?yōu)榱恪? 具有該性質(zhì)的方向，稱為應(yīng)變主軸或應(yīng)變主方向，該方向的應(yīng)變稱為主應(yīng)變。 設(shè)們：/為物體內(nèi)某點(diǎn)在已知坐標(biāo)系的應(yīng)變張量，求其主應(yīng)變&,&及應(yīng)變主軸方向川,〃2,〃3。設(shè)MN為M點(diǎn)的主軸之一，其變形前的方向余弦為I,m,〃，主應(yīng)變?yōu)椤?。令dp表示MN的長(zhǎng)度，則相對(duì)伸長(zhǎng)為￡dp,如圖所示 設(shè)材點(diǎn)的位移為(?,v,vv),則N點(diǎn)的位移為(w+du,v+dv,w+dw)o因?yàn)? d"二在x方向的變形位移分量+剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移在x方向的分量 =￡/dp+剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移在工方向的分量 2、主應(yīng)變齊次方程組即d“等于純變形位移與

14、剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移在X方向的分量之和。根據(jù)上述公式，可得 根據(jù)公式 血=勺故+?4少+?匕也_弓中+%也 或者寫作 /.11c （弓_時(shí)/+）7裕沈+了/*刀二0 同理可得 必+（弓++：/>"=0 1,1,、--rJ+-r^^+（^_8）〃=o 上述公式是關(guān)于/,〃?，〃的齊次線性方程組。 3、主應(yīng)變特征方程與不變量 對(duì)于/,,〃，〃的齊次線性方程組，其非零解的條件為其系數(shù)行列式的值為零。即11 "5云4 將上式展開，可得主應(yīng)變特征方程，#-+偵-J3=0 其中Ji=&=勺+勺+% %二與弓+^^+^--（7^+什+/￡） J3=|&| 顯然與應(yīng)力不變量相

15、同，Jl,J2,/3為應(yīng)變不變量，分別稱為第一，第二和第三應(yīng)變不變量。 根據(jù)特征方程，可以求解得到三個(gè)主應(yīng)變。將求解后的主應(yīng)變代入公式，并注意到任意一點(diǎn)三個(gè)方向余弦的平方和等于1,則可解應(yīng)變主軸的方向余弦。 由應(yīng)力張量和應(yīng)變張量，應(yīng)力不變量和應(yīng)變不變量之間的公式的比較可知,主應(yīng)變和應(yīng)變主軸的特性與主應(yīng)力和應(yīng)力主軸是類似的。 七、體積應(yīng)變（略，自學(xué)）體積應(yīng)變等于零的位移模式，稱之為等容位移；（等容波） 微元體剛性小轉(zhuǎn)動(dòng)等于零的位移模式，稱之為無旋位移；（無旋波） 八、有限變形情況下的應(yīng)變一一格林應(yīng)變（拉格朗日應(yīng)變）和阿爾曼西應(yīng)變（歐拉應(yīng)變） 什么是有限變形：位移分量及其偏導(dǎo)數(shù)不是很小

16、的量。 1、格林應(yīng)變張量變形前的微三角形△PQR,變形后仍然為微三角形八P0RL微三角形的邊長(zhǎng)（線素）的改變即可確定其大小和形狀的改變，但三角形整體位置的改變就不能由各邊自身的變化來確定?？梢姡治鋈切稳我鈨牲c(diǎn)間距離的變化是分析變形的關(guān)鍵。 變形前的微三角形△PQR,變形后仍然為微三角形八P0RL微三角形的邊長(zhǎng)（線素）的改變即可確定其大小和形狀的改變，但三角形整體位置的改變就不能由各邊自身的變化來確定?？梢?，分析三角形任意兩點(diǎn)間距離的變化是分析變形的關(guān)鍵。 變形前 變形后 構(gòu)型 B B' 質(zhì)點(diǎn) 尸（*2,《） P'（X],易，七） Q(q+da},a2+da2,

17、a3+do；) Q'(再+dr〕，Jr?+dr2,x3+dr,) 如果采用拉格朗日描述方法，那么有 (0.5) (《) (0.6) 變形前線元P。的長(zhǎng)度為ds°,變形后線元P'。'的長(zhǎng)度為ds,那么有 (d?0)2=(也［)2+(陰)2+(皿尸=dqdq=3ijdaj6aj (0.7) (ds)2=(dVj)2+(dv2)2+(dx5)2=dv.dx; (0.8) 將式（0.6）代入式（0.8）,有 (0.9)  那么線元長(zhǎng)度改變的平方差為(0.10) (0.10) (d5)2-(d50)2= 定義格林應(yīng)變張量為(同樣的方法，采用歐拉描述，可以推導(dǎo)阿

18、爾曼西Almansi張量，見參考文獻(xiàn)5或者參考文獻(xiàn)2)2、格林應(yīng)變的物理意義 2、格林應(yīng)變的物理意義 E’j ~2oa.da-iJ \?J A.用格林應(yīng)變表示線元的伸長(zhǎng)度 假設(shè)取線元 *=也1弓+()勺+(胳 也就是說 (曲)2=伽)2 da2=0d《=() (0.⑵ (0.13) (0.14) (0.15) P的坐標(biāo)為(也，工2，毛)，R'的坐標(biāo)為(凡+山卜易+汁弓，毛+也)，根據(jù)式。6)，并考慮 到式(0.15),此時(shí)有 虬與d%(0.16) ca, 再將式(0.15)代入式(0.10),并考慮到式(0.14) (ds)、(dsJ』畢尹_1=2E

19、n(dq尸=2柘(d%尸(0.17) koa\°%7 d$=|P'Rl=Jl+2%ds°=Jl+2E“d"i(0.18) 「是，線元的相對(duì)伸長(zhǎng)度為 E[=氣擊。=Jl+2E]i-1(0.19) 備。 可見林與線元的相對(duì)伸長(zhǎng)度有關(guān)，在小變形時(shí)，有環(huán)《1,由Taylor展開，并略去高次項(xiàng), (0.3) (0.3) z/,.=X.(67),a2-q 另外，變形后不會(huì)出現(xiàn)開裂或者重疊，那么光和《之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，因而式(0.2) 的雅可比行列式不等于零. da. dx}daxdx2da}ox3cax dx} da2 da2dxyda2 daydx2caydx

20、yday (0.4) 二、彈性體變形程度的表征一一應(yīng)變；什么是應(yīng)變？應(yīng)變的一般定義形式 彈性體是一類特殊的變形體，特殊在卸載后其變形將完全恢復(fù)。要研究彈性力學(xué)，一個(gè)重要的前提就是要采用合適的方式來表征彈性體的變形。 粗略的觀察，物體變形有形狀改變和體積改變兩種情況，但如何再進(jìn)一步簡(jiǎn)化，也就是要討論變形的基本類型并明確其挨量的方法。 在數(shù)學(xué)上，一個(gè)物體的形狀通常采用長(zhǎng)度和州度兩個(gè)量來描述。因此，我們?nèi)菀紫氲绞?，物體的變形也應(yīng)該采用長(zhǎng)度的變化和角度的變化來描述。例如，對(duì)于一個(gè)圓截面的柱件(如圖1.1.1(a)所示)，如果在柱的兩端作用一對(duì)大小相同的拉力F,則該柱的長(zhǎng)度將會(huì)由原

21、來的/伸長(zhǎng)為/'(如圖1.1.1(b)所示)，由此我們說該柱體發(fā)生了變形；而如果在柱的兩端作用一對(duì)大小相同的扭矩M，則該柱體的柱面將發(fā)生扭轉(zhuǎn)(如圖1.1.1(c)所示)，扭轉(zhuǎn)的程度可以采用柱體上下端面相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度ZPQ晚來表示， B、用格林應(yīng)變表示兩線元之間直角的改變?nèi)鐖D，取兩個(gè)相互垂直的線元"X和 如圖，取兩個(gè)相互垂直的線元"X和 PR=也冬+0e2+0。3 (0.21) 參考式(0.6),也就是下式 有下面的表格: 構(gòu)型 變形前 B PQ=0q+d?2e2+0勺 .cx,n, d.v?=—datn。i da. 變形后 B' (0.22) (0.23)

22、 質(zhì)點(diǎn) 戶'3，邑，工3)R，"+斜?+魯血"+巖M Q'k+^-da.,易+^_da,s[da2da2ca2 將變形后的線元P'R；和P'O視作矢量，并假設(shè)它們的夾角為。，求其點(diǎn)積 P'R'P'Q‘=|P'R'||P'Q'|cos。 (0.24) =斜漏俱)住4部)住網(wǎng))借"=|=2%dqd。、 I例初2J"考慮到式(0.18),我們有 |P7T|=Jl+2E“d%(0.25)|P0|=Jl+2旦皿2(0.26) 將式(0.25)和式(0.26)代入式(0.24),得到cos0=.2E'j=(0.27) Jl+2EnJl+2&2由于/9=|-/(/是直角的改變量

23、)，于是有 2E sinZ=.ZZL,;—(0.28)Jl+2E"1+2E” 在小變形時(shí),耳|?1,弓《1,sin/a/,得到r=2Ei2(0.29) E“=匕(030)2 在微小變形情況，這與材料力學(xué)定義的剪應(yīng)變一致。 3、用位移表達(dá)的格林應(yīng)變 格林應(yīng)變的定義為 由于上可表示為 (0.32) 式(0.32)中，虬“是變形位移，那么有 笊=$I凱—mi。datoat (0.33) 將式(0.33)代入格林應(yīng)變的表達(dá)式(0.31),并利用*的置換性質(zhì) 例』-啊J 2'da.da.1da.da. >?} (0.34) =1冬+2+ 2da.datda.

24、啊 式(0.34)就是用位移分量表達(dá)的格林應(yīng)變。在笛卡爾坐標(biāo)系中，展開后的常規(guī)形式是 \2 + ](割*僧)+fe)] (0.35) 應(yīng)該指出，在格林應(yīng)變的推導(dǎo)中，對(duì)變形未作任何假設(shè)，并不要求位移分量和它們的偏導(dǎo)數(shù)都是很小的量，所以格林應(yīng)變可以適用于有限變形的情況。 已知任意點(diǎn)的格林應(yīng)變，就可以知道該點(diǎn)任意方向的線元的長(zhǎng)度變化及方向的變化。可見格林應(yīng)變張量幻出了物體變形的全部信息。(具體的證明見“陸明萬書P58-P59”) 4、從格林應(yīng)變到小變形應(yīng)變(柯西應(yīng)變) 線彈性理論的研究對(duì)象是位移比物體最小結(jié)構(gòu)尺寸小得多的變形情況。此時(shí)位移分量的一階導(dǎo)數(shù)遠(yuǎn)小于1,即有 在小變形情

25、況下，格林應(yīng)變公式（0.34）中的非線性項(xiàng)也是高階小量，將其忽略后可簡(jiǎn)化為(0.37) 式（0.37）稱為柯西應(yīng)變張量，或者小變形應(yīng)變張量。 九、變形協(xié)調(diào)方程（略） 任意一個(gè)二階張量可以寫成一個(gè)對(duì)稱張量和一個(gè)反對(duì)稱張量的形式，那么有0 2 2■' 'dx' i 1 2^- '(Lx 1 -(o. 2- 0 1 —a)r 2 x dy + 1 2^ ￡y 1 dy 1 一弭 1 -CDV 2x 0 dz 1 3r” 1 dz 0 2 2■' 'dx' i 1 2^- '(Lx

26、1 -(o. 2- 0 1 —a)r 3 x dy + 1 2^ ￡y 1 dy 1 一弭 1 -CDV 2x 0 dz 1 3r” 1 dz du= (0.38) 己知彈性體的位移場(chǎng)，能否求得柯西應(yīng)變？（有限元方法，先確定位移場(chǎng)，再確定應(yīng)變） 1. 己知應(yīng)變場(chǎng)，能否求得位移場(chǎng)？（六個(gè)兒何方程，6個(gè)應(yīng)變，三個(gè)位移場(chǎng)，矛盾方程組）6個(gè)應(yīng)變之間應(yīng)該滿足幾個(gè)關(guān)系？（Washizu對(duì)變形協(xié)調(diào)條件必須的數(shù)Fl作了如下的討論） 2. 變形與位移的關(guān)系？準(zhǔn)確地說：應(yīng)變和微元體的剛性小轉(zhuǎn)動(dòng)一起描述了變形。 學(xué)習(xí)思路： 變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)學(xué)

27、意義是：要使以三個(gè)位移分量為未知函數(shù)的六個(gè)幾何方程不矛盾，則應(yīng)變分量必須滿足的必要條件。 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的物理意義可以從彈性體的變形連續(xù)性質(zhì)作出解釋。如果變形不滿足一定的關(guān)系，變形后的物體將出現(xiàn)縫隙或嵌入現(xiàn)象，不能重新組合成連續(xù)體。 為使變形后的微分單元體連續(xù)，應(yīng)變分量必須滿足一定的關(guān)系，這一關(guān)系就是應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，又稱圣維南（SaintVcnant）方程。 假如彈性體是單連通域的，應(yīng)變協(xié)調(diào)方程不僅是變形連續(xù)的必要條件，而且也是充分條件。 利用位移函數(shù)的微分沿任意路徑重新積分可以確定的位移必然是單值位移的條件，可以證明應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。 對(duì)于多連通域問題，應(yīng)變分量滿足變形協(xié)調(diào)方程只是位移連續(xù)

28、的必要條件, 只有加上位移連續(xù)補(bǔ)充條件作為充分條件。 1、變形協(xié)調(diào)舉例 幾何方程表明，六個(gè)應(yīng)變分量是通過三個(gè)位移分量表示的，因此六個(gè)應(yīng)變分量將不可能是互不相關(guān)的，應(yīng)變分量之間必然存在某種聯(lián)系。 這個(gè)問題對(duì)于彈性力學(xué)分析是非常重要的。因?yàn)槿绻阎灰品至?，容易通過幾何方程的求導(dǎo)過程獲得應(yīng)變分量；但是反之，如果已知應(yīng)變分量，則幾何方程的六個(gè)方程將僅面對(duì)三個(gè)未知的位移函數(shù)，方程數(shù)顯然超過未知函數(shù)的個(gè)數(shù),方程組將可能是矛盾的。 隨意給出六個(gè)應(yīng)變分量，不一定能求出對(duì)應(yīng)的位移。例如： 例1設(shè)應(yīng)變分量為：【二3r|「一^-,Ui；■■■■■,求其位移 解： s=—=3x9=—x2+f(y)

29、 xdx2E) dv2 ■?,勺、二2y，-v=y+涂) dvduc/、，/、 dy顯然該應(yīng)變分量沒有對(duì)應(yīng)的位移。 要使這一方程組不矛盾，則六個(gè)應(yīng)變分量必須滿足一定的條件 以下我們將著手建立這一條件。 2、變形協(xié)調(diào)方程 首先從幾何方程中消去位移分量，把幾何方程的第一式和第二式分別對(duì)工和），求二階偏導(dǎo)數(shù)，然后相加，并利用第四式，可得 勺+=臘為+四二”右,dx2dy2dxdydxdydxdy 若將幾何方程的第四，五，六式分別對(duì)z,X,y求一階偏導(dǎo)數(shù)，然后四和六兩式相加并減去第五式，則里孔孔+嘰3七dxdydzdydz 將上式對(duì)工求一階偏導(dǎo)數(shù)，則A（-g+機(jī)+幻）=2

30、dxdxdydzdydz分別輪換x,），,z,則可得如下六個(gè)關(guān)系式 故2dy2dxdy 色+萱二％ d2ydz2dydz 3旗3/X+￡_—/* a?"~dxdz 如地+吼,室）=2也 dxdxdydzdydz 3（機(jī)機(jī)+機(jī)）_2鉀勺 dy3xdydzdxdz 里％+吼一％）=2業(yè) dzdxdydzdxdy 上述方程稱為應(yīng)變協(xié)調(diào)方程或者變形協(xié)調(diào)方程，又稱圣維南（SaintVenant）方程。 3、變形協(xié)調(diào)方程的意義 變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)學(xué)意義是：要使三個(gè)位移分量為未知函數(shù)的六個(gè)幾何方程不相矛盾，則應(yīng)變分量必須滿足的必要條件。 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的物理意義可以從彈性體的變形連

31、續(xù)作出解釋。假如物體分割成無數(shù)個(gè)微分六面體單元，變形后每一單元體都發(fā)生形狀改變，如變形不滿足一定的關(guān)系，變形后的單元體將不能重新組合成連續(xù)體，其間將產(chǎn)生縫隙或嵌入現(xiàn)象。 為使變形后的微分單元體仍能重新組合成連續(xù)體，應(yīng)變分量必須滿足一定的關(guān)系，這一關(guān)系就是應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。 假如彈性體是單連通域的,則應(yīng)變分量滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程不僅是變形連續(xù)的必要條件，而且也是充分條件。 為證明應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是變形體連續(xù)的必要和充分條件，我們可利用彈性體變形連續(xù)的物理意義，反映在數(shù)學(xué)上則要求位移分量為單值連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。 我們的目的就是證明：如果已知應(yīng)變分量滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，則對(duì)于單連通域，就一定可以通過幾何方

32、程的積分求得單值連續(xù)的位移分量。 下面我們推導(dǎo)單連通域的變形協(xié)調(diào)關(guān)系。 4、變形協(xié)調(diào)方程證明 所謂的單連通域，是指該物體內(nèi)任一條閉曲線可以收縮到一點(diǎn)而不越出界外。 設(shè)應(yīng)變分量句?單值連續(xù)，并有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則由da）x=——-dx+——-dy+——-azdxdydz 輪換x,y,z計(jì)算，可得du,dw和dc”y,。 如果能夠通過積分，計(jì)算出r11 （］裕+電）&+弓曲+（!&-電）也 “二隊(duì)o+J&&+（57冷_&）功+（5/芯+%）也 RPz2 V=VO+J時(shí) 卬二W°+J)dx+(-Yyi+^)dy+s.Azpqp22 f也dx+匹功+匹也 dx,dydz 『

33、da)yt如》,dcoy,—dx+—dy+—-dz &欲dydz四二武+i也故+叢曲+絲土也i3y"9z 上述位移和轉(zhuǎn)動(dòng)分量如果是單值連續(xù)的，則可得到彈性體的位移單值連續(xù)的條件。 5、變形協(xié)調(diào)方程證明2 保證上述位移單值連續(xù)的條件是其積分與積分路徑PoP無關(guān)。其充分與必要條件為5r? 5r? plazlaz@ 根據(jù)上述公式的第三式，可得 2dydzdydzddu棚3dvdu_13dw3v_deux 1 dydzcbcdzdxdy2dxdydzdx同理，根據(jù)上述公式的第四和第八式，可得少，?對(duì)），，z的偏導(dǎo)數(shù)。即匹=【（％_%） dx2dydz匹=］性匹 dy2dyd

34、z3四_13% dzdy2dz將計(jì)算"'對(duì)）,，z的偏導(dǎo)數(shù)回代到公式的第一式，則可以得到轉(zhuǎn)動(dòng)分量表達(dá)式 上（吼-g）dx+（L約-萱炒+（魚-上也勺旺 dydz2qydzdy2dz 如使所單值連續(xù)，其必要與充分條件是2Aa1吼a勺 2dydx2dydz 電（地匹）dydy2dz7dz2dydz 或?qū)懽?匕注育=% dy2dz2dydza（。上_8作淫％臚勺 dydxdydzdxdz 同理，討論SV和口￡的單值連續(xù)條件可得出類似的四個(gè)公式。將單值連續(xù)的口》,口,和口z代入位移計(jì)算公式，則可得到單值連續(xù)的位移〃，V,Wo 由此可證變形協(xié)調(diào)方程是單連通域位移單值連續(xù)的必要和充

35、分條件。 6、多連域的變形協(xié)調(diào) 如果彈性體中的一條封閉曲線，若收縮至一點(diǎn)必須越出域外，則為多連通域物體。 LZI 一個(gè)多連通域物體，可用若干個(gè)截面將物體部分的截開，使之成為單連通域。如果所需的截面數(shù)為〃，則物體為〃+1連域。 平面為有兩個(gè)環(huán)形孔的物體，兩個(gè)截面即可使其成為單連通域，所以為三連域。 對(duì)于多連通域問題，應(yīng)變滿足變形協(xié)調(diào)方程并不能確保位移在分割后的單連通域內(nèi)單值連續(xù)。因?yàn)楫?dāng)位移分別從截面兩側(cè)趨近于截面上的某一點(diǎn)時(shí)，一般的說其將趨于不同的值。 分別用〃+,v+,w+和〃V-,VV-表示截面兩側(cè)的位移，則多連通域的位移單值連續(xù)條件還需要補(bǔ)充條件〃+=〃-,v+=v-,w+=

36、\v- 條件，只有加上上述補(bǔ)充條件后，條件才是充分的。 圖1.1.1圓截面柱體及其典型的變形形式 要完整地描述物體變形的程度，實(shí)際上就是需要知道物體上每一點(diǎn)與任意其它點(diǎn)連線的長(zhǎng)度變化率和這些連線間夾角的變化。 圖1.1.2變形前后的點(diǎn)和線段圖1.1.3兩條相互垂直的線段變形后在原所在平而上的投影 如圖1.1.2所示，設(shè)P點(diǎn)為變形前物體上的任意一點(diǎn)，要完整地描述物體變形的程度，就是需要描述清楚P點(diǎn)處任意方向〃上線段PN的長(zhǎng)度|PN|的變化率，以及線段PN與任意方 向?yàn)閙上的線段PM之間夾角的變化。為了計(jì)算方便，通常取PM1.PN,即匕MPN=， 顯然，可以采用很多種方

37、式描述PN的長(zhǎng)度變化率，如 |取|-|州,可.. \PN\|PW'||P/V|2 同樣地，描述PN與PM之間夾角的變化方式也有很多種，如 /MPN-CM'PN',cosyMPN)-cos(ZM'P'N'),s\n(匕MPN-ZM'PN'),...... 究竟采用何種形式，則要取決于后續(xù)計(jì)算的方便性、結(jié)果的簡(jiǎn)潔性等多方面的因素。 另外，為了使采用的描述方式不受線段P/V和PM的長(zhǎng)度任意性的影響，我們需要采用極限的形式，令1小|->0,\pm\t0,從而得到反映P點(diǎn)處變形程度的表示。 但是，由于過P點(diǎn)處可以作無數(shù)條線段PN和PM,因此P點(diǎn)處變形程度這一量可能需要無窮多個(gè)分量才能表示

38、，除非這無窮多個(gè)分量具有一定的內(nèi)在規(guī)律，或者只需要采用有限個(gè)分量表示，而其余任意分量均可以通過這有限個(gè)分量即可完全表達(dá)。 非常幸運(yùn)和有趣的是，運(yùn)用變形的連續(xù)性假設(shè)，我們的確可以證明，在一般的三維情況下，P點(diǎn)處變形程度這?量只需要采用三個(gè)互不平行方向上線段的長(zhǎng)度變化率以及它們兩兩間角度的變化共九（六）個(gè)量即可完全表達(dá)。如前所述，為了計(jì)算方便，這里的三個(gè)互不平行方向上線段通常取成是三個(gè)互相垂直方向上的線段。 在一般有限變形的情況下，P點(diǎn)處任意方向n上線段PN的長(zhǎng)度變化率可以采用如下形式進(jìn)行定義，E鳴略 E鳴略 2|P/V|2 而P點(diǎn)處任意方向n上線段PN和任意方向m上線段PM之間夾角

39、度的變化表示為 _.F/V7?P'M' E,,ni~2|PN||PM| (1.1.2) 利用(1.1.1)式，可以得到 Etini=Emn=lim《+2E"“"\I1+2E叫cos/m'PN'nmm>，|PM|->0 I/W|tO 當(dāng)變形很小時(shí)， Ealim2網(wǎng)佃州-倒） nn\PN\->0 2\PN\" =岫叫「時(shí) |㈣to|PN| ?lim應(yīng) I㈣―。|P州= (1.1.3) 5屈 |PAr|->0 =-limsin--ZMPW, 2|十)"2) =-limsin(ZMPN-ZM'P'N') 2|p.w|->()'/ lim(ZMPN—2M；P：

40、N；) 2|pm|->()1117 |曲|一0 %鯽""'崎+徐麗） |av|->o?-lim（tanZM.PM；+tanZN；P；N；） 2網(wǎng)I-。1117 MM |/W|->0=—lim 2|pm|to|av|->o' v—lim 2pm|t（） |PN|->0 =—lim 2|pm|to|av|->o' v—lim 2pm|t（） |PN|->0 —:+_:_11|W| （1.1.4） 網(wǎng)m"\pm\網(wǎng) 在給定的坐標(biāo)系的三維情況下，只要令上述式中，和m方向分別為某坐標(biāo)軸的方向,即可得到用于描述P點(diǎn)處變形程度的六個(gè)分量表達(dá)式。 三、線彈性、小

41、變形假設(shè)下的應(yīng)變一一柯西應(yīng)變幾何方程1、位移函數(shù) 由于載荷作用或者溫度變化等外界因素等影響，物體內(nèi)各點(diǎn)在空間的位置將發(fā)生變化，即產(chǎn)生位移。這個(gè)移動(dòng)過程，彈性體將可能同時(shí)發(fā)生兩種位移變化。 第一種位移是位置的改變，但是物體內(nèi)部各個(gè)點(diǎn)仍然保持初始狀態(tài)的相對(duì)位置不變，這種位移是物體在空間做剛體運(yùn)動(dòng)引起的，因此稱為剛體位移。 第二種位移是彈性體形狀的變化，位移發(fā)生時(shí)不僅改變物體的絕對(duì)位置，而且改變了物體內(nèi)部各個(gè)點(diǎn)的相對(duì)位置，這是物體形狀變化引起的位移，稱為變形。 一般來說，剛體位移和變形是同時(shí)出現(xiàn)的。當(dāng)然，對(duì)于彈性力學(xué)，主要是研究變形，因?yàn)樽冃魏蛷椥泽w的應(yīng)力有著直接的關(guān)系。  根據(jù)連續(xù)性

42、假設(shè)，彈性體在變形前和變形后仍保持為連續(xù)體。那么彈性體中某點(diǎn)在變形過程中由M(x,y,z)移動(dòng)至M，(X1,y',z'),這一過程也將是連續(xù)的，如圖所示。在數(shù)學(xué)上，f,V，z，必為x,y,z的單值連續(xù)函數(shù)。設(shè)為位移矢量，其三個(gè)分量“，V,w為位移分量。則u=xf(x,y,z)-x=u3y,z), v=y,(x,y,z)-y=v(x,y,z) w=z'3y,z)-z=w(x,y,z) 顯然，位移分量〃，匕附也是*,z的單值連續(xù)函數(shù)。以后的分析將進(jìn)一步假定位移函數(shù)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。 (吳家龍教材P32)由小變形、線彈性的假設(shè)得到：與坐標(biāo)軸平行的微分線段在變形后一般要旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度；但是這個(gè)轉(zhuǎn)

43、角是極其微小的，可以用變形以后的的微分線段在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影來代替變形后微分線段的長(zhǎng)度。 2、變形與應(yīng)變分量 為進(jìn)一步研究彈性體的變形情況，假設(shè)從彈性體中分割出一個(gè)微分六面體單元，其六個(gè)面分別與三個(gè)坐標(biāo)軸垂直。 對(duì)于微分單元體的變形，將分為兩個(gè)部分討論。一是微分單元體棱邊的伸長(zhǎng)和縮短；二是棱邊之間夾角的變化。彈性力學(xué)分別使用正應(yīng)變和切應(yīng)變表示這兩種變形的。  對(duì)于微分平行六面體單元，設(shè)其變形前與X,)，，Z坐標(biāo)軸平行的棱邊分別為MA,MB,MC,變形后分別變?yōu)镸A,MB,MC。 假設(shè)分別用&,乾&表示x,y,z軸方向棱邊的相對(duì)伸長(zhǎng)度，即正應(yīng)變；分別用/vy,Yyz,/zx表示X

44、和和Z,Z和X軸之間的夾角變化，即切應(yīng)變。則B'—M8 B'—M8 MrAr-MAjr jr jr “2 IT Xxx=--ZCfMfAf 對(duì)于小變形問題，為了簡(jiǎn)化分析，將微分單元體分別投影到Oxy,Oyz,Ozx平面來討論。 顯然，單元體變形前各棱邊是與坐標(biāo)面平行的，變形后棱邊將有相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)，但我們討論的是小變形問題，這種轉(zhuǎn)動(dòng)所帶來的影響較小。特別是物體位移中不影響變形的計(jì)算，假設(shè)各點(diǎn)的位移僅為自身的大小和形狀的變化所確定，則這種微分線段的轉(zhuǎn)動(dòng)的誤差是十分微小的，不會(huì)導(dǎo)致微分單元體的變形有明顯的變化。 3、正應(yīng)變表達(dá)式 首先討論?！蛎嫔贤队暗淖冃巍? 設(shè)

45、〃也，"泊分別為MA,MB的投影，m'a\〃必分別為M'A',MB,即變形后的MX,MB的投影。 微分單元體的棱邊長(zhǎng)為cbr,dy,dz,M點(diǎn)的坐標(biāo)為3y9z),u(x,y,z),v(x,y,z)分別表示M點(diǎn)x,y方向的位移分量。 則A,B點(diǎn)的位移分別為 du.即，m淑， u+—dx,v+—dx和“+—ay, dx&cdy dv v+—ay 則A點(diǎn)的位移為M(x+dx,y,z),v(x+dx,)，，z)，，點(diǎn)的位移為〃(x,y+dy,z),v(x,)，+dy,z)o按泰勒級(jí)數(shù)將A,8兩點(diǎn)的位移展開，并且略去二階以上的小量，因?yàn)? MM,^w,a,=dx+w+—dx-u=dx+

46、—dx dxdx 所以5/1，w/idx+當(dāng)dx-dx令 =MA-MA^_虹笊 dx MA 'dx同理可得 dw dvF ydy'dz 由此可以得到彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)微分線段的相對(duì)伸長(zhǎng)度，即正應(yīng)變。顯然微分線段伸長(zhǎng)，則正應(yīng)變&?,幽&大于零，反之則小于零。 3、切應(yīng)變分量 以下討論切應(yīng)變表達(dá)關(guān)系。 假設(shè)入，為與X軸平行的微分線段〃心向y軸轉(zhuǎn)過的角度，/即為與y軸平行的〃活向x軸轉(zhuǎn)過的角度。則切應(yīng)變j-至二:-4X偵二代+給 因?yàn)镮即13v ,,,V*—dx—V,%Man^=—==-^-4 心'dx+竺dx1悝故dxdx 上式的推導(dǎo)中，利用了小變形條件下位移的

47、導(dǎo)數(shù)是高階小量的結(jié)論。同理可得 四.1?和?可為正或?yàn)樨?fù)，其正負(fù)號(hào)的幾何意義為：岳?.1?大于零，表示位移V隨坐標(biāo)工而增加，即x方向的微分線段正向向y軸旋轉(zhuǎn)。將上述兩式代入切應(yīng)變表達(dá)式，則同理可得 _+3vdydz,5dzdx 切應(yīng)變分量大于零，表示微分線段的夾角縮小，反之則增大。 5、幾何方程與應(yīng)變張量 綜上所述，應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系為dudvdw XT=XT=XT二、阪''dy9zdz9 dvdudwdvdudwY———+、y=+——、y=+ "欲莎％出湯兒％dx上述公式稱為幾何方程，又稱柯西方程。 柯西方程給出了位移分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系。如果已知位移，由位移

48、函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)即可求得應(yīng)變；但是如果已知應(yīng)變，由于六個(gè)應(yīng)變分量對(duì)應(yīng)三個(gè)位移分量，則其求解將相對(duì)復(fù)雜。這個(gè)問題以后作專門討論。 幾何方程給出的應(yīng)變通常稱為工程應(yīng)變。 如果使用張量符號(hào)，則幾何方程可以表達(dá)為1,、 上式表明應(yīng)變分量句將滿足二階張量的坐標(biāo)變換關(guān)系，應(yīng)變張量分量與工程應(yīng)變分量的關(guān)系可表示為 四、純變形位移與剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移（與吳家龍教材P34“相對(duì)位移張量”對(duì)應(yīng)） 學(xué)習(xí)思路： 應(yīng)變分量通過位移的偏導(dǎo)數(shù)描述了一點(diǎn)的變形，對(duì)微分平行六面體單元棱邊的伸長(zhǎng)以及棱邊之間夾角的改變做出定義。但是這還不能完全描述彈性體的變形,原因是沒有考慮微分單元體的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。 如下圖所示：/vv=+ay.,稱之為剪應(yīng)變；和a乒為直角兩邊改變的角度。當(dāng)