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1、3.3.2 極大值與極小值極大值與極小值單調性與導數(shù)的關系：單調性與導數(shù)的關系：設函數(shù)設函數(shù)y=f(x)在在某個區(qū)間某個區(qū)間內可導，內可導，如果如果f (x)0，則，則f(x)為增函數(shù)；為增函數(shù)；如果如果f (x)0，則，則f(x)為減函數(shù)；為減函數(shù)；如果如果f (x)=0，則，則f(x)為常數(shù)函數(shù)；為常數(shù)函數(shù)；B(04全國卷全國卷理理10) 函數(shù)函數(shù) 在下面哪個區(qū)間內是增函數(shù)在下面哪個區(qū)間內是增函數(shù) （ ） A B C Dxxxysincos )23,2( )2 ,( )25,23( )3 ,2( 如如:復習復習: yxOaby f(x)x1 f (x1)x2 f(x2)x3 f(x3)x4

2、 f(x4) 函數(shù)函數(shù) y=f (x)在點在點x1 、x2 、x3 、x4處的處的函數(shù)值函數(shù)值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，與它們左右，與它們左右近旁各點處的函數(shù)值，相比有什么特點近旁各點處的函數(shù)值，相比有什么特點?觀察圖像：觀察圖像：一、函數(shù)的極值定義一、函數(shù)的極值定義一般的，設函數(shù)一般的，設函數(shù)f(x)在點在點x0附近有定義，附近有定義，如果對如果對X0附近的所有點，都有附近的所有點，都有f(x)f(x0), 則則f(x0) 是函數(shù)是函數(shù)f(x)的一個極小值，記作的一個極小值，記作y極小值極小值= f(x0)；oxyoxy0 x0 x函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱

3、為函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值. (極值即峰谷處的極值即峰谷處的值值-不一定最大或最?。┎灰欢ㄗ畲蠡蜃钚。┦购瘮?shù)取得極值的使函數(shù)取得極值的點點x0稱為稱為極值點極值點數(shù)學建構數(shù)學建構 （3）極大值與極小值沒有必然關系，極大值與極小值沒有必然關系， 極大值可能比極小值還小極大值可能比極小值還小. 注意：注意：o oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1)y=f(x)Q(x2,f(x2)（1）極值是某一點附近的小區(qū)間而言極值是某一點附近的小區(qū)間而言的的,是函數(shù)的局部性質是函數(shù)的局部性質,不是整體的最值不是整體的最值;（2）函數(shù)的極值不一定唯一函數(shù)的極值不一定唯一,在整個定義區(qū)間在整個定義

4、區(qū)間內可能有多個極大值和極小值；內可能有多個極大值和極小值； yxO觀察與思考：觀察與思考：極值與導數(shù)有何關系？極值與導數(shù)有何關系？在極值點處，曲線如果有切線，則切線是水平的。在極值點處，曲線如果有切線，則切線是水平的。aby f(x)x1 f (x1) 0 x2 f (x2) 0 x3 f (x3) 0 x4 f (x5) 0 x5 觀察圖像并類比于函數(shù)的單調性與導數(shù)關系的研觀察圖像并類比于函數(shù)的單調性與導數(shù)關系的研究方法究方法,看極值與導數(shù)之間有什么關系看極值與導數(shù)之間有什么關系?o a x0 b x y xx0 0左側左側 x0 x0 0右側右側 f (x) f(x) o a x0 b

5、x y xx0 0左側左側 x0 x0 0右側右側 f (x) f(x)增增f (x) 0f (x) =0f (x) 0極大值極大值減減f (x) 0數(shù)學建構數(shù)學建構請問如何判斷請問如何判斷f (x0)是極大值或是極小值？是極大值或是極小值？ f (x)0 yxOx1aby f(x)在極大值點附近在極大值點附近在極小值點附近在極小值點附近 f (x)0 f (x)01、如果在、如果在x0附近的左側附近的左側f (x)0，右側，右側f (x)0，則則f (x0)是極大值；是極大值；2、如果在、如果在x0附近的左側附近的左側f (x)0， 則則f (x0)是極小值；是極小值；已知函數(shù)已知函數(shù)f(x

6、)在點在點x0處是處是連續(xù)連續(xù)的，則的，則二、判斷函數(shù)極值的方法二、判斷函數(shù)極值的方法x2導數(shù)為導數(shù)為0的點不一定是極值點；的點不一定是極值點；極值點處的導數(shù)不一定是存在的；極值點處的導數(shù)不一定是存在的；若極值點處的導數(shù)存在，則一定為若極值點處的導數(shù)存在，則一定為0左正右負為極大，右正左負為極小左正右負為極大，右正左負為極小注意注意：函數(shù)極值是在某一點附近的小區(qū)間內定義：函數(shù)極值是在某一點附近的小區(qū)間內定義的，是的，是局部性質局部性質。因此一個函數(shù)在其整個定義區(qū)間。因此一個函數(shù)在其整個定義區(qū)間上可能有上可能有多個極大值或極小值多個極大值或極小值，并對同一個函數(shù)來，并對同一個函數(shù)來說，在某說，在

7、某一點的極大值也可能小于另一點的極小值一點的極大值也可能小于另一點的極小值。例例.判斷下面判斷下面4個命題，其中是真命題序號為個命題，其中是真命題序號為 。可導函數(shù)必有極值；可導函數(shù)必有極值；函數(shù)在極值點必有定義；函數(shù)在極值點必有定義；函數(shù)的極小值一定小于極大值函數(shù)的極小值一定小于極大值（設極小值、極大值都存在）；（設極小值、極大值都存在）；函數(shù)的極小值（或極大值）不會多于一個。函數(shù)的極小值（或極大值）不會多于一個。xy2 如如例例1 求函數(shù)求函數(shù) 的極值。的極值。314xx31y3 x(-，-2）-2(-2，2）2(2，+） yy解解：定義域為：定義域為R，y=x2-4由由y=0可得可得x=

8、-2或或 x=2當當x變化時，變化時，y, y的變化情況如下表：的變化情況如下表：因此，當因此，當x=-2時，時， y極大值極大值=17/3 當當x=2時，時， y極小值極小值=5+ + +0 0-0 0極大值極大值17/3極小值極小值 -5求可導函數(shù)求可導函數(shù)f(x)極值的極值的 步驟：步驟：(2)求導數(shù)求導數(shù)f (x)；(3)求方程求方程f (x）=0的根；的根； (4)把定義域劃分為把定義域劃分為部分區(qū)間，并列成表格部分區(qū)間，并列成表格檢查檢查f (x)在方程根左右的符號在方程根左右的符號如果如果左正右負左正右負（+ -），）， 那么那么f(x)在這個根處取得極在這個根處取得極大大值；值

9、；如果如果左負右正左負右正（- +），）， 那么那么f(x)在這個根處取得極在這個根處取得極小小值；值；(1) 確定函數(shù)的確定函數(shù)的定義域定義域；例例2 求函數(shù)求函數(shù) y=(x2-1)3+1 的極值。的極值。x(-,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)y00+0+y無極值無極值極小值極小值0無極無極值值解解：定義域為：定義域為R， y=6x(x2-1)2。由由y=0可得可得x1=-1, x2=0 ，x3=1當當x變化時，變化時，y , y的變化情況如下表：的變化情況如下表：因此，當因此，當x=0時，時， y極小值極小值=0點評：一點是極值點的點評：一點是極值點的充分條件充分條件是這點

10、兩側的導數(shù)異號。是這點兩側的導數(shù)異號。1、函數(shù)、函數(shù)y=f(x)的導數(shù)的導數(shù)y/與函數(shù)值和極值之間的關系為與函數(shù)值和極值之間的關系為( )A、導數(shù)、導數(shù)y/由負變正由負變正,則函數(shù)則函數(shù)y由減變?yōu)樵鲇蓽p變?yōu)樵?且有極大值且有極大值B、導數(shù)、導數(shù)y/由負變正由負變正,則函數(shù)則函數(shù)y由增變?yōu)闇p由增變?yōu)闇p,且有極大值且有極大值C、導數(shù)、導數(shù)y/由正變負由正變負,則函數(shù)則函數(shù)y由增變?yōu)闇p由增變?yōu)闇p,且有極小值且有極小值D、導數(shù)、導數(shù)y/由正變負由正變負,則函數(shù)則函數(shù)y由增變?yōu)闇p由增變?yōu)闇p,且有極大值且有極大值D練習：練習： abxy)(xfyO abxy)(xfyO （2006年天津卷年天津卷)函數(shù)函

11、數(shù) 的定義域為開區(qū)間的定義域為開區(qū)間)(xf導函數(shù)導函數(shù) 在在 內的圖像如圖所示，則函數(shù)內的圖像如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間在開區(qū)間 內有（內有（ ）個極小值點。）個極小值點。 A.1 B.2 C.3 D. 4)(xf ),(ba),(ba),(ba)(xfAf (x) 0f (x) =0注意：注意：數(shù)形結合以及原函數(shù)與導函數(shù)圖像的區(qū)別數(shù)形結合以及原函數(shù)與導函數(shù)圖像的區(qū)別2、例例3 已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，當，當x=-1時取時取得極大值得極大值7；當；當x=3時取得極小值，時取得極小值，求這個極小值及求這個極小值及a、b、c的值。的值。 函數(shù)函數(shù) 在在 時有極值時有極值1

12、010，則，則a，b的值為（的值為（ ）A A、 或或 B B、 或或C C、 D D、 以上都不對以上都不對 223)(abxaxxxf 1 x3, 3 ba11, 4 ba1, 4 ba11, 4 ba11, 4 baC，解解:由題設條件得：由題設條件得： 0)1(10)1(/ff 0231012baaba解之得解之得 11433baba或或通過驗證，都合要求，故應選擇通過驗證，都合要求，故應選擇A。 注意：注意：f/(x0)=0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件是函數(shù)取得極值的必要不充分條件注意代注意代入檢驗入檢驗 3、32( )f xaxbxcx4.(4.(2006年年北京卷北京卷) )已

13、知函數(shù)已知函數(shù)在點在點 處取得極大值處取得極大值5,其導函數(shù)其導函數(shù) 的圖像的圖像(如圖如圖)過點（過點（1,0）,（2,0）, 求：求：（1） 的值；（的值；（2）a,b,c的值；的值；0 x( )yfx0 x2,9,12abc .10 x) 0(23(2/ acbxaxxf）或或 23332acab5) 1 ( cbaf0412)2(023)1(/cbafcbaf 略解：略解：(1)由圖像可知：由圖像可知：(2)注意：數(shù)形結合以及函數(shù)與方程思想的應用注意：數(shù)形結合以及函數(shù)與方程思想的應用 x(-,-a) -a(-a,0) (0,a) a(a,+) f(x) + 0 - - 0 + f(x) 極大值極大值-2a 極小值極小值2a 故當故當x=-a時時,f(x)有極大值有極大值f(-a)=-2a;當當x=a時時,f(x)有極有極小值小值f(a)=2a.例例3:求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值.)0()(2 axaxxf解解:函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為),0()0 ,( .)(1)(222xaxaxxaxf 令令 ,解得解得x1=-a,x2=a(a0).0)( xf當當x變化時變化時, ,f(x)的變化情況如下表的變化情況如下表:)(xf