《2018年高考數(shù)學(xué) 命題角度5.5 圓錐曲線的定值、定點(diǎn)問題大題狂練 文》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018年高考數(shù)學(xué) 命題角度5.5 圓錐曲線的定值、定點(diǎn)問題大題狂練 文(17頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
命題角度5.5:圓錐曲線的定值、定點(diǎn)問題
1.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上,中心在原點(diǎn),離心率,直線與以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,點(diǎn)是橢圓上異于的任意一點(diǎn),直線的斜率分別為.證明: 為定值.
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析: (I)設(shè)橢圓的方程,利用離心率e=直線l:y=x+2與以原點(diǎn)為圓心,橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切,確定幾何量,從而可得橢圓的方程;
(Ⅱ)利用M點(diǎn)在橢圓上,計(jì)算斜率,化簡即可得到結(jié)論.
(2)證明:由橢圓的方程得,
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則.
.
.
為定值.
點(diǎn)睛:本題考查橢
2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與圓相切,考查斜率的計(jì)算,主要應(yīng)用點(diǎn)在曲線上得出定值.
2. 已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定直線的距離比到定點(diǎn)的距離大.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)過點(diǎn)的直線交軌跡于, 兩點(diǎn),直線, 分別交直線于點(diǎn), ,證明以為直徑的圓被軸截得的弦長為定值,并求出此定值.
【答案】(I);(II)詳見解析.
【解析】試題分析:(1)依據(jù)題設(shè)條件及兩點(diǎn)間距離公式建立方程分析求解;(2)依據(jù)題設(shè)條件建立直線, 的方程,再運(yùn)用坐標(biāo)之間的關(guān)系分析探求:
試題解析:
解:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,因?yàn)槎c(diǎn)在定直線: 的右側(cè),
且動(dòng)點(diǎn)到定直線: 的距離比到定點(diǎn)的距離大,
所以且,
化簡得,即,
3、
軌跡的方程為.
(Ⅱ)設(shè), (),則, ,
∵, , 三點(diǎn)共線,
∴,
∴,
又,∴,
直線的方程為,令,得.
同理可得.
所以以為直徑的圓的方程為,
即.
將代入上式,可得,
令,即或,
故以為直徑的圓被軸截得的弦長為定值4.
點(diǎn)睛:解析幾何是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)與內(nèi)容,也是高考重點(diǎn)考查的重要考點(diǎn)與熱點(diǎn)。這類問題的設(shè)置旨在考查借助直角坐標(biāo)的關(guān)系求解幾何圖形問題。求解第一問時(shí)充分依據(jù)題設(shè)條件,運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式建立等量關(guān)系,通過化簡使得問題獲解;解答第二問時(shí),先設(shè), ,在借助題設(shè)中的條件建立以為直徑的圓的方程為,探究其最值關(guān)系,從而使得問題獲解。
3. 已知橢
4、圓的離心率為,左、右焦點(diǎn)分別為圓, 是上一點(diǎn), ,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)時(shí),線段上取點(diǎn),且滿足,證明點(diǎn)總在某定直線上,并求出該定直線.
【答案】(1)(2)見解析
試題解析:(1)由已知得,且,
在中,由余弦定理得,解得.
則,所以橢圓的方程為.
(2)由題意可得直線的斜率存在,
設(shè)直線的方程為,即,
代入橢圓方程,整理得,
設(shè),則.
設(shè),由得
(考慮線段在軸上的射影即可),
所以,
于是,
整理得,(*)
又,代入(*)式得,
所以點(diǎn)總在直線上.
考點(diǎn):1.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;2.直線與橢圓位置關(guān)系.
點(diǎn)睛:圓
5、錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題時(shí)高考中的??碱}型,難度一般較大,常常把直線、圓及圓錐曲線等知識(shí)結(jié)合在一起,注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的考查,尤其是函數(shù)思想、分類討論思想的考查.求定值問題常見的方法:(1)從特殊點(diǎn)入手,求出定值,再證明這個(gè)值與變量無關(guān),(2)直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過程中消去變量,從而得到定值.定點(diǎn)問題的常見解法:(1)假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)題意選擇參數(shù),建立一個(gè)直線系或曲線系方程,而該方程與參數(shù)無關(guān),故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組,以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求定點(diǎn),(2)從特殊位置入手,找出定點(diǎn),再證明該點(diǎn)符合題意.
4. 已知橢圓的焦距為,點(diǎn)在上.
(I)求的方程;
6、(II)過原點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸重合的直線與有兩個(gè)交點(diǎn),點(diǎn)在軸上的射影為,線段的中點(diǎn)為,直線交于點(diǎn),證明:直線的斜率與直線的斜率乘積為定值.
【答案】(I)(II)定值
【解析】試題分析:(1)(I)由題意知, 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,利用定義求解 的值,即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
試題解析:
(I)由題意知, 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,
, .
所以,橢圓的方程為.
(II)設(shè),則
由點(diǎn)在橢圓上得, ,兩式相減得, .
, .
因?yàn)槿c(diǎn)共線,所以,即.
,為定值.
5. 已知?jiǎng)訄A過點(diǎn),且在軸上截得的弦長為
(Ⅰ)求圓心的軌跡方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn),證明: 為定值
7、,并求出這個(gè)定值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)定值為
【解析】試題分析:(1)設(shè)動(dòng)圓圓心坐標(biāo)為,根據(jù)垂徑定理得,化簡解得圓心的軌跡方程;(2)設(shè)直線的方程為: ,利用直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組,結(jié)合韋達(dá)定理化簡
試題解析:解:(Ⅰ)設(shè)動(dòng)圓圓心坐標(biāo)為,
由題意得:動(dòng)圓半徑
圓心到軸的距離為,
依題意有,
化簡得,即動(dòng)圓圓心的軌跡方程為:
(Ⅱ)①當(dāng)直線的斜率不存在,則直線的方程為:
得
所以,故為定值.
綜合①②,為定值,且定值為
點(diǎn)睛:定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少,或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題,證明
8、該式是恒定的. 定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似,在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果,因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù),運(yùn)用推理,到最后必定參數(shù)統(tǒng)消,定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).
6. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知A、B、C是橢圓上不同的三點(diǎn), ,C在第三象限,線段BC的中點(diǎn)在直線OA上。
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(3)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上(異于點(diǎn)A、B、C)且直線PB, PC分別交直線OA于M、N兩點(diǎn),證明為定值并求出該定值.
【答案】(1)(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為.(3)為定值,定值為.
【解析】試題分析:(1)將點(diǎn)A,B的坐標(biāo)代入方程即可求得,(2)設(shè)點(diǎn),得BC的中點(diǎn)坐標(biāo),帶去直線OA聯(lián)立
9、橢圓方程即可求得m,n,從而得C的坐標(biāo),(3)分別設(shè)出P,N,M三點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)P,B,M三點(diǎn)共線和P,C,N三點(diǎn)共線得到M,N,P的關(guān)系,將P點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程即可得各系數(shù)之間的關(guān)系,于是化簡得定制
(3)設(shè), , .
∵三點(diǎn)共線,∴,整理,得.
∵三點(diǎn)共線,∴,整理,得.
∵點(diǎn)在橢圓上,∴, .
從而.
所以.∴為定值,定值為.
點(diǎn)睛:本題主要考察圓錐曲線,先根據(jù)題意可以的橢圓方程,對于第二問和第三問則需要多借助草圖分析點(diǎn)之間的幾何關(guān)系,尤其要注意三點(diǎn)共線在此題中的運(yùn)用,明確目標(biāo)逐步化簡即可
7.已知橢圓: 的短軸長為,離心率為,圓的圓心在橢圓上,半徑
10、為2,直線與直線為圓的兩條切線.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)試問: 是否為定值?若是,求出該值;若不是,說明理由.
【答案】(1);(2)
【解析】試題分析:(1)由橢圓焦點(diǎn)在軸上, ,離心率,則,即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè),圓的方程為,由直線與圓相切,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得為方程,的兩個(gè)根,由韋達(dá)定理可知: ,由在橢圓上即可求得.
(2)因?yàn)橹本€與圓相切,∴
整理得: ,
同理可得: ,
所以, 為方程的兩個(gè)根
∴,又∵在橢圓上,∴
∴,故是定值為
【方法點(diǎn)睛】本題主要考查待定待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程方程、橢圓的幾何性質(zhì)以及圓錐曲線的定值問題
11、,屬于難題. 探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種:① 從特殊入手,先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值,再證明這個(gè)值與變量無關(guān);② 直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過程中消去變量,從而得到定值.
8.在直角坐標(biāo)系中, 已知定圓,動(dòng)圓過點(diǎn)且與圓相切,記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)設(shè)是曲線上兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為 (異于點(diǎn)),若直線分別交軸于點(diǎn),證明: 為定值.
【答案】(1);(2)詳見解析.
【解析】試題分析:(1)由兩圓關(guān)系得等量關(guān)系,再根據(jù)橢圓定義確定軌跡形狀及標(biāo)準(zhǔn)方程,(2)解析幾何中定值問題,往往通過計(jì)算給予證明,先設(shè)坐標(biāo),列直線方程,求出與軸交點(diǎn)坐標(biāo),再
12、利用點(diǎn)在橢圓上這一條件進(jìn)行代入消元,化簡計(jì)算為定值 .
試題解析:
解:(1)因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi),所以圓內(nèi)切于圓,則,由橢圓定義知,圓心的軌跡為橢圓,且,則,所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.
(2)設(shè),則,由題意知.則,直線方程為,令,得,同理,于是,
又和在橢圓上,故,則
.
所以.
9. 已知橢圓的離心率為,四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形的面積是4,圓過橢圓的上頂點(diǎn)作圓的兩條切線分別與橢圓相交于兩點(diǎn)(不同于點(diǎn)),直線的斜率分別為.
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)變化時(shí),①求的值;②試問直線是否過某個(gè)定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn);若不是,請說明理由.
【答案】(1);(2)見解析.
由,得,于是有
13、,直線的斜率為,直線的方程為,令,得,即可證明直線過定點(diǎn).
試題解析:(1)由題設(shè)知, , ,又,
解得.
故所求橢圓的方程是.
(2)①,則有,化簡得,
對于直線,同理有,
于是是方程的兩實(shí)根,故.
考慮到時(shí), 是橢圓的下頂點(diǎn), 趨近于橢圓的上頂點(diǎn),故若過定點(diǎn),則猜想定點(diǎn)在軸上.
由,得,于是有.
直線的斜率為,
直線的方程為,
令,得,
故直線過定點(diǎn).
10.在平面直角坐標(biāo)系中,已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)已知為定直線上一點(diǎn).
①過點(diǎn)作的垂線交軌跡于點(diǎn)(不在軸上),求證:直線與的斜率之積是定值;
②若點(diǎn)的
14、坐標(biāo)為,過點(diǎn)作動(dòng)直線交軌跡于不同兩點(diǎn),線段上的點(diǎn)滿足,求證:點(diǎn)恒在一條定直線上.
【答案】(1)(2)①直線與的斜率之積為定值.
②點(diǎn)在定直線上.
【解析】試題分析:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo),直接利用軌跡方程定義計(jì)算即可;(2),
①令,由,得,即,即,又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,而的斜率分別為,于是,即直線與的斜率之積為定值; ②令,則,代入橢圓,消元即可證明點(diǎn)在定直線上.
試題解析:(1)設(shè),則,點(diǎn)到直線的距離,
由,得,化簡得,
即點(diǎn)在軌跡的方程為;
②令,則,
令點(diǎn),則,
即,即
由①×③,②×④,得,
因?yàn)樵跈E圓上,所以,
⑤×2+⑥×3,得
,即,
所以點(diǎn)在定直線上.
本題主要考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系,是高考的必考點(diǎn),屬于難題.求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程,求出即可,注意的應(yīng)用;涉及直線與圓錐曲線相交時(shí),未給出直線時(shí)需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程,要特別注意直線斜率是否存在的問題,避免不分類討論造成遺漏,然后要聯(lián)立方程組,得一元二次方程,利用根與系數(shù)關(guān)系寫出,再根據(jù)具體問題應(yīng)用上式,其中要注意判別式條件的約束作用.
- 17 -