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1、高考專題突破五高考中的圓錐曲線問題考點自測課時作業(yè)題型分類深度剖析內容索引考點自測考點自測 1.(2015課標全國)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，ABM為等腰三角形，且頂角為120，則E的離心率為答案解析如圖，設雙曲線E的方程為 1(a0，b0)，則|AB|2a，由雙曲線的對稱性，可設點M(x1，y1)在第一象限內，過M作MNx軸于點N(x1,0)，ABM為等腰三角形，且ABM120，|BM|AB|2a，MBN60，y1|MN|BM|sinMBN2asin 60 a， 2.如圖，已知橢圓C的中心為原點O，F(xiàn)(2 ，0)為C的左焦點，P為C上一點，滿足|OP|OF|，且|PF|4

2、，則橢圓C的方程為答案解析由|OP|OF|OF|知，F(xiàn)PF90，即FPPF.在RtPFF中，由勾股定理，由橢圓定義，得|PF|PF|2a4812， 3.(2017太原質檢)已知A，B分別為橢圓1(ab0)的右頂點和上頂點，直線ykx(k0)與橢圓交于C，D兩點，若四邊形ACBD的面積的最大值為2c2，則橢圓的離心率為答案解析設C(x1，y1)(x10)，D(x2，y2)，即2c4a2b2a2(a2c2)a4a2c2,2c4a2c2a40,2e4e210，4.(2016北京)雙曲線 1(a0，b0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點，若正方形OABC的邊長為2

3、，則a_.答案解析2設B為雙曲線的右焦點，如圖所示.四邊形OABC為正方形且邊長為2，又a2b2c28，a2.答案解析題型分類題型分類深度剖析深度剖析 題型一求圓錐曲線的標準方程題型一求圓錐曲線的標準方程例例1已知橢圓E： 1(ab0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交E于A、B兩點.若AB的中點坐標為(1，1)，則E的方程為答案解析設A(x1，y1)、B(x2，y2)，聯(lián)立直線與橢圓的方程得(a2b2)x26b2x9b2a40，又因為a2b29，解得b29，a218.思維升華求圓錐曲線的標準方程是高考的必考題型，主要利用圓錐曲線的定義、幾何性質，解得標準方程中的參數(shù)，從而求得方程. 跟蹤

4、訓練跟蹤訓練1(2015天津)已知雙曲線 1(a0，b0 )的一個焦點為F(2,0)，且雙曲線的漸近線與圓(x2)2y23相切，則雙曲線的方程為答案解析則a2b24， 題型二圓錐曲線的幾何性質題型二圓錐曲線的幾何性質例例2(1)(2015湖南)若雙曲線 1的一條漸近線經過點(3，4)，則此雙曲線的離心率為答案解析即3b4a，9b216a2，9c29a216a2，答案解析思維升華圓錐曲線的幾何性質是高考考查的重點，求離心率、準線、雙曲線漸近線，是?？碱}型，解決這類問題的關鍵是熟練掌握各性質的定義，及相關參數(shù)間的聯(lián)系.掌握一些常用的結論及變形技巧，有助于提高運算能力.跟蹤訓練跟蹤訓練2已知橢圓 1

5、(ab0)與拋物線y22px(p0)有相同的焦點F，P，Q是橢圓與拋物線的交點，若PQ經過焦點F，則橢圓 1(ab0)的離心率為_.答案解析|PF|p，|EF|p.題型三最值、范圍問題題型三最值、范圍問題例例3若直線l：y 過雙曲線 1(a0，b0)的一個焦點，且與雙曲線的一條漸近線平行.(1)求雙曲線的方程；解答所以a23b2，且a2b2c24，(2)若過點B(0，b)且與x軸不平行的直線和雙曲線相交于不同的兩點M，N，MN的垂直平分線為m，求直線m在y軸上的截距的取值范圍.解答幾何畫板展示幾何畫板展示由(1)知B(0,1)，依題意可設過點B的直線方程為ykx1(k0)，M(x1，y1)，N

6、(x2，y2).設MN的中點為Q(x0，y0)，故直線m在y軸上的截距的取值范圍為(，4)(4，).思維升華圓錐曲線中的最值、范圍問題解決方法一般分兩種：一是代數(shù)法，從代數(shù)的角度考慮，通過建立函數(shù)、不等式等模型，利用二次函數(shù)法和均值不等式法、換元法、導數(shù)法等方法求最值；二是幾何法，從圓錐曲線的幾何性質的角度考慮，根據(jù)圓錐曲線幾何意義求最值與范圍.跟蹤訓練跟蹤訓練3如圖，曲線由兩個橢圓T1： 1(ab0)和橢圓T2： 1(bc0)組成，當a，b，c成等比數(shù)列時，稱曲線為“貓眼”.a2，c1，解答(2)對于(1)中的“貓眼曲線”，任作斜率為k(k0)且不過原點的直線與該曲線相交，交橢圓T1所得弦的

7、中點為M，交橢圓T2所得弦的中點為N，求證： 為與k無關的定值；證明幾何畫板展示幾何畫板展示設斜率為k的直線交橢圓T1于點C(x1，y1)，D(x2，y2) ，線段CD的中點為M(x0，y0)，k存在且k0，x1x2且x00，(3)若斜率為 的直線l為橢圓T2的切線，且交橢圓T1于點A，B，N為橢圓T1上的任意一點(點N與點A，B不重合)，求ABN面積的最大值.解答幾何畫板展示幾何畫板展示由0化簡得m2b22c2，由0得m2b22a2，l1，l2兩平行線間距離題型四定值、定點問題題型四定值、定點問題例例4(2016全國乙卷)設圓x2y22x150的圓心為A，直線l過點B(1,0)且與x軸不重合

8、，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.(1)證明|EA|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；解答因為|AD|AC|，EBAC，故EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圓A的標準方程為(x1)2y216，從而|AD|4，所以|EA|EB|4.由題設得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，幾何畫板展示幾何畫板展示(2)設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.解答幾何畫板展示幾何畫板展示當l與x軸不垂直時，設l的方程為yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，

9、N(x2，y2).故四邊形MPNQ的面積當l與x軸垂直時，其方程為x1，|MN|3，|PQ|8，四邊形MPNQ的面積為12.思維升華求定點及定值問題常見的方法有兩種(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關.(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.跟蹤訓練跟蹤訓練4(2016北京)已知橢圓C： 1(ab0)的離心率為 ，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB的面積為1.(1)求橢圓C的方程；解答(2)設P是橢圓C上一點，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N.求證：|AN|BM|為定值.證明幾何畫板展示幾何畫板展示由(1)知，A(2,0)，B

10、(0,1).當x00時，y01，|BM|2，|AN|2，|AN|BM|4.故|AN|BM|為定值.題型五探索性問題題型五探索性問題例例5(2015廣東)已知過原點的動直線l與圓C1：x2y26x50相交于不同的兩點A，B.(1)求圓C1的圓心坐標；解答圓C1：x2y26x50化為(x3)2y24，圓C1的圓心坐標為(3,0).(2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程；解答幾何畫板展示幾何畫板展示設M(x，y)，A，B為過原點的直線l與圓C1的交點，且M為AB的中點，由圓的性質知MC1MO，由向量的數(shù)量積公式得x23xy20.易知直線l的斜率存在，設直線l的方程為ymx，把相切時直線l的方程代入圓

11、C1的方程，當直線l經過圓C1的圓心時，M的坐標為(3,0).又直線l與圓C1交于A，B兩點，M為AB的中點，(3)是否存在實數(shù)k，使得直線L：yk(x4)與曲線C只有一個交點？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由.解答幾何畫板展示幾何畫板展示由題意知直線L表示過定點(4,0)，斜率為k的直線，把直線L的方程代入軌跡C的方程x23xy20，其中 x3，化簡得(k21)x2(38k2)x16k20，其中 x3，記f(x)(k21)x2(38k2)x16k2，其中 0時，思維升華(1)探索性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))

12、存在，用待定系數(shù)法設出，列出關于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在.(2)反證法與驗證法也是求解探索性問題常用的方法.跟蹤訓練跟蹤訓練5已知拋物線C：y22px(p0)的焦點為F，A為C上異于原點的任意一點，過點A的直線l交C于另一點B，交x軸的正半軸于點D，且有|FA|FD|.當點A的橫坐標為3時，ADF為正三角形.(1)求C的方程；解答因為|FA|FD|，解得t3p或t3(舍去).所以拋物線C的方程為y24x.(2)若直線l1l，且l1和C有且只有一個公共點E，證明直線AE過定點，并求出定點坐標.證明由(1)知F

13、(1,0).設A(x0，y0)(x0y00)，D(xD,0)(xD0).因為|FA|FD|，則|xD1|x01，由xD0，得xDx02，故D(x02,0)，因為直線l1和直線AB平行，直線AE恒過點F(1,0).所以直線AE過定點F(1,0).ABE的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.解答幾何畫板展示幾何畫板展示由知直線AE過焦點F(1,0)，所以ABE的面積的最小值為16.課時作業(yè)課時作業(yè)(1)求橢圓E的方程；1234解答1234解答1234當直線l與x軸垂直時不滿足條件.故可設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l的方程為yk(x2)1，代入橢圓方程得(3

14、4k2)x28k(2k1)x16k216k80，即4(x12)(x22)(y11)(y21)5，12344(x12)(x22)(1k2)5，即4x1x22(x1x2)4(1k2)5，12341234解答(1)求橢圓E的方程；1234解答1234設A(x1，y1)，則B(x1，y1)，123412343.(2016北京順義尖子生素質展示)已知橢圓 1的左頂點為A，右焦點為F，過點F的直線交橢圓于B，C兩點.解答1234(1)求該橢圓的離心率；(2)設直線AB和AC分別與直線x4交于點M，N，問：x軸上是否存在定點P使得MPNP？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.解答 1234依題意，直

15、線BC的斜率不為0，設其方程為xty1.設B(x1，y1)，C(x2，y2)，1234假設x軸上存在定點P(p,0)使得MPNP，將x1ty11，x2ty21代入上式，整理得1234即(p4)290，解得p1或p7.所以x軸上存在定點P(1,0)或P(7,0)，使得MPNP.1234*4.已知橢圓 1(ab0)的離心率為 ，且經過點P(1， )，過它的左，右焦點F1，F(xiàn)2分別作直線l1與l2，l1交橢圓于A，B兩點，l2交橢圓于C，D兩點，且l1l2（如圖所示）.1234(1)求橢圓的標準方程；解答將點P的坐標代入橢圓方程得c21，(2)求四邊形ACBD的面積S的取值范圍.解答1234若l1與l2中有一條直線的斜率不存在，則另一條直線的斜率為0，此時四邊形的面積S6.若l1與l2的斜率都存在，設l1的斜率為k，則直線l1的方程為yk(x1).設A(x1，y1)，B(x2，y2)，1234消去y并整理得(4k23)x28k2x4k2120. 注意到方程的結構特征和圖形的對稱性，1234令k2t(0，)，1234