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1、專題五 立體幾何第 3講 立體幾何中的向量方法主 干 知 識(shí) 梳 理熱 點(diǎn) 分 類 突 破真 題 與 押 題1.以多面體以多面體(特別是棱柱、棱錐或其組合體特別是棱柱、棱錐或其組合體)為載體，考為載體，考查空間中平行與垂直的證明，常出現(xiàn)在解答題的第查空間中平行與垂直的證明，常出現(xiàn)在解答題的第(1)問(wèn)問(wèn)中，考查空間想象能力，推理論證能力及計(jì)算能力，屬中，考查空間想象能力，推理論證能力及計(jì)算能力，屬低中檔問(wèn)題低中檔問(wèn)題.2.以多面體以多面體(特別是棱柱、棱錐或其組合體特別是棱柱、棱錐或其組合體)為載體，考為載體，考查空間角查空間角(主要是線面角和二面角主要是線面角和二面角)的計(jì)算，是高考的必的計(jì)算

2、，是高考的必考內(nèi)容，屬中檔題考內(nèi)容，屬中檔題.3.以已知結(jié)論尋求成立的條件以已知結(jié)論尋求成立的條件(或是否存在問(wèn)題或是否存在問(wèn)題)的探索的探索性問(wèn)題，考查邏輯推理能力、空間想象能力以及探索能性問(wèn)題，考查邏輯推理能力、空間想象能力以及探索能力，是近幾年高考命題的新亮點(diǎn)，屬中高檔問(wèn)題力，是近幾年高考命題的新亮點(diǎn)，屬中高檔問(wèn)題考情解讀3主干知識(shí)梳理1.直線與平面、平面與平面的平行與垂直的向量方法直線與平面、平面與平面的平行與垂直的向量方法設(shè)直線設(shè)直線l的方向向量為的方向向量為a(a1，b1，c1).平面平面、的法向的法向量分別為量分別為(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)(以下相同以下相同)

3、.(1)線面平行線面平行l(wèi)aa0a1a2b1b2c1c20.(2)線面垂直線面垂直laaka1ka2，b1kb2，c1kc2.(3)面面平行面面平行vva2a3，b2b3，c2c3.(4)面面垂直面面垂直vv0a2a3b2b3c2c30.2.直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角計(jì)算直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角計(jì)算設(shè)直線設(shè)直線l，m的方向向量分別為的方向向量分別為a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2).平面平面、的法向量分別為的法向量分別為(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下相同以下相同).(1)線線夾角線線夾角(2)線面夾角線面夾角(3)面面夾角面面夾角設(shè)

4、半平面設(shè)半平面、的夾角為的夾角為(0)，提醒提醒求二面角時(shí)，兩法向量的夾角有可能是二面求二面角時(shí)，兩法向量的夾角有可能是二面角的補(bǔ)角，要注意從圖中分析角的補(bǔ)角，要注意從圖中分析.3.求空間距離求空間距離直線到平面的距離，兩平行平面的距離均可轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離，兩平行平面的距離均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，點(diǎn)點(diǎn)到平面的距離，點(diǎn)P到平面到平面的距離：的距離：d (其中其中n為為的法向量，的法向量，M為為內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)). 熱點(diǎn)一 利用向量證明平行與垂直 熱點(diǎn)二 利用向量求空間角 熱點(diǎn)三 利用空間向量求解探索性問(wèn)題熱點(diǎn)分類突破例1如圖，在直三棱柱如圖，在直三棱柱ADEBCF中，面中，面ABFE和面

5、和面ABCD都是正方形都是正方形且互相垂直，且互相垂直，M為為AB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，O為為DF的中點(diǎn)的中點(diǎn).運(yùn)用向量方法證明：運(yùn)用向量方法證明：(1)OM平面平面BCF；熱點(diǎn)一 利用向量證明平行與垂直思維啟迪 從從A點(diǎn)出發(fā)的三條直線點(diǎn)出發(fā)的三條直線AB、AD，AE兩兩垂直兩兩垂直,可建立空間直角坐標(biāo)系可建立空間直角坐標(biāo)系.證明方法一由題意，得方法一由題意，得AB，AD，AE兩兩垂直，以兩兩垂直，以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系間直角坐標(biāo)系.棱柱棱柱ADEBCF是直三棱柱，是直三棱柱，AB平面平面BCF， 是平面是平面BCF的一個(gè)法向量，的一個(gè)法向量，且且OM 平面平面

6、BCF，OM平面平面BCF.(2)平面平面MDF平面平面EFCD.證明 設(shè)平面設(shè)平面MDF與平面與平面EFCD的一個(gè)法向量分別為的一個(gè)法向量分別為n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2).同理可得同理可得n2(0,1,1).n1n20，平面平面MDF平面平面EFCD.又又OM 平面平面BCF，OM平面平面BCF.(2)由題意知，由題意知，BF，BC，BA兩兩垂直，兩兩垂直，OMCD，OMFC，又，又CDFCC，OM平面平面EFCD.又又OM 平面平面MDF，平面平面MDF平面平面EFCD.(1)要證明線面平行，只需證明向量要證明線面平行，只需證明向量 與平面與平面BCF的的法向量垂直

7、；另一個(gè)思路則是根據(jù)共面向量定理證法向量垂直；另一個(gè)思路則是根據(jù)共面向量定理證明向量明向量 與與 ， 共面共面.(2)要證明面面垂直，只要證明這兩個(gè)平面的法向量要證明面面垂直，只要證明這兩個(gè)平面的法向量互相垂直；也可根據(jù)面面垂直的判定定理證明直線互相垂直；也可根據(jù)面面垂直的判定定理證明直線OM垂直于平面垂直于平面EFCD，即證，即證OM垂直于平面垂直于平面EFCD內(nèi)內(nèi)的兩條相交直線的兩條相交直線,從而轉(zhuǎn)化為證明向量從而轉(zhuǎn)化為證明向量 與與 向向量、量、 垂直垂直.思維升華變式訓(xùn)練1如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐PABCD中，中，PA平平面面ABCD，底面，底面ABCD是菱形，是菱形，PAAB2，

8、BAD60，E是是PA的中點(diǎn)的中點(diǎn).(1)求證：直線求證：直線PC平面平面BDE；證明設(shè)設(shè)ACBDO.因?yàn)橐驗(yàn)锽AD60，AB2，底面，底面ABCD為菱形，為菱形，所以所以BO1，AOCO ，ACBD.如圖，以如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)B，OC所所在直線分別為在直線分別為x軸，軸，y軸，過(guò)點(diǎn)軸，過(guò)點(diǎn)O且平行且平行于于PA的直線為的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系系Oxyz，(1)設(shè)平面設(shè)平面BDE的法向量為的法向量為n1(x1，y1，z1)，所以所以PC平面平面BDE.故故BDPC.(2)求證：求證：BDPC；例2如圖，五面體中，四邊形如圖，五面體中，四邊形AB

9、CD是矩形，是矩形，ABEF，AD平面平面ABEF，且且AD1，AB EF2，AFBE2 ，P、Q分分別為別為AE、BD的中點(diǎn)的中點(diǎn).(1)求證：求證：PQ平面平面BCE；熱點(diǎn)二 利用向量求空間角思維啟迪 易知易知PQ為為ACE的中位線；的中位線；證明連接連接AC，四邊形四邊形ABCD是矩形，且是矩形，且Q為為BD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，Q為為AC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，又在又在AEC中，中，P為為AE的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，PQEC，EC 面面BCE，PQ 面面BCE，PQ平面平面BCE.(2)求二面角求二面角ADFE的余弦值的余弦值.思維啟迪 根據(jù)根據(jù)AD平面平面ABEF構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系.解如

10、圖，取如圖，取EF的中點(diǎn)的中點(diǎn)M，則，則AFAM，以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AM、AF、AD所在直所在直線分別為線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系軸建立空間直角坐標(biāo)系.則則A(0,0,0)，D(0,0,1)，M(2,0,0)，F(xiàn)(0,2,0).令令x1，則，則y1，z2，故故n(1,1,2)是平面是平面DEF的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量.由圖可知所求二面角為銳角，由圖可知所求二面角為銳角，(1)運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求空間角的一般步驟：運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求空間角的一般步驟：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；求出相關(guān)點(diǎn)求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；寫出向量坐標(biāo)；寫出向量坐標(biāo)

11、；結(jié)合公式進(jìn)行論結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算；證、計(jì)算；轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.思維升華(2)求空間角注意：求空間角注意：兩條異面直線所成的角兩條異面直線所成的角不一定是直線的方向向量的夾角不一定是直線的方向向量的夾角，即，即cos |cos |.兩平面的法向量的夾角不一定是所求兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，有可能為兩法向量夾角的補(bǔ)角的二面角，有可能為兩法向量夾角的補(bǔ)角.直直線和平面所成的角的正弦值等于平面法向量與線和平面所成的角的正弦值等于平面法向量與直線方向向量夾角的余弦值的絕對(duì)值，即注意直線方向向量夾角的余弦值的絕對(duì)值，即注意函數(shù)名稱的變化函數(shù)名稱的變化.思維升華變式訓(xùn)練2

12、如圖，已知三棱錐如圖，已知三棱錐OABC的側(cè)棱的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且兩兩垂直，且OA1，OBOC2，E是是OC的中點(diǎn)的中點(diǎn).(1)求求O點(diǎn)到面點(diǎn)到面ABC的距離；的距離；解以以O(shè)為原點(diǎn)，為原點(diǎn)，OB、OC、OA所在直線所在直線分別為分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖如圖.則有則有A(0,0,1)、B(2,0,0)、C(0,2,0)、E(0,1,0).設(shè)平面設(shè)平面ABC的法向量為的法向量為n1(x，y，z)，取取n1(1,1,2)，(2)求二面角求二面角EABC的正弦值的正弦值.設(shè)平面設(shè)平面EAB的法向量為的法向量為n(x，y，z)，取取n(1,2,2)

13、.由由(1)知平面知平面ABC的一個(gè)法向量為的一個(gè)法向量為n1(1,1,2).例3如圖，在直三棱柱如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，中，ABBC2AA1，ABC90，D是是BC的中點(diǎn)的中點(diǎn).(1)求證：求證：A1B平面平面ADC1；熱點(diǎn)三 利用空間向量求解探索性問(wèn)題由由ABCA1B1C1是直三棱柱，得四邊形是直三棱柱，得四邊形ACC1A1為矩形，為矩形，O為為A1C的中點(diǎn)的中點(diǎn).證明連接連接A1C，交，交AC1于點(diǎn)于點(diǎn)O，連接，連接OD.又又D為為BC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，所以所以O(shè)D為為A1BC的中位線，的中位線，所以所以A1BOD.因?yàn)橐驗(yàn)镺D 平面平面ADC1，A1B 平面平面ADC1，所

14、以所以A1B平面平面ADC1.(2)求二面角求二面角C1ADC的余弦值；的余弦值；解由由ABCA1B1C1是直三棱柱，且是直三棱柱，且ABC90，得得BA，BC，BB1兩兩垂直兩兩垂直.以以BC，BA，BB1所在直線分別為所在直線分別為x，y，z軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz.設(shè)設(shè)BA2，則，則B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,1)，D(1,0,0)，易知平面易知平面ADC的一個(gè)法向量為的一個(gè)法向量為v(0,0,1).因?yàn)槎娼且驗(yàn)槎娼荂1ADC是銳二面角，是銳二面角，所以二面角所以二面角C1ADC的余弦值為的余弦值

15、為 .(3)試問(wèn)線段試問(wèn)線段A1B1上是否存在點(diǎn)上是否存在點(diǎn)E，使，使AE與與DC1成成60角？若存在，確定角？若存在，確定E點(diǎn)位置；若不存在，說(shuō)明理由點(diǎn)位置；若不存在，說(shuō)明理由.解假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)E.因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)E在線段在線段A1B1上，上，A1(0,2,1)，B1(0,0,1)，故可設(shè)故可設(shè)E(0，1)，其中，其中02.因?yàn)橐驗(yàn)锳E與與DC1成成60角，角，所以當(dāng)點(diǎn)所以當(dāng)點(diǎn)E為線段為線段A1B1的中點(diǎn)時(shí)，的中點(diǎn)時(shí)，AE與與DC1成成60角角.空間向量最適合于解決這類立體幾何中的探索空間向量最適合于解決這類立體幾何中的探索性問(wèn)題，它無(wú)需進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、推理，性問(wèn)

16、題，它無(wú)需進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷只需通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷.解題時(shí)，把要成立解題時(shí)，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在是否存在”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解,是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，所以為使問(wèn)題的等，所以為使問(wèn)題的解決更簡(jiǎn)單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法解決更簡(jiǎn)單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法.思維升華變式訓(xùn)練3如圖，在三棱錐如圖，在三棱錐PABC中，中，ACBC2，ACB90，APBPAB，PCAC，點(diǎn)，點(diǎn)D為為BC的中點(diǎn)的中點(diǎn).(1)求二面角求二面角APDB的余弦

17、值；的余弦值；解ACBC，PAPB，PCPC，PCAPCB，PCAPCB，PCAC，PCCB，又又ACCBC，PC平面平面ACB，且，且PC，CA，CB兩兩垂直，兩兩垂直，故以故以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CB，CA，CP所在直線為所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則則C(0,0,0)，A(0,2,0)，D(1,0,0)，P(0,0,2)，設(shè)平面設(shè)平面PAD的一個(gè)法向量為的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，設(shè)二面角設(shè)二面角APDB的平面角為的平面角為，且，且為鈍角，為鈍角，(2)在直線在直線AB上是否存在點(diǎn)上是否存在點(diǎn)M，使得，使得PM與平面與平面PAD所

18、成角的正弦值為所成角的正弦值為 ，若存在，求出點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)M的位置；的位置；若不存在，說(shuō)明理由若不存在，說(shuō)明理由.解方法一存在，方法一存在，M是是AB的中點(diǎn)或的中點(diǎn)或A是是MB的中點(diǎn)的中點(diǎn).解得解得x1或或x2，M(1,1,0)或或M(2,4,0)，在直線在直線AB上存在點(diǎn)上存在點(diǎn)M，且當(dāng)，且當(dāng)M是是AB的中點(diǎn)或的中點(diǎn)或A是是MB的中點(diǎn)時(shí)，的中點(diǎn)時(shí)，使得使得PM與平面與平面PAD所成角的正弦值為所成角的正弦值為 .方法二存在，方法二存在，M是是AB的中點(diǎn)或的中點(diǎn)或A是是MB的中點(diǎn)的中點(diǎn).M是是AB的中點(diǎn)或的中點(diǎn)或A是是MB的中點(diǎn)的中點(diǎn).在直線在直線AB上存在點(diǎn)上存在點(diǎn)M，且當(dāng)，且當(dāng)M是是

19、AB的中點(diǎn)或的中點(diǎn)或A是是MB的中點(diǎn)時(shí)，的中點(diǎn)時(shí)，使得使得PM與平面與平面PAD所成角的正弦值為所成角的正弦值為 .空間向量在處理空間問(wèn)題時(shí)具有很大的優(yōu)越性，能把空間向量在處理空間問(wèn)題時(shí)具有很大的優(yōu)越性，能把“非運(yùn)算非運(yùn)算”問(wèn)題問(wèn)題“運(yùn)算運(yùn)算”化，即通過(guò)直線的方向向量化，即通過(guò)直線的方向向量和平面的法向量，把立體幾何中的平行、垂直關(guān)系，和平面的法向量，把立體幾何中的平行、垂直關(guān)系，各類角、距離以向量的方式表達(dá)出來(lái)，把立體幾何問(wèn)各類角、距離以向量的方式表達(dá)出來(lái)，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算問(wèn)題題轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算問(wèn)題.應(yīng)用的核心是充分認(rèn)識(shí)應(yīng)用的核心是充分認(rèn)識(shí)形體特征，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)

20、系，通過(guò)向量的運(yùn)形體特征，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)向量的運(yùn)算解答問(wèn)題，達(dá)到幾何問(wèn)題代數(shù)化的目的，同時(shí)注意算解答問(wèn)題，達(dá)到幾何問(wèn)題代數(shù)化的目的，同時(shí)注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性運(yùn)算的準(zhǔn)確性.本講規(guī)律總結(jié)提醒三點(diǎn)：提醒三點(diǎn)：(1)直線的方向向量和平面的法向量所成直線的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值是線面角的正弦值，而不是余角的余弦值的絕對(duì)值是線面角的正弦值，而不是余弦值弦值.(2)求二面角除利用法向量外，還可以按照二面角的求二面角除利用法向量外，還可以按照二面角的平面角的定義和空間任意兩個(gè)向量都是共面向量的平面角的定義和空間任意兩個(gè)向量都是共面向量的知識(shí)，我們只要是在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)分別

21、作知識(shí)，我們只要是在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)分別作和二面角的棱垂直的向量，并且兩個(gè)向量的方向均指向和二面角的棱垂直的向量，并且兩個(gè)向量的方向均指向棱或者都從棱指向外，那么這兩個(gè)向量所成的角的大小棱或者都從棱指向外，那么這兩個(gè)向量所成的角的大小就是二面角的大小就是二面角的大小.如圖所示如圖所示. 真題感悟 押題精練真題與押題真題感悟(2014北京北京)如圖，正方形如圖，正方形AMDE的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為2，B，C分別為分別為AM，MD的中點(diǎn)，在五棱錐的中點(diǎn)，在五棱錐PABCDE中，中，F(xiàn)為棱為棱PE的中點(diǎn)，平面的中點(diǎn)，平面ABF與棱與棱PD，PC分別交于分別交于點(diǎn)點(diǎn)G，H.真題感悟(1)求證：求證：AB

22、FG；證明在正方形在正方形AMDE中，因?yàn)橹?，因?yàn)锽是是AM的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，所以所以ABDE.又因?yàn)橛忠驗(yàn)锳B 平面平面PDE，DE 平面平面PDE，所以所以AB平面平面PDE.因?yàn)橐驗(yàn)锳B 平面平面ABF，且平面，且平面ABF平面平面PDEFG，所以所以ABFG.真題感悟(2)若若PA底面底面ABCDE，且，且PAAE，求直線，求直線BC與與平面平面ABF所成角的大小，并求線段所成角的大小，并求線段PH的長(zhǎng)的長(zhǎng).解因?yàn)橐驗(yàn)镻A底面底面ABCDE，所以所以PAAB，PAAE.如圖建立空間直角坐標(biāo)系如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,

23、0,2)，F(xiàn)(0,1,1)， (1,1,0).真題感悟設(shè)平面設(shè)平面ABF的一個(gè)法向量為的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，令令z1，則，則y1，所以，所以n(0，1,1).設(shè)直線設(shè)直線BC與平面與平面ABF所成角為所成角為，真題感悟設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(u，v，w).即即(u，v，w2)(2,1，2)，所以所以u(píng)2，v，w22.真題感悟即即(0，1,1)(2，22)0，押題精練如圖所示，已知正方形如圖所示，已知正方形ABCD和矩形和矩形ACEF所在的所在的平面互相垂直，平面互相垂直，AB ，AF1.(1)求直線求直線DF與平面與平面ACEF所成角的正弦值；所成角的正弦值；解以以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CD，CB，CE所在直線為所在直線為x軸，軸，y軸，軸，z軸，建立如圖所示軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，的空間直角坐標(biāo)系，押題精練因?yàn)槠矫嬉驗(yàn)槠矫鍭BCD平面平面ACEF，且平面，且平面ABCD平面平面ACEFAC，押題精練押題精練