《高中數學 第一章 三角函數課件 北師大版必修4》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數學 第一章 三角函數課件 北師大版必修4（51頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、1.1.對任意角概念的理解對任意角概念的理解(1)(1)角的分類：角的分類：任意角可按旋轉方向分為正角、負角和零角任意角可按旋轉方向分為正角、負角和零角. .任意角和弧度制任意角和弧度制(2)(2)象限角和終邊相同的角象限角和終邊相同的角正確理解象限角、銳角、鈍角、小于正確理解象限角、銳角、鈍角、小于9090的角等概念，注意的角等概念，注意各自特點，會根據其終邊位置表示這些角各自特點，會根據其終邊位置表示這些角. .(3)(3)理解弧度的概念，正確利用理解弧度的概念，正確利用 radrad=180=180進行度與弧度的進行度與弧度的互化互化. .2.2.弧長公式、扇形面積公式弧長公式、扇形面積

2、公式記準弧度數計算公式記準弧度數計算公式 和扇形面積公式和扇形面積公式 ，很容易推出弧長公式很容易推出弧長公式l=|=|r|r和扇形面積公式和扇形面積公式 . . 在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用不可混用. .r l1sr2l21sr2【例例1 1】(1)(1)把把 表示成表示成2k+(kZ)2k+(kZ)的形式，使的形式，使|最最小的小的值是值是( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)(2)(2)已知角已知角的終邊與角的終邊與角-330-330的終邊關于原點對稱，則其中的終邊關于原點對稱，則其中絕對值最小

3、的角絕對值最小的角是是_._.【審題指導審題指導】(1)(1)解答的關鍵是判斷出解答的關鍵是判斷出與與 終邊相同終邊相同. .(2)(2)若角若角，的終邊關于原點對稱則其終邊互為反向延長的終邊關于原點對稱則其終邊互為反向延長線，因此線，因此+180+180與角與角終邊相同終邊相同. .114344434114【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)(1)選選A.A.由已知得由已知得與與 終邊相同終邊相同所以所以 (kZ)(kZ)當當k=0k=0時時= = ；當；當k=1k=1時時=當當k=2k=2時時=使使|最小的最小的值是值是114112k4 114345434(2)(2)角角的終邊與角的終邊與角-330

4、-330的終邊關于原點對稱的終邊關于原點對稱且且-330-330+180+180=-150=-150角角的終邊與角的終邊與角-150-150的終邊相同的終邊相同=k=k360360-150-150,kZ,kZ當當k=0k=0時時=-150=-150；當；當k=1k=1時時=210=210絕對值最小的角絕對值最小的角是是-150-150答案：答案：-150-150【例例2 2】已知扇形的圓心角為已知扇形的圓心角為 ，它所對的弦長等于，它所對的弦長等于2 2，求，求扇形的弧長和扇形的面積扇形的弧長和扇形的面積. .【審題指導審題指導】解答本題的關鍵是根據平面圖形的性質求出扇解答本題的關鍵是根據平面

5、圖形的性質求出扇形的半徑長形的半徑長. .3 【規(guī)范解答規(guī)范解答】扇形的圓心角扇形的圓心角|=|=扇形半徑和弦構成等邊三角形扇形半徑和弦構成等邊三角形扇形的半徑扇形的半徑r=2r=2扇形的弧長扇形的弧長l= =扇形的面積扇形的面積 . .22333212s22331.1.對任意角的三角函數概念的理解對任意角的三角函數概念的理解(1)(1)任意角的正弦、余弦、正切函數由角的終邊位置唯一確定任意角的正弦、余弦、正切函數由角的終邊位置唯一確定. .(2)(2)了解三角函數線，從幾何角度理解三角函數的定義了解三角函數線，從幾何角度理解三角函數的定義. .(3)(3)根據三角函數的定義推出并熟記以下知識

6、根據三角函數的定義推出并熟記以下知識三角函數值在各象限內的符號；三角函數的定義域；特殊角三角函數值在各象限內的符號；三角函數的定義域；特殊角的三角函數值的三角函數值. .任意角的三角函數的概念任意角的三角函數的概念【例例3 3】(2011(2011福建高考改編福建高考改編) )設函數設函數 , ,其其中，角中，角的頂點與坐標原點重合，始邊與的頂點與坐標原點重合，始邊與x x軸非負半軸重合，軸非負半軸重合，終邊經過點終邊經過點P(x,yP(x,y) )且且0,0,若點若點P P的坐標為的坐標為 求求f(f() )的值的值. .【審題指導審題指導】根據任意角的三角函數的定義根據任意角的三角函數的定

7、義, ,只要求出角只要求出角終終邊與單位圓交點的坐標邊與單位圓交點的坐標, ,就可以求出就可以求出sin,cossin,cos. .13(,),22 f3sincos 【規(guī)范解答規(guī)范解答】由點由點P P的坐標和三角函數的定義可得的坐標和三角函數的定義可得于是于是 . .3sin21cos2 31f3sincos3222 對正弦、余弦、正切函數的誘導公式的理解對正弦、余弦、正切函數的誘導公式的理解和應用和應用(1)(1)理解方法：借助單位圓，根據角終邊的對稱性和三角函數理解方法：借助單位圓，根據角終邊的對稱性和三角函數的定義理解的定義理解. .(2)(2)記憶方法：奇變偶不變，符號看象限記憶方法

8、：奇變偶不變，符號看象限正弦、余弦、正切函數的誘導公式正弦、余弦、正切函數的誘導公式(3)(3)應用方法：用誘導公式一方面可化任意角為應用方法：用誘導公式一方面可化任意角為0 09090的的角，另一方面可實現正弦與余弦之間的互化角，另一方面可實現正弦與余弦之間的互化. .因此在應用誘導因此在應用誘導公式時，要根據題目的要求恰當選擇公式公式時，要根據題目的要求恰當選擇公式. . 誘導公式的應用過程中，往往會由于角終邊位誘導公式的應用過程中，往往會由于角終邊位置的確定錯誤而導致符號錯誤，要特別注意置的確定錯誤而導致符號錯誤，要特別注意. .【例例4 4】設設 ，若若 ，求，求f(f() )的值；的

9、值；【審題指導審題指導】解答本題的關鍵是利用誘導公式和因式分解的解答本題的關鍵是利用誘導公式和因式分解的方法化簡求值方法化簡求值. . 22sincoscosf2sinsin() 176 【規(guī)范解答規(guī)范解答】 22sincoscosf2sinsin() 222sincoscos2sinsin2sin coscos2sin sin2sin1 cos12sin1 sintan 若若 ，則則1711f()176tan()tan( 3)66113.3tan63 176 對三角函數的圖像的幾點認識對三角函數的圖像的幾點認識 本章在必修一學習基本初等函數圖像畫法的基礎上本章在必修一學習基本初等函數圖像畫法

10、的基礎上, ,進一進一步學習了三角函數圖像的畫法，完善了函數圖像的畫法理論，步學習了三角函數圖像的畫法，完善了函數圖像的畫法理論，主要包括以下內容主要包括以下內容. .三角函數的圖像三角函數的圖像(1)(1)描點法描點法. .用列表、描點、連線的方式研究未知函數的圖像用列表、描點、連線的方式研究未知函數的圖像特征特征. .(2)(2)利用性質畫簡圖利用性質畫簡圖, ,對于熟悉的函數可直接根據特殊點、線對于熟悉的函數可直接根據特殊點、線畫簡圖畫簡圖. .如如“五點法五點法”“”“三點二線法三點二線法”等等. .(3)(3)圖像變換法，利用已知函數與未知函數解析式之間的關系，圖像變換法，利用已知函

11、數與未知函數解析式之間的關系，用平移、伸縮、對稱變換畫圖用平移、伸縮、對稱變換畫圖. . 圖像的平移變換極易出錯，解答時一方面要注圖像的平移變換極易出錯，解答時一方面要注意平移方向，另一方面要根據自變量本身的變化量確定平移意平移方向，另一方面要根據自變量本身的變化量確定平移量量. .【例例5 5】已知函數已知函數 (1)(1)利用利用“五點法五點法”畫出函數畫出函數y=y=f(xf(x) )在長度為一個周期的閉區(qū)在長度為一個周期的閉區(qū)間的簡圖；間的簡圖；( (要求列出表格要求列出表格) )(2)(2)說明函數說明函數y=y=f(xf(x) )的圖像可由函數的圖像可由函數y=y=sinx(xRs

12、inx(xR) )的圖像經過的圖像經過怎樣平移和伸縮變換得到的怎樣平移和伸縮變換得到的 1f xsin(x)26【審題指導審題指導】(1)(1)五點法畫函數圖像的關鍵是五點法畫函數圖像的關鍵是 整體取整體取0, , ,2.0, , ,2.(2)(2)平移變換要遵循平移變換要遵循“左加右減，上加下減左加右減，上加下減”，伸縮變換要依，伸縮變換要依據周期變換和振幅變換確定據周期變換和振幅變換確定. .1x26322【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)(1)先列表，后描點并畫圖先列表，后描點并畫圖(2)(2)方法一：把方法一：把y=y=sinxsinx的圖像上所有的點向左平移的圖像上所有的點向左平移 個單位長

13、個單位長度，得到度，得到 的圖像，再把所得圖像的橫坐標伸長到的圖像，再把所得圖像的橫坐標伸長到原來的原來的2 2倍倍( (縱坐標不變縱坐標不變) )，得到，得到 的圖像的圖像. .方法二：把方法二：把y=y=sinxsinx的圖像橫坐標伸長到原來的的圖像橫坐標伸長到原來的2 2倍倍( (縱坐標不縱坐標不變變) )，得到，得到 的圖像再把所得圖像上所有的點向左平的圖像再把所得圖像上所有的點向左平移移 個單位長度，得到個單位長度，得到 ，即，即 的圖的圖像像6ysin(x)61ysin(x)261ysinx21ysin(x)2631ysin(x)231.1.求定義域的方法求定義域的方法求定義域往往

14、要解三角不等式，解三角不等式的一般方法為求定義域往往要解三角不等式，解三角不等式的一般方法為圖像法和三角函數線法圖像法和三角函數線法三角函數的性質三角函數的性質2.2.求三角函數的單調區(qū)間求三角函數的單調區(qū)間求求 的單調區(qū)間時，首先要看的單調區(qū)間時，首先要看A A，是否為是否為正；若為負，則先應用誘導公式化為正，然后將正；若為負，則先應用誘導公式化為正，然后將 看作看作一個整體，比如若一個整體，比如若A0A0，00，由，由 (kZ)(kZ)解出解出x x的范圍即為遞增區(qū)間的范圍即為遞增區(qū)間. .2kx2k22 f xAsin( x) x 3.3.求值域或最大求值域或最大( (小小) )值值常用

15、的方法是換元法、圖像法、單調性法常用的方法是換元法、圖像法、單調性法. .4.4.判斷奇偶性判斷奇偶性一般來說，形如一般來說，形如y=y=AsinAsin xx的函數是奇函數，形如的函數是奇函數，形如y= y= AcosAcos xx的函數是偶函數的函數是偶函數. .【例例6 6】設函數設函數 (1)y=(1)y=f(xf(x) )圖像的一條對稱軸是直線圖像的一條對稱軸是直線 , ,求求 (2)y=(2)y=f(xf(x) )為偶函數，求為偶函數，求(3)(3)若若 試證明試證明y=y=f(xf(x) )為奇函數為奇函數. .【審題指導審題指導】解答本題可以依據下列信息解答本題可以依據下列信息

16、(1)(1)對稱軸處取最大對稱軸處取最大( (或小或小) )值值.(2).(2)偶函數的圖像關于偶函數的圖像關于y y軸對稱軸對稱. .(3)(3)證明證明y=y=f(xf(x) )為奇函數要證為奇函數要證f(-xf(-x)=-)=-f(xf(x) )5x8 f xsin 2x0 . ；kkZ ，;【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)(1)因為因為 是函數是函數y=y=f(xf(x) )的一條對稱軸，則的一條對稱軸，則當當 時，時，y y取最大取最大( (或小或小) )值，值，所以所以 , ,所以所以 (kZ).(kZ).5x85x830.4 又，所以5sin(2)18 5k42 (2)(2)由于由于y

17、=y=f(xf(x) )為偶函數，為偶函數，所以所以y=y=f(xf(x) )的圖像關于的圖像關于y y軸對稱，軸對稱，所以所以sin(2sin(20+ )=0+ )=1,1,則則 (kZ).(kZ).又又- 0- 0，所以，所以 . .2 k2 (3)(3)因為因為y=y=f(xf(x) )的定義域為的定義域為R R，即定義域關于原點對稱，即定義域關于原點對稱當當 = =k,(kZk,(kZ) )時時f(xf(x)=sin(2x+k)=)=sin(2x+k)=又又f(-xf(-x)=)= =-= =-f(xf(x) )所以所以y=y=f(xf(x) )為奇函數為奇函數. .sin2x(k)s

18、in2x(k)為偶數為奇數sin2x (k)sin2x (k)為偶數為奇數sin2x(k)sin2x(k)為偶數為奇數【例例7 7】求函數求函數 的遞減區(qū)間的遞減區(qū)間. .【審題指導審題指導】解答本題應先將解答本題應先將 化為化為 ，根據函數，根據函數y=y=sinusinu的遞增區(qū)間求出原函數的的遞增區(qū)間求出原函數的遞減區(qū)間遞減區(qū)間. .12xysin()2 4312xysin()2 431 2xysin()234 【規(guī)范解答規(guī)范解答】因為函數因為函數y=y=sinusinu的遞增區(qū)間是的遞增區(qū)間是 ( (kZkZ) )由由 (kZ),(kZ),得得 (kZ),(kZ),所以，函數所以，函數

19、 的遞減區(qū)間是的遞減區(qū)間是 ( (kZkZ) )12x1 2xysin()sin()2 43234 9156k,6k882k,2k221 2x2k()2k223429156kx6k88 12xysin()2 431.1.為了得到函數為了得到函數 (xR)(xR)的圖像，只需把函數的圖像，只需把函數y=2sinx,(xR)y=2sinx,(xR)的圖像上所有的點的圖像上所有的點( )( )(A)(A)向左平移向左平移 個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的來的 倍倍( (縱坐標不變縱坐標不變) )(B)(B)向右平移向右平移 個單位長度，再把所得各點

20、的橫坐標伸長到原個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的來的3 3倍倍( (縱坐標不變縱坐標不變) )61y2sin( x)36136(C)(C)橫坐標伸長到原來的橫坐標伸長到原來的3 3倍倍( (縱坐標不變縱坐標不變) )，再把所得各點向，再把所得各點向左平移左平移 個單位長度個單位長度(D)(D)橫坐標伸長到原來的橫坐標伸長到原來的3 3倍倍( (縱坐標不變縱坐標不變) )，再把所得各點向，再把所得各點向左平移左平移 個單位長度個單位長度62【解析解析】選選D.yD.y=2sinx,xR=2sinx,xR的圖像上所有的點橫坐標伸長到的圖像上所有的點橫坐標伸長到原來的原來的3 3倍倍(

21、(縱坐標不變縱坐標不變) )，得，得 再把所得各點向左平再把所得各點向左平移移 個單位長度得個單位長度得11y2sin(x)2sin( x)32361y2sinx322.(20112.(2011天津高考天津高考) )已知函數已知函數 xRxR，其，其中中0 0， 若若f(xf(x) )的最小正周期為的最小正周期為6,6,且當且當 時，時，f(xf(x) )取得最大值，則取得最大值，則( )( )( (A)f(xA)f(x) )在區(qū)間在區(qū)間-2,0-2,0上是增函數上是增函數( (B)f(xB)f(x) )在區(qū)間在區(qū)間-3,-3,-上是增函數上是增函數( (C)f(xC)f(x) )在區(qū)間在區(qū)間

22、3,53,5上是減函數上是減函數( (D)f(xD)f(x) )在區(qū)間在區(qū)間4,64,6上是減函數上是減函數x2 f x2sinx, ，【解析解析】選選A.A.由題意得由題意得, , ,kZ ,kZ又又- ， 由由 . .得得 ，kZkZ. .f(xf(x) )在區(qū)間在區(qū)間 kZkZ上是增加的上是增加的又又 , ,故故A A正確正確. .52022 ， 221T6312k,2k3223 3 1f x2sin( x)3312kx2k233256kx6k2256k,6k223.3.已知扇形的周長為已知扇形的周長為 cm,cm,其半徑為其半徑為2 cm,2 cm,則該扇形的圓則該扇形的圓心角的弧度數

23、為心角的弧度數為( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析解析】選選B.B.扇形的周長為扇形的周長為 cm,cm,其半徑為其半徑為2 cm2 cm扇形的弧長扇形的弧長l= cm= cm扇形的圓心角扇形的圓心角2323 2(4)3632232(4)3234.(20114.(2011江西高考江西高考) )已知角已知角的頂點為坐標原點，始邊為的頂點為坐標原點，始邊為x x軸軸的正半軸，若的正半軸，若P(4,y)P(4,y)是角是角終邊上一點，且終邊上一點，且sinsin= = ，則則y=_.y=_.【解析解析】|OP|= |OP|= ，根據任意角三角函數的定義得，

24、根據任意角三角函數的定義得， ，解得解得y=y=8,8,又又sinsin= = 0 0及及P(4,y)P(4,y)是角是角終邊上一點，終邊上一點，可知可知為第四象限角，為第四象限角，y=-8.y=-8.答案答案: :-8-82 55224y22y2 554y 2 555.5.函數函數 的定義域為的定義域為_._.【解析解析】要使函數有意義必須有要使函數有意義必須有 ，即，即 ，解得解得 (kZ)(kZ)， ，kZkZ，函數的定義域為函數的定義域為答案：答案：2kx2k2kx2k33 1ylg sinxcosx2sinx01cosx02sinx01cosx22kx2k3 x |2kx2kkZ3

25、，x |2kx2kkZ3 ，6.(20116.(2011揚州高一檢測揚州高一檢測) )求值：求值： =_.=_.【解析解析】答案：答案：1425sincos()342sin(4)cos( 6)342sincos()343232sincos34222 1425sincos()343227.7.求函數求函數 的最大值和最小值，并分別寫出使這個的最大值和最小值，并分別寫出使這個函數取得最大值和最小值時函數取得最大值和最小值時x x的值的值. .【解析解析】當當 取得最大值取得最大值1 1時，時， 取得最小值取得最小值1 1，此，此時時 (kZ),(kZ),即即x=6k(kZ).x=6k(kZ).當當

26、 取得最小值取得最小值-1-1時，時， 取得最大值取得最大值3 3，此時，此時 (kZ),(kZ),即即x=3+6k(kZ).x=3+6k(kZ).xy2cos3xcos3xy2cos3x2k3xcos3xy2cos3x2k3 8.8.已知函數已知函數 的一段圖像如圖的一段圖像如圖所示所示(1)(1)求此函數的解析式；求此函數的解析式；(2)(2)求此函數在求此函數在(-2,2)(-2,2)上的遞增區(qū)間上的遞增區(qū)間. .yAsinx(A0,0,) 【解析解析】(1)(1)由圖可知，其振幅為由圖可知，其振幅為A= A= ，由由 =6-(-2)=8,=6-(-2)=8,周期為周期為T=16T=16

27、， ，此時解析式為，此時解析式為點點 在函數在函數 的圖像上的圖像上 ，( (kZkZ) ) ，( (kZkZ).).又又| |, .| |, .故所求函數的解析式為故所求函數的解析式為2 3T222T168y2 3sin(x)8(2, 2 3)y2 3sin(x)822k82 32k4 34 3y2 3sin(x)84(2)(2)因為函數因為函數y=y=sinusinu的遞增區(qū)間是的遞增區(qū)間是 ( (kZkZ) )由由 (kZ),(kZ),得得16k+2x16k+10(kZ),16k+2x16k+10(kZ),所以，函數所以，函數 的遞增區(qū)間是的遞增區(qū)間是16k+2,16k+1016k+2,16k+10( (kZkZ) )2k,2k2232kx2k28423y2 3sin(x)84當當k=-1k=-1時，有時，有-14,-6-14,-6，當，當k=0k=0時，有時，有2,102,10與定義區(qū)間求交集得此函數在與定義區(qū)間求交集得此函數在(-2,2)(-2,2)上的遞增區(qū)間為上的遞增區(qū)間為(-2,-6(-2,-6和和2,2).2,2).