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1、 第49課 雙曲線 [最新考綱] 內容 要求 A B C 中心在坐標原點的雙曲線 的標準方程與幾何性質 √ 1．雙曲線的定義 (1)平面內與兩個定點F1，F2(F1F2＝2c>0)的距離之差的絕對值為非零常數2a(2a<2c)的點的軌跡叫作雙曲線．這兩個定點叫作雙曲線的焦點． (2)集合P＝{M|MF1－MF2＝2a}，F1F2＝2c， 其中a，c為常數且a>0，c>0. ①當2aF1F2時，M點不存在． 2．雙曲線的標準方程和幾何性質

2、 標準方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 圖形 性質 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 對稱性 對稱軸：坐標軸，對稱中心：原點 頂點 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 漸近線 y＝±x y＝±x 離心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c的關系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 3.等軸雙曲線 實軸和虛軸等長的雙曲線叫作等軸雙曲線，其漸近線方程為y＝±x，離心率為e＝. 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”

3、) (1)平面內到點F1(0,4)，F2(0，－4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線．(　　) (2)方程－＝1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線．(　　) (3)雙曲線方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是－＝0，即±＝0.(　　) (4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(教材改編)已知雙曲線－＝1(a>0)的離心率為2，則a＝________. 1　[依題意，e＝＝＝2， ∴＝2a，則a2＝1，a＝1.] 3．(2017·泰州中學高三摸底考試)若雙曲線x2－＝1的焦點到漸近線的距

4、離為2，則實數k的值是________． 8　[由題意得b＝2?k＝b2＝8.] 4．(2016·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線－＝1的焦距是________． 2　[由雙曲線的標準方程，知a2＝7，b2＝3，所以c2＝a2＋b2＝10，所以c＝，從而焦距2c＝2.] 5．(2016·北京高考改編)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為2x＋y＝0，一個焦點為(，0)，則雙曲線的方程為__________． x2－＝1　[由于2x＋y＝0是－＝1的一條漸近線， ∴＝2，即b＝2a.① 又∵雙曲線的一個焦點為(，0)，則c＝， 由a2＋b2＝c2，得a2＋b

5、2＝5，② 聯立①②得a2＝1，b2＝4. ∴所求雙曲線的方程為x2－＝1.] 雙曲線的定義及應用 　已知F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點，P是C的左支上一點，A(0,6)．則△APF周長的最小值為__________. 【導學號：62172269】 32　[由雙曲線方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3， 故F(3,0)，F1(－3,0)， 當點P在雙曲線左支上運動時，由雙曲線定義知PF－PF1＝2.所以PF＝PF1＋2， 從而△APF的周長＝AP＋PF＋AF＝AP＋PF1＋2＋AF. 因為AF＝＝15為定值， 所以當(AP＋PF1)最小時，△APF的周長最小，A

6、，F1，P三點共線． 又因為AP＋PF1≥AF1＝AF＝15. 所以△APF周長的最小值為15＋15＋2＝32.] [規(guī)律方法]　1.應用雙曲線的定義需注意的問題： 在雙曲線的定義中要注意雙曲線上的點(動點)具備的幾何條件，即“到兩定點(焦點)的距離之差的絕對值為一常數，且該常數必須小于兩定點間的距離”．若定義中的“絕對值”去掉，點的軌跡是雙曲線的一支．同時需注意定義的轉化應用． 2．在焦點三角形中，注意定義、余弦定理的活用，常將PF1－PF2＝2a平方，建立PF1·PF2間的聯系． [變式訓練1]　(1)已知雙曲線C的離心率為2，焦點為F1，F2，點A在C上．若F1A＝2F2A，

7、則cos∠AF2F1＝________. (2)已知雙曲線x2－＝1的兩個焦點為F1，F2，P為雙曲線右支上一點．若PF1＝PF2，則△F1PF2的面積為________． (1)　(2)24　[(1)由e＝＝2得c＝2a，如圖，由雙曲線的定義得F1A－F2A＝2a. 又F1A＝2F2A，故F1A＝4a， F2A＝2a， ∴cos∠AF2F1＝＝. (2)由雙曲線的定義可得 PF1－PF2＝PF2＝2a＝2， 解得PF2＝6，故PF1＝8，又F1F2＝10， 由勾股定理可知三角形PF1F2為直角三角形，因此S△PF1F2＝PF1×PF2＝24.] 雙曲線的標準方程

8、 　(1)已知雙曲線C：－＝1的離心率e＝，且其右焦點為F2(5,0)，則雙曲線C的方程為________． (2)(2016·天津高考改編)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0垂直，則雙曲線的方程為________． (1)－＝1　(2)－y2＝1　[(1)由焦點F2(5,0)知c＝5. 又e＝＝，得a＝4，b2＝c2－a2＝9. ∴雙曲線C的標準方程為－＝1. (2)由焦距為2得c＝.因為雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0垂直，所以＝. 又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1， 所以雙曲線的方程為－y2＝1.] [規(guī)律方法]

9、　1.確定雙曲線的標準方程也需要一個“定位”條件，兩個“定量”條件．“定位”是指確定焦點在哪條坐標軸上，“定量”是指確定a，b的值，常用待定系數法．若雙曲線的焦點不能確定時，可設其方程為Ax2＋By2＝1(AB<0)． 2．對于共焦點、共漸近線的雙曲線方程，可靈活設出恰當的形式求解．若已知漸近線方程為mx＋ny＝0，則雙曲線方程可設為m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)． [變式訓練2]　(1)已知雙曲線過點(4，)，且漸近線方程為y＝±x，則該雙曲線的標準方程為________________． (2)設橢圓C1的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為26，若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的

10、距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標準方程為__________． (1)－y2＝1　(2)－＝1　[(1)∵雙曲線的漸近線方程為y＝±x， ∴可設雙曲線的方程為x2－4y2＝λ(λ≠0)． ∵雙曲線過點(4，)， ∴λ＝16－4×()2＝4， ∴雙曲線的標準方程為－y2＝1. (2)由題意知橢圓C1的焦點坐標為F1(－5,0)，F2(5,0)，設曲線C2上的一點P，則PF1－PF2＝8. 由雙曲線的定義知：a＝4，b＝3. 故曲線C2的標準方程為－＝1，即－＝1.] 雙曲線的簡單幾何性質 　(1)(2016·全國卷Ⅱ改編)已知F1，F2是雙曲線E：－＝1的左、右焦點

11、，點M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝，則E的離心率為________． (2)設雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點是F，左、右頂點分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點．若A1B⊥A2C，則該雙曲線的漸近線為__________. 【導學號：62172270】 (1)　(2)x±y＝0　[(1)如圖，因為MF1⊥x軸，所以MF1＝. 在Rt△MF1F2中，由sin∠MF2F1＝得 tan∠MF2F1＝. 所以＝，即＝，即＝， 整理得c2－ac－a2＝0， 兩邊同除以a2得e2－e－1＝0. 解得e＝(負值舍去)． (2)由題設易知

12、A1(－a,0)，A2(a,0)，B，C. 因為A1B⊥A2C， 所以·＝－1，整理得a＝b. 因此該雙曲線的漸近線為y＝±x，即x±y＝0.] [規(guī)律方法]　1.(1)求雙曲線的漸近線，要注意雙曲線焦點位置的影響；(2)求離心率的關鍵是確定含a，b，c的齊次方程，但一定注意e>1這一條件． 2．雙曲線中c2＝a2＋b2，可得雙曲線漸近線的斜率與離心率的關系＝.抓住雙曲線中“六點”、“四線”、“兩三角形”，研究a，b，c，e間相互關系及轉化，簡化解題過程． [變式訓練3]　(1)(2017·無錫期末)設△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，則以A，B為焦點且過點C的雙曲線的離心

13、率為________． (2)雙曲線x2＋my2＝1的虛軸長是實軸長的2倍，則雙曲線的漸近線方程為________． (1)　(2)x±2y＝0　[(1)設AB＝x，則BC＝x，AC＝x， ∴2a＝x－x,2c＝x， ∴e＝＝＝＝. (2)由題意可知a2＝1，b2＝－m，由于b＝2a，故－m＝4，∴m＝－4. 由x2－4y2＝0得x＝±2y，即x±2y＝0. ∴雙曲線的漸近線方程為x±2y＝0.] [思想與方法] 1．求雙曲線標準方程的主要方法： (1)定義法：由條件判定動點的軌跡是雙曲線，求出a2，b2，得雙曲線方程． (2)待定系數法：即“先定位，后定量”，如果不

14、能確定焦點的位置，應注意分類討論或恰當設置簡化討論． ①若已知雙曲線過兩點，焦點位置不能確定，可設方程為Ax2＋By2＝1(AB<0)． ②當已知雙曲線的漸近線方程bx±ay＝0，求雙曲線方程時，可設雙曲線方程為b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)． ③與雙曲線－＝1有相同的漸近線的雙曲線方程可設為－＝λ(λ≠0)． 2．已知雙曲線的標準方程求雙曲線的漸近線方程，只需將雙曲線的標準方程中“1”改為“0”即可． [易錯與防范] 1．區(qū)分雙曲線中a，b，c的關系與橢圓中a，b，c的關系，在橢圓中a2＝b2＋c2，在雙曲線中c2＝a2＋b2. 2．雙曲線的離心率大于1，橢圓的離心率e∈(0

15、,1)．求它們的離心率，不要忽視這一前提條件，否則會產生增解或擴大取值范圍． 3．直線與雙曲線有一個公共點時，不一定相切，也可能直線與漸近線平行． 課時分層訓練(四十九) A組　基礎達標 (建議用時：30分鐘) 1．雙曲線x2－＝1的兩條漸近線方程為________． y＝±2x　[由x2－＝0得y＝±2x，即雙曲線的兩條漸進線方程為y＝±2x.] 2．已知雙曲線－y2＝1(a>0)的一條漸近線為x＋y＝0，則a＝__________. 【導學號：62172271】 　[雙曲線－y2＝1的漸近線為y＝±，已知一條漸近線為x＋y＝0，即y＝－x，因為a>0，所以＝，所以a＝.

16、] 3．雙曲線－＝1的離心率為________． 　[∵a2＝4，b2＝5， ∴c2＝9，∴e＝＝.] 4．若雙曲線－＝1的一條漸近線經過點(3，－4)，則此雙曲線的離心率為________. 【導學號：62172272】 　[由雙曲線的漸近線過點(3，－4)知＝，∴＝. 又b2＝c2－a2，∴＝， 即e2－1＝，∴e2＝，∴e＝.] 5．已知點F1(－3,0)和F2(3,0)，動點P到F1，F2的距離之差為4，則點P的軌跡方程為________． －＝1(x>0)　[由題設知點P的軌跡方程是焦點在x軸上的雙曲線的右支，設其方程為－＝1(x>0，a>0，b>0)，由題設知c＝

17、3，a＝2，b2＝9－4＝5. 所以點P的軌跡方程為－＝1(x>0)．] 6．已知F為雙曲線C：x2－my2＝3m(m>0)的一個焦點，則點F到C的一條漸近線的距離為________． 　[由雙曲線方程知a2＝3m，b2＝3， ∴c＝＝. 不妨設點F為右焦點，則F(，0)． 又雙曲線的一條漸近線為x－y＝0， ∴d＝＝.] 7．(2016·全國卷Ⅰ改編)已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是________． (－1,3)　[∵原方程表示雙曲線，且兩焦點間的距離為4. ∴則 因此－1

18、2＋my2＝1過點(－，2)，則該雙曲線的虛軸長為________． 4　[由題意可知2＋4m＝1，∴m＝－， 即x2－y2＝1，∴b2＝4，∴b＝2，即2b＝4.] 9．在平面直角坐標系xOy中，已知方程－＝1表示雙曲線，則實數m的取值范圍為________． (－2,4)　[由題意可知(4－m)(2＋m)>0，即－2

19、為(2,2)，(2，－2)，所以AB＝4.] 11．已知M(x0，y0)是雙曲線C：－y2＝1上的一點，F1，F2是C的兩個焦點，若·<0，則y0的取值范圍是________． 　[由題意知a＝，b＝1，c＝， ∴F1(－，0)，F2(，0)， ∴＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)． ∵·<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0， 即x－3＋y<0.∵點M(x0，y0)在雙曲線上， ∴－y＝1，即x＝2＋2y， ∴2＋2y－3＋y<0，∴－0，b>0)，若矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點

20、為E的兩個焦點，且2AB＝3BC，則E的離心率是________． 2　[如圖，由題意知AB＝，BC＝2c. 又2AB＝3BC， ∴2×＝3×2c，即2b2＝3ac， ∴2(c2－a2)＝3ac，兩邊同除以a2，并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(負值舍去)．] B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．已知F為雙曲線C：－＝1的左焦點，P，Q為C上的點．若PQ的長等于虛軸長的2倍，點A(5,0)在線段PQ上，則△PQF的周長為________． 44　[由雙曲線C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5， ∴點A(5,0)是雙曲線C的右焦點， 且PQ＝QA＋PA＝4b＝1

21、6， 由雙曲線定義，得PF－PA＝6， QF－QA＝6. ∴PF＋QF＝12＋PA＋QA＝28， 因此△PQF的周長為PF＋QF＋PQ＝28＋16＝44.] 2．已知點F是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是________． (1,2)　[由題意易知點F的坐標為(－c,0)，A，B，E(a,0)，∵△ABE是銳角三角形，∴·>0， 即·＝·>0，整理得3e2＋2e>e4， ∴e(e3－3e－3＋1)<0， ∴e(e＋1)2(e－2)<0， 解得

22、e∈(0,2)，又e>1，∴e∈(1,2)．] 3．(2016·北京高考)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點．若正方形OABC的邊長為2，則a＝__________. 2　[雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±x，易得兩條漸近線方程互相垂直，由雙曲線的對稱性知＝1. 又正方形OABC的邊長為2，所以c＝2， 所以a2＋b2＝c2＝8，因此a＝2.] 4．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個焦點為F(2,0)，且雙曲線的漸近線與圓(x－2)2＋y2＝3相切，則雙曲線的方程為__________． x2－＝1　[由雙曲線

23、的漸近線y＝±x，即bx±ay＝0與圓(x－2)2＋y2＝3相切， ∴＝，則b2＝3a2.① 又雙曲線的一個焦點為F(2,0)， ∴a2＋b2＝4，② 聯立①②，解得a2＝1，b2＝3. 故所求雙曲線的方程為x2－＝1.] 5．(2017·南通三模)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線－y2＝1與拋物線y2＝－12x有相同的焦點，則雙曲線的兩條漸近線的方程為________． y＝±x　[拋物線y2＝－12x的焦點為(－3,0)，∴a2＋1＝9，∴a＝±2. ∴雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±＝±x.] 6．(2016·天津高考改編)已知雙曲線－＝1(b＞0)，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為________． －＝1　[由題意知雙曲線的漸近線方程為y＝±x，圓的方程為x2＋y2＝4，聯立 解得或 即第一象限的交點為. 由雙曲線和圓的對稱性得四邊形ABCD為矩形，其相鄰兩邊長為，，故＝2b，得b2＝12. 故雙曲線的方程為－＝1.]