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1、第7章 恒定磁場 學(xué)習(xí)指導(dǎo) 一、基本要求 1. 理解恒定電流產(chǎn)生的條件，理解電流密度和電電動勢的概念。 2. 掌握描述磁場性質(zhì)的物理量——磁感強(qiáng)度的概念。 3. 理解畢奧-薩伐爾定律，掌握磁場疊加原理并能計(jì)算一些典型問題的磁感強(qiáng)度。 4. 理解反映磁場性質(zhì)的兩個定理——高斯定理和安培環(huán)路定理，掌握用安培環(huán)路定理計(jì) 算磁感應(yīng)強(qiáng)度的條件和方法。 5. 掌握洛倫茲力公式及其物理意義，會計(jì)算運(yùn)動電荷在磁場中所受的力，并能分析在勻 強(qiáng)磁場中電荷的運(yùn)動規(guī)律。 6. 理解安培定律和磁矩的概念，并能計(jì)算簡單幾何形狀的載流導(dǎo)體和載流平面線圈在磁 場中所受到的安培力和磁力矩。

2、 7. 了解磁介質(zhì)的磁化現(xiàn)象及其微觀解釋。了解磁場強(qiáng)度的概念以及在各向同性介質(zhì)中磁場強(qiáng)度和磁感強(qiáng)度的關(guān)系。理解磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定理及其應(yīng)用。了解鐵磁質(zhì)的特性。 8. 理解磁力和磁力矩作功的概念，會計(jì)算磁力及磁力矩的功。 二、知識框架 恒定磁場 磁場中的介質(zhì) 真空中穩(wěn)恒磁場 磁場的描述 基本規(guī)律 1、磁感應(yīng)強(qiáng)度 是描述磁場本身性質(zhì)的物理量 大小： 方向： 的指向 2、幾何描述----磁感應(yīng)線 3、磁通量 畢奧—薩伐爾定律 1、電流激發(fā)的磁場 2、由畢奧—

3、薩伐爾定律 可得運(yùn)動電荷激發(fā)的磁場 磁場的性質(zhì) 安培定律 1、載流導(dǎo)線上的電流元在磁場中所受安培力 有限長電流在磁場中所受安培力 2、載流線圈在磁場中所受力矩 式中 3、運(yùn)動電荷在磁場中所受磁力 1、磁場中的高斯定理 2、安培環(huán)路定理 1、三種介質(zhì) 抗磁質(zhì) 順磁質(zhì) 鐵磁質(zhì) 2、有關(guān)物理量 （1）磁化強(qiáng)度 各向同性磁介質(zhì) （2）磁場強(qiáng)度 各向同性磁介質(zhì) 3、基本規(guī)律 （1）磁介質(zhì)中的高斯定理 （2）有磁介質(zhì)時安培環(huán)路定理 幾種載流導(dǎo)線產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度: (1)一段載流直導(dǎo)線 無限長時

4、 (2)載流線圈軸線上一點(diǎn) 圓心處 （3）有限長載流直螺線管內(nèi)一點(diǎn) 無限長時 由安培環(huán)路定理得到幾種載流體周圍磁場分布 （1）無限長載流柱體（半徑為） ， （2）載流螺線環(huán)內(nèi)一點(diǎn) （3）無限大載流平面外一點(diǎn)（電流密度為） 三、重點(diǎn)和難點(diǎn) 1．重點(diǎn) （1）確切理解磁感應(yīng)強(qiáng)度的概念，并能熟練、正確地運(yùn)用畢奧-薩伐爾定律和安培環(huán)路定理計(jì)算一些典型問題的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 （2）正確理解和運(yùn)用安培定律計(jì)算載流導(dǎo)體和載流平面線圈在磁場中所受到的安培力和 磁力矩。 2．難點(diǎn) （1）根據(jù)畢奧-薩伐爾定

5、律利用疊加原理計(jì)算有關(guān)問題中的磁感強(qiáng)度。 （2）計(jì)算載流導(dǎo)體和載流平面線圈在磁場中所受到的安培力和磁力矩。 四、基本概念和規(guī)律 1．電流和電流密度 電流是單位時間內(nèi)通過導(dǎo)體任一截面的電荷量，電流的方向是正電荷流動的方向。電流密度是垂直通過導(dǎo)體單位截面的電流，電流密度的方向與該點(diǎn)電流的方向一致，即 式中為面元的法向單位矢，電流密度是矢量。電流與電流密度矢量的關(guān)系為 形成穩(wěn)恒電流的條件 上式表明，流入閉合曲面S內(nèi)的電流等于從閉合曲面S內(nèi)流出的電流，閉合

6、曲面內(nèi)沒有電荷的積累，即閉合曲面內(nèi)的電荷不隨時間而改變。 2． 電動勢 在電源內(nèi)部，非靜電力把單位正電荷從電源的負(fù)極B移到正極A所作的功 稱作電源的電動勢。式中表示電源非靜電電場強(qiáng)度（表示單位正電荷受到的非靜電力）。 若非靜電力作功不局限于電源內(nèi)部，而分布在整個閉合回路中，則閉合回路中的電動勢可寫作 3．磁感強(qiáng)度 磁感強(qiáng)度是描述磁場性質(zhì)的物理量。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，運(yùn)動正電荷在磁場中某點(diǎn)P所受磁力的大小隨其速度方向的變化而不同，我們定義：運(yùn)動正電荷在場點(diǎn)P所受磁力為零時，其速度方向?yàn)镻點(diǎn)處磁場的方向，即磁感強(qiáng)度的方

7、向。實(shí)驗(yàn)又發(fā)現(xiàn)，當(dāng)運(yùn)動正電荷速度v的方向與磁場中某點(diǎn)P的磁感強(qiáng)度B的方向垂直時，它所受到的磁力具有最大值Fm，我們定磁場中P點(diǎn)的磁感強(qiáng)度的大小為 4．畢奧-薩伐爾定律 畢奧-薩伐爾定律給出了一段穩(wěn)恒電流元Idl在空間某點(diǎn)處激發(fā)磁感強(qiáng)度所遵循的規(guī)律。 式中er為矢量r的單位矢，即er = r / r。dB的大小為 式中q 為Idl與r的夾角。dB的方向?yàn)镮

8、dl ′ r的方向，即dB的方向垂直于Idl與r所決定的平面，遵循右手定則，如圖7-1。 圖7-1 對于任意形狀的穩(wěn)恒電流，可根據(jù)疊加原理求得其在空間任意點(diǎn)激發(fā)的磁感強(qiáng)度 用畢奧-薩伐爾定律和疊加原理計(jì)算磁感強(qiáng)度的一般步驟： （1）選取合適的電流元Idl； （2）應(yīng)用畢奧-薩伐爾定律（或用載流直導(dǎo)線、載流圓環(huán)等典型磁場的結(jié)果）寫出電流元Idl在場點(diǎn)P的磁感強(qiáng)度dB，并作圖表示出dB的方向； （3）選取合適的坐標(biāo)系，寫出dB在各坐標(biāo)軸上的分量； （4）如果積分號內(nèi)有多個變量，因利用變量之間的關(guān)系，統(tǒng)一變量。然后利用已知條件確定積分上下線； （5）積分求出B的各分量，將各分

9、量合成求得B的大小和方向。 5．運(yùn)動電荷的磁場 電量為q、速度為v的運(yùn)動電荷，在空間距它為r處激發(fā)的磁感強(qiáng)度 如圖7-2所示，當(dāng)q > 0，B的方向與相同； 當(dāng)q < 0，B的方向與相反。 a) b) 圖7-2 6．磁通量及磁場的高斯定理 （1）磁通量 通過磁場中任意曲面的磁感線數(shù)，稱作通過該曲面的磁通量，即 （2）磁場的高斯

10、定理 通過任意閉合曲面的磁通量恒等于零，即 上述結(jié)論稱作磁場的高斯定理，它反映了穩(wěn)恒磁場是渦旋場。 7．安培環(huán)路定理 磁感強(qiáng)度沿任意閉合路徑的線積分，等于穿過該閉合路徑的電流代數(shù)和的m 0倍。即 上述結(jié)論稱作安培環(huán)路定理。式中若電流的流向與積分環(huán)路滿足右手螺旋關(guān)系，電流取正值，反之取負(fù)值。 用安培環(huán)路定理計(jì)算磁感強(qiáng)度的一般步驟： （1）根據(jù)電流的分布分析磁場的分布是否具有對稱性，對具有對稱性的磁場，可應(yīng)用安培環(huán)路定理來求解； （2）過待求場點(diǎn)P選取合適的積分閉合

11、路徑，并選好閉合路徑的取向。在此閉合路徑的各段上，B與路徑或者垂直，或者平行，或者成一定角度，總之使積分可積； （3）確定積分回路所包圍電流的代數(shù)和，應(yīng)用安培環(huán)路定理求得磁感強(qiáng)度B。 8．磁場對帶電粒子的作用力——洛倫茲力 電量為q、速度為v的運(yùn)動電荷，在外磁場B中受到的洛倫茲力為 洛倫茲力的大小F = qvBsina，a 是v與B的夾角；當(dāng)q > 0，洛倫茲力的方向與相同，當(dāng)q < 0，洛倫茲力的方向與相反。由于洛倫茲力的方向始終與v垂直，所以洛倫茲力只改變運(yùn)動電荷速度的方向，且對運(yùn)動電荷不作功。 9．安培定律 安培定律給出了穩(wěn)恒電流元Idl在磁場中受力的規(guī)律。電流

12、元Idl在磁場B中受到的安培力為 有限長載流導(dǎo)線在磁場B中受到的安培力，由力的疊加原理得 用安培定律計(jì)算載流導(dǎo)體在磁場中所受安培力的一般步驟：（1）選取合適的電流元Idl；（2）應(yīng)用安培定律寫出電流元Idl在磁場中所受安培力dF，并作圖表示出dF的方向；（3）選取合適的坐標(biāo)系，寫出dF在各坐標(biāo)軸上的分量；（4）利用已知條件確定積分上下線，積分求出B的各分量；（5）將各分量合成求得F的大小和方向。 10．載流線圈在磁場中所受磁力矩 平面載流線圈在均勻磁場中受到的磁力矩 I en 圖7-3 式中m是線圈的磁矩。若通有電流I線圈

13、有N匝，線圈所圍面積 為S，其單位正法線矢量為en（en的正方向與電流的流向滿足右手 螺旋關(guān)系，如圖7-3），則 11．磁介質(zhì)中的磁場 （1）磁介質(zhì) 磁介質(zhì)在磁場作用下，分子磁矩發(fā)生變化，使磁介質(zhì)對外產(chǎn)生磁效應(yīng)的現(xiàn)象，稱為磁介質(zhì)的磁化。在外磁場B0中被磁化了的磁介質(zhì)要激起附加磁場B￠，所以磁介質(zhì)中的總磁場為 磁介質(zhì)的分類 順磁質(zhì)—— 磁化后的磁介質(zhì)產(chǎn)生的附加磁場B￠與原磁場B0同方向，合磁場B > B0； 抗磁質(zhì)—— 磁化后的磁介質(zhì)產(chǎn)生的附加磁場B￠與原磁場B0反方向，合磁場B < B0； 鐵磁質(zhì)—— 磁

14、化后的磁介質(zhì)產(chǎn)生的附加磁場B￠與原磁場B0同方向，合磁場B >> B0。 （2）磁化強(qiáng)度 磁化強(qiáng)度是定量描述磁介質(zhì)磁化程度的物理量，磁化強(qiáng)度定義為 介質(zhì)中各點(diǎn)的磁化強(qiáng)度M為一恒矢量時，稱為磁介質(zhì)被均勻磁化。 12．磁場強(qiáng)度 磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定理 （1）磁場強(qiáng)度 磁介質(zhì)中的磁場，磁介質(zhì)產(chǎn)生的附加磁場B￠往往很難求解，所以引入一個新的物理量—— 磁場強(qiáng)度，磁場強(qiáng)度定義為 （2）磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定理 磁場強(qiáng)度H沿任一閉合路徑的線積分，等于該閉合路徑 所包圍的傳導(dǎo)電流的代數(shù)和，即

15、 上式稱作磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定理。 （3）磁場強(qiáng)度與磁感強(qiáng)度的關(guān)系 在各向同性的均勻磁介質(zhì)中，磁場強(qiáng)度與磁感強(qiáng)度的關(guān)系為 式中m 稱作磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率，mr稱作磁介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率。對順磁質(zhì)mr > 1，對抗磁質(zhì)mr< 1， 對鐵磁質(zhì)mr >> 1。 13．鐵磁質(zhì) 鐵磁質(zhì)的主要特性：（1）相對磁導(dǎo)率非常大，即 mr >> 1，且有B >> B0；（2）相對磁導(dǎo)率mr不是常量，由B = mH可知，鐵磁質(zhì)中的B與H之間存在非線性關(guān)系，如圖7-4；（3）當(dāng)鐵磁材料中的磁場發(fā)生變化時，磁感強(qiáng)度B的變化落后于磁場強(qiáng)度H的變化，這種現(xiàn)象稱作磁滯

16、現(xiàn)象。當(dāng)對鐵磁材料進(jìn)行多次反復(fù)磁化后，其B ~ H關(guān)系構(gòu)成一閉合曲線，如圖7-5所示，該曲線稱作磁滯回線。由圖7-5可以看出，當(dāng)H = 0時，B = Br ≠0，Br 稱作剩磁。當(dāng)H = -Hc時，B = 0，Hc稱作矯頑力。（4）鐵磁質(zhì)存在一特定的臨界溫度，這個溫度稱為居里溫度或居里點(diǎn)。當(dāng)溫度超過居里點(diǎn)時，鐵磁質(zhì)失去鐵磁性，退化為順磁質(zhì)。不同的鐵磁質(zhì)，居里點(diǎn)不同，鐵的居里點(diǎn)是770°C。 圖7-4 圖7-5 14．磁介質(zhì)與電介質(zhì)的對比(見表7-1) 表7-1 項(xiàng)目 電介質(zhì)

17、 磁介質(zhì) 描述極化或磁化狀態(tài)量 極化強(qiáng)度 磁化強(qiáng)度 極化或磁化的宏觀效果 介質(zhì)表面出現(xiàn)束縛電荷 介質(zhì)表面出現(xiàn)束縛電流 基本矢量 介質(zhì)對場的影響 極化電荷產(chǎn)生附加場 磁化電流產(chǎn)生附加場 輔助矢量 高斯定理 環(huán)流定理 各向同性介質(zhì)中 常量 F/m 相對介電常量 極化率 介電常量 H/m 相對磁導(dǎo)率 磁化率 磁導(dǎo)率 五、解題指導(dǎo)及解題示例 本章習(xí)題的基本類型有

18、： 1.已知電流，求其磁場分布； 2.已知磁場分布，求通過某一曲面的磁通量； 3.求安培力； 4.求洛倫茲力，討論帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動規(guī)律； 例7-1 真空中一無限長載流直導(dǎo)線在A處折成直角，如圖7-6所示，圖中P、R、S、T到導(dǎo)線的垂直距離均為，電流，在平面內(nèi)，求P、R、S、T四點(diǎn)處磁感強(qiáng)度的大小。 解 所求各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度是兩半無限長載流直導(dǎo)線和激發(fā)的的磁感強(qiáng)度的矢量疊加。 （1）點(diǎn)：點(diǎn)在導(dǎo)線的延長線上，則在點(diǎn)激發(fā)的磁感強(qiáng)度BLA = 0；導(dǎo)線的兩端相對點(diǎn)所對應(yīng)的，所以在點(diǎn)激發(fā)的磁感強(qiáng)度的大小為 a a a L￠ I I 圖7-6 A a a ·

19、 · · P · T S R L BAL￠ 方向?yàn)榇怪奔埫嫦騼?nèi)。所以P點(diǎn)處的磁感強(qiáng)度 Bp方向垂直紙面向內(nèi)。 （2） R點(diǎn)：導(dǎo)線兩端相對R點(diǎn)所對應(yīng)的 ，所以在R點(diǎn)激發(fā)的磁感強(qiáng)度的大小為 BLA的方向都是垂直紙面向外。 導(dǎo)線的兩端相對于R點(diǎn)所對應(yīng)的，則，，所以在R點(diǎn)激發(fā)的磁感強(qiáng)度的大小為 BAL￠ 的方向都是垂直紙面向外。所以 BR方向垂直紙面向外。 （3）對S點(diǎn)同理可求出 BS方向垂直紙面

20、向內(nèi)。 （4）對T點(diǎn)同理可求出 BT方向垂直紙面向內(nèi)。 簡注 本題是載流直導(dǎo)線磁場公式的直接應(yīng)用題目，求解本題的關(guān)鍵是正確確定各點(diǎn)所對應(yīng)的角度。 例7-2 電流I均勻地流過寬為b的無限長平面導(dǎo)體薄板，電流沿板長方向流動，求 （1）在薄板平面內(nèi)，距板的一邊為b的P點(diǎn)處的磁感強(qiáng)度，如圖7-7a。 （2）通過板的中線并與板面垂直的直線上 一點(diǎn)Q處的磁感強(qiáng)度，Q點(diǎn)到板面的距離為x， 如圖7-7b。 (a) (b) 圖7-7 解（1）無限長載流薄板可看成由許多平行 的無限長載流直

21、導(dǎo)線組成。選坐標(biāo)如圖7-8a 所示。距原點(diǎn)O為x處任取一寬度為的無限長 直導(dǎo)線，其上通過的電流為，在P 點(diǎn)激發(fā)的磁感強(qiáng)度為 方向垂直紙面向里。因各載流直導(dǎo)線在P點(diǎn)處激發(fā)的磁感強(qiáng)度的方向都相同，所以P點(diǎn)的磁感強(qiáng)度為 x b b O dx P · O dy y z r x dBx dBy dB ╮ θ x Q a）

22、 b） 圖7-8 方向垂直紙面向里。 （2）取無限長載流薄板中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，如圖7-8b所示。距O點(diǎn)為y處取寬為dy的無限長直導(dǎo)線，其上通過的電流為，在Q點(diǎn)激發(fā)的磁感強(qiáng)度為 方向垂直。沿x、y軸的分量為 由對稱性可得 方向沿y軸負(fù)方向。所以Q處的磁感強(qiáng)度 簡注 無限長載流薄板可看成由許多平行的無限長載

23、流直導(dǎo)線組成，利用無限長載流直導(dǎo)線所激發(fā)磁場，通過矢量疊加可求得本題結(jié)果。求解時應(yīng)注意兩種情況下的方向，不可盲目對直接積分，求時要用矢量疊加。 y a b c d 圖7-9 例7-3 載流導(dǎo)線形狀如圖7-9所示，圖中直線部分導(dǎo)線延伸到無窮遠(yuǎn)處，求O點(diǎn)的磁感強(qiáng)度B。 解 O點(diǎn)的磁感強(qiáng)度應(yīng)是兩無限長直電流與半圓弧電流在 O點(diǎn)激發(fā)的磁感強(qiáng)度的疊加。長直導(dǎo)線ab兩端相對O點(diǎn)所對 應(yīng)的，所以ab在O點(diǎn)激發(fā)的磁感強(qiáng)度為 長直導(dǎo)線cd兩端相對O點(diǎn)所對應(yīng)的， 所以cd在O點(diǎn)激發(fā)的磁感強(qiáng)度的大小為 在半圓弧上任取電流元，由畢奧-薩伐爾定律得在點(diǎn)激發(fā)的磁感強(qiáng)度大小

24、 方向沿x軸負(fù)方向。因圓弧上各電流元在點(diǎn)的方向相同，故有 式中q 是弧長對應(yīng)的圓心角，對于半圓弧?？紤]的方向，上式寫成矢量式為 所以O(shè)點(diǎn)的磁感強(qiáng)度為 簡注 此題是求解長直電流與圓弧電流在空間激發(fā)的磁感強(qiáng)度，O點(diǎn)磁感強(qiáng)度的疊加是在三維空間進(jìn)行，計(jì)算中應(yīng)注意磁感強(qiáng)度的方向。另外，由本題導(dǎo)出的半圓弧電流在其圓心處激發(fā)的磁感強(qiáng)度，可作為任意長圓弧電流在其圓心處激發(fā)磁感強(qiáng)度大小的計(jì)算公式，式中q 是弧長對應(yīng)的圓心角。 例7

25、-4 一長為 ，帶電量為 的均勻帶電細(xì)棒，以速率沿軸正方向運(yùn)動。當(dāng)細(xì)棒運(yùn)動到與軸重合的位置時，細(xì)棒的下端點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為，如圖7-10所示。求此時O點(diǎn)的磁感強(qiáng)度。 解 均勻帶電細(xì)棒可看作由許多電荷元所組成，當(dāng)均勻帶電細(xì)棒運(yùn)動時，相當(dāng)于許多電荷元運(yùn)動，空間各場點(diǎn)的磁感強(qiáng)度是所有電荷元激發(fā)的磁感強(qiáng)度的疊加。 在均勻帶電細(xì)棒上，距原點(diǎn)為處取一線元，其上所帶電量為， l y v x O dy y 圖7-10 根據(jù)運(yùn)動電荷的磁場公式可知，在O點(diǎn) 激發(fā)的磁感強(qiáng)度的大小為 方向垂直于紙面向里。整個帶電細(xì)棒在O點(diǎn)激發(fā)的的磁 感強(qiáng)度的大小為 方向垂直于紙面

26、向里。 簡注 本題解題的關(guān)鍵是明確運(yùn)動帶電細(xì)棒可看作是由許多運(yùn)動電荷元所組成，空間各場點(diǎn)的總磁感強(qiáng)度是所有運(yùn)動電荷元激發(fā)的磁感強(qiáng)度的矢量和。通過運(yùn)動電荷的磁感強(qiáng)度公式就可求解運(yùn)動帶電體激發(fā)的磁場。 例7-5 如圖7-11a所示，一無限長半徑為R的1/ 4圓筒形金屬薄片中， 自上而下地均勻通有電流I， 求圓柱軸線處的磁感強(qiáng)度B。 x y I dl a） 解 載流1/ 4圓筒形金屬薄片可看作由許多無限長載流 直導(dǎo)線組成。在金屬薄片上取一與軸線平行、寬為的無限 長載流窄條，如圖7-11a所示，其上載有電流 dI在軸線上激發(fā)的磁感強(qiáng)度為 的

27、方向如圖7-11b所示，dB沿x、y軸的分量為 dB y )q · dl dBx dBy b） 圖7-11 x O 將以上兩式分別積分 = 所以圓柱軸線處的磁感強(qiáng)度B 簡注 借助無限長載流直導(dǎo)線激發(fā)磁場的公式，通過矢量疊加，可求出無限長載流1/4圓柱面在軸線處激發(fā)的磁感強(qiáng)度B。求解此題時應(yīng)注意的方向，各長直電流在圓柱軸線處激發(fā)的磁感強(qiáng)度的方向都不相同，不可盲目對直接積分。 例7-6 在半徑為r的無限長圓柱導(dǎo)體內(nèi)挖去一個直徑為r / 2的圓柱空腔，圓柱空腔的軸

28、線與圓柱導(dǎo)體的軸線平行，且圓柱空腔的側(cè)面與相切，如圖7-12所示。在圓柱導(dǎo)體的截面上通有均勻分布沿向下的電流I，在距圓柱導(dǎo)體軸線3r處有一電子，在軸線和空腔軸線所確定的平面內(nèi)，沿平行于軸線方向，以速度v向下飛經(jīng)P點(diǎn)，求電子經(jīng)P點(diǎn)時所受的磁場力。 解 帶有空腔的載流圓柱導(dǎo)體，可看作是實(shí)心載流圓柱導(dǎo)體與載有相反方向電流的空腔所構(gòu)成，空間磁場由上述兩部分電流產(chǎn)生。由題意知，圓柱導(dǎo)體中的電流密度為 設(shè)實(shí)心載流圓柱導(dǎo)體在P處激發(fā)的磁感強(qiáng)度為B1，以為軸線，過P點(diǎn)取半徑為3r的磁感線作積分回路，由安培環(huán)路定理得 P

29、點(diǎn)處B1的方向垂直與紙面向里。 設(shè)載流圓柱空腔在P處激發(fā)的磁感強(qiáng)度為B2，以圓柱空腔軸為軸線，過P點(diǎn)取半徑為（3r- r /4）的磁感線作積分回路，由安培環(huán)路定理得 O 圖7-12 O′ v P -e 3r I P點(diǎn)處B2的方向垂直與紙面向外。所以帶有空腔的載流圓柱導(dǎo)體在P點(diǎn)激發(fā)的磁感強(qiáng)度為 B的方向垂直與紙面向里。 電子以速度v向下飛經(jīng)P點(diǎn)時，因，所以受到的洛倫茲力的大小為 fm的方向向左。 簡注 本題應(yīng)用補(bǔ)償法和安培環(huán)路定理來求解磁感強(qiáng)度。通過補(bǔ)償法使系統(tǒng)恢復(fù)軸對稱性，則

30、可用安培環(huán)路定理求解磁感強(qiáng)度，再通過磁場疊加原理即可求得空腔載流圓柱導(dǎo)體在P處激發(fā)的磁感強(qiáng)度。 例7-7 如圖7-13a所示，在載有電流的無限長直導(dǎo)線的右側(cè)，與其共面地放置一個直角三角形線圈abc，線圈中的電流為。已知，試分別求三角形線圈各邊所受到的作用力。 a） b） 圖7-13 解 無限長載流直導(dǎo)線在ab段導(dǎo)線所在處激發(fā)的磁感強(qiáng)度的大小為， B的方向垂直紙面向里。所以ab段所受力的大小為 的方向向左，指向無限長直導(dǎo)線。 因bc段導(dǎo)線上由I1激發(fā)的各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度的大小不同，所以在bc段導(dǎo)線上距I1為r處任

31、取一電流元，所在處的磁感強(qiáng)度的大小為 B的方向垂直紙面向里。所受力的大小為 根據(jù)幾何關(guān)系有。因bc段上各電流元受力方向相同，如圖7-13所示，所以bc段所受力的大小為 類似的分析可得cd段所受力的大小為 的方向垂直于ca，豎直向下。 簡注 由于無限長直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場是非均勻的，所以載流線圈在非勻強(qiáng)磁場中的受力問題，有時需要用積分來求解。 例7-8 如圖7-14所示，一半徑為的薄圓筒，表面

32、上的電荷面密度為，放入均勻磁場中，的方向與盤面平行。若圓盤以角速度繞通過盤心、垂直盤面的軸轉(zhuǎn)動，求圓盤受到的磁力矩。 解 圓盤可看成由許多同心細(xì)圓環(huán)組成。取半徑為，寬為的圓環(huán)，其上帶電量為。當(dāng)圓盤以角速度繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時，帶電圓環(huán)相當(dāng)于一圓電流，此電流為 該圓電流的磁矩大小為 B 圖7-14 w O R r dr dm方向垂直盤面向外。該圓電流受到的磁力矩的大小為 整個圓盤所受到的磁力矩大小為 本題中若盤面與B成角，則圓盤所受到的磁力矩大小為 簡注

33、 磁場對載流線圈有力矩的作用，帶電圓盤在轉(zhuǎn)動過程中，形成一系列圓電流，磁場作用在圓盤上的磁力矩就是對這些圓電流的磁力矩的矢量和。在本題中由電荷旋轉(zhuǎn)確定元電流是十分重要的。 例7-9 如圖7-15a所示，一根細(xì)長的永磁棒沿軸向均勻磁化，磁化強(qiáng)度為。求圖 M 1? 3? 6? ?7 4? a） ?5 2? 中標(biāo)出的各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度。 解 根據(jù)磁化理論，沿軸向均勻磁化的永磁棒， 其內(nèi)部的分子電流均相互抵消，而在磁棒表面未被 抵消的分子電流，成為磁化電流。磁化電流激發(fā) 圖7-15 b） M 的磁場與一細(xì)長螺線管激發(fā)的磁場等效，即

34、 式中n為螺線管單位長度上的匝數(shù)。因磁化電流面密 度（磁棒軸向單位長度流過的磁化電流）， 而磁化面電流密度與磁化強(qiáng)度的關(guān)系為，所 以細(xì)長永磁棒內(nèi)的磁感強(qiáng)度 考慮磁感強(qiáng)度的方向，上式可寫成矢量式 圖7-15a中1點(diǎn)在細(xì)長螺線管中點(diǎn)，，所以 圖7-15a中2、3點(diǎn)在細(xì)長螺線管中部外邊，，所以 圖7-15a中4、5、6、7點(diǎn)在細(xì)長螺線管關(guān)口處，管關(guān)口處的磁感強(qiáng)度恰為其中部的一半，所以 上式表明在兩種磁介質(zhì)的界面上磁感強(qiáng)度是連續(xù)的。 根據(jù)磁場強(qiáng)度的定義式，可得各點(diǎn)的磁場強(qiáng)度如 以上兩式表明在兩種磁介質(zhì)的界面上磁場強(qiáng)度是不連續(xù)的

35、。 簡注 一般情況下，磁介質(zhì)比電介質(zhì)復(fù)雜，特別是鐵磁質(zhì)中和不成正比關(guān)系，和也不是常量，值不能由唯一的確定，且與磁化歷史有關(guān)，因此本題中不能用來求解。在磁介質(zhì)中，總是成立的，所以本題采用這一公式求解。計(jì)算結(jié)果表明，磁感強(qiáng)度在交界面處是連續(xù)的，磁場強(qiáng)度在交界面處發(fā)生突變，磁場外與同向，而在磁棒內(nèi)與、反向。 例7-10 通有電流的均勻密繞細(xì)螺線環(huán)，環(huán)內(nèi)充滿磁導(dǎo)率為 的均勻順磁質(zhì)。已知螺線環(huán)單位長度有1 000匝線圈，求環(huán)內(nèi)的磁場強(qiáng)度、磁感強(qiáng)度和磁化強(qiáng)度。 解 螺線環(huán)內(nèi)的磁場分布具有對稱性，環(huán)內(nèi)的磁感線是與環(huán)同心的一系列同心圓。同一磁感線上各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度大小相等、方向沿同心圓的切線方向，故可用安培環(huán)路定理求解。 圖7-16 如圖7-16所示，在環(huán)內(nèi)任取一條半徑為r的磁感線C做積分回路，根據(jù)有磁介質(zhì)時的安培環(huán)路定理得 所以環(huán)內(nèi)的磁場強(qiáng)度 環(huán)內(nèi)的磁感強(qiáng)度 H和B的方向與螺線環(huán)中電流的流向構(gòu)成右手螺旋關(guān)系。 根據(jù)磁場強(qiáng)度的定義式，可得環(huán)內(nèi)的磁化強(qiáng)度 對于順磁質(zhì)，M的方向與H或B的方相同。 簡注 通過求解本題，有助于掌握有磁介質(zhì)時的安培環(huán)路定理的應(yīng)用，并熟悉H、B、M之間的關(guān)系。 178