《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用舉例課件 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用舉例課件 文（37頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用舉例總綱目錄教材研讀1.平面向量的數(shù)量積考點突破2.向量的數(shù)量積的性質(zhì)3.向量的數(shù)量積的運算律考點二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用考點一平面向量數(shù)量積的運算考點三平面向量與三角函數(shù)的綜合問題4.平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示1.平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積(1)向量a與b的夾角:已知兩個非零向量a,b,過O點作=a,=b,則AOB=(0180)叫做向量a與b的夾角.當(dāng)=90時,a與b垂直,記作ab;當(dāng)=0時,a與b同向;當(dāng)=180時,a與b反向.(2)a與b的數(shù)量積已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為,則把數(shù)量|a|b|cos 叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作ab=|a|b

2、|cos.OAOB教材研讀教材研讀(3)規(guī)定0a=0.(4)一個向量在另一個向量方向上的投影設(shè)是a與b的夾角,則|a|cos 叫做a在b的方向上的投影,|b|cos 叫做b在a的方向上的投影.b在a的方向上的投影是一個實數(shù),而不是向量.(5)ab的幾何意義ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積.2.向量的數(shù)量積的性質(zhì)向量的數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a、b都是非零向量,e是與b方向相同的單位向量,是a與e的夾角,則(1)ea=ae=|a|cos .(2)abab=0.(3)當(dāng)a與b同向時,ab=|a|b|.當(dāng)a與b反向時,ab=-|a|b|.特別地,aa=|a|2.(4)cos =

3、 .(5)|ab|a|b|.| |a bab3.向量的數(shù)量積的運算律向量的數(shù)量積的運算律(1)ab=ba.(2)(a)b=(ab)=a(b)(R).(3)(a+b)c=ac+bc.4.平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2.(2)若a=(x,y),則aa=a2=|a|2=x2+y2,|a|= .(3)若A(x1,y1),B(x2,y2),則|= ,這就是平面內(nèi)兩點間的距離公式.(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a,b為非零向量,則abx1x2+y1y2=0. 22xyAB222121()()x

4、xyy1.已知|a|=5,|b|=4,a與b的夾角為120,則ab為()A.10 B.-10 C.10 D.-1033D答案答案 D ab=|a|b|cos 120=54cos 120=20=-10.故選D.122.已知|a|=2,|b|=6,ab=-6,則a與b的夾角為()A. B. C. D. 3632356D答案答案 D cos =-.又因為0,所以=,故選D.| |a bab6 32632563.設(shè)a=(5,-7),b=(-6,t),若ab=-2,則t的值為()A.-4 B.4 C. D.- 327327A答案答案 A由ab=-2得,5(-6)+(-7)t=-2,-7t=28,所以t=

5、-4,故選A.4.在邊長為1的等邊ABC中,設(shè)=a,=b,=c,則ab+bc+ca=( )A.- B.0 C. D.3BCCAAB3232答案答案 A依題意有ab+bc+ca=+=-,故選A.12121232A5.(2017課標(biāo)全國,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且ab,則m= .2答案答案2解析解析ab,ab=0,又a=(-2,3),b=(3,m),-6+3m=0,解得m=2.6.已知平面向量a,b的夾角為,|a|=2,|b|=1,則|a+b|= .233答案答案 3解析解析|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2=4+2|a|b|cos+1=4-2+1=3,|a+b

6、|=.233典例典例1(1)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形,|=6,|=4.若點M,N滿足=3,=2,則=()A.20 B.15 C.9 D.6(2)(2017課標(biāo)全國,12,5分)已知ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點,則(+)的最小值是()A.-2 B.- C.- D.-1ABADBMMCDNNCAMNMPAPBPC3243考點一平面向量數(shù)量積的運算考點一平面向量數(shù)量積的運算考點突破考點突破答案答案(1)C(2)B解析解析(1)依題意有=+=+,=+=-=-,所以=-=9.故選C.(2)以AB所在直線為x軸,AB的中點為原點建立平面直角坐標(biāo)系,如圖,則A(-1,0),B(1,

7、0),C(0,),設(shè)P(x,y),取BC的中點D,則D.AMABBMAB34BCNMNCCM13DC14BC13AB14BCAMNM34ABBC1134ABBC132AB3162BC313,22(+)=2=2(-1-x,-y)=2=2.因此,當(dāng)x=-,y=時,(+)取得最小值,為2=-,故選B.PAPBPCPAPD13,22xy13(1)22xxyy22133444xy1434PAPBPC3432方法技巧方法技巧向量數(shù)量積的兩種運算方法方法運用提示適用題型定義法當(dāng)已知向量的模和夾角時,可利用定義法求解,即ab=|a|b|cos 適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計算問題坐標(biāo)法當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時

8、,可利用坐標(biāo)法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2適用于已知相應(yīng)向量的坐標(biāo)求解數(shù)量積的有關(guān)計算問題1-1 (2017陜西西安八校聯(lián)考)已知點A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),則向量在方向上的投影是()A.-3 B.- C.3 D. CDBA53 2253 22答案答案 A依題意得,=(-2,-1),=(5,5),=(-2,-1)(5,5)=-15,|=,因此向量在方向上的投影是=-3,故選A.BACDBACDBA5CDBA|BA CDBA1555A1-2已知ABC是邊長為1的等邊三角形,點D,E分別是邊AB,BC的中點,連接D

9、E并延長到點F,使得DE=2EF,則的值為()A.- B. C. D. AFBC581814118B答案答案 B建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.所以=,所以=(1,0)=.故選B.AF15 3,88AFBC15 3,8818則B,C,A,所以=(1,0).易知DE=AC,FEC=ACE=60,則EF=AC=,所以點F的坐標(biāo)為,1,021,0230,2BC12141413,88考點二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用考點二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用命題方向命題視角平面向量模的問題求平面向量的模或已知模求解問題平面向量的夾角問題求兩向量的夾角或已知夾角求參數(shù)平面向量的垂直問題利用兩向量垂直的條件求參數(shù)典例典例2(1)(

10、2018河南鄭州質(zhì)檢)已知平面向量a與b的夾角等于,若|a|=2,|b|=3,則|2a-3b|=()A. B. C.57 D.61(2)在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點,A(-1,0),B(0,),C(3,0),動點D滿足|=1,則|+|的最大值是 .357613CDOAOBOD命題方向一平面向量模的問題命題方向一平面向量模的問題答案答案(1)B(2)+17解析解析(1)由題意可得ab=|a|b|cos=3,所以|2a-3b|=,故選B.(2)設(shè)D(x,y),由=(x-3,y)及|=1,知(x-3)2+y2=1,即動點D的軌跡是以點C為圓心的單位圓.又+=(-1,0)+(0,)+(x,y)=(x-

11、1,y+),|+|=.問題轉(zhuǎn)化為圓(x-3)2+y2=1上的點與點P(1,-)間距離的最大值.圓心C(3,0)與點P(1,-)之間的距離為=,故的最大值為+1.即|+|的最大值是+1.32(23 )ab224|9|12aba b16813661CDCDOAOBOD33OAOBOD22(1)(3)xy3322(3 1)(03)722(1)(3)xy7OAOBOD7典例典例3(1)(2016課標(biāo)全國,3,5分)已知向量=,=,則ABC=()A.30 B.45 C.60 D.120(2)已知向量a=(1,),b=(3,m).若向量a,b的夾角為,則實數(shù)m=()A.2 B. C.0 D.- BA13,

12、22BC3 1,2236333命題方向二平面向量的夾角問題命題方向二平面向量的夾角問題答案答案(1)A(2)B解析解析(1)cosABC=,向量間的夾角的取值范圍是0,所以ABC=30,故選A.(2)a=(1,),b=(3,m),|a|=2,|b|=,ab=3+m,又a,b的夾角為,=cos,即=,+m=,解得m=.| |BA BCBABC32329m36| |a bab62332 9mm32329m3典例典例4(1)ABC是邊長為2的等邊三角形,已知向量a,b滿足=2a,=2a+b,則下列結(jié)論正確的是()A.|b|=1 B.abC.ab=1 D.(4a+b)(2)已知向量a=(k,3),b=

13、(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)c,則實數(shù)k=()A.- B.0 C.3 D. ABACBC92152命題方向三平面向量的垂直問題命題方向三平面向量的垂直問題答案答案(1)D(2)C解析解析(1)b=-=,|b|=|=2,故A錯;=22cos 60=2,即-2ab=2,ab=-1,故B、C都錯;(4a+b)=(4a+b)b=4ab+b2=-4+4=0,(4a+b),故選D.(2)2a-3b=(2k-3,-6),由(2a-3b)c,得(2a-3b)c=0,即4k-6-6=0,解得k=3.選C.ACABBCBCBABCBCBC規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)平面向量數(shù)量積求解問題的策略(1)求兩向量的

14、夾角:cos =,要注意0,.(2)兩向量垂直的應(yīng)用:abab=0|a-b|=|a+b|.(3)求向量的模:利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有a2=aa=|a|2或|a|=.|ab|=.若a=(x,y),則|a|=.| |a baba a2()ab222aa bb 22xy2-1(2017課標(biāo)全國課標(biāo)全國理理,13,5分分)已知向量已知向量a,b的夾角為的夾角為60,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|= .答案答案2 3解析解析由題意知ab=|a|b|cos 60=21=1,則|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4ab=4+4+4=12.所以|a+2b|=2.1232-2

15、 (2017課標(biāo)全國,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b與a垂直,則m= .7答案答案7解析解析a=(-1,2),b=(m,1),a+b=(m-1,3),又(a+b)a,(a+b)a=-(m-1)+6=0,解得m=7.2-3若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b與c的夾角為鈍角,則k的取值范圍是 .答案答案 9,2 9,32解析解析2a-3b與c的夾角為鈍角,(2a-3b)c0,即(2k-3,-6)(2,1)0,4k-6-60,k3.又若(2a-3b)c,則2k-3=-12,即k=-.當(dāng)k=-時,2a-3b=(-12,-6)=-6c

16、,即2a-3b與c反向.綜上,k的取值范圍為.92929,2 9,32典例典例5已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x0,.(1)若ab,求x的值;(2)記f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值.3考點三平面向量與三角函數(shù)的綜合問題考點三平面向量與三角函數(shù)的綜合問題解析解析(1)因為a=(cos x,sin x),b=(3,-),ab,所以-cos x=3sin x.若cos x=0,則sin x=0,與sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x0.于是tan x=-.又x0,所以x=.(2)f(x)=ab=(cos x,sin x)(3,-)=3co

17、s x-sin x=2cos.因為x0,所以x+,從而-1cos.于是,當(dāng)x+=,即x=0時, f(x)取到最大值3;3333563336x67,666x3266當(dāng)x+=,即x=時, f(x)取到最小值-2.6563規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式,先運用向量共線或垂直或等式成立等,得到三角函數(shù)的關(guān)系式,然后求解.(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo),要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式,解題思路是經(jīng)過向量的運算,利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性,求得值域等.3-1已知向量m=(sin -2,-cos ),n=(-sin ,cos ),其中R.(1)若mn,求;(2)若|m-n|=,求cos 2的值.2解析解析(1)若mn,則mn=0,即-sin (sin -2)-cos2=0,即sin =,可得=2k+或=2k+,kZ.(2)若|m-n|=,即有(m-n)2=2,即(2sin -2)2+(-2cos )2=2,126562即4sin2+4-8sin +4cos2=2,即有8-8sin =2,可得sin =,34所以cos 2=1-2sin2=1-2=-.91618