《河南省鄲城縣光明中學九年級數(shù)學下冊 圓課件課件 華東師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《河南省鄲城縣光明中學九年級數(shù)學下冊 圓課件課件 華東師大版（49頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 它是它是13001300多年前我國隋代建造的石拱橋多年前我國隋代建造的石拱橋, , 是我國古代人是我國古代人民勤勞與智慧的結晶它的主橋是圓弧形民勤勞與智慧的結晶它的主橋是圓弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所對弧所對的弦的長的弦的長) )為為37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中點到弦的距離弧的中點到弦的距離) )為為7.2m7.2m， 你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？你知道趙州橋嗎你知道趙州橋嗎? ? 實踐探究實踐探究把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到重復幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能

2、得到什么結論？什么結論？可以發(fā)現(xiàn)：可以發(fā)現(xiàn)：圓是圓是軸對稱軸對稱圖形，任何一條圖形，任何一條直徑直徑所所在直線都是它的對稱軸，它有無數(shù)條對稱軸在直線都是它的對稱軸，它有無數(shù)條對稱軸看一看看一看B.OCAEDO.CAEBDAEBEAEBEAM=BM,AB是是 O的一條弦的一條弦. 你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關系你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關系?與同伴說與同伴說說你的想法和理由說你的想法和理由.作作直徑直徑CD,使使CDAB,垂足為垂足為M.O右圖是軸對稱圖形嗎右圖是軸對稱圖形嗎?如果是如果是,其對稱軸是什么其對稱軸是什么?小明發(fā)現(xiàn)圖中有小明發(fā)現(xiàn)圖中有:ABCDM由由 CD是直徑是直徑 CDAB可推得可推得

3、 AC=BC,AD=BD.垂徑定理如圖如圖,小明的理由是小明的理由是:連接連接OA,OB,OA,OB,OABCDM則則OA=OB.在在RtOAM和和RtOBM中中,OA=OB，OM=OM，RtOAM RtOBM.AM=BM.點點A和點和點B關于關于CD對稱對稱. O關于直徑關于直徑CD對稱對稱,當圓沿著直徑當圓沿著直徑CD對折時對折時,點點A與點與點B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合. AC =BC,AD =BD.垂徑定理三種語言定理定理 垂直垂直于弦的直徑于弦的直徑平分平分弦弦,并且平分弦所并且平分弦所對的兩條對的兩條弧弧.OABCDMCDAB,如圖如圖 CD是直徑是直徑

4、,AM=BM, AC =BC, AD=BD.CDAB,AB是是 O的一條弦的一條弦,且且AM=BM.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關系你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關系?與同伴說說你與同伴說說你的想法和理由的想法和理由.過點過點M作直徑作直徑CD.O右圖是軸對稱圖形嗎右圖是軸對稱圖形嗎?如果是如果是,其對稱軸是什么其對稱軸是什么?小明發(fā)現(xiàn)圖中有小明發(fā)現(xiàn)圖中有:CD由由 CD是直徑是直徑 AM=BM可推得可推得AC=BC,AD=BD. MAB如圖如圖,小明的理由是小明的理由是:連接連接OA,OB,OA,OB,垂徑定理的逆定理OABCDM則則OA=OB.在在OAM和和OBM中中,OA=OB，OM=OM，AM=BM

5、OAM OBM.AMO= BMO.CDAB O關于直徑關于直徑CD對稱對稱,當圓沿著直徑當圓沿著直徑CD對折時對折時,點點A與點與點B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合. AC =BC,AD =BD.平分平分弦（不是直徑）的直徑弦（不是直徑）的直徑垂直垂直于于弦弦, ,并且并且平分平分弦所對的兩條弦所對的兩條弧弧. .例例1 1 ：如圖，已知在：如圖，已知在OO中，弦中，弦ABAB的長為的長為8 8厘米，圓心厘米，圓心O O到到ABAB的距離的距離為為3 3厘米，求厘米，求OO的半徑。的半徑。解：連結解：連結OA。過。過O作作OEAB，垂足為，垂足為E， 則則OE3厘米，厘米

6、，AEBE。 AB8厘米厘米 AE4厘米厘米 在在RtAOE中，根據(jù)勾股定理有中，根據(jù)勾股定理有OA5厘米厘米 O的的半徑為半徑為5厘米厘米。.AEBO例例2：已知：如圖，在以：已知：如圖，在以O為圓為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于交小圓于C，D兩點。兩點。求證：求證：ACBD。證明：過證明：過O作作OEAB，垂足為，垂足為E， 則則AEBE，CEDE。 AECEBEDE。 所以，所以，ACBDE.ACDBO判斷下列說法的正誤判斷下列說法的正誤 平分弧的直徑必平分弧所對的弦平分弧的直徑必平分弧所對的弦 平分弦的直線必垂直弦平分弦的直線必垂直弦 垂直于弦的直徑

7、平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦 平分弦的直徑垂直于這條弦平分弦的直徑垂直于這條弦 弦的垂直平分線是圓的直徑弦的垂直平分線是圓的直徑 平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦 在圓中，如果一條直線經過圓心且平分弦，在圓中，如果一條直線經過圓心且平分弦，必平分此弦所對的弧必平分此弦所對的弧 分別過弦的三等分點作弦的垂線，將弦所對分別過弦的三等分點作弦的垂線，將弦所對的兩條弧分別三等分的兩條弧分別三等分 1.13001.1300多年前多年前, ,我國隋朝建造的趙州石拱橋我國隋朝建造的趙州石拱橋( (如圖如圖) )的橋的橋拱是圓弧形拱是圓弧形, ,它的跨度它的跨度(

8、 (弧所對是弦的長弧所對是弦的長) )為為 37.437.4 m, m,拱高拱高( (弧的中點到弦的距離弧的中點到弦的距離, ,也叫弓形高也叫弓形高) )為為7.27.2m,m,求求橋拱的半徑橋拱的半徑( (精確到精確到0.1m).0.1m).RDOABC37.4m7.2mABCDOAOBCODAOCBOD我們把我們把頂點頂點在在圓心圓心的的角叫做角叫做圓心角圓心角. . 圓心角的概念圓心角的概念OAB探探究究OABABAB 如圖，將圓心角如圖，將圓心角AOB繞圓心繞圓心O旋轉到旋轉到AOB 的位置，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關系？為什么？的位置，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關系？為什么？ 根據(jù)旋轉的性質，將圓根據(jù)

9、旋轉的性質，將圓心角心角AOB繞圓心繞圓心O旋轉到旋轉到AOB的位置時，的位置時， AOBAOB，射線，射線 OA與與OA重合，重合，OB與與OB重合而同圓的半徑重合而同圓的半徑相等，相等，OA=OA，OB=OB，點點 A與與 A重合，重合，B與與B重重合合OABAB.ABA B 重合，重合，AB與與AB重合重合ABA B與ABA B在同圓或等圓中在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等的弧所對的圓心角_， 所對的弦所對的弦_；在同圓或等圓中在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角，相等的弦所對的圓心角_，所對的弧，所對的弧_弧、弦與圓心角的關系定理弧、弦與圓心角的關系定理在同圓或等圓中，在同圓或

10、等圓中，相等的圓心角所對的相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等弧相等，所對的弦也相等相等相等相等相等相等相等相等相等同圓或等圓同圓或等圓中，中，兩個圓心角、兩兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中條弧、兩條弦中有一組量相等，有一組量相等，它們所對應的其它們所對應的其余各組量也相余各組量也相等等前提條件前提條件 例例1 1：如圖，在：如圖，在OO中，中， 1111111111111111AC=BDAC=BD， , , 求求22的度數(shù)。的度數(shù)。1 45 解：解：AC=BDAC=BD（已知）（已知）AB=CDAB=CDAC-BC=BD-BCAC-BC=BD-BC（等式的性質）（等式的性質）1=2=451=

11、2=45（在同圓中，相等的弧所（在同圓中，相等的弧所對的圓心角相等）對的圓心角相等） 一一. .判斷下列說法是否正確：判斷下列說法是否正確：1 1相等的圓心角所對的弧相等。（相等的圓心角所對的弧相等。（ ）2 2相等的弧所對的弦相等。（相等的弧所對的弦相等。（ ）3 3相等的弦所對的弧相等。（相等的弦所對的弧相等。（ ）二二. .如圖，如圖，OO中，中，AB=CDAB=CD，501._2 ODCAB1250o證明：證明： AB=AC又又ACB=60， AB=BC=CA. AOBBOCAOC.ABCO例例2 如圖如圖, 在在 O中，中， ，ACB=60，求證求證AOB=BOC=AOC.ABACA

12、BAC 如圖，如圖，AB、CD是是 O的兩條弦的兩條弦（1）如果）如果AB=CD，那么，那么_，_（2）如果）如果 ，那么，那么_，_（3）如果）如果AOB=COD，那么，那么_，_CABDEFOAOBCOD AB=CDABCDAOBCOD AB=CD練習練習ABCDABCD 如圖，如圖，AB、CD是是 O的兩條弦的兩條弦（4）如果）如果AB=CD，OEAB于于E，OFCD于于F，OE與與OF相等嗎？為什么？相等嗎？為什么？CABDEFO,11,22ABCDAECFOAOCR.OEOFOEAB OFCDAEAB CFCDt AOERt COFOEOF證明： 又又練習練習 如下圖，同學們能找到圓

13、心角嗎？它具有什么樣如下圖，同學們能找到圓心角嗎？它具有什么樣的特征？（的特征？（頂點在圓心，兩邊與圓相交的角叫做圓心頂點在圓心，兩邊與圓相交的角叫做圓心角角），今天我們要學習圓中的另一種特殊的角，它的），今天我們要學習圓中的另一種特殊的角，它的名稱叫做名稱叫做圓周角圓周角。 (5) (4) (3) (2) (1) O B A (5) (4) (3) (2) (1) O B A圓周角圓周角究竟什么樣的角是圓周角呢？像圖（究竟什么樣的角是圓周角呢？像圖（3）中的）中的解就叫做圓周角，而圖（解就叫做圓周角，而圖（2）、（）、（4）、（）、（5）中的角）中的角都不是圓周角。同學們可以通過討論歸納如何

14、判斷一都不是圓周角。同學們可以通過討論歸納如何判斷一個角是不是圓周角。個角是不是圓周角。（頂點在圓上，兩邊與圓相交的角叫做圓周角）頂點在圓上，兩邊與圓相交的角叫做圓周角）1 探究半圓或直徑所對的圓周角等于多少度？探究半圓或直徑所對的圓周角等于多少度？的圓周角所對的弦是否是直徑？的圓周角所對的弦是否是直徑？ 線段線段ABAB是是OO的的直徑直徑，點，點C C是是OO上任意一點上任意一點（除點（除點A A、B B）, ,那么，那么，ACB ACB 就是直徑就是直徑AB AB 所對的圓周角所對的圓周角. .想想看，想想看，ACB ACB 會是怎么樣的角？會是怎么樣的角？為什么呢？為什么呢？ 證明：證

15、明： 因為因為OAOAOBOBOCOC，所以，所以AOCAOC、BOC BOC 都是等腰三角形，所以都是等腰三角形，所以 OACOACOCAOCA，OBCOBCOCBOCB. . 又又OACOACOBCOBCACBACB180180， 所以所以ACBACBOCAOCAOCBOCB9090. . 因此，不管點因此，不管點C C在在O O上何處（除點上何處（除點A A、B B），），ACBACB總等于總等于9090，類比圓心角類比圓心角探知探知圓周角圓周角在在同圓同圓或或等圓等圓中中, ,相等相等的的弧弧所對的所對的圓心角相等圓心角相等. .在在同圓同圓或或等圓等圓中中, ,相等相等的的弧弧所對的

16、所對的圓周角圓周角有什么關系？有什么關系？ 為了解決這個問題為了解決這個問題, ,我們先探究一條弧所對的圓周我們先探究一條弧所對的圓周角和圓心角之間有的關系角和圓心角之間有的關系. .OOOABCABCABC圓周角圓周角和和圓心角圓心角的關系的關系 如圖如圖, ,觀察圓周角觀察圓周角ABCABC與圓心角與圓心角AOC,AOC,它們的它們的大小有什么關系大小有什么關系? ?n注意：注意：圓心與圓周角的位置關系圓心與圓周角的位置關系.OABCOABCOABC1.1.首先考慮一種特殊情況：首先考慮一種特殊情況：當當圓心圓心(O)(O)在圓周角在圓周角(ABC)(ABC)的一邊的一邊(BC)(BC)上

17、時上時, ,圓周圓周角角ABCABC與圓心角與圓心角AOCAOC的大小關系的大小關系. .AOCAOC是是ABOABO的外角，的外角，AOC=B+A.AOC=B+A.OA=OBOA=OB，OA AB BC CA=B.A=B.AOC=2B.AOC=2B.即即 ABC = AOC.ABC = AOC.21一條弧所對的一條弧所對的圓周角圓周角等于它所對的等于它所對的圓心角圓心角的一半的一半. .如果圓心不在圓周角的一邊上如果圓心不在圓周角的一邊上, ,結果會怎樣結果會怎樣? ?2.2.當當圓心圓心(O)(O)在在圓周角圓周角(ABC)(ABC)的內部時的內部時, ,圓周角圓周角ABCABC與圓心角與

18、圓心角AOCAOC的大小關系會怎樣的大小關系會怎樣? ?過點過點B B作直徑作直徑BD.BD.由由1 1可得可得: :O ABC = AOC.ABC = AOC.21A AB BC CD DABD = AOD,CBD = COD,ABD = AOD,CBD = COD,2121一條弧所對的一條弧所對的圓周角圓周角等于它所對的等于它所對的圓心角圓心角的一半的一半. .ODABC過點過點B B作直徑作直徑BD.BD.由由1 1可得可得: : ABC = AOC.ABC = AOC.21ABD = AOD,CBD = COD,ABD = AOD,CBD = COD,2121一條弧所對的一條弧所對的圓

19、周角圓周角等于它所對的等于它所對的圓心角圓心角的一半的一半. .如果圓心不在圓周角的一邊上如果圓心不在圓周角的一邊上, ,結果會怎樣結果會怎樣? ?3.3.當當圓心圓心(O)(O)在在圓周角圓周角(ABC)(ABC)的外部時的外部時, ,圓周角圓周角ABCABC與圓心角與圓心角AOCAOC的大小關系會怎樣的大小關系會怎樣? ?圓周角圓周角定理定理 在在同圓同圓或或等圓等圓中，中，同弧同弧或或等弧等弧所對的所對的圓周角相等圓周角相等，都等于這條弧所對的，都等于這條弧所對的圓心角圓心角的的一半一半 半圓半圓（或直徑）（或直徑）所對的所對的圓周角圓周角是是直角直角; ; 9090的圓周角所的圓周角所

20、對的對的弦弦是是直徑直徑BC1OC2C3例例1 如圖，如圖， O直徑直徑AB為為10cm，弦，弦AC為為6cm，ACB的平分線交的平分線交 O于于D，求，求BC、AD、BD的長的長86102222ACABBC221052(cm)22ADBDAB又在又在RtABD中，中，AD2+BD2=AB2，解：解：AB是直徑，是直徑， ACB= ADB=90在在RtABC中，中，CD平分平分ACB，AD=BD.ACDBCD OABCD2.求證：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個求證：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形（提示：作出以這條邊為直徑的圓三角形是直角三角形（

21、提示：作出以這條邊為直徑的圓.）ABCO求證：求證： ABC 為直角三角形為直角三角形.證明：證明：CO= AB,12以以AB為直徑作為直徑作 O，AO=BO，AO=BO=CO.點點C在在 O上上.又又AB為直徑為直徑,ACB= 180= 90.12已知：已知：ABC 中，中，CO為為AB邊上的中線，邊上的中線，12且且CO= AB ABC 為直角三角形為直角三角形.1.AB1.AB、ACAC為為OO的兩條弦，延長的兩條弦，延長CACA到到D D，使，使 AD=ABAD=AB，如果，如果ADB=35ADB=35 ，求求BOCBOC的度數(shù)。的度數(shù)。 2 2、如圖，在、如圖，在OO中，中，BC=2

22、DEBC=2DE， BOC=84BOC=84，求求AA的度數(shù)。的度數(shù)。BOC =140BOC =140 A=21A=21 4 4、在、在OO中，一條弧所對的圓心角和圓周角分中，一條弧所對的圓心角和圓周角分別為別為(2x+100)(2x+100)和和(5x-30)(5x-30)，則，則x=x=_ _ _；3. 3. 如圖，在直徑為如圖，在直徑為ABAB的半圓中，的半圓中，O O為圓心，為圓心，C C、D D 為半圓上的兩點，為半圓上的兩點，COD=50COD=50，則，則 CAD=_CAD=_；20205050小結小結 在在同圓同圓或或等圓等圓中，中，同弧同弧或或等弧等弧所對的所對的圓周角相等圓

23、周角相等，都等于這條弧所對的，都等于這條弧所對的圓心角圓心角的的一半一半 半圓半圓（或直徑）（或直徑）所對的所對的圓周角圓周角是是直角直角; ; 9090的圓周角所的圓周角所對的對的弦弦是是直徑直徑BC1OC2C3垂徑定理定理定理 垂直垂直于弦的直徑于弦的直徑平分平分弦弦,并且并且平分平分 弦所對的兩條弦所對的兩條弧弧.OABCDM 平分平分弦（不是直弦（不是直徑）的直徑徑）的直徑垂直垂直于弦于弦, ,并且并且平分平分弦所對的兩條弦所對的兩條弧弧. .例例1：如圖，在：如圖，在 O中，中，AB、AC為互相垂直為互相垂直且相等的兩條弦，且相等的兩條弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求證四邊形，

24、求證四邊形ADOE是正方形是正方形DOABCE證明：證明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四邊形四邊形ADOE為矩形，為矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB， AE=AD 四邊形四邊形ADOE為正方形為正方形.例例2 已知：已知： O中弦中弦ABCD。求證：求證：ACBD.MCDABON證明：作直徑證明：作直徑MNAB。ABCD，MNCD。則則AMBM，CMDM（垂直平分弦的直徑平分弦所對的弦）（垂直平分弦的直徑平分弦所對的弦） AMCMBMDM ACBD總結總結: 解決有關弦的問題，經常是解決有關弦的問題，經常是過圓心作弦的垂線過圓心作弦的垂線，或，

25、或作垂直于弦的直作垂直于弦的直徑，連結半徑徑，連結半徑等輔助線，為應用等輔助線，為應用垂徑定垂徑定理理創(chuàng)造條件。創(chuàng)造條件。在同圓或等圓中在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等的弧所對的圓心角_， 所對的弦所對的弦_；在同圓或等圓中在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角，相等的弦所對的圓心角_，所對的弧，所對的弧_弧、弦與圓心角的關系定理弧、弦與圓心角的關系定理在同圓或等圓中，在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等弧相等，所對的弦也相等相等相等相等相等相等相等相等相等同圓或等圓同圓或等圓中，中，兩個圓心角、兩兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中條弧、兩條弦中有一組量相

26、等，有一組量相等，它們所對應的其它們所對應的其余各組量也相余各組量也相等等前提條件前提條件例例3.如圖，如圖，AB是是 O 的直徑，的直徑， COD=35，求，求AOE 的度數(shù)的度數(shù)AOBCDE BCCDDE BOC= COD= DOE=35 1803 35AOE 75解：解：,BC CDDE圓周角定理 在在同圓同圓或或等圓等圓中，中，同弧同弧或或等弧等弧所對的所對的圓周角相等圓周角相等，都等于這條弧所對的，都等于這條弧所對的圓心角圓心角的的一半一半 半圓半圓（或直徑）（或直徑）所對的所對的圓周角圓周角是是直角直角; ; 9090的圓周角所的圓周角所對的對的弦弦是是直徑直徑BC1OC2C3例例4 4一個圓形人工湖一個圓形人工湖, ,弦弦ABAB是是湖上的一座橋湖上的一座橋, ,已知橋已知橋ABAB長長100m.100m.測得圓周角測得圓周角C=45C=45求這個人工湖求這個人工湖的直徑的直徑. .ABC例例4 4一個圓形人工湖一個圓形人工湖, ,弦弦ABAB是湖上的一座橋是湖上的一座橋, ,已知橋已知橋ABAB長長100m.100m.測測得圓周角得圓周角C=45C=45求求這個人工湖的直徑這個人工湖的直徑. .ABCD