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1、命題與證明 1.1.一般的一般的, ,判斷判斷一件事情的句子叫做一件事情的句子叫做命題命題, , 命題分為命題分為真命題與假命題真命題與假命題。2.2.說明一個命題是說明一個命題是假命題假命題, ,通常只用通常只用找出一個找出一個反例反例, ,但要說明一個命題是但要說明一個命題是真命題真命題, ,就必須用就必須用推理推理的方法的方法, ,而不能而不能光憑一個例子。光憑一個例子。一、判斷下列命題的真假.1. 有一個角是45的直角三角形是等腰直角三角形.2. 素數(shù)不可能是偶數(shù).3. 黃皮膚和黑皮膚的人都是中國人.4. 有兩個外角(不同頂點)是鈍角的三角形是銳角三角形.5. 若y(1-y)=0，則y

2、=0. 真命題真命題假命題假命題假命題假命題假命題假命題假命題假命題 平行線的平行線的性質(zhì)性質(zhì)：公理：公理：兩直線平行，同位角相等兩直線平行，同位角相等定理定理：兩直結(jié)平行，內(nèi)錯角相等：兩直結(jié)平行，內(nèi)錯角相等定理定理：兩直線平行，同旁內(nèi)角互：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補補平行線的平行線的判定判定：公理公理：同位角相等，兩直線平行：同位角相等，兩直線平行定理定理：同旁內(nèi)角互補，兩直結(jié)平行：同旁內(nèi)角互補，兩直結(jié)平行定理定理：內(nèi)錯角相等，兩直線平行：內(nèi)錯角相等，兩直線平行 w證明命題的一般步驟:w(1)理解題意理解題意:分清命題的條件分清命題的條件(已知已知),結(jié)論結(jié)論(求證求證);w(2)根據(jù)題意根據(jù)

3、題意,畫出圖形畫出圖形;w(3)結(jié)合圖形結(jié)合圖形,用用符號語言符號語言寫出寫出“已知已知”和和“求求證證”;w(4)分析題意分析題意,探索證明思路探索證明思路;w(5)依據(jù)思路依據(jù)思路,運用數(shù)學符號和數(shù)學語言條理清運用數(shù)學符號和數(shù)學語言條理清晰地寫出證明過程晰地寫出證明過程; 例1、證明：等腰三角形兩底角的平分線相等。 已知：如圖，在ABC中，AB=AC，BD，CE是ABC的角平分線。 求證：BD=CE. 21 證明：證明：AB=AC， ABC= ACB(等邊對等角等邊對等角). 1= ABC，2= ACB，1=2.在在BDC和和CEB中，中，ACB=ABC，BC=CB，1=2，BDC CEB

4、（ASA）.BD=CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等全等三角形的對應(yīng)邊相等).211、（1）如圖(甲)，在五角星圖形中，求 A+ B+ C+ D+ E的度數(shù)。 （2）把圖（乙）、（丙）叫蛻化的五角星，問它們的五角之和與五角星圖形的五角之和仍相等嗎？為什么？ AEABCDAE(甲甲)EBCDDCB(乙乙)(丙丙) 2、如圖，O是ABC的ABC與ACB的平分線的交點，DEBC交AB于點D，交AC于點E.若AB=10cm，AC=8cm，則ADE的周長是_cm. AECBDO 例2 等腰三角形的底角為15,腰長為2a，求腰上的高。 如圖，在ABC中，已知AB=AC=2a，ABC=ACB=15，CD是腰AB上

5、的高，求CD的長. 解： ABC=ACB=15， DAC= ABC +ACB=15+15=30. CD= AC= 2a=a(在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么他所對的直角邊等與斜邊的一半). 2121例例3、 如圖，已知如圖，已知AD是是ABD 和和ACD的公共邊的公共邊.求證：求證： BDC=BAC+B+CABCD1234證法一：證法一：在在ABD中中, 1180B3 （三角形內(nèi)角和定理）（三角形內(nèi)角和定理） 在在ADC中中, 2180C4 （三角形內(nèi)角和定理）（三角形內(nèi)角和定理） 又又BDC36012（周角定義）（周角定義） BDC 360（ 180B3 ）（ 180C4 ） （等

6、量代換）（等量代換） B+C+3+4. 又又 BAC 3+4, BDC B+C+ BAC （等量代換）（等量代換）.).(18021),(18021).(18021,18021.0000CBBACBDCACDABDBACBDCBDCACDABDBACBDCBDCACDABDBACABCBC即（等量代換）等式性質(zhì)三角形內(nèi)角和定理中，在中，在連接 例例. 如圖，已知如圖，已知AD是是ABD 和和ACD的公共邊的公共邊.求證：求證： BDC=BAC+B+C證法二：證法二：ABCD121. 用反例證明下列命題是假命題：用反例證明下列命題是假命題：(1) 若若x(1-x)=0，則，則x=0；(2) 三角

7、形一邊上的中線等于這條邊的一半；三角形一邊上的中線等于這條邊的一半；(3) 相等的角是對頂角；相等的角是對頂角；（4）若）若x3,則分式則分式 有意義有意義.92xx請用反例證明命題“相等的角是對頂角” 是假命題.小結(jié)：小結(jié)：假命題的證明是利用反例來說明假命題的證明是利用反例來說明.反反例必須是具備命題的條件例必須是具備命題的條件,卻不具備卻不具備命題的結(jié)論命題的結(jié)論,從而說明命題錯誤從而說明命題錯誤.說明一個命題是真命題說明一個命題是真命題,就必須用推就必須用推理的方法理的方法,而不能光憑一個例子而不能光憑一個例子. 在證明一個命題時在證明一個命題時,人們有時人們有時先假設(shè)命題先假設(shè)命題不成

8、立不成立,從這樣的假設(shè)出發(fā)從這樣的假設(shè)出發(fā),經(jīng)過推理得出經(jīng)過推理得出和已知條件矛盾和已知條件矛盾,或者與定義或者與定義,公理公理,定理等定理等矛盾矛盾,從而得出從而得出假設(shè)命題不成立是錯誤的假設(shè)命題不成立是錯誤的,即所求證的命題正確即所求證的命題正確.這種證明方法叫做這種證明方法叫做反證法反證法. 證明：在三角形中至少有一個角大于或等于60. 已知：ABC 求證：ABC中至少有一個角大于或等于60 證明：假設(shè)ABC的三個角都小于60，那么三角之和必小于180，這與“三角形三個內(nèi)角和等于180” 相矛盾。因此，ABC中至少有一個角大于或等于60. ACB 證明：假設(shè)ABCD,那么AB與CD一定相交于一點PAB EF，CD EF（已知）過點P有兩條直線AB， CD都與直線EF平行。這與“經(jīng)過直線外一點，有一條而且只有一條直線和這條直線平行”矛盾。AB CD不能成立。AB CDABECDFp反證法證題的一般步驟：1.反設(shè)（否定結(jié)論）；2.歸謬（利用已知條件和反設(shè)，已學過的公理、定理、定義、法則，進行推理，得出與已學過的公理、定理、或與已知條件，或與假設(shè)矛盾）；3.寫出結(jié)論（肯定原命題成立）。這節(jié)課你有何收獲，這節(jié)課你有何收獲，能與大家分享、交流你的感受嗎？能與大家分享、交流你的感受嗎？