《【備戰(zhàn)2020】高考數(shù)學全套知識點》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《【備戰(zhàn)2020】高考數(shù)學全套知識點（43頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 高考數(shù)學全套知識點 1. 對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性” 。 如：集合 A x|y lg x ， B y| y lg x ， C (x, y)|y lg x ， A 、 B、 C 中 元 素 各表示什么？ 2. 進行集合的交、并、補運算時，不要忘記集合本身和空集 的特殊情況。 注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如：集合 A x|x2 2x 3 0 ， B x|ax 1 若

2、B A ，則實數(shù) a的值構成的集合為 （答： ， ， 1 ） 1 0 3 3. 注意下列性質： （ 1）集合 a1 ， a2 ， ， an 的所有子集的個數(shù)是 2 n ； （ 3）德摩根定律： CU A B CUA CUB ，CU A B CUA CUB 4. 你會用補集思想解決問題嗎？（排除法、間接法） 的取值范圍。 5. 可以判斷真假的語句叫做命題，邏輯連接詞有“或”

3、( )，“且” ( ) 和 “非” ( ). 若p q為真，當且僅當 p、 q均為真 若p q為真，當且僅當 p、 q至少有一個為真 若 p為真，當且僅當 p為假 6. 命題的四種形式及其相互關系是什么？ （互為逆否關系的命題是等價命題。 ） 原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。 7. 對映射的概念了解嗎？映射 f： A →B ，是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中與之對 應元素的唯一性，哪幾種對應能構成映射？ （一對一，多對一，允許 B 中有元素無原象

4、 ） 8. 函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個函數(shù)是否相同？（定義域、對應法則、值域） 9. 求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？ 10. 如何求復合函數(shù)的定義域？ 如：函數(shù) f (x)的定義域是 a， b ， b a 0，則函數(shù) F(x ) f (x) f ( x)的定 義 域 是 _。 （答： a， a ） 11. 求一個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時，注明函數(shù)的定義域了嗎？

5、 12. 反函數(shù)存在的條件是什么？ （一一對應函數(shù)） 求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？ （①反解 x；②互換 x、y；③注明定義域） 1 x x 0 如：求函數(shù) f ( x) 2 x 的反函數(shù) x 0 （答： f 1 x 1 x 1 x ） ( ) x x 0 13. 反函數(shù)的性質有哪些？ ①互為反函數(shù)的圖象關于直線 y＝x 對稱； ②保存了原來函數(shù)的單調性、奇函數(shù)性；

6、 14. 如何用定義證明函數(shù)的單調性？（取值、作差、判正負） 如何判斷復合函數(shù)的單調性？ ∴ ） 15. 如何利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性？ 在區(qū)間 a， b 內，若總有 f '( x) 0則f ( x) 為增函數(shù)。（在個別點上導數(shù)等于 零，不影響函數(shù)的單調性），反之也對，若 f '( x ) 0呢？ 值是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 由已知 f ( x) 在[1，

7、 ) 上為增函數(shù)，則 a 1，即 a 3 3 ∴ a 的最大值為 3） 16. 函數(shù) f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？（ f(x) 定義域關于原點對稱） 若f (  x)  f ( x) 總成立  f ( x) 為奇函數(shù)  函數(shù)圖象關于原點對稱 若 f (  x)  f ( x )總成立  f ( x) 為偶函數(shù)  函數(shù)圖象關于  y軸對稱 注意如下結論： （ 1）在公共定義域內：

8、 兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)； 兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)； 一個偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。 17. 你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？ 函數(shù)， T 是一個周期。） 如：

9、 18. 你掌握常用的圖象變換了嗎？ f ( x) 與f ( x) 的圖象關于 y軸 對稱 f ( x) 與 f ( x)的圖象關于 x軸 對稱 f ( x) 與 f ( x) 的圖象關于 原點 對稱 f ( x) 與 f 1 (x) 的圖象關于 直線 y x 對稱 f ( x) 與f (2a x)的圖象關于 直線x a 對稱 f ( x) 與 f (2a x)的圖象關于 點 (a， 0) 對稱 將 y f ( x) 圖象 左移

10、 a( a 0) 個單位 y f (x a) 右移 a( a 0) 個單位 y f (x a) 上移 b( b 0) 個單位 y f (x a) b 下移 b( b 0) 個單位 y f (x a) b 注意如下“翻折”變換： y y=log 2x O 1 x 19. 你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質了嗎？

11、 （ 1）一次函數(shù)： y kx b k 0 （ 2）反比例函數(shù)： y k k 0 推廣為 y k k 0 是中心 O'( a， b) 的雙曲線。 x b x a （3）二次函數(shù) y ax 2 bx c a 0 b 2 4ac b 2 a x 4a 圖象為拋物線 2a 應用：①“三個二次” （二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關系——二次方程

12、 ②求閉區(qū)間［ m， n］上的最值。 ③求區(qū)間定（動） ，對稱軸動（定）的最值問題。 ④一元二次方程根的分布問題。 0 如：二次方程  ax2  bx  c  0的兩根都大于  k  b  k 2a f ( k )  0 由圖象記性質！ （注意底數(shù)的限定！ ）

13、 （ 6）“對勾函數(shù)” y x k k 0 x 利用它的單調性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？ 20. 你在基本運算上常出現(xiàn)錯誤嗎？ log a M log a M log a N， log a n M 1 log a M N n

14、 21. 如何解抽象函數(shù)問題？（賦值法、結構變換法） （ 2） x R，f ( x) 滿足 f (xy ) f (x ) f ( y) ，證明 f ( x )是偶函數(shù)。 22. 掌握求函數(shù)值域的常用方法了嗎？ （二次函數(shù)法（配方法） ，反函數(shù)法，換元法，均值定理法，判別式法，利用函數(shù)單調性法，導數(shù)法等。 ） 如求下列函數(shù)的最值：

15、 23. 你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為α，半徑為 R 的弧長公式和扇形面積公式 嗎？ 24. 熟記三角函數(shù)的定義，單位圓中三角函數(shù)線的定義 又如：求函數(shù) y 1 2 cos x 的定義域和值域。 2 （∵ 1 2 cos x ） 1 2 sinx 0 2 ∴ sin x 2 ，如圖： 2

16、 25. 你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象嗎？并由圖象寫出單調區(qū)間、對稱點、對稱軸嗎？ y sin x的增區(qū)間為 2k ， 2k 2 k Z 2 減區(qū)間為 2k ， 2k 3 k Z 2 2 圖象的對稱

17、點為 k ， 0 ，對稱軸為 x k k Z 2 y cosx的增區(qū)間為 2k ， 2k k Z 減區(qū)間為 2k ， 2 k 2 k Z 圖象的對稱點為 k ， 0 ，對稱軸為 x k k Z 2 y tan x 的增區(qū)間為 k ， k k Z 2 2 26. 正弦型函數(shù) y = Asin x + 的圖象和性質要熟記。 或y A cos x （1）振幅 |A |，周期 T 2 | |

18、 若 f x 0 A ，則 x x0 為對稱軸。 若f x 0 0，則 x 0 ， 0 為對稱點，反之也對。 （ 2 ）五點作圖：令 x 依次為 0， ， ， 3 ， 2 ，求出 與 ，依點 （ x，y）作 2 2 x y 圖象。 （ 3）根據(jù)圖象求解析式。（求 A、 、 值）

19、 解條件組求 、 值 正切型函數(shù) y A tan x ，T | | 27. 在三角函數(shù)中求一個角時要注意兩個方面——先求出某一個三角函數(shù)值，再判定角的范圍。 28. 在解含有正、余弦函數(shù)的問題時，你注意（到）運用函數(shù)的有界性了嗎？ 29. 熟練掌握三角函數(shù)圖象變換了嗎？（平移變換、伸縮變換） 平移公式： （1）點 P（ x， y） a ( h

20、， k ) x' x h P' （ x' ， y' ），則 y k 平移至 y' （2）曲線 f (x，y) 0沿向量 a ( h，k )平移后的方程為 f (x h，y k) 0 如：函數(shù) y 2 sin 2x 1 的圖象經過怎樣的變換才能得到 y sin x 的 圖象？ 4 30. 熟練掌握同角三角函數(shù)關系和誘導公式了嗎？ “ k· ”化為 的三角函數(shù)——“奇變，偶不變，符號看象限”， “奇”

21、、“偶” 2 指 k 取奇、偶數(shù)。 如： cos 9 tan 7 sin 21 4 6 又如：函數(shù)  y  sin  tan  ，則 y的值為 cos cot A. 正值或負值  B. 負值  C. 非負值  D. 正值 31. 熟練掌握兩角和、差、倍、 降冪公式 及其逆向應用了嗎？理解公式之間的聯(lián)系： 應用以上公式對三角函數(shù)式化簡。 （

22、化簡要求： 項數(shù)最少、 函數(shù)種類最少， 分母中不含 三角函數(shù)，能求值，盡可能求值。 ） 具體方法： （1）角的變換：如 ， 2 2 2 （ 2）名的變換：化弦或化切 （ 3）次數(shù)的變換：升、降冪公式 （ 4）形的變換：統(tǒng)一函數(shù)形式，注意運用代數(shù)運算。 如：已知 sin cos 1， tan 2 ，求 tan 2 的值。 1 cos2 3 （由已知得： sin cos cos ，∴ 1 2 sin2 2sin 1 tan 2 tan

23、tan 2 1 1 3 2 ∴ tan2tan · tan 2 1 ） 1 tan 8 1 · 3 2 32. 正、余弦定理的各種表達形式你還記得嗎？如何實現(xiàn)邊、角轉化，而解斜三角形？ （應用：已知兩邊一夾角求第三邊；已知三邊求角。 ） a b a 2R sin A 正弦定理： c 2R sin B sin A sin B 2Rb sin C 2R sin C c （ 1）求角 C；

24、 （（ 1）由已知式得： 1 cos A B 2 cos2 C 1 1 （ 2）由正弦定理及  a2  b2  1 c 2 得： 2 33. 用反三角函數(shù)表示角時要注意角的范圍。 反正弦：

25、arcsin x ， ， x 1，1 2 2 反余弦： arccosx 0， ，x 1，1 反正切： arctan x ， 2 ， x R 2 34. 不等式的性質有哪些？ 答案： C 35. 利用均值不等式： a b 2 a 2 b 2 ， ； a b ； 求最值時，你是否注 2ab a b R 2 ab ab 2

26、 意到“ a， b R ”且“等號成立”時的條件，積 ( ab 或和 a b 其中之一為定 值？（一正、 ) ( ) 二定、三相等） 注意如下結論： 當且僅當 a b時等號成立。 如：若 x 0， 2 3x 4 的最大值為 x 當且僅當 3x 4 ，又 x 0，∴ x 2 3 時， y max 243） x

27、 3 （∵ 2 x 22 y 2 2 x 2 y 2 21 ，∴最小值為 2 2） 36. 不等式證明的基本方法都掌握了嗎？ （比較法、分析法、綜合法、數(shù)學歸納法等） 并注意簡單放縮法的應用。 37. 解分式不等式 f (x) a a 0 的一般步驟是什么？ g(x) （移項通分，分子分母因式分解， x 的系數(shù)變?yōu)? 1，穿軸法解得結果。 ） 38. 用“穿

28、軸法”解高次不等式——“奇穿，偶切” ，從最大根的右上方開始 39. 解含有參數(shù)的不等式要注意對字母參數(shù)的討論 40. 對含有兩個絕對值的不等式如何去解？ （找零點，分段討論，去掉絕對值符號，最后取各段的并集。） 例如：解不等式 |x 3| x 1 1 1 （解集為 x|x ） 41. 會用不等式 |a| |b| |a b| | a| | b|證明較簡單的不等問題 如：設 f (x ) x2 x 13，實數(shù) a滿足 | x a| 1

29、 證明： （按不等號方向放縮） 42. 不等式恒成立問題，常用的處理方式是什么？（可轉化為最值問題，或“△”問題） 如： a f (x )恒成立 a f ( x) 的最小值 a f ( x) 恒成立 a f ( x) 的最大值 a f ( x) 能成立 a f ( x) 的最小值 例如：對于一切實數(shù) x，若 x 3 x 2 a恒成立，則 a的取值范圍是 （設 u x 3 x 2 ，它表示數(shù)軸上到兩

30、定點 2和 3距離之和 43. 等差數(shù)列的定義與性質 定義： an 1 a n d ( d為常數(shù) )， a n a1 n 1 d 等差中項： x， A ， y成等差數(shù)列 2A x y 前 n項和 Sn a1 an n n n 1 d 2 na1 2 性質： a n 是等差數(shù)列 （ 2 ）數(shù)列 a2 n 1 ， a 2 n ， ka n b 仍為等差數(shù)列；

31、 （ 3）若三個數(shù)成等差數(shù)列，可設為 a d， a， a d； （ 4）若 a n ， bn 是等差數(shù)列 Sn ， Tn 為前 n項和，則 a m S2 m 1 ； b m T2 m 1 （ 5） a n 為等差數(shù)列 S n an2 bn（ a， b為常數(shù)，是關于 n的常數(shù)項為 0 的二 次函數(shù)） Sn 的最值可求二次函數(shù) Sn an2 bn的最值；或者求出 an 中的正、負分界 項，即： 當a1 0，d 0，解不等式組 an 0 可得 Sn 達到最大值時的 n

32、值。 an 1 0 當 a 1 0 ， d ，由 a n 0 可得 Sn 達到最小值時的 值。 0 0 n a n 1 如：等差數(shù)列 an ， Sn 18， an an 1 a n 2 3， S3 1，則 n 44. 等比數(shù)列的定義與性質 等比中項： x、G、y成等比數(shù)列 G

33、 2 xy，或 Gxy na1 (q 1) 前 n項和： Sna1 1 q n （要注意 ! ） (q 1) 1 q 性質： a n 是等比數(shù)列 （ 2） Sn ， S2 n Sn ， S3 n S2 n 仍為等比數(shù)列 45.由 Sn 求 an 時應注意什么？ （ n 1時， a1 S1， n 2時， a n Sn Sn 1） 46. 你熟悉求數(shù)列通項公式的常用方法嗎？ 例如：（ 1）求差（商）法 如： an 滿足 1 a1

34、 12 a2 1n an 2n 5 1 2 2 2 解： n 2 時， 1 a1 1 a2 1 an 1 2n 1 5 2 2 2 2 2n 1 ［練習］ 數(shù)列 an 滿足 Sn Sn 1 5 an 1 ，a1 4，求 an 3 （注意到 an 1 Sn 1 Sn 代入得： Sn 1 4 Sn 又 S1

35、 4 ，∴ Sn 是等比數(shù)列， Sn 4 n n 2時， an Sn Sn 1 3· 4 n 1 （ 2）疊乘法 例如：數(shù)列 an 中， a1 3， an 1 n ，求 an an n 1 解： （ 3）等差型遞推公式 由an an 1 f (n) ，a1 a0 ，求 an ，用迭加法 n 2時， a 2  a1  f (2 ) a 3  a2

36、 f (3)  兩邊相加，得： an  an 1  f ( n) ［練習］ 數(shù)列 an ， a1 1，a n 3n 1 a n 1 n 2 ，求 an （ 4）等比型遞推公式 an  ca n 1  d c、 d為常數(shù)，  c  0， c  1， d  0 可轉化為等比數(shù)列，設  an  x  c an

37、 1  x ∴ a n d 是首項為 d ， 為公比的等比數(shù)列 1 a1 c c c 1 ［練習］ 數(shù)列 an 滿足 a1 9 ， 3an 1 a n 4，求 an n 1 （an 8 4 1 ） 3 （ 5）倒數(shù)法 例如： a1 1， an 1 2an ，求 an a n 2

38、 由已知得： 1 an 2 1 1 an 1 2an 2 an 1 為等差數(shù)列， 1 ，公差為 1 an a1 1 2 47. 你熟悉求數(shù)列前 n 項和的常用方法嗎？ 例如：（ 1）裂項法： 把數(shù)列各項拆成兩項或多項之和， 使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項。 an d  n 1 k 1 ak ak 1 解：

39、 ［練習］ 1 1 1 1 1 2 3 1 2 1 2 3n （ 2）錯位相減法： 若 a n 為等差數(shù)列， b n 為等比數(shù)列，求數(shù)列 a n b n （差比數(shù)列）前 n項 和，可由 S n qSn 求 S n ，其中 q為 b n 的公比。 （ 3）倒序相加法：把數(shù)列的各項順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加。 Sn a1

40、 a2 a n 1 an 相加 Sn a n an 1 a2 a1 ［練習］ 2 1 （由 f (x) f 1 x 2 x x2 1 1 x 1 x2 1 2 1 x 2 1 x2 1 x ∴原式 f (1) f (2) f 1 f ( 3) f 1 f (4) f 1 2 3 4

41、 48. 你知道儲蓄、貸款問題嗎？△零存整取儲蓄（單利）本利和計算模型： 若每期存入本金 p 元，每期利率為 r， n 期后，本利和為： △若按復利，如貸款問題——按揭貸款的每期還款計算模型（按揭貸款——分期等額 歸還本息的借款種類） 若貸款（向銀行借款） p 元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年） 后為第一次還款日，如此下去，第 n 次還清。如果每期利率為 r（按復利），那么每期應還 x 元，滿足

42、 p——貸款數(shù)， r——利率， n——還款期數(shù) 49. 解排列、組合問題的依據(jù)是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合。 （mi 為各類辦法中的方法數(shù)） 分步計數(shù)原理： N m1 · m2 mn （ mi 為各步驟中的方法數(shù)） （ 2）排列：從  n 個不同元素中，任取  m（ m≤ n）個元素，按照一定的  順序 排成一 列，叫做從  n個不同元素中取出  m個元素的一個排列，所有排列的個數(shù)記為  A mn .

43、 （ 3）組合：從 n 個不同元素中任取 m（ m≤ n）個元素并組成一組，叫做從 n 個不 規(guī)定： C 0n 1 （ 4）組合數(shù)性質： 50. 解排列與組合問題的規(guī)律是： 相鄰問題捆綁法；相間隔問題插空法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；至多至少 問題間接法；相同元素分組可采用隔板法，數(shù)量不大時可以逐一排出結果。 如：學號為 1， 2， 3， 4 的四名學生的考試成績

44、則這四位同學考試成績的所有可能情況是（ ） A. 24 B. 15 C. 12 D. 10 解析：可分成兩類： （1）中間兩個分數(shù)不相等， （ 2）中間兩個分數(shù)相等 相同兩數(shù)分別取 90， 91，92，對應的排列可以數(shù)出來，分別有 3， 4， 3 種，∴有 10 種。 ∴共有 5＋ 10＝15（種）情況 51. 二項式定理 C nr 為二項式系數(shù)（區(qū)別于該項的系數(shù)） 性質： （ 1）對稱性：

45、Cnr Cnn r r 0， 1， 2， ， n （ 2）系數(shù)和： Cn0 C1n C nn 2n （ 3）最值： n 為偶數(shù)時， n＋ 1 為奇數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大且為第 n n 1 項，二項式系數(shù)為 Cn2 ；n為奇數(shù)時， (n 1) 為偶數(shù)，中間兩項的二項式 2 n 1 n 1 系數(shù)最大即第 n 1 項及第 n 1 1項，其二項式系數(shù)為 C n2 C n 2 2 2 如：在二項式 11 （用數(shù)字 表示） x 1 的展開式中，系數(shù)最小的項系數(shù)為

46、 ∴共有 12項，中間兩項系數(shù)的絕對值最大，且為第 12 或第 7項 6 2 由C11rx11 r ( 1)r ，∴取 r 5即第 6項系數(shù)為負值為最小： 又如： 1 2004 a0 a1 x a2 x2 a 2004 x 2004 x R ，則 2 x a0 a1a0 a2 a0 a3 a0 a2004 令 x 1，得： a0 a2a2004 1 ∴原式 2003a0 a0 a1 a2004 2003 1 1 2004

47、） 52. 你對隨機事件之間的關系熟悉嗎？ （1）必然事件 ，P ) 1，不可能事件 ， P( ) 0 （2 ）包含關系： A B ，“ A 發(fā)生必導致 B發(fā)生”稱 B包含 A。 A B （ 3）事件的和（并）： A B或 A B“ A與 B至少有一個發(fā)生”叫做 A與 B 的 和（并）。 （ 4 ）事件的積（交）： A ·B 或A B“ A與 B同時發(fā)生”叫做 A 與 B的積。 （ 5）互斥事件（互不

48、相容事件） ：“ A 與 B 不能同時發(fā)生”叫做 A 、 B 互斥。 （ 6）對立事件（互逆事件） ： “A 不發(fā)生”叫做 A 發(fā)生的對立（逆）事件， A A A ， A A （ 7）獨立事件： A 發(fā)生與否對 B 發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件。 A 與B獨立， A與 B，A與B，A與 B也相互獨立。 53. 對某一事件概率的求法： 分清所求的是： （ 1）等可能事件的概

49、率（常采用排列組合的方法，即 P(A ) A 包含的等可能結果 m 一次試驗的等可能結果的總數(shù) n （ 2）若 A 、B互斥，則 P A B P(A ) P(B) （3）若 A、B相互獨立，則 P A· B PA ·PB （ 4）P(A ) 1 P(A ) （ 5）如果在一次試驗中 A 發(fā)生的概率是 p，那么在 n 次獨立重復試驗中 A 恰好發(fā)生 如：設 10 件產品中有 4 件次品， 6 件正品，求下列事件的概率。 （ 1）從中任取 2 件都是次品； （

50、2）從中任取 5 件恰有 2 件次品； （ 3）從中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品； 解析： 有放回地抽取 3 次（每次抽 1 件），∴ n＝ 103 而至少有 2 件次品為“恰有 2 次品”和“三件都是次品” C32· 42 · 6 43 44 ∴P3 3 125 10 （ 4）從中依次取 5 件恰有 2 件次品。解析： ∵一件一件抽?。ㄓ许樞颍? 分清（ 1）、（ 2）是組合問題， （ 3）是可重復排列問題，

51、（4）是無重復排列問題。 54. 抽樣方法主要有：簡單隨機抽樣（抽簽法、隨機數(shù)表法）常常用于總體個數(shù)較少時，它的特征是從總體中逐個抽??；系統(tǒng)抽樣，常用于總體個數(shù)較多時，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一個；分層抽樣，主要特征是分層按比例抽樣，主要用于總體中有明顯差異，它們的共同特征是每個個體被抽到的概率相等，體現(xiàn)了抽樣的客觀性和平等性。 55. 對總體分布的估計——用樣本的頻率作為總體的概率，用樣本的期望（平均值）和方差去估計總體的期望和方差。 要熟悉樣本頻率直方圖的作法： （ 2）決定組距和組數(shù)； （ 3）決定分點；

52、 （ 4）列頻率分布表； （ 5）畫頻率直方圖。 頻率 其中，頻率 小長方形的面積 組距× 組距 樣本平均值： x 1 x1 x 2 x n n 樣本方差： S2 1 x1 2 x 2 2 2 x x x n x n 如：從 10 名女生與 5 名男生中選 6 名學生參加比賽， 如果按性別分層隨機抽樣， 則組 成此參賽隊的概率為 ____________ 。

53、 56. 你對向量的有關概念清楚嗎？ （ 1）向量——既有大小又有方向的量。 （ 2 ）向量的?！邢蚓€段的長度， |a| （3）單位向量 |a 0 | a 1， a 0 |a| （4）零向量 0， 0 0 | | （ ）相等的向量 長度相等 a b 5 方向相同 在此規(guī)定下向量可以在平面（或空間）平行移動而不改變。 （ 6）并線向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。規(guī)定零向量與任意向量平行。 b ∥ a

54、(b 0 ) 存在唯一實數(shù) ，使 b a （ 7）向量的加、減法如圖： （ 8）平面向量基本定理（向量的分解定理） 的一組基底。 （ 9）向量的坐標表示 i ， j 是一對互相垂直的單位向量，則有且只有一對實數(shù) x， y，使得 a x i y j ，稱 ( x，y )為向量 a 的坐標，記作： a x ，y ，即為向量的坐標 表示。

55、 57. 平面向量的數(shù)量積 （1） a · b |a|·| b|cos 叫做向量 a 與 b 的數(shù)量積（或內積）。 數(shù)量積的幾何意義： a · b 等于 | a| 與 b 在 a 的方向上的射影 | b|cos 的乘積。 （ 2）數(shù)量積的運算法則 注意：數(shù)量積不滿足結合律 ( a · b)· c a · (b ·

56、c) （ 3）重要性質：設 a x 1， y1 ， b x 2 ， y 2 ② a ∥ b a · b | a|·|b|或 a · b |a|·|b| a b （ b 0， 惟一確定） ［練習］ （1）已知正方形 ABCD ，邊長為 1， AB a ， BC b ， AC c ，則 答案： （ 2）若向量 a x，1 ， b 4， x ，當 x 時 a 與 b 共線且方向相同 答案： 2

57、 （ 3）已知 a 、 b 均為單位向量，它們的夾角為 60o ，那么 |a 3b| 答案： 58. 線段的定比分點 設P1 x 1 ， y1 ，P2 x2 ，y 2 ，分點 P x，y ，設 P1、P2 是直線 l 上兩點， P點在 l 上且不同于 P1、P2 ，若存在一實數(shù) ，使 P1P PP2 ，則 叫做 P分有向線段 P1 P2 所成的比（ 0，P在線段 P1 P2 內， 0，P在 P1 P2 外），且 如： ABC，A x1 ，y1

58、 ，B x2 ，y2 ，C x3 ，y3 則 ABC 重心 G的坐標是 x1 x 2 x 3 ， y1 y2 y 3 3 3 ※ . 你能分清三角形的重心、垂心、外心、內心及其性質嗎？ 59. 立體幾何中平行、垂直關系證明的思路清楚嗎？ 平行垂直的證明主要利用線面關系的轉化： 線∥線 線∥面 面∥面 判定 線⊥線 線⊥面 面⊥面 性質 線∥線 線⊥面 面∥面 線面平行的判定： a∥b， b 面 ， a a∥面 a b

59、 線面平行的性質： 三垂線定理（及逆定理） ： PA⊥面 ， AO 為PO在 內射影， a 面 ，則 線面垂直： 面面垂直： a⊥面 ， a 面 ⊥ 面 ⊥面 ， l，a ， a⊥ l a⊥ a⊥面 ， b⊥面 a∥b 面 ⊥a，面 ⊥ a ∥

60、 60. 三類角的定義及求法 （ 1）異面直線所成的角θ， 0°＜θ≤ 90° （ 2）直線與平面所成的角θ， 0°≤θ≤ 90° （ 3）二面角：二面角 l 的平面角 ， 0o 180o （三垂線定理法： A∈α

61、作或證 AB ⊥β于 B，作 BO⊥棱于 O，連 AO ，則 AO ⊥棱 l， ∴∠ AOB 為所求。） 三類角的求法： ①找出或作出有關的角。 ②證明其符合定義，并指出所求作的角。 ③計算大?。ń庵苯侨切?，或用余弦定理） 。 ［練習］ （ 1）如圖， OA 為α的斜線 OB 為其在α內射影， OC 為α內過 O 點任一直線。 （ 為線面成角，∠ AOC = ，∠ BOC = ） （ 2）如圖，正四棱柱 AB

62、CD — A 1B1C1D 1 中對角線 BD 1＝ 8， BD 1 與側面 B1BCC1 所成的為 30°。 ①求 BD 1 和底面 ABCD 所成的角；②求異面直線 BD 1 和 AD 所成的角；③求二面角 C1— BD 1— B 1 的大小。 （ 3）如圖 ABCD 為菱形，∠ DAB ＝ 60°， PD⊥面 ABCD ，且 PD＝ AD ，求面 PAB 與面 PCD 所成的銳二面角的大小。

63、 （∵ AB ∥ DC，P 為面 PAB 與面 PCD 的公共點，作 PF∥ AB ，則 PF 為面 PCD 與面 PAB 的交線 ） 61. 空間有幾種距離？如何求距離？ 點與點，點與線，點與面，線與線，線與面，面與面間距離。 將空間距離轉化為兩點的距離，構造三角形，解三角形求線段的長（如：三垂線定理 法，或者用等積轉化法） 。 如：正方形 ABCD — A 1B 1C1D1 中，棱長為 a，則： （ 1）點 C 到面 AB 1C1 的距離為 ________

64、___； （ 2）點 B 到面 ACB 1 的距離為 ____________ ； （ 3）直線 A 1D 1 到面 AB 1C1 的距離為 ____________； （ 4）面 AB 1C 與面 A 1DC1 的距離為 ____________； （ 5）點 B 到直線 A1 C1 的距離為 _____________。 62. 你是否準確理解正棱柱、正棱錐的定義并掌握它們的性質？正棱柱——底面為正多邊形的直棱柱 正棱錐——底面是正多邊形，頂點

65、在底面的射影是底面的中心。 正棱錐的計算集中在四個直角三角形中： Rt SOB， Rt SOE， Rt BOE和 Rt SBE 它們各包含哪些元素？ S正棱錐側 1 C· h' （ C——底面周長， h' 為斜高） 2 V錐 1 底面積×高 3 63. 球有哪些性質？ （1）球心和截面圓心的連線垂直于截面 r R 2 d 2 （ 2）球面上兩點的距離是經過這兩點的大圓的劣弧長。為此，要找球心角！ （

66、3）如圖，θ為緯度角，它是線面成角；α為經度角，它是面面成角。 （4）S球 4 R2，V球 4 R 3 3 （ 5）球內接長方體的對角線是球的直徑。正四面體的外接球半徑 R 與內切球半徑 r 之比為 R： r＝ 3： 1。 如：一正四面體的棱長均為 2 ，四個頂點都在同一球面上，則此球的表面 積 為 （ ） A . 3 B. 4 C. 3 3 D. 6 答案： A 64. 熟記下列公式了嗎？ （1） l 直線的傾斜角 0， ， k tan y2 y 1 ，x 1 x 2 x2 x 1 2 P1 x 1 ， y1 ， P2 x 2 ， y 2 是 l 上兩點，直線 l 的方向向量 a 1， k （ 2）直線方程： 點斜式： y y 0 k x x 0 （ k存在） 斜截式： y kx b