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1、 高考文科數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí) （極坐標(biāo)與參數(shù)方程） 第二講 極坐標(biāo)與參數(shù)方程 目標(biāo)認(rèn)知 考試大綱要求： 　　1. 理解坐標(biāo)系的作用，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況； 　　2. 能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化； 　　3. 能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形（如過(guò)極點(diǎn)的直線、過(guò)極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓）的方程.通過(guò)比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，理解用方程表示平面圖

2、形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義； 　　4. 了解柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中表示空間中點(diǎn)的位置的方法，并與空間直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的方法相比較，了解它們的區(qū)別； 　　5. 了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義，能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫(xiě)出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程； 　　6. 了解平擺線、漸開(kāi)線的生成過(guò)程，并能推導(dǎo)出它們的參數(shù)方程，了解其他擺線的生成過(guò)程，了解擺線在實(shí)際中的應(yīng)用，了解擺線在表示行星運(yùn)動(dòng)軌道中的作用。 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 　　1．理解參數(shù)方程的概念，了解常用參數(shù)方程中參數(shù)的意義，掌握參數(shù)方程與普通方程的互化。 　　2．理解極坐標(biāo)的概念，掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化；直線和圓的極坐標(biāo)方程。

3、【知識(shí)要點(diǎn)梳理】: 知識(shí)點(diǎn)一：極坐標(biāo) 1．極坐標(biāo)系 　　平面內(nèi)的一條規(guī)定有單位長(zhǎng)度的射線，為極點(diǎn)，為極軸，選定一個(gè)長(zhǎng)度單位和角的正方向（通常取逆時(shí)針?lè)较颍@就構(gòu)成了極坐標(biāo)系。 　　 2．極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo) 　　平面上一點(diǎn)到極點(diǎn)的距離稱(chēng)為極徑，與軸的夾角稱(chēng)為極角，有序?qū)崝?shù)對(duì) 　　就叫做點(diǎn)的極坐標(biāo)。 　?。?）一般情況下，不特別加以說(shuō)明時(shí)表示非負(fù)數(shù)； 　　　　 當(dāng)時(shí)表示極點(diǎn)； 　　　　 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的位置這樣確定：作射線， 　　　　 使，在的反向延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使得，點(diǎn)即為所求的點(diǎn)。 　?。?）點(diǎn)與點(diǎn)（）所表示的是同一個(gè)點(diǎn)，即角與的終邊是相同的。 　 　　　綜上所述

4、，在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)與其點(diǎn)的極坐標(biāo)之間不是一一對(duì)應(yīng)而是一對(duì)多的對(duì)應(yīng)， 　　　　 即，, 均表示同一個(gè)點(diǎn). 3. 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 　　當(dāng)極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系在特定條件下（①極點(diǎn)與原點(diǎn)重合；②極軸與軸正半軸重合；③長(zhǎng)度單位相同），平面上一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)有如下關(guān)系： 　　直角坐標(biāo)化極坐標(biāo)：； 　　極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)：. 　　此即在兩個(gè)坐標(biāo)系下，同一個(gè)點(diǎn)的兩種坐標(biāo)間的互化關(guān)系. 4. 直線的極坐標(biāo)方程： 　?。?）過(guò)極點(diǎn)傾斜角為的直線：或?qū)懗杉? 　　（2）過(guò)垂直于極軸的直線： 5. 圓的極坐標(biāo)方程： 　?。?）以極點(diǎn)為圓心，為半徑的圓：. 　?。?）

5、若，，以為直徑的圓： 知識(shí)點(diǎn)二：柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系： 1. 柱坐標(biāo)系的定義： 　　空間點(diǎn)與柱坐標(biāo)之間的變換公式： 2. 球坐標(biāo)系的定義： 　　空間點(diǎn)與球坐標(biāo)之間的變換公式： 知識(shí)點(diǎn)三：參數(shù)方程 　　1. 概念：一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個(gè)變數(shù)的函數(shù)： 　　，并且對(duì)于的每一個(gè)允許值，方程所確定的點(diǎn)都在這條曲線上，那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系間的關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)（簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù)）. 　　相對(duì)于參數(shù)方程來(lái)說(shuō)，前面學(xué)過(guò)的直接給出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系的方程，叫做曲線的普通方程。 知識(shí)點(diǎn)四：常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程 1．直線的參數(shù)方程

6、 　?。?）經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為： 　　　 ?。閰?shù)）； 　　其中參數(shù)的幾何意義：，有，即表示直線上任一點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離。（當(dāng)在上方時(shí)，，在下方時(shí)，)。 　　 　　 　　（2）過(guò)定點(diǎn)，且其斜率為的直線的參數(shù)方程為： 　 　　?。閰?shù)，為為常數(shù)，）； 　　　　其中的幾何意義為：若是直線上一點(diǎn)，則。 2．圓的參數(shù)方程 　?。?）已知圓心為，半徑為的圓的參數(shù)方程為： 　　　 　（是參數(shù)，）； 　　　　 特別地當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，其參數(shù)方程為（是參數(shù)）?！? 　?。?）參數(shù)的幾何意義為：由軸的正方向到連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的半徑所成的角。 　　　　 　　　

7、 　?。?）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程明確地指出圓心和半徑，圓的一般方程突出方程形式上的特點(diǎn)，圓的參數(shù)方程則直接指出圓上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的特點(diǎn)。 3. 橢圓的參數(shù)方程 　　（1）橢圓（）的參數(shù)方程（為參數(shù)）。 　　（2）參數(shù)的幾何意義是橢圓上某一點(diǎn)的離心角。 　　　　 如圖中，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角為（過(guò)作軸， 　　　　 交大圓即以為直徑的圓于），切不可認(rèn)為是。 　?。?）從數(shù)的角度理解，橢圓的參數(shù)方程實(shí)際上是關(guān)于橢圓的一組三角代換。 　　　　 橢圓上任意一點(diǎn)可設(shè)成， 　　　　 為解決有關(guān)橢圓問(wèn)題提供了一條新的途徑。 4. 雙曲線的參數(shù)方程 　　雙曲線（,）的參數(shù)方程為（為參數(shù)）?！?

8、5. 拋物線的參數(shù)方程 　　拋物線()的參數(shù)方程為（是參數(shù)）。 　　參數(shù)的幾何意義為：拋物線上一點(diǎn)與其頂點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)，即。 規(guī)律方法指導(dǎo)： 　　1、把參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒? 常見(jiàn)的消參方法有：代入消法 ；加減消參；平方和（差）消參法；乘法消參法；比值消參法；利用恒等式消參法；混合消參法等. 　　2、把曲線的普通方程化為參數(shù)方程的關(guān)鍵：一是適當(dāng)選取參數(shù)；二是確保互化前后方程的等價(jià)性， 注意方程中的參數(shù)的變化范 【課前演練】 一、選擇題 1.已知集合,,則= A．{x|-1≤x＜1} B．{x |x>1} C

9、．{x|-1＜x＜1} D．{x |x≥-1} 2.若復(fù)數(shù)(1+bi)(2+i)是純虛數(shù)(i是虛數(shù)單位，b是實(shí)數(shù))，則b= A．-2 B． C. D．2 3.若函數(shù)f(x)=x3(x∈R)，則函數(shù)y=f(-x)在其定義域上是 A．單調(diào)遞減的偶函數(shù) B.單調(diào)遞減的奇函數(shù) C．單凋遞增的偶函數(shù) D．單涮遞增的奇函數(shù) 4．若向量滿(mǎn)足,與的夾角為,則 A． B． C. D．2

10、 5．客車(chē)從甲地以60km／h的速度勻速行駛1小時(shí)到達(dá)乙地，在乙地停留了半小時(shí)，然后以80km／h的速度勻速行駛l小時(shí)到達(dá)丙地。下列描述客車(chē)從甲地出發(fā)，經(jīng)過(guò)乙地，最后到達(dá) 丙地所經(jīng)過(guò)的路程s與時(shí)間t之間關(guān)系的圖象中，正確的是 二、填空題 11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，且過(guò)點(diǎn)P(2,4)，則該拋物線的方程是 ． 12．函數(shù)f(x)=xlnx(x>0)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ． 13．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-9n，則其通項(xiàng)a

11、n= ；若它的第k項(xiàng)滿(mǎn)足5

12、參數(shù))；　 （2） (，為參數(shù)）； 　　（3）　(,為參數(shù))；　　 　　 （4） (為參數(shù)). 　　思路點(diǎn)撥: 　?。?）將第二個(gè)式子變形后，把第一個(gè)式子代入消參； 　?。?）利用三角恒等式進(jìn)行消參； 　?。?）觀察式子的結(jié)構(gòu)，注意到兩式中分子分母的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，因而可以采取加減消參的辦法；或把用表示，反解出后再代入另一表達(dá)式即可消參； 　　（4）此題是（3）題的變式，僅僅是把換成而已，因而消參方法依舊，但需要注意、的范圍。 　　總結(jié)升華： 　　1

13、. 消參的方法主要有代入消參，加減消參，比值消參，平方消參，利用恒等式消參等。 　　2.消參過(guò)程中應(yīng)注意等價(jià)性，即應(yīng)考慮變量的取值范圍，一般來(lái)說(shuō)應(yīng)分別給出、的范圍.在這過(guò)程中實(shí)際上是求函數(shù)值域的過(guò)程，因而可以綜合運(yùn)用求值域的各種方法. 　　舉一反三： 　　【變式1】化參數(shù)方程為普通方程。 　　　　　?。?）(t為參數(shù)) ；　　 （2）（t為參數(shù)）. 　　 　　【變式2】（1）圓的半徑為_(kāi)________ ； 　　　　　　?。?）參數(shù)方程(表示的曲線為（　 ）。 　　　　　　　 A、雙曲線一支，且過(guò)點(diǎn)　　 　B、拋物線的一部分，且過(guò)點(diǎn) 　　　

14、　　　　 C、雙曲線一支，且過(guò)點(diǎn)　　　D、拋物線的一部分，且過(guò)點(diǎn) 　 　　【變式3】（1）直線: (t為參數(shù))的傾斜角為（　 ）。 　　　　　　　　　A、　　 　 B、　　　 C、　　 D、 　　　　　　 （2）為銳角，直線的傾斜角（ 　　 ）。 　　　　　　　　　 A、　　　 B、　　　 C、　　　 D、 　 　　5．已知曲線的參數(shù)方程（、為常數(shù)）。 　　　 （1）當(dāng)為常數(shù)()，為參數(shù)()時(shí)，說(shuō)明曲線的類(lèi)型； 　　　 （2）當(dāng)為常數(shù)且，為參數(shù)時(shí)，說(shuō)明曲線的類(lèi)型。 　　思路點(diǎn)撥:通過(guò)消參，化

15、為普通方程，再做判斷。 　 　　總結(jié)升華：從本例可以看出：某曲線的參數(shù)方程形式完全相同，但選定不同的字母為參數(shù)，則表示的意義也不相同，表示不同曲線。因此在表示曲線的參數(shù)方程時(shí)，一般應(yīng)標(biāo)明選定的字母參數(shù)。 　　舉一反三： 　　【變式】已知圓錐曲線方程為。 　　　　?。?）若為參數(shù)，為常數(shù)，求此曲線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離。 　　　　?。?）若為參數(shù)，為常數(shù)，求此曲線的離心率。 　 【課堂檢測(cè)】

16、 選擇題　 ３０．橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是( )。 A．(-3, 5)，(-3, -3) B．(3, 3)，(3, -5) C．(1, 1)，(-7, 1) D．(7, -1)，(-1, -1) 六、1．若直線的參數(shù)方程為，則直線的斜率為（ ） A． B． C． D． 2．下列在曲線上的點(diǎn)是（ ） A． B． C． D． 3．將參數(shù)方程化為普通方程為（ ） A． B． C． D． 6．極坐標(biāo)方程表示的曲線為（ ） A．一條射

17、線和一個(gè)圓 B．兩條直線 C．一條直線和一個(gè)圓 D．一個(gè)圓 七、1．直線的參數(shù)方程為，上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)是，則點(diǎn)與之間的距離是（ ） A． B． C． D． 2．參數(shù)方程為表示的曲線是（ ） A．一條直線 B．兩條直線 C．一條射線 D．兩條射線 3．直線和圓交于兩點(diǎn)， 則的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ ） A． B． C． D． 5．與參數(shù)方程為等價(jià)的普通方程為（ ） A． B． C． D． 6．直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（ ） A． B． C． D． 八、1

18、．把方程化為以參數(shù)的參數(shù)方程是（ ） A． B． C． D． 2．曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是（ ） A． B． C． D． 3．直線被圓截得的弦長(zhǎng)為（ ） A． B． C． D． 4．若點(diǎn)在以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線上， 則等于（ ） A． B． C． D． 6．在極坐標(biāo)系中與圓相切的一條直線的方程為（ ） A． B． C． D． 填空題　 參、５．把參數(shù)方程(α為參數(shù))化為普通方程，結(jié)果是。 六、1．直線的斜率為_(kāi)_________________

19、____。 2．參數(shù)方程的普通方程為_(kāi)_________________。 3．已知直線與直線相交于點(diǎn)，又點(diǎn)， 則_______________。 4．直線被圓截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_____________。 七、1．曲線的參數(shù)方程是，則它的普通方程為_(kāi)_________________。 2．直線過(guò)定點(diǎn)_____________。 3．點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)__________。 4．曲線的極坐標(biāo)方程為，則曲線的直角坐標(biāo)方程為_(kāi)_______________。 5．設(shè)則圓的參數(shù)方程為_(kāi)_________________________。 八、1．已知曲線上的兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，那么=_______________。 2．直線上與點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)是_______。 3．圓的參數(shù)方程為，則此圓的半徑為_(kāi)______________。 4．極坐標(biāo)方程分別為與的兩個(gè)圓的圓心距為_(kāi)____________。 5．直線與圓相切，則_______________。