《epR高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)6年高考4年模擬匯編試題8 -第二節(jié) 數(shù)列的應(yīng)用》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《epR高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)6年高考4年模擬匯編試題8 -第二節(jié) 數(shù)列的應(yīng)用（99頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第六章 數(shù)列 第二節(jié) 數(shù)列的應(yīng)用 第一局部 六年高考題薈萃 2021年高考題 一、選擇題 1.〔2021江西理〕中，，=4，函數(shù) ，那么〔 〕 A． B. C. D. 【答案】C 【解析】考查多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，重點(diǎn)考查學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法?？紤]到求導(dǎo)中，含有x項(xiàng)均取0，那么只與函數(shù)的一次項(xiàng)有關(guān)；得：。 2.〔2021江西理〕4. 〔 〕 A. B. C. 2 D. 不存在 【答案】B 【解析】考查等比數(shù)列求和與極限知識(shí).解法一：先求和，然后對(duì)和取極限。

2、3.〔2021北京理〕〔2〕在等比數(shù)列中，，公比.假設(shè)，那么m= 〔A〕9 〔B〕10 〔C〕11 〔D〕12 【答案】C 4.〔2021四川理〕〔8〕數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)的和為，且，那么 〔A〕0 〔B〕 〔C〕 1 〔D〕2 解析：由,且 作差得an＋2＝2an＋1 又S2＝2S1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1 T a2＝2a1 故{an}是公比為2的等比數(shù)列 Sn＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2n－1)a1 那么 【答案】B 5.〔2021天津理〕〔6

3、〕是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，且，那么數(shù)列的前5項(xiàng)和為 〔A〕或5 〔B〕或5 〔C〕 〔D〕 【答案】C 【解析】此題主要考查等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中等題。 顯然q1，所以，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列， 前5項(xiàng)和. 【溫馨提示】在進(jìn)行等比數(shù)列運(yùn)算時(shí)要注意約分，降低冪的次數(shù)，同時(shí)也要注意根本量法的應(yīng)用。 6.〔2021全國(guó)卷1文〕〔4〕各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，=5，=10，那么= (A) (B) 7 (C) 6 (D) 【答案】A 【命題意圖】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)冪的運(yùn)算、

4、根式與指數(shù)式的互化等知識(shí)，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想. 【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知，10,所以, 所以 7.〔2021湖北文〕7.等比數(shù)列{}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且，成等差數(shù)列，那么 A. B. C. D 8.〔2021安徽理〕10、設(shè)是任意等比數(shù)列，它的前項(xiàng)和，前項(xiàng)和與前項(xiàng)和分別為，那么以下等式中恒成立的是 A、 B、 C、 D、 【答案】 D 【分析】取等比數(shù)列,令得代入驗(yàn)算，只有選項(xiàng)D滿(mǎn)足。 【方法技巧】對(duì)于含有較多字母的客觀題，可以取滿(mǎn)足條件的數(shù)字代替字母，代入驗(yàn)證，假設(shè)能排除3個(gè)選項(xiàng)，剩下唯一正確的就一定正確；假設(shè)不能完全排除，可以取其

5、他數(shù)字驗(yàn)證繼續(xù)排除.此題也可以首項(xiàng)、公比即項(xiàng)數(shù)n表示代入驗(yàn)證得結(jié)論. 〔2021湖北理數(shù)〕7、如圖，在半徑為r 的園內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，再作正六邊形的內(nèi)切圓，又在此內(nèi)切圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，如此無(wú)限繼續(xù)下去，設(shè)為前n個(gè)圓的面積之和，那么= A． 2 B. 9.〔2021福建理〕3．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,假設(shè),,那么當(dāng)取最小值時(shí),n等于 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解析】設(shè)該數(shù)列的公差為，那么，解得， 所以，所以當(dāng)時(shí)，取最小值。 【命題意圖】此題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，

6、考查二次函數(shù)最值的求法及計(jì)算能力。 二、填空題 1.〔2021浙江理〕〔14〕設(shè) ， 將的最小值記為，那么 其中=__________________ . 解析：此題主要考察了合情推理，利用歸納和類(lèi)比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，屬容易題 2.〔2021陜西文〕11.觀察以下等式：13＋23＝〔1＋2〕2，13＋23＋33＝〔1＋2＋3〕2，13＋23＋33＋43＝ 〔1＋2＋3＋4〕2，…，根據(jù)上述規(guī)律，第四個(gè)等式為13＋23＋33＋43＋53＝〔1＋2＋3＋4＋5〕2〔或152〕. 解析：第i個(gè)等式左邊為1到i+1的立方和，右邊為1到i+1和的完全平方 所以第四個(gè)等式為13＋

7、23＋33＋43＋53＝〔1＋2＋3＋4＋5〕2〔或152〕. 3.〔2021遼寧理〕〔16〕數(shù)列滿(mǎn)足那么的最小值為_(kāi)_________. 【答案】 【命題立意】此題考查了遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解以及構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，考查了同學(xué)們綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。 【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n 所以 設(shè)，令，那么在上是單調(diào)遞增，在上是遞減的，因?yàn)閚∈N+,所以當(dāng)n=5或6時(shí)有最小值。 又因?yàn)?，，所以，的最小值? 4.〔2021浙江文〕〔14〕在如下數(shù)表中，每行、每列中

8、的樹(shù)都成等差數(shù)列， 那么，位于下表中的第n行第n+1列的數(shù)是 。 答案： 5.〔2021天津文〕〔15〕設(shè){an}是等比數(shù)列，公比，Sn為{an}的前n項(xiàng)和。記設(shè)為數(shù)列{}的最大項(xiàng)，那么= 。 【答案】4 【解析】此題主要考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)及平均值不等式的應(yīng)用，屬于中等題。 因?yàn)楱R8，當(dāng)且僅當(dāng)=4，即n=4時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)n0=4時(shí)Tn有最大值。 【溫馨提示】此題的實(shí)質(zhì)是求Tn取得最大值時(shí)的n值，求解時(shí)為便于運(yùn)算可以對(duì)進(jìn)行換元，分子、分母都有變量的情況下通常可以采用別離變量的方法求解. 6.〔2021湖南理〕15．假設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足

9、：對(duì)任意的，只有有限個(gè)正整數(shù)使得成立，記這樣的的個(gè)數(shù)為，那么得到一個(gè)新數(shù)列．例如，假設(shè)數(shù)列是，那么數(shù)列是．對(duì)任意的，，那么 ， ． 三、解答題 1.〔2021湖南文〕20.〔本小題總分值13分〕 給出下面的數(shù)表序列： 其中表n〔n=1,2,3 〕有n行，第1行的n個(gè)數(shù)是1,3,5，2n-1，從第2行起，每行中的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和。 〔I〕寫(xiě)出表4，驗(yàn)證表4各行中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到表n〔n≥3〕〔不要求證明〕； 〔II〕每個(gè)數(shù)列中最后一行都只有一個(gè)數(shù)，它們構(gòu)成數(shù)列1,4,12，記此數(shù)列為 求

10、和： 2.〔2021全國(guó)卷2理〕〔18〕〔本小題總分值12分〕 數(shù)列的前項(xiàng)和． 〔Ⅰ〕求； 〔Ⅱ〕證明：． 【命題意圖】本試題主要考查數(shù)列根本公式的運(yùn)用，數(shù)列極限和數(shù)列不等式的證明，考查考生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力. 【參考答案】 【點(diǎn)評(píng)】2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)I、Ⅱ這兩套試卷都將數(shù)列題前置,一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問(wèn)題作為押軸題的命題模式，具有讓考生和一線教師重視教材和根底知識(shí)、根本方法根本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用，也可看出命題人在有意識(shí)降低難度和求變的良苦用心. 估計(jì)以后的高考，對(duì)數(shù)列的考查主要涉及數(shù)列的根本公式、根本性質(zhì)、遞推數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列極限

11、、簡(jiǎn)單的數(shù)列不等式證明等，這種考查方式還要持續(xù). 3.〔2021北京理〕〔20〕〔本小題共13分〕 集合對(duì)于，，定義A與B的差為 A與B之間的距離為 〔Ⅰ〕證明：，且; 〔Ⅱ〕證明：三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù) (Ⅲ) 設(shè)P，P中有m(m≥2)個(gè)元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為(P). 證明：〔P〕≤. 〔考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效〕 證明：〔I〕設(shè)，， 因?yàn)?，，所? 從而 又 由題意知，，. 當(dāng)時(shí)，; 當(dāng)時(shí)， 所以 (II)設(shè)，， ，，. 記，由〔I〕

12、可知 所以中1的個(gè)數(shù)為，的1的 個(gè)數(shù)為。 設(shè)是使成立的的個(gè)數(shù)，那么 由此可知，三個(gè)數(shù)不可能都是奇數(shù)， 即,,三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)。 〔III〕,其中表示中所有兩個(gè)元素間距離的總和， 設(shè)種所有元素的第個(gè)位置的數(shù)字中共有個(gè)1，個(gè)0 那么= 由于 所以 從而 4.〔2021天津文〕〔22〕〔本小題總分值14分〕 在數(shù)列中，=0，且對(duì)任意k，成等差數(shù)列，其公差為2k. 〔Ⅰ〕證明成等比數(shù)列； 〔Ⅱ〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 〔Ⅲ〕記，證明. 【解析】本

13、小題主要考查等差數(shù)列的定義及前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等根底知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力及分類(lèi)討論的思想方法，總分值14分。 〔I〕證明：由題設(shè)可知，，，，， 。 從而，所以，，成等比數(shù)列。 〔II〕解：由題設(shè)可得 所以 . 由，得 ，從而. 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為或?qū)憺?，? 〔III〕證明：由〔II〕可知，， 以下分兩種情況進(jìn)行討論： （1） 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m 假設(shè)，那么， 假設(shè)，那么 . 所以，從而 （2） 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)

14、。 所以，從而 綜合〔1〕和〔2〕可知，對(duì)任意有 5.〔2021天津理〕〔22〕〔本小題總分值14分〕 在數(shù)列中，，且對(duì)任意.，，成等差數(shù)列，其公差為。 〔Ⅰ〕假設(shè)=，證明，，成等比數(shù)列〔〕 〔Ⅱ〕假設(shè)對(duì)任意，，，成等比數(shù)列，其公比為。 【解析】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等根底知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力及分類(lèi)討論的思想方法?？偡种?4分。 〔Ⅰ〕證明：由題設(shè)，可得。 所以 = =2k(k+1) 由=0，得 于是。 所以成等比數(shù)列。 〔Ⅱ〕證法一：〔i〕證明：由成等差數(shù)列，及

15、成等比數(shù)列，得 當(dāng)≠1時(shí)，可知≠1，k 從而 所以是等差數(shù)列，公差為1。 〔Ⅱ〕證明：，，可得，從而=1.由〔Ⅰ〕有 所以 因此， 以下分兩種情況進(jìn)行討論： （1） 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m() 假設(shè)m=1,那么. 假設(shè)m≥2，那么 + 所以 (2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m+1〔〕 所以從而··· 綜合〔1〕〔2〕可知，對(duì)任意,,有 證法二：〔i〕證明：由題設(shè)，可得 所以 由可知。可得， 所以是等差數(shù)列，公差為1。 〔ii〕證明：因?yàn)樗浴? 所以，從而，。于是，由〔i〕可知所以是公差為1的等差數(shù)列。由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得= ，故。

16、 從而。 所以，由，可得 。 于是，由〔i〕可知 以下同證法一。 6.〔2021湖南理〕21．〔本小題總分值13分〕 數(shù)列中，是函數(shù)的極小值點(diǎn) 〔Ⅰ〕當(dāng)a=0時(shí)，求通項(xiàng)； 〔Ⅱ〕是否存在a，使數(shù)列是等比數(shù)列？假設(shè)存在，求a的取值范圍；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 7.〔2021江蘇卷〕19、〔本小題總分值16分〕 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。 〔1〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式〔用表示〕； 〔2〕設(shè)為實(shí)數(shù)，對(duì)滿(mǎn)足的任意正整數(shù)，不等式都成立。求證：的最大值為。 [解析] 本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和以及根本不等式等有關(guān)知識(shí)，考查探索、分

17、析及論證的能力?？偡种?6分。 〔1〕由題意知：， ， 化簡(jiǎn)，得： ， 當(dāng)時(shí)，，適合情形。 故所求 〔2〕〔方法一〕 ， 恒成立。 又，， 故，即的最大值為。 〔方法二〕由及，得，。 于是，對(duì)滿(mǎn)足題設(shè)的，，有 。 所以的最大值。 另一方面，任取實(shí)數(shù)。設(shè)為偶數(shù)，令，那么符合條件，且。 于是，只要，即當(dāng)時(shí)，。 所以滿(mǎn)足條件的，從而。 因此的最大值為。 2021年高考題 一、選擇題 1.〔2021廣東卷理〕等比數(shù)列滿(mǎn)足，且，那么當(dāng)時(shí)， A. B. C.

18、 D. 【解析】由得，，那么， ，選C. 【答案】 C 2.〔2021遼寧卷理〕設(shè)等比數(shù)列{ }的前n 項(xiàng)和為 ，假設(shè) =3 ，那么 = A. 2 B. C. 【解析】設(shè)公比為q ,那么＝1＋q3＝3 T q3＝2 于是 【答案】B 3.〔2021寧夏海南卷理〕等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且4，2，成等差數(shù)列。假設(shè)=1，那么=( ) A.7 B.8 C 【解析】4，2，成等差數(shù)列，,選C. 【答案】 C 4.〔202

19、1湖北卷文〕設(shè)記不超過(guò)的最大整數(shù)為[],令{}=-[]，那么{}，[], 【答案】B 【解析】可分別求得，.那么等比數(shù)列性質(zhì)易得三者構(gòu)成等比數(shù)列. 5.〔2021湖北卷文〕古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種性狀來(lái)研究數(shù)，例如： 他們研究過(guò)圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱(chēng)為三角形數(shù);類(lèi)似地，稱(chēng)圖2中的1，4，9，16…這樣的數(shù)成為正方形數(shù)。以下數(shù)中及時(shí)三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是 A.289 B.1024 C 【答案】C 【解析】由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)，同理

20、可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)，那么由可排除A、D，又由知必為奇數(shù)，應(yīng)選C. 6..〔2021安徽卷理〕為等差數(shù)列，++=105，=99，以表示的前項(xiàng)和，那么使得到達(dá)最大值的是 A.21 B.20 C.19 D. 18 【答案】 B 【解析】由++=105得即，由=99得即 ，∴，，由得，選B 7.〔2021江西卷理〕數(shù)列的通項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，那么為 A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】由于以3 為周期,故 應(yīng)選A 8.〔2021四川卷文〕等差數(shù)

21、列｛｝的公差不為零，首項(xiàng)＝1，是和的等比中項(xiàng)，那么數(shù)列的前10項(xiàng)之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 【答案】B 【解析】設(shè)公差為，那么.∵≠0，解得＝2，∴＝10 二、填空題 9.〔2021浙江文〕設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，那么 ． 【命題意圖】此題主要考查了數(shù)列中的等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式，通過(guò)對(duì)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)的考查充分表達(dá)了通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的知識(shí)聯(lián)系． 答案 15 解析 對(duì)于 10.〔2021浙江文〕設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，那么，，

22、，成等差數(shù)列．類(lèi)比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，那么， ， ，成等比數(shù)列． 【命題意圖】此題是一個(gè)數(shù)列與類(lèi)比推理結(jié)合的問(wèn)題，既考查了數(shù)列中等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識(shí)，也考查了通過(guò)條件進(jìn)行類(lèi)比推理的方法和能力 答案： 解析 對(duì)于等比數(shù)列，通過(guò)類(lèi)比，有等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，那么，，成等比數(shù)列． 11.〔2021北京理〕數(shù)列滿(mǎn)足：那么________；=_________. 答案 1，0 解析 此題主要考查周期數(shù)列等根底知識(shí).屬于創(chuàng)新題型. 依題意，得，. ∴應(yīng)填1，0. 12..〔2021江蘇卷〕設(shè)是公比為的等比數(shù)列，，令，假設(shè)數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在

23、集合中，那么= . 答案 -9 解析 考查等價(jià)轉(zhuǎn)化能力和分析問(wèn)題的能力。等比數(shù)列的通項(xiàng)。 有連續(xù)四項(xiàng)在集合，四項(xiàng)成等比數(shù)列，公比為，= -9 13.(2021山東卷文)在等差數(shù)列中,,那么. 解析 設(shè)等差數(shù)列的公差為,那么由得解得,所以. 答案:13. 【命題立意】:此題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及根本計(jì)算. 14.(2021湖北卷理)數(shù)列滿(mǎn)足：〔m為正整數(shù)〕，假設(shè)，那么m所有可能的取值為_(kāi)_________。 答案 4 5 32 解析 〔1〕假設(shè)為偶數(shù)，那么為偶, 故 ①當(dāng)仍為偶數(shù)時(shí)， 故 ②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，

24、故得m=4。 〔2〕假設(shè)為奇數(shù)，那么為偶數(shù)，故必為偶數(shù) ，所以=1可得m=5 15.〔2021寧夏海南卷理〕等差數(shù)列{}前n項(xiàng)和為。+-=0，=38,那么m=_______ 解析由+-=0得到。 答案10 16.〔2021陜西卷文〕設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,假設(shè),那么 . 解析:由可得的公差d=2,首項(xiàng)=2,故易得2n. 答案:2n 17.(2021陜西卷理)設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,假設(shè),那么 . 答案：1 18.〔2021寧夏海南卷文〕等比數(shù)列{}的公比, =1，，那么{}的前4項(xiàng)和=

25、 解析 由得：，即，，解得：q＝2，又=1，所以，，＝。 答案 19.(2021湖南卷理)將正⊿ABC分割成〔≥2，n∈N〕個(gè)全等的小正三角形〔圖2，圖3分別給出了n=2,3的情形〕，在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，使位于⊿ABC的三普及平行于某邊的任一直線上的數(shù)〔當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí)〕都分別一次成等差數(shù)列，假設(shè)頂點(diǎn)A ,B ,C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f(n)，那么有f(2)=2，f(3)= ，…，f(n)= (n+1)(n+2) 答案 解析 當(dāng)n=3時(shí)，如下圖分別設(shè)各頂點(diǎn)的數(shù)用小寫(xiě)字母表示，即由

26、條件知 即 進(jìn)一步可求得。由上知中有三個(gè)數(shù)，中 有6個(gè)數(shù)，中共有10個(gè)數(shù)相加 ，中有15個(gè)數(shù)相加….，假設(shè)中有個(gè)數(shù)相加，可得中有個(gè)數(shù)相加，且由 可得所以 = 20.〔2021重慶卷理〕設(shè)，，，，那么數(shù)列的通項(xiàng)公式= ． 解析 由條件得且所以數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，那么 答案 2n+1 三、解答題 21.(2021年廣東卷文)〔本小題總分值14分〕 點(diǎn)〔1，〕是函數(shù)且〕的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的首項(xiàng)為，且前項(xiàng)和滿(mǎn)足－=+〔〕. 〔1〕求數(shù)列和的通項(xiàng)公式； 〔2〕假設(shè)

27、數(shù)列{前項(xiàng)和為，問(wèn)>的最小正整數(shù)是多少? 解〔1〕, ,, . 又?jǐn)?shù)列成等比數(shù)列， ，所以 ； 又公比，所以 ； 又,, ； 數(shù)列構(gòu)成一個(gè)首相為1公差為1的等差數(shù)列， ， 當(dāng)， ； ()； 〔2〕 ； 由得，滿(mǎn)足的最小正整數(shù)為112. 22.〔2021全國(guó)卷Ⅰ理〕在數(shù)列中， 〔I〕設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式 〔II〕求數(shù)列的前項(xiàng)和 分析：〔I〕由有 利用累差迭加即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式: () 〔II〕由〔I〕知, = 而,又是一個(gè)典型的錯(cuò)位相減法模型， 易得 = 評(píng)析：09年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)(一)試題將數(shù)列題前置

28、,考查構(gòu)造新數(shù)列和利用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和，一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問(wèn)題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和根底知識(shí)、根本方法根本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用。也可看出命題人在有意識(shí)降低難度和求變的良苦用心。 23.〔2021北京理〕數(shù)集具有性質(zhì)；對(duì)任意的 ，與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于. 〔Ⅰ〕分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由； 〔Ⅱ〕證明：，且； 〔Ⅲ〕證明：當(dāng)時(shí)，成等比數(shù)列. 【解析】此題主要考查集合、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、分 分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想方法．此題是數(shù)列與不等式的綜合題，屬于較難層次題. 〔Ⅰ〕由于與均不屬于數(shù)集，∴該數(shù)集

29、不具有性質(zhì)P. 由于都屬于數(shù)集， ∴該數(shù)集具有性質(zhì)P. 〔Ⅱ〕∵具有性質(zhì)P，∴與中至少有一個(gè)屬于A， 由于，∴，故. 從而，∴. ∵， ∴，故. 由A具有性質(zhì)P可知. 又∵， ∴， 從而， ∴. 〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知，當(dāng)時(shí)，有，即， ∵，∴，∴， 由A具有性質(zhì)P可知. ，得，且，∴， ∴，即是首項(xiàng)為1，公比為成等比數(shù)列..k.s.5. 24.〔2021江蘇卷〕設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，滿(mǎn)足。 〔1〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和； 〔2〕試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項(xiàng)。 【解析】 本小題主要考查

30、等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和的有關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)算和求解的能力?？偡种?4分。 〔1〕設(shè)公差為，那么，由性質(zhì)得，因?yàn)?，所以，即，又由得，解得? (2) 〔方法一〕=,設(shè)， 那么=, 所以為8的約數(shù) 〔方法二〕因?yàn)闉閿?shù)列中的項(xiàng)， 故為整數(shù)，又由〔1〕知：為奇數(shù)，所以 經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意的正整數(shù)只有。 25〔2021江蘇卷〕對(duì)于正整數(shù)≥2，用表示關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的有序數(shù)組的組數(shù)，其中〔和可以相等〕；對(duì)于隨機(jī)選取的〔和可以相等〕，記為關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的概率。 〔1〕求和； 〔2〕求證：對(duì)任意正整數(shù)≥2，有. 【解析】 [必做題]本小題主要考查

31、概率的根本知識(shí)和記數(shù)原理，考查探究能力。總分值10分。 26.〔2021山東卷理)等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為， 對(duì)任意的 ，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上. 〔1〕求r的值； 〔11〕當(dāng)b=2時(shí)，記 證明：對(duì)任意的 ，不等式成立 解:因?yàn)閷?duì)任意的,點(diǎn)，均在函數(shù)且,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,又因?yàn)閧}為等比數(shù)列,所以,公比為, 〔2〕當(dāng)b=2時(shí)，, 那么,所以 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立. ① 當(dāng)時(shí),左邊=,右邊=,因?yàn)?所以不等式成立. ② 假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立,即時(shí),左邊= 所以當(dāng)時(shí),不等式也成立.

32、 由①、②可得不等式恒成立. 【命題立意】:此題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,以及求的基此題型,并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題,以及放縮法證明不等式. 27.〔2021廣東卷理〕知曲線．從點(diǎn)向曲線引斜率為的切線，切點(diǎn)為． 〔1〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 〔2〕證明：. 解：〔1〕設(shè)直線：，聯(lián)立得，那么，∴〔舍去〕 ，即，∴ 〔2〕證明：∵ ∴ 由于，可令函數(shù)，那么，令，得，給定區(qū)間，那么有，那么函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，即在恒成立，又， 那么有，即. 28.〔2021安徽卷理〕首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿(mǎn)足

33、 〔I〕證明：假設(shè)為奇數(shù)，那么對(duì)一切都是奇數(shù)； 〔II〕假設(shè)對(duì)一切都有，求的取值范圍. 解：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法和不等式的有關(guān)知識(shí)，考查推理論證、抽象概括、運(yùn)算求解和探究能力，考查學(xué)生是否具有審慎思維的習(xí)慣和一定的數(shù)學(xué)視野。本小題總分值13分。 解：〔I〕是奇數(shù)，假設(shè)是奇數(shù)，其中為正整數(shù)， 那么由遞推關(guān)系得是奇數(shù)。 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)任何，都是奇數(shù)。 〔II〕〔方法一〕由知，當(dāng)且僅當(dāng)或。 另一方面，假設(shè)那么；假設(shè)，那么 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法， 綜合所述，對(duì)一切都有的充要條件是或。 〔方法二〕由得于是或。 因

34、為所以所有的均大于0，因此與同號(hào)。 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，，與同號(hào)。 因此，對(duì)一切都有的充要條件是或。 29.〔2021江西卷理〕各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，，且對(duì)滿(mǎn)足的正整數(shù)都有 〔1〕當(dāng)時(shí)，求通項(xiàng) 〔2〕證明：對(duì)任意，存在與有關(guān)的常數(shù)，使得對(duì)于每個(gè)正整數(shù)，都有 解：〔1〕由得 將代入化簡(jiǎn)得 所以 故數(shù)列為等比數(shù)列，從而 即 可驗(yàn)證，滿(mǎn)足題設(shè)條件. (2) 由題設(shè)的值僅與有關(guān),記為那么 考察函數(shù) ,那么在定義域上有 故對(duì)， 恒成立.

35、 又 , 注意到,解上式得 取,即有 . 30. (2021湖北卷理)數(shù)列的前n項(xiàng)和〔n為正整數(shù)〕。 〔Ⅰ〕令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (Ⅱ〕令，試比擬與的大小，并予以證明。 解〔I〕在中，令n=1，可得，即 當(dāng)時(shí)，， . . 又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列. 于是. (II)由〔I〕得，所以 由①-②得 于是確定的大小關(guān)系等價(jià)于比擬的大小 由

36、 可猜測(cè)當(dāng)證明如下： 證法1：〔1〕當(dāng)n=3時(shí)，由上驗(yàn)算顯示成立。 〔2〕假設(shè)時(shí) 所以當(dāng)時(shí)猜測(cè)也成立 綜合〔1〕〔2〕可知 ，對(duì)一切的正整數(shù)，都有 證法2：當(dāng)時(shí) 綜上所述，當(dāng)，當(dāng)時(shí) 31.〔2021四川卷文〕設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記。 〔I〕求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式； 〔II〕設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？假設(shè)存在，找出一個(gè)正整數(shù)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； 〔III〕記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有； 解〔I〕當(dāng)時(shí)，

37、 又 ∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， ∴， …………………………………3分 〔II〕不存在正整數(shù)，使得成立。 證明：由〔I〕知 ∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè) ∴ 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè) ∴ ∴對(duì)于一切的正整數(shù)n，都有 ∴不存在正整數(shù)，使得成立。

38、 …………………………………8分 〔III〕由得 又， 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)， 32.〔2021湖南卷文〕對(duì)于數(shù)列,假設(shè)存在常數(shù)M＞0,對(duì)任意的，恒有 , 那么稱(chēng)數(shù)列為數(shù)列. 〔Ⅰ〕首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由; 〔Ⅱ〕設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和.給出以下兩組判斷： A組：①數(shù)列是B-數(shù)列, ②數(shù)列不是B-數(shù)列; B組：③數(shù)列是B-數(shù)列, ④數(shù)列不是B-數(shù)

39、列. 請(qǐng)以其中一組中的一個(gè)論斷為條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題. 判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論； (Ⅲ)假設(shè)數(shù)列是B-數(shù)列，證明：數(shù)列也是B-數(shù)列。 解: 〔Ⅰ〕設(shè)滿(mǎn)足題設(shè)的等比數(shù)列為,那么.于是 == 所以首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是B-數(shù)列 . 〔Ⅱ〕命題1：假設(shè)數(shù)列是B-數(shù)列，那么數(shù)列是B-數(shù)列.此命題為假命題. 事實(shí)上設(shè)=1，，易知數(shù)列是B-數(shù)列，但=n， . 由n的任意性知，數(shù)列不是B-數(shù)列。 命題2：假設(shè)數(shù)列是B-數(shù)列，那么數(shù)列不是B-數(shù)列。此命題為真命題。 事實(shí)上，因?yàn)閿?shù)列是B

40、-數(shù)列，所以存在正數(shù)M，對(duì)任意的，有 , 即.于是 , 所以數(shù)列是B-數(shù)列。 〔注：按題中要求組成其它命題解答時(shí)，仿上述解法〕 (Ⅲ)假設(shè)數(shù)列是B-數(shù)列，那么存在正數(shù)M，對(duì)任意的有 . 因?yàn)? . 記，那么有 . 因此. 故數(shù)列是B-數(shù)列. 33. (2021陜西卷理) 數(shù)列滿(mǎn)足， . 猜測(cè)數(shù)列的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論； 〔Ⅱ)證明：。 證明〔1〕由 由猜測(cè)：數(shù)列是遞減數(shù)列 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 〔1〕當(dāng)n=1時(shí)，已證命題成立 〔2〕假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即 易知，那么 =

41、即 也就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，結(jié)合〔1〕和〔2〕知，命題成立 〔2〕當(dāng)n=1時(shí)，，結(jié)論成立 當(dāng)時(shí)，易知 34.〔2021四川卷文〕設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記 〔I〕求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式； 〔II〕設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？假設(shè)存在，找出一個(gè)正整數(shù)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； 〔III〕記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有； 解〔I〕當(dāng)時(shí)， 又 ∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列

42、， ∴， …………………………………3分 〔II〕不存在正整數(shù)，使得成立。 證明：由〔I〕知 ∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè) ∴ 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè) ∴ ∴對(duì)于一切的正整數(shù)n，都有 ∴不存在正整數(shù)，使得成立。 …………………………………8分 〔III〕由得 又， 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，

43、 …………………………………14分 35.〔2021天津卷理〕等差數(shù)列{}的公差為d〔d0〕，等比數(shù)列{}的公比為q〔q>1〕。設(shè)=+…..+ ,=-+…..+(-1 ,n (I) 假設(shè)== 1，d=2，q=3，求 的值； (II) 假設(shè)=1，證明〔1-q〕-〔1+q〕=，n； (Ⅲ) 假設(shè)正數(shù)n滿(mǎn)足2nq，設(shè)的兩個(gè)不同的排列， ， 證明。 本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式等根底知識(shí)，考查運(yùn)算能力，推理論證能力及綜合分析和解決問(wèn)題的能力的能力，總分值14分。 〔Ⅰ〕解：由題設(shè)，可得 所以，

44、〔Ⅱ〕證明：由題設(shè)可得那么 ① ② ① 式減去②式，得 ① 式加上②式，得 ③ ② 式兩邊同乘q，得 所以， (Ⅲ)證明： 因?yàn)樗? （1） 假設(shè)，取i=n （2） 假設(shè)，取i滿(mǎn)足且 由〔1〕,(2)及題設(shè)知，且 ① 當(dāng)時(shí)，得

45、 即，…， 又所以 因此 ② 當(dāng)同理可得，因此 綜上， 36.〔2021四川卷理〕設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記。 〔I〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 〔II〕記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有； 〔III〕設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為。正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意正整數(shù)恒成立，求的最小值。 本小題主要考查數(shù)列、不等式等根底知識(shí)、考查化歸思想、分類(lèi)整合思想，以及推理論證、分析與解決問(wèn)題的能力。 解：〔Ⅰ〕當(dāng)時(shí)， 又 數(shù)列成等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比是 ……………………………………..3分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知 = 又

46、 當(dāng) 當(dāng) 〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕知 一方面，恒成立，取n為大于1的奇數(shù)時(shí)，設(shè) 那么 > 對(duì)一切大于1的奇數(shù)n恒成立 只對(duì)滿(mǎn)足的正奇數(shù)n成立，矛盾。 另一方面，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切的正整數(shù)n都有 事實(shí)上，對(duì)任意的正整數(shù)k，有 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè) 那么 < 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè) 那么 < 對(duì)一切的正整數(shù)n，都有 綜上所述，正實(shí)數(shù)的最小值為4………………………….14分 37.〔2021年上海卷理〕是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列。 （

47、1） 假設(shè)，是否存在，有說(shuō)明理由； （2） 找出所有數(shù)列和，使對(duì)一切,,并說(shuō)明理由； （3） 假設(shè)試確定所有的，使數(shù)列中存在某個(gè)連續(xù)項(xiàng)的和是數(shù)列中的一項(xiàng)，請(qǐng)證明。 [解法一]〔1〕由，得， ．．．．．．2分 整理后，可得，、，為整數(shù)， 不存在、，使等式成立。 ．．．．．．5分 〔2〕假設(shè)，即， 〔*〕 〔ⅰ〕假設(shè)那么。 當(dāng){}為非零常數(shù)列，{}為恒等于1的常數(shù)列，滿(mǎn)足要求。 ．．．．．．7分 〔ⅱ〕假

48、設(shè)，〔*〕式等號(hào)左邊取極限得，〔*〕式等號(hào)右邊的極限只有當(dāng)時(shí)，才能等于1。此時(shí)等號(hào)左邊是常數(shù)，，矛盾。 綜上所述，只有當(dāng){}為非零常數(shù)列，{}為恒等于1的常數(shù)列，滿(mǎn)足要求。．．．．．．10分 【解法二】設(shè) 那么 （i） 假設(shè)d=0，那么 （ii） 假設(shè)〔常數(shù)〕即，那么d=0，矛盾 綜上所述，有， 10分 〔3〕 設(shè). ， . 13分 取 15分 由二項(xiàng)展開(kāi)式可得正整數(shù)M1、M2，使得〔4-1〕2s+2=4M1+1, 故當(dāng)且僅當(dāng)p=3s,sN時(shí)，命題成立. 說(shuō)明：第〔3〕題假

49、設(shè)學(xué)生從以下角度解題，可分別得局部分〔即分步得分〕 假設(shè)p為偶數(shù)，那么am+1+am+2+……+am+p為偶數(shù)，但3k為奇數(shù) 故此等式不成立，所以，p一定為奇數(shù)。 當(dāng)p=1時(shí)，那么am+1=bk,即4m+5=3k， 而3k=(4-1)k = 當(dāng)ｋ為偶數(shù)時(shí)，存在ｍ，使４ｍ＋５＝3k成立 1分 當(dāng)p=3時(shí)，那么am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk, 也即3〔4m+9〕=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1 由已證可知，當(dāng)k-1為偶數(shù)即k為奇數(shù)時(shí)，存在m, 4m+9=3k成立 2分

50、 當(dāng)p=5時(shí)，那么am+1+am+2+……+am+5=bk,即5am+3=bk 也即5〔4m+13〕=3k,而3k不是5的倍數(shù)，所以，當(dāng)p=5時(shí)，所要求的m不存在 故不是所有奇數(shù)都成立. 2分 38.(2021重慶卷理〕設(shè)個(gè)不全相等的正數(shù)依次圍成一個(gè)圓圈． 〔Ⅰ〕假設(shè)，且是公差為的等差數(shù)列，而是公比為的等比數(shù)列；數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足：，求通項(xiàng)； 〔Ⅱ〕假設(shè)每個(gè)數(shù)是其左右相鄰兩數(shù)平方的等比中項(xiàng)，求證：； 解：〔I〕因是公比為d的等比數(shù)列，從而 由 ，故 解得或〔舍去〕。因此

51、 又 。解得 從而當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，由是公比為d的等比數(shù)列得 因此 〔II〕由題意得 有①得 ④ 由①，②，③得， 故. ⑤ 又，故有 .⑥ 下面反證法證明： 假設(shè)不然，設(shè) 假設(shè)取即，那么由⑥得，而由③得 得由②得而 ④及⑥可推得〔〕與題設(shè)矛盾 同理假設(shè)P=2，3，4，5均可得〔〕與題設(shè)矛盾,因此為6的倍數(shù) 由均值不等式得 由上面三組數(shù)內(nèi)必有一組不相等〔否那么，從而與題設(shè)矛盾〕，故等號(hào)不成立，從而 又，由④和⑥得 因此由⑤得 2005—2021年高考題 一、選擇題 1.

52、〔2021江西卷〕在數(shù)列中，， ，那么〔 〕 A． B． C． D． 答案 A 2.〔2007福建〕數(shù)列的前項(xiàng)和為，假設(shè)，那么等于〔　　〕 A．1 B． C． D． 答案 B 3.〔2007寧夏〕成等比數(shù)列，且曲線的頂點(diǎn)是，那么等于〔　　〕 Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ． 答案 B 4．〔2006江西卷〕等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，假設(shè)，且A、B、C三點(diǎn)共線〔該直線不過(guò)原點(diǎn)O〕，那么S200＝〔 〕 A．100

53、 B. 101 C 解析 依題意，a1＋a200＝1，應(yīng)選A 答案 A 5. (2005重慶卷) 有一塔形幾何體由假設(shè)干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如下圖，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)。最底層正方體的棱長(zhǎng)為2，且改塔形的外表積(含最底層正方體的底面面積)超過(guò)39，那么該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是( ) A. 4 B.5. 答案 C 二、填空題 6.〔2021江蘇〕將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ． ． ． ． ． ． ．

54、 按照以上排列的規(guī)律，第n 行〔n ≥3〕從左向右的第3 個(gè)數(shù)為 ． 答案 7.〔2021湖北〕觀察以下等式： …………………………………… 可以推測(cè)，當(dāng)≥2〔〕時(shí)， . 答案 0 8.〔2007重慶〕設(shè){}為公比q>1的等比數(shù)列，假設(shè)和是方程的兩根，那么_____. 答案 18 9．〔2006廣東卷〕在德國(guó)不來(lái)梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成假設(shè)干堆“正三棱錐〞形的展品，其中第1堆只有1層，就一個(gè)球；第堆最底層〔第一層〕分別按圖4所示方

55、式固定擺放，從第二層開(kāi)始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆第層就放一個(gè)乒乓球，以表示第堆的乒乓球總數(shù)，那么；〔答案用表示〕. 答案 10， 三、解答題 10.〔2021全國(guó)I〕設(shè)函數(shù)．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足，． 〔Ⅰ〕證明：函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)； 〔Ⅱ〕證明：； 〔Ⅲ〕設(shè)，整數(shù)．證明：． 〔Ⅰ〕證明：， 故函數(shù)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)； 〔Ⅱ〕證明：〔用數(shù)學(xué)歸納法〕〔i〕當(dāng)n=1時(shí)，，， 由函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，且函數(shù)在處連續(xù)，那么在區(qū)間是增函數(shù)，，即成立； 〔ⅱ〕假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，即 那么當(dāng)時(shí)，由在區(qū)間是增函數(shù)，得 .而，那么， ，也就是說(shuō)當(dāng)時(shí)，也成立； 根據(jù)〔ⅰ〕、

56、〔ⅱ〕可得對(duì)任意的正整數(shù)，恒成立. 〔Ⅲ〕證明：由．可 1， 假設(shè)存在某滿(mǎn)足，那么由⑵知： 2， 假設(shè)對(duì)任意都有，那么 ，即成立. 11.〔2021山東卷)將數(shù)列｛an｝中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)那么排成如下數(shù)表： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 …… 記表中的第一列數(shù)a1，a2，a4，a7，…構(gòu)成的數(shù)列為｛bn｝,b1=a1=1. Sn為數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和，且滿(mǎn)足＝1=〔n≥2〕. (Ⅰ)證明數(shù)列｛｝成等差數(shù)列，并求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式； 〔Ⅱ時(shí)，求上表中第k(k≥3)行所有項(xiàng)和的和. 1

57、2.(2007湖南)〔〕是曲線上的點(diǎn)，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿(mǎn)足，，…． 〔I〕證明：數(shù)列〔〕是常數(shù)數(shù)列； 〔II〕確定的取值集合，使時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列； 〔III〕證明：當(dāng)時(shí)，弦〔〕的斜率隨單調(diào)遞增 解：〔I〕當(dāng)時(shí)，由得． 因?yàn)?，所以? …… ① 于是． ……② 由②－①得． …… ③ 于是． …… ④ 由④－③得，

58、 …… ⑤ 所以，即數(shù)列是常數(shù)數(shù)列． 〔II〕由①有，所以．由③有，，所以，． 而 ⑤說(shuō)明：數(shù)列和分別是以，為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列， 所以，，， 數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列且對(duì)任意的成立． 且 ． 即所求的取值集合是． 〔III〕解法一：弦的斜率為 任取，設(shè)函數(shù)，那么 記，那么， 當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)， 所以時(shí)，，從而，所以在和上都是增函數(shù)． 由〔II〕知，時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增， 取，因?yàn)?，所以? 取，因?yàn)?，所以? 所以，即弦的斜率隨單調(diào)遞增． 解法二：設(shè)函數(shù)，同解法一得，在和上都是增函數(shù)， 所以，． 故，即弦的斜

59、率隨單調(diào)遞增． 13.〔2007浙江〕數(shù)列{}中的相鄰兩項(xiàng)、是關(guān)于x的方程 的兩個(gè)根，且≤　(k ＝1，2，3，…)． (I)求及 (n≥4)(不必證明)；(Ⅱ)求數(shù)列{}的前2n項(xiàng)和S2n． (I)解：方程的兩個(gè)根為． 當(dāng)k＝1時(shí)，，所以； 當(dāng)k＝2時(shí)，，所以； 當(dāng)k＝3時(shí)，，所以； 當(dāng)k＝4時(shí)，，所以； 因?yàn)閚≥4時(shí)，，所以 〔Ⅱ〕＝． 14.〔2007四川〕函數(shù)f〔x〕=x2－4，設(shè)曲線y＝f〔x〕在點(diǎn)〔xn，f〔xn〕〕處的切線與x軸的交點(diǎn)為〔xn+1,u〕〔u,N +〕，其中為正實(shí)數(shù). 〔Ⅰ〕用xx表示xn+1； 〔Ⅱ〕假設(shè)a1=4，記an=lg，證明數(shù)列｛a

60、1｝成等比數(shù)列，并求數(shù)列｛xn｝的通項(xiàng)公式； 〔Ⅲ〕假設(shè)x1＝4，bn＝xn－2，Tn是數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和，證明Tn<3. 解析：此題綜合考查數(shù)列、函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等知識(shí)，以及推理論證、計(jì)算及解決問(wèn)題的能力． 〔Ⅰ〕由題可得． 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是：． 即． 令，得． 即． 顯然，∴． 〔Ⅱ〕由，知，同理． 　　　故． 從而，即．所以，數(shù)列成等比數(shù)列． 故． 即． 從而 所以 〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知， ∴ ∴ 當(dāng)時(shí)，顯然． 當(dāng)時(shí)， ∴ ． 　　　綜上，． 15.〔2005湖南〕自然狀態(tài)下的魚(yú)類(lèi)是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資

61、源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚(yú)群總量的影響. 用xn表示某魚(yú)群在第n年年初的總量，n∈N*，且x1＞0.不考慮其它因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚(yú)群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與xn2成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c. 〔Ⅰ〕求xn+1與xn的關(guān)系式； 〔Ⅱ〕猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)x1，a，b，c滿(mǎn)足什么條件時(shí)，每年年初魚(yú)群的總量保持不變？〔不要求證明〕 　 〔Ⅲ〕設(shè)a＝2，b＝1，為保證對(duì)任意x1∈〔0,2〕，都有xn＞0，n∈N*，那么捕撈強(qiáng)度b的 最大允許值是多少？證明你的結(jié)論. 解〔I〕從第n年初到第n+1年初，魚(yú)群的繁殖量為axn，

62、被捕撈量為bxn，死亡量為 〔II〕假設(shè)每年年初魚(yú)群總量保持不變，那么xn恒等于x1， n∈N*，從而由〔*〕式得 因?yàn)閤1>0，所以a>b. 猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)a>b，且時(shí)，每年年初魚(yú)群的總量保持不變. 〔Ⅲ〕假設(shè)b的值使得xn>0，n∈N* 由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知 0

63、 下證 當(dāng)x1∈(0, 2) ，b=1時(shí)，都有xn∈(0, 2), n∈N* ①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即xk∈(0, 2), 那么當(dāng)n=k+1時(shí)，xk+1=xk(2－xk)>0. 又因?yàn)閤k+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2, 所以xk+1∈(0, 2)，故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立. 由①、②可知，對(duì)于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2). 綜上所述，為保證對(duì)任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，那么捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是1. 第二局部 三年聯(lián)考題匯編 2021年聯(lián)考題 題

64、組二〔5月份更新〕 一、填空題 1.〔肥城市第二次聯(lián)考〕在等差數(shù)列{an}中，假設(shè)a4＋a6＋a8＋a10＋al2＝120，那么a9－a11的值為 A．14 B．15 C．16 D．17 答案 C 解析：， ，所以選C。 2.〔昆明一中三次月考理〕各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列的公比，且成等差數(shù)列，那么的值為 A． B． C． D．或 答案：B 3.〔哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)〕正項(xiàng)等比數(shù)列滿(mǎn)足：，假設(shè)存在兩項(xiàng)使得，那么的最小值為〔　　〕 A. B.

65、 C. D. 不存在 答案A 4.〔昆明一中二次月考理〕在實(shí)數(shù)數(shù)列中，，，，…，，那么的最大值為〔 〕 A． B． C． D． 答案：C 5.〔昆明一中二次月考理〕數(shù)列的通項(xiàng)為，以下表述正確的選項(xiàng)是〔 〕 A. 最大項(xiàng)為0，最小項(xiàng)為 B. 最大項(xiàng)為0，最小項(xiàng)不存在 C. 最大項(xiàng)不存在，最小項(xiàng)為 D. 最大項(xiàng)為0，最小項(xiàng)為 答案：A 6.〔昆明一中二次月考理〕三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c成等比數(shù)列，假設(shè)有a + b + c=

66、1成立，那么b的取值范圍是〔 〕 A. B. C. D. 答案：C 7.〔祥云一中月考理〕設(shè)等比數(shù)列的公比，前n項(xiàng)和為，那么〔 〕 A． B． C． D． 答案：C 8.〔祥云一中三次月考理〕設(shè)假設(shè)是與的等比中項(xiàng)，那么的最小值為 A . B . 1 C. 4 D. 8 答案：C 二、填空題 9.〔祥云一中月考理〕兩個(gè)正數(shù)、的等差中項(xiàng)是，一個(gè)等比中項(xiàng)是，且那么雙曲線的離心率為 。 答案： 10.〔祥云一中二次月考理〕數(shù)列的前項(xiàng)和為，假設(shè)，那么等于 答案： 11．〔池州市七校元旦調(diào)研〕設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，那么 ． 答案：15 【解析】對(duì)于 三、解答題 12．〔馬鞍山學(xué)業(yè)水平測(cè)試〕〔此題總分值12分〕 各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，是數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意，有 〔1〕求常數(shù)的值； 〔2〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 〔3〕記，求數(shù)列的前項(xiàng)和。 解：〔1〕由