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1、 你的首選資源互助社區(qū) 第3 課時 充分條件和必要條件 【考點導讀】 1. 理解充分條件，必要條件和充要條件的意義；會判斷充分條件，必要條件和充要條件． 2. 從集合的觀點理解充要條件，有以下一些結論： 若集合，則是的充分條件； 若集合，則是的必要條件； 若集合，則是的充要條件． 3. 會證明簡單的充要條件的命題，進一步增強邏輯思維能力． 【基礎練習】 1.若，則是的充分條件．若，則是的必要條件．若，則是的充要條件． 2.用“充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件和既不充分也不必要條件”填空. （1）

2、已知，，那么是的_____充分不必要___條件． （2）已知兩直線平行，內錯角相等，那么是的____充要_____條件． （3）已知四邊形的四條邊相等，四邊形是正方形，那么是的_____必要不充分___條件． （4）已知，，那么是的____必要不充分___條件． 3.函數過原點的充要條件是． 4.對任意實數a，b，c，給出下列命題： ①“”是“”充要條件；②“是無理數”是“a是無理數”的充要條件； ③“a>b”是“a2>b2”的充分條件； ④“a<5”是“a<3”的必要條件. 其中真命題的序號是____②_④___． 5.若，則的一個必要不充分條件是． 【范例解析】

3、 例1.用“充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件和既不充分也不必要條件”填空. （1）是的___________________條件； （2）是的___________________條件； （3）是的___________________條件； （4）是或的___________________條件. 分析：從集合觀點“小范圍大范圍”進行理解判斷，注意特殊值的使用. 解：（1）因為結合不等式性質易得，反之不成立，若，，有，但不成立，所以是的充分不必要條件. （2）因為的解集為，的解集為，故是的必要不充分條件. （3）當時，均不存在；當時，取，，但，所以是的既不充分也不必

4、要條件. （4）原問題等價其逆否形式，即判斷“且是的____條件”，故是或的充分不必要條件. 點評：①判斷p是q的什么條件，實際上是判斷“若p則q”和它的逆命題“若q則p”的真假，若原命題為真，逆命題為假，則p為q的充分不必要條件；若原命題為假，逆命題為真，則p為q的必要不充分條件；若原命題為真，逆命題為真，則p為q的充要條件；若原命題，逆命題均為假，則p為q的既不充分也不必要條件.②在判斷時注意反例法的應用.③在判斷“若p則q”的真假困難時，則可以判斷它的逆否命題“若q則p”的真假. 例2.已知p，q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，則p是s的_________條件

5、. 分析：將各個命題間的關系用符號連接，易解答. s 解： 故p是s的的充要條件. 點評：將語言符號化，可以起到簡化推理過程的作用. 例3.已知，，若是的必要不充分條件，求實數m的取值范圍. 分析：若是的必要不充分條件等價其逆否形式，即是的必要不充分條件. 解：由題知：， 是的必要不充分條件，是的必要不充分條件. ，即得. 故m的取值范圍為. 點評：對于充分必要條件的判斷，除了直接使用定義及其等價命題進行判斷外，還可以根據集合的包含關系來判斷條件與結論之間的邏輯關系：若集合，則是的充分條件；若集合，則是的必要條件；若集合，則是的充要條件． 例4.求證

6、：關于x的方程有一個根為－1的充要條件是． 分析：充要條件的證明既要證充分性，也要證必要性． 證明：必要性：若是方程的根，求證：． 是方程的根，，即． 充分性：關于x的方程的系數滿足，求證：方程有一根為－1． ，，代入方程得：， 得，是方程的一個根． 故原命題成立． 點評：在代數論證中，充要條件的證明要證兩方面：充分性和必要性，缺一不可． 【反饋演練】 1．設集合，，則“”是“”的_必要不充分 充分不必要 條件． 2．已知p：1＜x＜2，q：x(x－3)＜0，則p是q的 條件． 3．設，是定義在R上的函數，，則“，均為偶函數”是

7、“為偶函數”的______充分不必要______條件． 4．已知，，則是的_____必要不充分_______條件． 5．集合A＝{x|＜0}，B＝｛x || x －b|＜a，若“a＝1”是“A∩B≠”的充分條件，則b的取值范圍是． 必要不充分 6．設集合，，則“”是“”的______________條件． 7．設全集，子集，，那么點的充要條件為． 8．已知是的充分條件而不是必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件。現有下列命題：①是的充要條件；②是的充分條件而不是必要條件；③是的必要條件而不是充分條件； ④的必要條件而不是充分條件；⑤是的充分條件而不是必要條件，

8、 其中正確命題序號是______①②④____． 9．有限集合中元素個數記作card，設、都為有限集合，給出下列命題： ①的充要條件是card= card+ card； ②的必要條件是cardcard； ③的充分條件是cardcard； ④的充要條件是cardcard. 其中真命題的序號是_①②__． 10．已知函數，求證：函數是偶函數的充要條件為． 證：充分性：定義域關于原點對稱． ，，， 所以，所以為偶函數． 必要性：因為是偶函數，則對任意x有， 得，即，所以． 綜上所述，原命題得證． 11．已知條件，條件．若是的充分不必要條件，求實數a的

9、取值范圍． 解：，若是的充分不必要條件，則． 若，則，即； 若，則解得． 綜上所述，． 12．已知關于x的方程，． 求：（1）方程有兩個正根的充要條件； （2）方程至少有一個正根的充要條件． 解：（1）方程有兩個正根的充要條件 設此時方程的兩實根為，，則 ，的正數的充要條件是． 綜上，方程有兩個正根的充要條件為或． （2）①方程有兩個正根，由（1）知或． ②當時，方程化為，有一個正根． ③方程無零根，故方程有一正根，一負根的充要條件是即． 綜上，方程至少有一正根的充要條件是或． 誠信經營 超值服務——天利會員：誠信精品——與您共建淘題精品世界 第5頁 共5頁