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高考人教版數(shù)學(xué)文總復(fù)習(xí)練習(xí):第五章 數(shù)列 課時作業(yè)31 Word版含解析

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1、 課時作業(yè)31 等比數(shù)列及其前n項和 1.已知正項等比數(shù)列{an}滿足a3=1,a5與a4的等差中項為,則a1的值為( A ) A.4 B.2 C. D. 解析:由題意知2×=a5+a4, 即3a4+2a5=2. 設(shè){an}的公比為q(q>0),則由a3=1, 得3q+2q2=2,解得q=或q=-2(舍去), 所以a1==4. 2.(2019·益陽調(diào)研)已知等比數(shù)列{an}中,a5=3,a4a7=45,則的值為( D ) A.3 B.5 C.9 D.25 解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則a4a7=·a5q2=9q=45,所以q=5,==q2=25

2、.故選D. 3.(2019·武昌調(diào)研)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若對任意的正整數(shù)n,Sn+2=4Sn+3恒成立,則a1的值為( C ) A.-3 B.1 C.-3或1 D.1或3 解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q, 當(dāng)q=1時,Sn+2=(n+2)a1,Sn=na1, 由Sn+2=4Sn+3得,(n+2)a1=4na1+3, 即3a1n=2a1-3,若對任意的正整數(shù)n,3a1n=2a1-3恒成立, 則a1=0且2a1-3=0,矛盾,所以q≠1, 所以Sn=,Sn+2=, 代入Sn+2=4Sn+3并化簡得a1(4-q2)qn=3+3a1-3q,若對任意的正整

3、數(shù)n該等式恒成立, 則有 解得或 故a1=1或-3,故選C. 4.(2019·西安八校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,若a1·a6·a11=-3,b1+b6+b11=7π,則tan的值是( A ) A.- B.-1 C.- D. 解析:依題意得,a=(-)3,a6=-,3b6=7π,b6=,==-, 故tan=tan=-tan=-. 5.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計算出半音比例,為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個純八度音程分成十二份,依次得到十三個單音,從第二個單音起,每一個單音

4、的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f,則第八個單音的頻率為( D ) A.f B.f C.f D.f 解析:由題意知,十三個單音的頻率構(gòu)成首項為f,公比為的等比數(shù)列,設(shè)該等比數(shù)列為{an},則a8=a1q7,即a8=f,故選D. 6.在正項數(shù)列{an}中,a1=2,點(,)(n≥2)在直線x-y=0上,則數(shù)列{an}的前n項和Sn等于( A ) A.2n+1-2 B.2n+1 C.2- D.2- 解析:因為點(,)(n≥2)在直線x-y=0上, 所以-·=0. 又因為an>0,所以=2(n≥2). 又a1=2,所以數(shù)列{an}是首

5、項為2,公比為2的等比數(shù)列. 所以所求的Sn==2n+1-2. 7.(2019·天津?qū)嶒炛袑W(xué)月考)設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,公比q=2,且a1·a2·a3·…·a30=230,則a3·a6·a9·…·a30=( B ) A.210 B.220 C.216 D.215 解析:因為a1a2a3=a,a4a5a6=a,a7a8a9=a,…,a28a29a30=a,所以a1a2a3a4a5a6a7a8a9…a28a29a30=(a2a5a8…a29)3=230.所以a2a5a8…a29=210.則a3a6a9…a30=(a2q)(a5q)(a8q)…(a29q)=(a2a5a8…

6、a29)q10=210×210=220,故選B. 8.(2019·山西太原模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點(n,Sn+3)(n∈N*)在函數(shù)y=3×2x的圖象上,等比數(shù)列{bn}滿足bn+bn+1=an(n∈N*),其前n項和為Tn,則下列結(jié)論正確的是( D ) A.Sn=2Tn B.Tn=2bn+1 C.Tn>an D.Tn<bn+1 解析:由題意可得Sn+3=3×2n,Sn=3×2n-3, 由等比數(shù)列前n項和的特點可得數(shù)列{an}是首項為3,公比為2的等比數(shù)列,數(shù)列的通項公式an=3×2n-1, 設(shè)bn=b1qn-1,則b1qn-1+b1qn=3×2n-1,

7、 當(dāng)n=1時,b1+b1q=3, 當(dāng)n=2時,b1q+b1q2=6, 解得b1=1,q=2, 數(shù)列{bn}的通項公式bn=2n-1, 由等比數(shù)列求和公式有:Tn=2n-1,觀察所給的選項: Sn=3Tn,Tn=2bn-1,Tn<an,Tn<bn+1. 9.在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若a2 018=,則+的最小值為4. 解析:設(shè)公比為q(q>0),因為a2 018=, 所以a2 017==,a2 019=a2 018q=q, 則有+=q+=q+≥2 =4,當(dāng)且僅當(dāng)q2=2, 即q=時取等號,故所求最小值為4. 10.(2019·湖北荊州一模)已知等比數(shù)列{an}的

8、公比不為-1,設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,S12=7S4,則=3. 解析:由題意可知S4,S8-S4,S12-S8成等比數(shù)列, 則(S8-S4)2=S4·(S12-S8), 又S12=7S4, ∴(S8-S4)2=S4·(7S4-S8), 可得S-6S-S8S4=0,兩邊都除以S, 得2--6=0, 解得=3或-2, 又=1+q4(q為{an}的公比), ∴>1,∴=3. 11.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,n∈N*.已知a1=1,a2=,a3=,且當(dāng)n≥2時,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1. (1)求a4的值; (2)證明:為等比數(shù)列. 解:(1

9、)當(dāng)n=2時,4S4+5S2=8S3+S1, 即4×+5×=8×+1, 解得a4=. (2)證明:因為4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n≥2), 所以4Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+1-4Sn(n≥2), 即4an+2+an=4an+1(n≥2). 又因為4a3+a1=4×+1=6=4a2, 所以4an+2+an=4an+1, 所以====, 所以數(shù)列是以a2-a1=1為首項,為公比的等比數(shù)列. 12.(2016·四川卷)已知數(shù)列{an}的首項為1,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N*. (1)若2a2,a

10、3,a2+2成等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè)雙曲線x2-=1的離心率為en,且e2=,證明:e1+e2+…+en>. 解:(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1, 兩式相減得到an+2=qan+1,n≥1. 又由S2=qS1+1得到a2=qa1, 故an+1=qan對所有n≥1都成立. 所以,數(shù)列{an}是首項為1,公比為q的等比數(shù)列. 從而an=qn-1. 由2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列, 可得2a3=3a2+2, 即2q2=3q+2,則(2q+1)(q-2)=0, 由已知,q>0,故q=2. 所以an=2n-1(n∈N*).

11、 (2)證明:由(1)可知,an=qn-1. 所以雙曲線x2-=1的離心率en==. 由e2==,解得q=. 因為1+q2(k-1)>q2(k-1), 所以>qk-1(k∈N*). 于是e1+e2+…+en>1+q+…+qn-1=, 故e1+e2+…+en>. 13.(2019·山東實驗中學(xué)診斷測試)中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題:今有牛、馬、羊食人苗,苗主責(zé)之粟五斗,羊主曰:“我羊食半馬.”馬主曰:“我馬食半牛.”今欲衰償之,問各出幾何?此問題的譯文是:今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗,禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說:“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說

12、:“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例償還,他們各應(yīng)償還多少?已知牛、馬、羊的主人應(yīng)償還a升,b升,c升,1斗為10升,則下列判斷正確的是( D ) A.a(chǎn),b,c依次成公比為2的等比數(shù)列,且a= B.a(chǎn),b,c依次成公比為2的等比數(shù)列,且c= C.a(chǎn),b,c依次成公比為的等比數(shù)列,且a= D.a(chǎn),b,c依次成公比為的等比數(shù)列,且c= 解析:由題意可知b=a,c=b, ∴=,=. ∴a、b、c成等比數(shù)列且公比為. ∵1斗=10升,∴5斗=50升, ∴a+b+c=50, 又易知a=4c,b=2c,∴4c+2c+c=50, ∴7c=50,∴c=,故選D. 14.(

13、2019·鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測)已知數(shù)列{an}滿足a1a2a3…an=2n2(n∈N*),且對任意n∈N*都有++…+<t,則實數(shù)t的取值范圍為( D ) A. B. C. D. 解析:依題意得,當(dāng)n≥2時, an===2n2-(n-1)2=22n-1, 又a1=21=22×1-1, 因此an=22n-1,=,數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列,等比數(shù)列的前n項和等于=<,因此實數(shù)t的取值范圍是. 15.(2019·東北三省三校聯(lián)考)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}和{bn}滿足:an,bn,an+1成等差數(shù)列,bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列,且a1=1,a2=3,則數(shù)列{a

14、n}的通項公式為an=. 解析:由題意知2bn=an+an+1,a=bn·bn+1, ∴an+1=, 當(dāng)n≥2時,2bn=+, ∵bn>0,∴2=+, ∴{}成等差數(shù)列, 由a1=1,a2=3,得b1=2,b2=, ∴=,=, ∴公差d=, ∴=,∴bn=, ∴an==. 16.已知首項為的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)證明:Sn+≤(n∈N*). 解:(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q, 因為-2S2,S3,4S4成等差數(shù)列, 所以S3+2S2=4S4-S3, 即S4-S3=S2-S4, 可得2a4=-a3,于是q==-. 又a1=,所以等比數(shù)列{an}的通項公式為an=×n-1=(-1)n-1·. (2)證明:由(1)知,Sn=1-n, Sn+=1-n+ = 當(dāng)n為奇數(shù)時,Sn+隨n的增大而減小, 所以Sn+≤S1+=. 當(dāng)n為偶數(shù)時,Sn+隨n的增大而減小, 所以Sn+≤S2+=. 故對于n∈N*,有Sn+≤.

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