《高考人教版數(shù)學(xué)文總復(fù)習(xí)練習(xí):第五章 數(shù)列 課時作業(yè)31 Word版含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考人教版數(shù)學(xué)文總復(fù)習(xí)練習(xí):第五章 數(shù)列 課時作業(yè)31 Word版含解析(11頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
課時作業(yè)31 等比數(shù)列及其前n項和
1.已知正項等比數(shù)列{an}滿足a3=1,a5與a4的等差中項為,則a1的值為( A )
A.4 B.2
C. D.
解析:由題意知2×=a5+a4,
即3a4+2a5=2.
設(shè){an}的公比為q(q>0),則由a3=1,
得3q+2q2=2,解得q=或q=-2(舍去),
所以a1==4.
2.(2019·益陽調(diào)研)已知等比數(shù)列{an}中,a5=3,a4a7=45,則的值為( D )
A.3 B.5
C.9 D.25
解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則a4a7=·a5q2=9q=45,所以q=5,==q2=25
2、.故選D.
3.(2019·武昌調(diào)研)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若對任意的正整數(shù)n,Sn+2=4Sn+3恒成立,則a1的值為( C )
A.-3 B.1
C.-3或1 D.1或3
解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,
當(dāng)q=1時,Sn+2=(n+2)a1,Sn=na1,
由Sn+2=4Sn+3得,(n+2)a1=4na1+3,
即3a1n=2a1-3,若對任意的正整數(shù)n,3a1n=2a1-3恒成立,
則a1=0且2a1-3=0,矛盾,所以q≠1,
所以Sn=,Sn+2=,
代入Sn+2=4Sn+3并化簡得a1(4-q2)qn=3+3a1-3q,若對任意的正整
3、數(shù)n該等式恒成立,
則有
解得或
故a1=1或-3,故選C.
4.(2019·西安八校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,若a1·a6·a11=-3,b1+b6+b11=7π,則tan的值是( A )
A.- B.-1
C.- D.
解析:依題意得,a=(-)3,a6=-,3b6=7π,b6=,==-,
故tan=tan=-tan=-.
5.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計算出半音比例,為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個純八度音程分成十二份,依次得到十三個單音,從第二個單音起,每一個單音
4、的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f,則第八個單音的頻率為( D )
A.f B.f
C.f D.f
解析:由題意知,十三個單音的頻率構(gòu)成首項為f,公比為的等比數(shù)列,設(shè)該等比數(shù)列為{an},則a8=a1q7,即a8=f,故選D.
6.在正項數(shù)列{an}中,a1=2,點(,)(n≥2)在直線x-y=0上,則數(shù)列{an}的前n項和Sn等于( A )
A.2n+1-2 B.2n+1
C.2- D.2-
解析:因為點(,)(n≥2)在直線x-y=0上,
所以-·=0.
又因為an>0,所以=2(n≥2).
又a1=2,所以數(shù)列{an}是首
5、項為2,公比為2的等比數(shù)列.
所以所求的Sn==2n+1-2.
7.(2019·天津?qū)嶒炛袑W(xué)月考)設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,公比q=2,且a1·a2·a3·…·a30=230,則a3·a6·a9·…·a30=( B )
A.210 B.220
C.216 D.215
解析:因為a1a2a3=a,a4a5a6=a,a7a8a9=a,…,a28a29a30=a,所以a1a2a3a4a5a6a7a8a9…a28a29a30=(a2a5a8…a29)3=230.所以a2a5a8…a29=210.則a3a6a9…a30=(a2q)(a5q)(a8q)…(a29q)=(a2a5a8…
6、a29)q10=210×210=220,故選B.
8.(2019·山西太原模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點(n,Sn+3)(n∈N*)在函數(shù)y=3×2x的圖象上,等比數(shù)列{bn}滿足bn+bn+1=an(n∈N*),其前n項和為Tn,則下列結(jié)論正確的是( D )
A.Sn=2Tn B.Tn=2bn+1
C.Tn>an D.Tn<bn+1
解析:由題意可得Sn+3=3×2n,Sn=3×2n-3,
由等比數(shù)列前n項和的特點可得數(shù)列{an}是首項為3,公比為2的等比數(shù)列,數(shù)列的通項公式an=3×2n-1,
設(shè)bn=b1qn-1,則b1qn-1+b1qn=3×2n-1,
7、
當(dāng)n=1時,b1+b1q=3,
當(dāng)n=2時,b1q+b1q2=6,
解得b1=1,q=2,
數(shù)列{bn}的通項公式bn=2n-1,
由等比數(shù)列求和公式有:Tn=2n-1,觀察所給的選項:
Sn=3Tn,Tn=2bn-1,Tn<an,Tn<bn+1.
9.在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若a2 018=,則+的最小值為4.
解析:設(shè)公比為q(q>0),因為a2 018=,
所以a2 017==,a2 019=a2 018q=q,
則有+=q+=q+≥2 =4,當(dāng)且僅當(dāng)q2=2,
即q=時取等號,故所求最小值為4.
10.(2019·湖北荊州一模)已知等比數(shù)列{an}的
8、公比不為-1,設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,S12=7S4,則=3.
解析:由題意可知S4,S8-S4,S12-S8成等比數(shù)列,
則(S8-S4)2=S4·(S12-S8),
又S12=7S4,
∴(S8-S4)2=S4·(7S4-S8),
可得S-6S-S8S4=0,兩邊都除以S,
得2--6=0,
解得=3或-2,
又=1+q4(q為{an}的公比),
∴>1,∴=3.
11.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,n∈N*.已知a1=1,a2=,a3=,且當(dāng)n≥2時,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.
(1)求a4的值;
(2)證明:為等比數(shù)列.
解:(1
9、)當(dāng)n=2時,4S4+5S2=8S3+S1,
即4×+5×=8×+1,
解得a4=.
(2)證明:因為4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n≥2),
所以4Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+1-4Sn(n≥2),
即4an+2+an=4an+1(n≥2).
又因為4a3+a1=4×+1=6=4a2,
所以4an+2+an=4an+1,
所以====,
所以數(shù)列是以a2-a1=1為首項,為公比的等比數(shù)列.
12.(2016·四川卷)已知數(shù)列{an}的首項為1,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N*.
(1)若2a2,a
10、3,a2+2成等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)雙曲線x2-=1的離心率為en,且e2=,證明:e1+e2+…+en>.
解:(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,
兩式相減得到an+2=qan+1,n≥1.
又由S2=qS1+1得到a2=qa1,
故an+1=qan對所有n≥1都成立.
所以,數(shù)列{an}是首項為1,公比為q的等比數(shù)列.
從而an=qn-1.
由2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列,
可得2a3=3a2+2,
即2q2=3q+2,則(2q+1)(q-2)=0,
由已知,q>0,故q=2.
所以an=2n-1(n∈N*).
11、
(2)證明:由(1)可知,an=qn-1.
所以雙曲線x2-=1的離心率en==.
由e2==,解得q=.
因為1+q2(k-1)>q2(k-1),
所以>qk-1(k∈N*).
于是e1+e2+…+en>1+q+…+qn-1=,
故e1+e2+…+en>.
13.(2019·山東實驗中學(xué)診斷測試)中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題:今有牛、馬、羊食人苗,苗主責(zé)之粟五斗,羊主曰:“我羊食半馬.”馬主曰:“我馬食半牛.”今欲衰償之,問各出幾何?此問題的譯文是:今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗,禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說:“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說
12、:“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例償還,他們各應(yīng)償還多少?已知牛、馬、羊的主人應(yīng)償還a升,b升,c升,1斗為10升,則下列判斷正確的是( D )
A.a(chǎn),b,c依次成公比為2的等比數(shù)列,且a=
B.a(chǎn),b,c依次成公比為2的等比數(shù)列,且c=
C.a(chǎn),b,c依次成公比為的等比數(shù)列,且a=
D.a(chǎn),b,c依次成公比為的等比數(shù)列,且c=
解析:由題意可知b=a,c=b,
∴=,=.
∴a、b、c成等比數(shù)列且公比為.
∵1斗=10升,∴5斗=50升,
∴a+b+c=50,
又易知a=4c,b=2c,∴4c+2c+c=50,
∴7c=50,∴c=,故選D.
14.(
13、2019·鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測)已知數(shù)列{an}滿足a1a2a3…an=2n2(n∈N*),且對任意n∈N*都有++…+<t,則實數(shù)t的取值范圍為( D )
A. B.
C. D.
解析:依題意得,當(dāng)n≥2時,
an===2n2-(n-1)2=22n-1,
又a1=21=22×1-1,
因此an=22n-1,=,數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列,等比數(shù)列的前n項和等于=<,因此實數(shù)t的取值范圍是.
15.(2019·東北三省三校聯(lián)考)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}和{bn}滿足:an,bn,an+1成等差數(shù)列,bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列,且a1=1,a2=3,則數(shù)列{a
14、n}的通項公式為an=.
解析:由題意知2bn=an+an+1,a=bn·bn+1,
∴an+1=,
當(dāng)n≥2時,2bn=+,
∵bn>0,∴2=+,
∴{}成等差數(shù)列,
由a1=1,a2=3,得b1=2,b2=,
∴=,=,
∴公差d=,
∴=,∴bn=,
∴an==.
16.已知首項為的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)證明:Sn+≤(n∈N*).
解:(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,
因為-2S2,S3,4S4成等差數(shù)列,
所以S3+2S2=4S4-S3,
即S4-S3=S2-S4,
可得2a4=-a3,于是q==-.
又a1=,所以等比數(shù)列{an}的通項公式為an=×n-1=(-1)n-1·.
(2)證明:由(1)知,Sn=1-n,
Sn+=1-n+
=
當(dāng)n為奇數(shù)時,Sn+隨n的增大而減小,
所以Sn+≤S1+=.
當(dāng)n為偶數(shù)時,Sn+隨n的增大而減小,
所以Sn+≤S2+=.
故對于n∈N*,有Sn+≤.