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1、 考點十九　二項式定理 一、選擇題 1．(2019·湖北四校六月考前模擬)在6的展開式中，常數(shù)項為(　　) A．－240 B．－60 C．60 D．240 答案　D 解析　6的通項為Tr＋1＝C(x2)6－r·r＝C(－2)rx12－3r，令12－3r＝0得r＝4，即T5＝C(－2)4＝240，故選D. 2．(2019·湖北黃岡2月聯(lián)考)(1＋x)7展開式中x3的系數(shù)為(　　) A．－7 B．28 C．35 D．42 答案　B 解析　∵二項式(1＋x)7的通項為Tr＋1＝Cxr，分別令r＝3，r＝6，則x3的系數(shù)為C－C＝28，故選B. 3．(2019

2、·河南百校聯(lián)盟仿真試卷)(2x2－x－1)5的展開式中x2的系數(shù)為(　　) A．400 B．120 C．80 D．0 答案　D 解析　∵(2x2－x－1)5＝(x－1)5(2x＋1)5，二項展開式(x－1)5的通項為Cx5－r(－1)r，二項展開式(2x＋1)5的通項為C(2x)5－k，(x－1)5(2x＋1)5的通項為(－1)r25－kCCx10－(k＋r)，所以k＋r＝8，即展開式中x2的系數(shù)為(－1)522CC＋(－1)421CC＋(－1)3CC＝0. 4．(2019·山東聊城二模)已知n展開式中前三項的二項式系數(shù)的和等于22，則展開式中的常數(shù)項為(　　) A． B． C．

3、－ D．－ 答案　A 解析　因為C＋C＋C＝22，整理得n(n＋1)＝42，解得n＝6，所以二項式6展開式的通項為Tk＋1＝C6－k6－k(－1)kx2k＝C6－k·(－1)kx3k－6，令3k－6＝0得k＝2，所以展開式中的常數(shù)項為C6－2(－1)2＝.故選A. 5.16的展開式的項中，整式的個數(shù)是(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 答案　B 解析　二項展開式的通項Tk＋1＝C16－k·k＝(－1)kCxy (k∈Z,0≤k≤16)，要使得它為整式，則－8與16－均為非負整數(shù)，即8≤≤16，k＝6,8,10，故有3項，選B. 6．已知n的展開式的各項系數(shù)和為243，則展

4、開式中x7的系數(shù)為(　　) A．5 B．40 C．20 D．10 答案　B 解析　令x＝1，可得3n＝243，n＝5，故展開式的通項公式為Tr＋1＝C(x3)5－rr＝2rCx15－4r.令15－4r＝7，得r＝2，所以T3＝22Cx7＝40x7，展開式中x7的系數(shù)為40. 7．二項式n的展開式中只有第11項的二項式系數(shù)最大，則展開式中x的指數(shù)為整數(shù)的項的個數(shù)為(　　) A．3 B．5 C．6 D．7 答案　D 解析　因為展開式中只有第11項的二項式系數(shù)最大，所以n＝20.二項式展開式的通項為Tr＋1＝C(x)20－r·r＝C3x，由題得20－r為整數(shù)，所以r＝0,3,6,9

5、,12,15,18，所以展開式中x的指數(shù)為整數(shù)的項的個數(shù)為7. 8．(2019·湖北八市3月聯(lián)考)若(x－2)5－3x4＝a0＋a1(x－3)＋a2(x－3)2＋a3(x－3)3＋a4(x－3)4＋a5(x－3)5，則a3＝(　　) A．－70 B．28 C．－26 D．40 答案　C 解析　令t＝x－3，則(x－2)5－3x4＝a0＋a1(x－3)＋a2(x－3)2＋a3(x－3)3＋a4(x－3)4＋a5(x－3)5可化為(t＋1)5－3(t＋3)4＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，則a3＝C－3C×3＝10－36＝－26.故選C. 二、填空題 9.6的

6、展開式中x3的系數(shù)為________．(用數(shù)字作答) 答案　60 解析　6的展開式的通項公式為Tr＋1＝C(2x)6－rr＝r26－rCx，令6－r＝3，得r＝2， ∴x3的系數(shù)為2·26－2·C＝60. 10．(2019·山西晉城三模)(2－3x)2(1－x)7的展開式中，x3的系數(shù)為________． 答案　－455 解析　依題意，x3的系數(shù)為4×C×(－1)3－12×C×(－1)2＋9×C×(－1)＝－455. 11．(2019·陜西咸陽模擬檢測三)若a>0，b>0，二項式(ax＋b)6的展開式中x3項的系數(shù)為20，則定積分2xdx＋2xdx的最小值為________．

7、答案　2 解析　二項式(ax＋b)6的展開式的通項為Tr＋1＝Ca6－rbrx6－r，當6－r＝3，即r＝3時，二次項系數(shù)為Ca3b3＝20，∴ab＝1，∴2xdx＋2xdx＝a2＋b2≥2ab＝2，當且僅當a＝b時取等號． 12．已知m是常數(shù)，(mx－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝33，則m＝________. 答案　3 解析　令x＝0得a0＝－1， 令x＝1得(m－1)5＝a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝33＋(－1)＝32，所以m－1＝2，故m＝3. 三、解答題 13．已知(＋3x2)n的展開式中，各項系數(shù)

8、的和與其各項二項式系數(shù)的和之比為32. (1)求n； (2)求展開式中二項式系數(shù)最大的項． 解　(1)令x＝1，則(＋3x2)n展開式的各項系數(shù)和為4n，又(＋3x2)n展開式的各項二項式系數(shù)和為2n，所以＝32，即2n＝32，解得n＝5. (2)由(1)可知：n＝5，所以(＋3x2)5展開式的中間兩項二項式系數(shù)最大，即T3＝C()3(3x2)2＝90x6，T4＝C()2(3x2)3＝270x. 14．(2019·江蘇高考)設(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n≥4，n∈N*.已知a＝2a2a4. (1)求n的值； (2)設(1＋)n＝a＋b，其中a，b∈N*，

9、求a2－3b2的值． 解　(1)因為(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn，n≥4，n∈N*， 所以a2＝C＝，a3＝C＝， a4＝C＝. 因為a＝2a2a4，所以2 ＝2××. 解得n＝5. (2)由(1)知，n＝5. (1＋)n＝(1＋)5＝C＋C＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5＝a＋b. 解法一：因為a，b∈N*，所以a＝C＋3C＋9C＝76， b＝C＋3C＋9C＝44，從而a2－3b2＝762－3×442＝－32. 解法二：(1－)5＝C＋C(－)＋C(－)2＋C(－)3＋C(－)4＋C(－)5 ＝C－C＋C()2－C()3＋C()4－C()5.

10、因為a，b∈N*，所以(1－)5＝a－b. 因此a2－3b2＝(a＋b)(a－b)＝(1＋)5×(1－)5＝(－2)5＝－32. 一、選擇題 1．(2019·安徽黃山第三次質檢)已知(1＋x)(1－ax)5的展開式中x2的系數(shù)為－，則a＝(　　) A．1 B． C． D． 答案　D 解析　根據(jù)題意知，(1－ax)5的展開式的通項公式為C(－a)rxr，∴展開式中含x2項的系數(shù)為Ca2－Ca＝－，即10a2－5a＝－，解得a＝，故選D. 2．在二項式(1－2x)n的展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為128，則展開式的中間項的系數(shù)為(　　) A．－960 B．960 C．1

11、120 D．1680 答案　C 解析　因為偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為2n－1＝128，所以n－1＝7，n＝8，則展開式共有9項，中間項為第5項，因為(1－2x)8的展開式的通項Tr＋1＝C(－2x)r＝C(－2)rxr，所以T5＝C(－2)4x4，其系數(shù)為C(－2)4＝1120. 3．(2019·江西新八校第二次聯(lián)考)若二項式n的展開式中第m項為常數(shù)項，則m，n應滿足(　　) A．3n＝4(m＋1) B．4n＝3(m＋1) C．3n＝4(m－1) D．4n＝3(m－1) 答案　C 解析　n展開式的通項公式為Tr＋1＝Cxn－r·r＝C(－2)rxn－，第m項為C(－2)m－1·x，

12、由n－＝0得3n＝4(m－1)，故選C. 4．(2019·廣東佛山質檢一)(2x－y)(x＋2y)5展開式中x3y3的系數(shù)為(　　) A．－40 B．120 C．160 D．200 答案　B 解析　展開式中含x3y3的項為2x·Cx2·(2y)3＋(－y)C·x3·(2y)2＝160x3y3－40x3y3＝120x3y3，則展開式中x3y3的系數(shù)為120，故選B. 5．(2019·湖南長沙一中模擬三)若n的展開式中二項式系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)是(　　) A．14 B．－14 C．7 D．－7 答案　A 解析　∵2n＝128，∴n＝7，∴展開式的通項Tr＋1＝C(

13、2x)7－rr＝C27－r(－1)rx，令7－r＝－3，解得r＝6，∴的系數(shù)為C27－6·(－1)6＝14，故選A. 6．已知(ax2＋x－1)n(n∈N*)展開式中x最高次項系數(shù)是x最低次項系數(shù)的－32倍，且不含x2項，則x3的系數(shù)為(　　) A．10 B．30 C．－10 D．－30 答案　D 解析　依題意，x最高次項的系數(shù)為Can，x最低次項即為常數(shù)項，常數(shù)項為C(－1)n，所以Can＝－32C×(－1)n，又不含x2項，所以Ca×(－1)n－1＋C×(－1)n－2＝0，所以a＝2，n＝5，所以x3的系數(shù)為C×2×C×(－1)3＋C×(－1)2＝－30，故選D. 7．已知S為

14、執(zhí)行如圖所示的程序框圖輸出的結果，則二項式6的展開式中常數(shù)項是(　　) A．－20 B．20 C．－ D．60 答案　A 解析　輸入i＝0，S＝1，i＝1<4是， S＝＝－1，i＝2<4是， S＝＝3，i＝3<4是， S＝＝，i＝4<4否． 輸出S＝. 所以二項式6＝6. 6展開式的通項為Tr＋1＝C6－rr＝(－1)r32r－6·Cx3－r，當r＝3時，得T4＝－C＝－20. 8．在12的展開式中，x5的系數(shù)為(　　) A．252 B．264 C．512 D．528 答案　B 解析　12的通項為Tr＋1＝C(2＋)12－rr，必須滿足r＝0，T1＝(2＋)1

15、2，x5的系數(shù)為22C＝264. 二、填空題 9．若n的展開式中所有項的系數(shù)的絕對值之和為64，則n＝________；該展開式中的常數(shù)項是________． 答案　3?。?7 解析　由題意得n的展開式中所有項的系數(shù)之和為64，令x＝1得(3＋1)n＝64，解得n＝3， 所以3的展開式的通項為 Tr＋1＝C(3)3－r·r＝(－1)r·33－rCx. 令＝0得r＝1， 所以展開式中的常數(shù)項為T2＝(－1)×32×C＝－27. 10．(2019·河北衡水第三次質檢)(1＋x2)5展開式中x2的系數(shù)為________． 答案　15 解析　因為二項式(1＋x2)5展開式的通項為

16、Tk＋1＝Cx10－2k，分別令10－2k＝2,3,4，可得k＝4，，3，因為k是正整數(shù)，所以k＝4,3，所以k＝4時，T5＝Cx2；k＝3時，T4＝Cx4，因此(1＋x2)5展開式中x2的系數(shù)為C＋C＝15. 11．(2019·江西南昌外國語學校適應性測試)設m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b，若15a＝8b，則m＝________. 答案　7 解析　(x＋y)2m展開式中二項式系數(shù)的最大值為a＝C，(x＋y)2m＋1展開式中二項式系數(shù)的最大值為b＝C，因為15a＝8b，所以15C＝8C，即15＝8，解得m＝7.

17、 12．(2019·廣東梅州質檢)若(1＋ex)2019＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2019x2019，則－＋－＋－…－＝________. 答案?。? 解析　在(1＋ex)2019＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2019x2019中，令x＝0可得a0＝1，再令x＝－可得0＝a0－＋－＋－…－，所以－＋－＋－…－＝－1. 三、解答題 13．在二項式(axm＋bxn)12(a>0，b>0，m，n≠0)中有2m＋n＝0，如果它的展開式里最大系數(shù)項恰是常數(shù)項． (1)求它是第幾項； (2)求的取值范圍． 解　(1)設Tr＋1＝C(axm)12－r·(bxn)r＝Ca12－r·brx

18、m(12－r)＋nr為常數(shù)項， 則有m(12－r)＋nr＝0，即m(12－r)－2mr＝0， ∴r＝4，它是第5項． (2)∵第5項是系數(shù)最大的項， ∴有 由①得a8b4≥a9b3， ∵a>0，b>0，∴b≥a，即≤. 同理由②得≥，∴≤≤. 14．(2019·揚州中學月考)設函數(shù)f(x，n)＝(1＋x)n(n∈N*)． (1)求f(x,6)的展開式中系數(shù)最大的項； (2)若f(i，n)＝32i(i為虛數(shù)單位)，求C－C＋C－C＋C. 解　(1)展開式中系數(shù)最大的項是第4項T4＝Cx3＝20x3. (2)由已知(1＋i)n＝32i，兩邊取模，得()n＝32，所以n＝10. 所以C－C＋C－C＋C＝C－C＋C－C＋C.而(1＋i)10＝C＋Ci＋Ci2＋…＋Ci9＋Ci10＝(C－C＋C－C＋C－C)＋(C－C＋C－C＋C)i＝32i，所以C－C＋C－C＋C＝32.