《數(shù)值分析 緒論P(yáng)PT課件》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)值分析 緒論P(yáng)PT課件（62頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、數(shù)值分析 能夠做什么？ Introduction第1頁(yè)/共62頁(yè) 研究使用計(jì)算機(jī)求解各種科學(xué)與工程計(jì)算問題的數(shù)值方法（近似方法），對(duì)求得的解的精度進(jìn)行評(píng)估，以及如何在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)求解等。 數(shù)值分析課程中所講述的各種數(shù)值方法在科學(xué)與工程計(jì)算、信息科學(xué)、管理科學(xué)、生命科學(xué)等交叉學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用第2頁(yè)/共62頁(yè)應(yīng)用問題舉例應(yīng)用問題舉例第3頁(yè)/共62頁(yè)263234323923zyxzyxzyx今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗； 上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗； 上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。問上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗四分

2、斗之一。下禾一秉二斗四分斗之三。-九章算術(shù)1、一個(gè)兩千年前的例子第4頁(yè)/共62頁(yè)nnnnnnaaaaaaaaa212222111211bxAnnbbbxxx2121第5頁(yè)/共62頁(yè)2 2、天體力學(xué)中的、天體力學(xué)中的KeplerKepler方程方程x是行星運(yùn)動(dòng)的軌道，它是時(shí)間t 的函數(shù).sin0,01xxt 第6頁(yè)/共62頁(yè)全球定位系統(tǒng)：全球定位系統(tǒng)：在地球的任何在地球的任何一個(gè)位置，至一個(gè)位置，至少可以同時(shí)收少可以同時(shí)收到到4 4顆以上衛(wèi)星顆以上衛(wèi)星發(fā)射的信號(hào)發(fā)射的信號(hào) 3、全球定位系統(tǒng)（全球定位系統(tǒng)（Global Positioning Global Positioning System,G

3、PS)System,GPS)第7頁(yè)/共62頁(yè)02468051002468圖 7.8HeightS6S3S4S2S1RS5N-S positions 表示地球上一個(gè)接收點(diǎn)R的當(dāng)前位置，衛(wèi)星Si的位置為 ，則得到下列非線性方程組( , , )x y z t(,)iiiixyzt222111122222222223333222444422255552226666()()()(t -t)0()()()(t -t)0()()()(t -t)0()()()(t -t)0()()()(t -t)0()()()(t -t)xxyyzzcxxyyzzcxxyyzzcxxyyzzcxxyyzzcxxyyzz0c第

4、8頁(yè)/共62頁(yè)11221212( ,)0( ,)0( ,)0nnnnf x xxfx xxfx xx( )0F x 記為其中，:,nnF DRR12( ,)Tnxx xx第9頁(yè)/共62頁(yè)4 4、已經(jīng)測(cè)得在某處海洋不同深度處的水溫如下：、已經(jīng)測(cè)得在某處海洋不同深度處的水溫如下：深度（深度（M M） 466 741 950 1422 1634466 741 950 1422 1634水溫（水溫（o oC C）7.04 4.28 3.40 2.54 2.137.04 4.28 3.40 2.54 2.13根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計(jì)出其它深度（如根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計(jì)出其它深度（如500500

5、米，米，600600米，米，10001000米米）處的水溫）處的水溫第10頁(yè)/共62頁(yè)5 5、用比較簡(jiǎn)單的函數(shù)代替復(fù)雜的函數(shù)、用比較簡(jiǎn)單的函數(shù)代替復(fù)雜的函數(shù)誤差為最小，即距離為最小（在不同的度量意義下）第11頁(yè)/共62頁(yè)6 6、人口預(yù)測(cè)、人口預(yù)測(cè) 下面給出的是中國(guó)下面給出的是中國(guó)19001900年到年到20002000年的人口數(shù)，年的人口數(shù)，我們的目標(biāo)是預(yù)測(cè)未來(lái)我們的目標(biāo)是預(yù)測(cè)未來(lái)的人口數(shù)（數(shù)據(jù)量較大的人口數(shù)（數(shù)據(jù)量較大時(shí)）時(shí)）19505519619606620719708299219809870519901143332000126743432231ttty30/ )1979( ts43223

6、1sssy第12頁(yè)/共62頁(yè)第13頁(yè)/共62頁(yè)7 7、鋁制波紋瓦的長(zhǎng)度問題、鋁制波紋瓦的長(zhǎng)度問題 建筑上用的一種鋁制波紋瓦是用一種機(jī)器將一塊平整的鋁板壓制而成的.假若要求波紋瓦長(zhǎng)4英尺,每個(gè)波紋的高度(從中心線)為1英寸,且每個(gè)波紋以近似2英寸為一個(gè)周期. 求制做一塊波紋瓦所需鋁板的長(zhǎng)度L.第14頁(yè)/共62頁(yè) 這個(gè)問題就是要求由函數(shù)這個(gè)問題就是要求由函數(shù)給定的給定的曲線從曲線從x x=0=0到到x x=48=48英寸間的弧長(zhǎng)英寸間的弧長(zhǎng)L.L. 由微積分學(xué)我們知道由微積分學(xué)我們知道, ,所求的弧長(zhǎng)可表示為所求的弧長(zhǎng)可表示為: :dxxdxxfL48024802)(cos1)(1上述積分稱為第二

7、類橢圓積分,它不能用普通方法來(lái)計(jì)算.第15頁(yè)/共62頁(yè)第16頁(yè)/共62頁(yè)理論研究科學(xué)實(shí)驗(yàn)科學(xué)計(jì)算計(jì)算數(shù)學(xué) 現(xiàn)代科學(xué)研究的三大支柱第17頁(yè)/共62頁(yè)第18頁(yè)/共62頁(yè)建立數(shù)學(xué)模型選取計(jì)算方法編寫上機(jī)程序計(jì)算得出結(jié)果第19頁(yè)/共62頁(yè)一、計(jì)算數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和早期發(fā)展計(jì)算數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)古老的分支，雖然數(shù)學(xué)不僅僅是計(jì)算，但推動(dòng)數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的最直接原因還是。 二、二十世紀(jì)計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展數(shù)值代數(shù) 最優(yōu)化計(jì)算 數(shù)值逼近 計(jì)算幾何 概率統(tǒng)計(jì)計(jì)算 蒙特卡羅方法 微分方程的數(shù)值解法 微分方程的反演問題 第20頁(yè)/共62頁(yè)數(shù)值代數(shù)：方程求根、線性方程組求解、 特征值和特征向量的計(jì)算、 非線性方程組的求解；數(shù)值逼近：

8、插值與函數(shù)逼近、數(shù)值微分 和積分、 最小二乘法；微分方程數(shù)值解：常微分方程數(shù)值解； 偏微分方程數(shù)值解： 差分法 有限元法 有限體積法三、數(shù)值計(jì)算的主要內(nèi)容第21頁(yè)/共62頁(yè)&教材數(shù)值分析(21世紀(jì)數(shù)學(xué)系列教材) 李慶揚(yáng)等（華中科技大學(xué)出版社） &參考書目 數(shù)值計(jì)算方法 徐濤 編著 （吉林科學(xué)技術(shù)出版社） 應(yīng)用數(shù)值方法 使用MATLAB和C語(yǔ)言 Robert J.Schilling & Sandra L.Harris （機(jī)械工業(yè)出版社） 數(shù)值分析基礎(chǔ)教程 李慶揚(yáng) 編 （高等教育出版社） 現(xiàn)代數(shù)值分析 李慶揚(yáng)、易大義、王能超 編著 （高等教育出版社） 數(shù)值分析與科學(xué)計(jì)算 Jeffery J.Lea

9、der 著，張威，劉志軍，李艷紅等譯，（清華大學(xué)出版社) 第22頁(yè)/共62頁(yè)一、算法的概念 描述算法可以有不同的方式。例如，可以用日常語(yǔ)言和數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以敘述，也可以借助形式語(yǔ)言（算法語(yǔ)言）給出精確的說(shuō)明，也可以用框圖直觀地顯示算法的全貌。 定義：由基本運(yùn)算及運(yùn)算順序的規(guī)定所構(gòu)成的完整的 解題步驟，稱為。第23頁(yè)/共62頁(yè)例：求解二元一次聯(lián)立方程組22221211212111bxaxabxaxa用行列式解法：首先判別12212211aaaaD （1）如果 ，則令計(jì)算機(jī)計(jì)算 0D , 1222211DababxDababx2111122輸出計(jì)算的結(jié)果x1，x2。（2）如果D= 0，則或是無(wú)解，或有

10、無(wú)窮多組解。是否為零，存在兩種可能：第24頁(yè)/共62頁(yè)12212211Daaaa令通過求解過程，可以總結(jié)出算法步驟如下：S2 計(jì)算12212211DaaaaS3 如果0D 則輸出原方程無(wú)解或有無(wú)窮多組解的信息;否則0D D1212112babax D2121221babaxS1 輸入2122211211,bbaaaaS4 輸出計(jì)算的結(jié)果21,xx第25頁(yè)/共62頁(yè)輸入2122211211,bbaaaa D=a11a22-a12a21D=0開始DababxDababx/ )(/ )(21111221222211輸出 x1, x2 結(jié) 束 No輸出無(wú)解信息Yes第26頁(yè)/共62頁(yè)二、算法優(yōu)劣的判別

11、 計(jì)算量的大小 存貯量 邏輯結(jié)構(gòu)例：用行列式解法求解線性方程組: n階方程組，要計(jì)算n + 1個(gè)n階行列式的值， 總共需要做n! (n - 1) (n + 1) 次乘法運(yùn)算。 n=20 需要運(yùn)算多少次？n=100?第27頁(yè)/共62頁(yè)一、誤差的來(lái)源與分類 從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型 模型誤差例:質(zhì)量為m的物體，在重力作用下,自由下落， 其下落距離s 與時(shí)間t 的關(guān)系是： 22dsmm gd t其中 g 為重力加速度。第28頁(yè)/共62頁(yè) 通過測(cè)量得到模型中參數(shù)的值 觀測(cè)誤差 求近似解 方法誤差 (截?cái)嗾`差）例如，當(dāng)函數(shù) f x 用Taylor多項(xiàng)式 ( )200001!2!nnnfffPxfxxx

12、n 近似代替時(shí)，數(shù)值方法的截?cái)嗾`差是 (1)1(1)!nnnnfRxf xPxxn 與0之間。在x第29頁(yè)/共62頁(yè)機(jī)器字長(zhǎng)有限 舍入誤差 用計(jì)算機(jī)、計(jì)算器和筆算，都只能用有限位 = 3.1415926 小數(shù)來(lái)代替無(wú)窮小數(shù)或用位數(shù)較少的小數(shù)來(lái)代替位數(shù)較多的有限小數(shù)，如：10.33333第30頁(yè)/共62頁(yè)四舍五入后0000074. 01416. 31000033. 0333. 031238.12350.00005x在數(shù)值計(jì)算方法中，主要研究和（包括初始數(shù)據(jù)的誤差）對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響！第31頁(yè)/共62頁(yè)二、 誤差的概念1、絕對(duì)誤差與絕對(duì)誤差限*)(xxxe例 :若用以厘米為最小刻度的尺去量桌子的長(zhǎng)，

13、大約為1.45米，求1.45米的絕對(duì)誤差。1.45米的絕對(duì)誤差=？不知道！是近似值 的,簡(jiǎn)稱為。 x定義：設(shè) 是準(zhǔn)確值，為 的一個(gè)近似值，稱 x*xx第32頁(yè)/共62頁(yè)*xxx*xx e x*xxx*,xxx*x第33頁(yè)/共62頁(yè)2、相對(duì)誤差與相對(duì)誤差限定義：設(shè) 是準(zhǔn)確值， 是近似值，是近似值的誤差，x*x通常取為近似值 的，記作 ，*re*x*e*exxxx稱*rexxexx第34頁(yè)/共62頁(yè)事實(shí)上，當(dāng) 較小時(shí)*reex 22*1exxeexeexxx xxxeex是 的二次方項(xiàng)級(jí),故可忽略不計(jì).*re相應(yīng)地，若正數(shù)r滿足*rxxx 則稱 為 的相對(duì)誤差限。rx第35頁(yè)/共62頁(yè)3 、有效數(shù)

14、字定義：如果nxx1021*則說(shuō) 近似表示 準(zhǔn)確到小數(shù)后第 位，并從這由上述定義410211416. 35102114159. 3*xxn第 位起直到最左邊的非零數(shù)字之間的一切數(shù)字都稱為并把有效數(shù)字的位數(shù)稱為。n第36頁(yè)/共62頁(yè)定義 :1*112101010nmnxaaa *也即，若*11102mnxx 有 位有效數(shù)字。n*x其中， 是1到9中的一個(gè)數(shù)字； 是0到9中一個(gè)數(shù)字； 為整數(shù)，且 1a2naam若近似值 的誤差限是某一位的半個(gè)單位,*x該位到 的左邊第一位非零數(shù)字共有 位,*xn就說(shuō) 有 位有效數(shù)字。*xn第37頁(yè)/共62頁(yè)取 作 的近似值， 就有三位有效數(shù)字；*3.14x *x取

15、 作 的近似值， 就有五位有效數(shù)字。*3.1416x *x第38頁(yè)/共62頁(yè)4 、誤差限與有效數(shù)字的關(guān)系 則 至少具有 位有效數(shù)字。Th1.1： *xn對(duì)于用 式表示的近似數(shù) ，若 具有 位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限為反之，若 的相對(duì)誤差限為 *xn*x1*11102nra *x1*11102(1)nra 第39頁(yè)/共62頁(yè)Th1.2： *1210.10mnnxx xx x設(shè)反之,若 的相對(duì)誤差的絕對(duì)值大于 ，*x1102n其中 為整數(shù), 為正整數(shù), 。n10 x m有 位有效數(shù)字。n則 至多*x若 至多有 位有效數(shù)字,即 是有效數(shù)字,nx*xn而 不是有效數(shù)字,1nx則 的相對(duì)誤差的絕對(duì)值必大

16、于 ;11102n *x第40頁(yè)/共62頁(yè)證明：1nx不是有效數(shù)字 反之,若 則 *1102nrxxx *rxxx 1*1102m nx 1110210m nm 11102n *1102nxxx1110102nm11102m n 11102mn1nx不是有效數(shù)字， 即 至多有 位有效數(shù)字. *xn第41頁(yè)/共62頁(yè)、*1x*2x*1x*2x*1212xxxx *121221x xxxxx*1221*1222*2/0 xxxxxxxx第42頁(yè)/共62頁(yè)、當(dāng)自變量有誤差時(shí)，計(jì)算函數(shù)值也會(huì)產(chǎn)生誤差，其誤差限可利用函數(shù)的Taylor展開式進(jìn)行估計(jì)。設(shè) 是一元函數(shù)， 的近似值為 ,以 近似 ，其誤差限記

17、作 ，可用Taylor展開 f xx*x*f x f x*f x 2*2ff xf xfxxxxx *, x x *2*2ff xf xfxxx 第43頁(yè)/共62頁(yè)假定 與 的比值不太大,可忽略 的高階項(xiàng),于是可得計(jì)算函數(shù)的誤差限為*fx*fx*x *f xfxx 當(dāng) 為多元函數(shù)時(shí)計(jì)算 ,如果f12,nAf x xx12,nx xx的近似值為 ,則 的近似為*12,nx xxA*12,nAf xxx于是函數(shù)值 的誤差 由Taylor展開,*A*e A第44頁(yè)/共62頁(yè)*1;nkkkfAxx*A*1.kkrrkkAxfAxAA *1212,nne AAAf x xxf x xx*12*11,nn

18、nkkkkkkkf x xxfxxexx第45頁(yè)/共62頁(yè)l*110lmd*80dm*0.2llm*0.1ddmSld *,SSSldld*80 ,110 ,SSdmlmld,SSSlddlld第46頁(yè)/共62頁(yè) *0.2 ,0.1 ,lmdm*2280 0.2 110 0.127;Smm*270.31.8800rSSSl dS第47頁(yè)/共62頁(yè)1.要使用數(shù)值穩(wěn)定的算法例：求10(0,1,2,8)5nnxIdx nx解：由于nxxxxIInnnnn1dxdn5551011011初值)2 . 1ln(5ln6lndx51100 xI第48頁(yè)/共62頁(yè)遞推公式)8, 2, 1(,51)2 . 1l

19、n(10nInIInn按公式就可以逐步算出09. 05101II05. 052112II083. 053123II165. 054134II025. 155145II952. 456156II注意此公式精確成立What happened?!不穩(wěn)定的算法 ！第49頁(yè)/共62頁(yè)由題設(shè)中的遞推公式可看出， 的誤差擴(kuò)大了1nI5倍后傳給 ，因而初值 的誤差對(duì)以后各步nI0I這就造成 的計(jì)算結(jié)果嚴(yán)重失真。4I計(jì)算結(jié)果的影響，隨著 的增大愈來(lái)愈嚴(yán)重。n第50頁(yè)/共62頁(yè)可求得I9 0.017，按改寫后的公式可逐次求得不妨設(shè)I9 I10，于是由10951501II) 1 , 1,( 51511nnkIkIk

20、knIInn151將公式變?yōu)榈?1頁(yè)/共62頁(yè)I8 0.019 I7 0.021I6 0.024 I8 0.028I4 0.034 I3 0.043I2 0.058 I1 0.088I0 0.182 穩(wěn)定的算法 ！ 在我們今后的討論中，誤差將不可回避， 算法的穩(wěn)定性會(huì)是一個(gè)非常重要的話題。第52頁(yè)/共62頁(yè)2.要避免兩個(gè)相近的數(shù)相減在數(shù)值計(jì)算中，兩個(gè)相近的數(shù)作減法時(shí)有效數(shù)字會(huì)損失。例: 求xxy1的值。當(dāng)x = 1000，y 的準(zhǔn)確值為0.01580 (1)、直接相減02. 062.3164.3110001001y第53頁(yè)/共62頁(yè)類似地 yxyxlnlnln2sin2cos2sin)sin(

21、xxx(2) 將原式改寫為xxxxy111則 y = 0.01581 第54頁(yè)/共62頁(yè)3.盡量避免絕對(duì)值太小的數(shù)作分母例：2 .2718001. 07182. 2如分母變?yōu)?.0011，也即分母只有0.0001的變化時(shí)1 .24710011. 07182. 22718.22471.1247.1第55頁(yè)/共62頁(yè)4. 避免大數(shù)吃小數(shù)精確解為110291 x,x 算法1：利用求根公式aacbbx242010) 110(992xx第56頁(yè)/共62頁(yè)在計(jì)算機(jī)內(nèi)，109存為0.11010，1存為0.1101。做加法時(shí)，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對(duì)齊，再將浮點(diǎn)部分相加。即1 的指數(shù)部分須變?yōu)?010，則：1

22、 = 0.0000000001 1010，取單精度時(shí)就成為： 109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010024,102422921aacbbxaacbbx第57頁(yè)/共62頁(yè)算法2：先解出9211024)( aacbbsignbx再利用11010991221 xacxacxx求和時(shí)從小到大相加，可使和的誤差減小。例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計(jì)算1 + 2 + 3 + + 40 + 109第58頁(yè)/共62頁(yè)5. 簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，避免誤差積累。一般來(lái)說(shuō)，計(jì)算機(jī)處理下列運(yùn)算的速度為 exp ,例：多項(xiàng)式求值：給定的x 求下列n 次多

23、項(xiàng)式的值。 nnxaxaxaaxP2210)(解：1. 用一般算法，即直接求和法； 2. 逐項(xiàng)求和法；3. 秦九韶方法；第59頁(yè)/共62頁(yè)算法的遞推性計(jì)算機(jī)上使用的算法常采用遞推化的形式，遞推化的基本思想是把一個(gè)復(fù)雜的計(jì)算過程歸結(jié)為簡(jiǎn)單過程的多次重復(fù)。這種重復(fù)在程序上表現(xiàn)為循環(huán)。遞推化的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)和節(jié)省計(jì)算量。第60頁(yè)/共62頁(yè)例：用秦九韶方法求多項(xiàng)式543200833. 004167. 016667. 05 . 01)(xxxxxxP解： Ka5-KvK00.008330.00833v0 = a510.041670.04v1 = v0 x+a420.166670.15867v2 = v1x+a330.50.46827v3 = v2x+a2410.90635v4 = v3x+a1510.81873v5 = v4x+a0第61頁(yè)/共62頁(yè)感謝您的觀看！第62頁(yè)/共62頁(yè)