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2、 差分方程 對連續(xù)型變量而言，我們常常導致到微分方程的問題. 對離散型變量將導致另一類的問題. 一、差分的定義 定義 設是一個函數(shù), 自變量從x變化到x+1, 這時函數(shù)的增量記為 , 我們趁這個量為在點x步長為1的一階差分,簡稱為的一階差分. 為了方便我們也記,即 . 稱為二階差分,簡記為. 同樣記為,并稱為三階差分. 一般記,稱為n階差分.且有. 性質: 當a,b,C是常數(shù),

3、yx和zx 是函數(shù)時, (1) Δ(C)=0; (2) Δ(Cyx)= CΔ(yx); (3) Δ(ayx+ b zx)= aΔyx+ bΔ zx ; (4) Δ(yx zx)= zx+1Δyx+yx Δ zx = yx+1Δzx+zx Δyx; (5) . 例　已知求Δ(yx). 解 Δ(yx)= . 特別, 當n為正整數(shù)時, Δ(yx)= , 階數(shù)降了一階. 推論 若m, ,n為正整數(shù)時, m,> n P(x)為n次多項式,則. 例　已知求Δ(yx). 解 Δ(yx)= . 二、差分方程 定義 設是含有未知函數(shù)差分的等式，稱為差分方程。 它的一般形式

4、為或， 其中F, G是表達式，x是自變量. 使等式成立自變量的取值范圍稱為該方程的定義域. 的方程，也稱為n階差分方程. n為方程的階. 形如 （14-7-1） 稱為n階線性差分方程.. 時為齊次的. 為非齊次的. 差分方程是含有未知函數(shù)及其導數(shù)的方程, 滿足該方程的函數(shù)稱為差分方程的解．對于一階差分方程來說，它的含有一個任意常數(shù)的解，稱為此微分方程的通解．一般來說，對于n階差分方程，其含有n個互相獨立的任意常數(shù)的解稱為差分方程的通解．不含有任意常數(shù)的解稱為差分方程的特解．同微分方程一樣椰油初值問題. 初值條件也有如下情形: 一階的如: .二階的如: ,等等. 對于線性差分方

5、程的解的結構有如下結論. 定理 如果和都是方程（14-7-1）的解，則對任意常數(shù)C1, C2, 也是方程（14-7-1）的解． 定理 設 ，是 的n個線性無關的特解，則是它的通解. 定理 設 ，是齊次方程 的n個線性無關的特解，是非齊次方程 的一個特解,則是非齊次方程的通解. 定理 設，是方程 的解， 是方程 的解,則是方程 的解. 本書著重研究一階和二階常系數(shù)的差分方程. 三、一階常系數(shù)的差分方程 一階常系數(shù)的差分方程是 (常數(shù)p≠0). （a）當，設是其齊次方程的解, 即 , 所以 r=p . 那么有通解(C為任

6、意常數(shù)) 例 求差分方程的通解. 解 事實上原方程是所以其通解為 (C為任意常數(shù)).. （b）當，用待定系數(shù)法求其特解. (i) 如果(n次多項式),則非齊次方程為 . 若 p=1, 即 , 那么可以是n+1次多項式.,相減時常數(shù)項和最高次數(shù)相被消去, 所以可以設, 代入方程后,比較系數(shù)確定便得到一個特解. 若 p≠1, 最高次數(shù)相不可能被消去, 所以可以設有特解 , 同樣代入方程后,比較系數(shù)確定便得到一個特解.. (ii) 如果(是n次多項式,λ是常數(shù)),則非齊次方程為 . 為了求之一個特解,分兩步: 第一步, 令 ,代入方程得 , 它等價于.

7、 第二步, 用(i)的方法. 總之,對這種情況,可以直接設其特解為,其中當p≠λ時, s=0 , 當p=λ時, s=1 . 例 求差分方程 的通解. 解 顯然其齊次方程的通解為(C為任意常數(shù)). 設其特解為, 所以有, 從而得b=-7. 因此,原方程的通解為. 四、二階常系數(shù)的差分方程 這里討論的是這樣的方程: (p ,q是常數(shù)). 先給結論 . 定理 是方程 (16-7-2) 的解的充分必要條件r為方 程 (16-7-3) 的根 (讀者自己證明). (16-7-3))稱為原方程的

8、特征方程. 下面分步討論. （a）當， 如果 , 即其特征方程有兩個不同實根,記為. 注意到是線性無關的, 所以(16-7-2)有通解, (是任意常數(shù)). 如果, 即其特征方程有兩個相同實根,記為.,可以驗證是(16-7-2)的線性無關的特解. 所以(是任意常數(shù))是(16-7-2)的通解. 如果 ,因 p, q是實數(shù), 即其特征方程有兩互為共軛的復根, 記為,記為 . 可以驗證是(16-7-2)的線性無關的特解. 所以(是任意常數(shù))是(16-7-2)的通解 . 例 求的通解. 解 其特征方程, 有根 -1, -3 . 原方程有通解 (是任意常

9、數(shù)) 例 求的通解. 解 其特征方程, 有根 -2i, 2i . 原方程有通解 , (是任意常數(shù)). （a）當，同一階相似,只要求其一個特解即可. (i) 如果(n次多項式),注意到可以寫成 . 若, 令特解為. 若,令特解為 . 若,令特解為 . 將特解代入原方程,再比較系數(shù)確定便得到一個特解.. 例 求的通解. 解 前例已知其齊次的通解,故只需求一個特解. 令,代入的,所以它的通解為 , (是任意常數(shù)). (ii) 如果(是n次多項式,λ是常數(shù)),則非齊次方程為 . 可以直接設其特解為

10、,其中當λ不是其特征方程的根時, s=0 , 當λ是其特征方程的單根時, s=1 ; 當λ是其特征方程的重根時, s=2. 例 求的通解. 解 令, , 所以, 所以其通解 , (是任意常數(shù)). 習題 14-7 1．求下列函數(shù)的一階和二階差分 1）； 2）； 3）； 4）； 5）。 2．求下列差分方程的特解 1）； 2）； 3）； 4）； 3．求下列差分方程的通解 1）； 2）； 3）； 4）； 4．求下列差分方程的通解和特解 1）； ； 2）；； 3）；； 4）；.