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1、2. 2綜合法與分析法
1. 理解綜合法和分析法的實質(zhì),掌握分析法、綜合法和證明不等式的步驟
2. 了解用分析法證明不等式.
3. 了解用綜合法證明不等式.
4. 提高綜合應用知識解決問題的能力.
1. 綜合法.
而得岀命題成
一般地,從已知條件岀發(fā),利用定義、公理、定理、性質(zhì)等,經(jīng)過一系列的推理,論證
立,這種證明方法叫做. 又叫順推證法或 ?
答案:綜合法由因?qū)Ч?
2. 分析法.
證明命題時,我們還常常從要證的 岀發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至
所需條件為 或一個明顯成立事實(定義、公.理或已證明的定理、性質(zhì)等),從而得
岀要證的命題成立,這
2、種證明方法叫做 .這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法.
答案:結(jié)論已知條件分析法
h
思考1 a, b都是正數(shù).用綜合法證明:二+-$2.
b a
證明:由基本不等式 A+BA2y[AB(A, BWR+)可得》+#》2\A彳? #=2,即彳+#22.當 且僅當a=b時,等號成
思考2已知a, b,皿都是正數(shù),并且a韌,(3)要證(3),只需證,(4)
已知⑷成立,所以⑴成立.答案:Z? (a+ffl ) b>a
3.綜合法與分析法的比較.綜合
3、法與分析法的比較
1方法
證明的起始步驟
求證過程
求證目標
證題方向
綜合法
基本不等式或已經(jīng)
證明過的不等式
實施一系列的推出
或等價變換
要求證的結(jié)論
由因?qū)Ч?
分析法
要求證的不等式
尋求結(jié)論成立的充 分條件,并證明 這個充分條件成
所需條件全部成立
執(zhí)果索因
'報分層演條
日園園因
1. 分析法證明不等式中所說的“執(zhí)果索因”是指尋求使不等式成立的()
A. 必要條件B.充分條件
C.充要條件D.必要或充份條件
答案:B
2. 若x>y>l, 0d B. log x>log』
a
4、_ a
C. x A>BD. A2, ”是“日>1, b>r成立的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.即不充分也不必要條件
解析:當$>1,方>1時,兩式相加得a~\~b>2,兩式相乘得ab>\.反之,當日+方>2,
5、日方>1時,日>1,
方>1不一定成立.如:日=* '方=4也滿足日+方>2, ab=2>l,但不滿足 日>1,方>1.
答案:B
6. 若 1
6、$D. abc(a+ Z?+ c)
解析:因為 a ljA2ab, a + cA2ac, I J ~\~cA2bc,將三式相加得 2 +c2)A2ab
1
+ 2 方 c+2&c 所以 /+ 乃 + 又因為(&+ b~\- c) — a + 方$ + c +2&方+2 方 c+2 臼 c,所以(&+ b
+ c)空 1+2X1 = 3.
答案:B
8. 設db,方>0, N=a+b,則於與N的大小關系是 ?
答案: MAN
9. 若 b, c 是不全相等的正數(shù),求證:
a+b b+c c+a
lg ■刁一+ lg-+lg-A — >|g 日十 |g b+lg c.
證
7、明:證法一 (綜合法)
V a, b, CUR*,
葦空窈>0, 矗>0, £嚴》寸£>0,且上述三個不等式中等號不能同時
成立,
.a+b b+ c c~\~a
> abc.
a~\~b b~\~c c~\~a
??」莒£ +壓2十隹2 >lg日+噸c.
證法二 (分析法 )
a~\~b b+c c~\~ a
a?\~ b b?\~
9 c c~\~ a >lg ab*
1 g 2 +1 g 2 +1 g 2 > 1 g a+lg 方 + lg 占
a~\~b b~\~c c~\~ a
> abc.
因為號'三乂窈〉0,號工矗> 0,號且以上三個不等式中等號不能
8、同 時成立,所以Y ?字?守〉&比
成立,從而原不等式成立.
10. 設b, c均為正數(shù),且 a+ b+c=l,求證:
(1) ab+ bc+ caA~ ;
z J』_ d ⑵-+-+-A|.
b c a
證明:⑴由 a !jA2ab, Z?2~\~cA2bc, c ~\~aA2ca 得 a cA- ab~\~ bc~\~ ca.
由題設得(日+方+c)2=l,
即 a 1} + c + 2<3Z?+ 2 bc~\~ 2ca— 1.
所以 3 @方 + bc~\~ ca) W1,即 ab~\~ bc~\~ ca"?.
舟 甘 d
(2) 因為耳 + 於 2 日,—+Q2
9、方,一-+aA2c, b c a
2/2 2
故三 +— +a+ (日 +方+c) 22 @+方+c),
b c a
2/2 2 即三 +—+旦 $ a+ b+ c.
b c a
2 72 2
所 A4 + -+-Ai-
b c a
匡Han
11. ⑴設x$l, yA|,求證:滅+計丄三丄+丄+刃;
xy x y
(2)l〈 &WZ?Wc,求證:loga b+logb c+logc log/, <3+log c Z?+log a c.
2
證明:(1)由于 心 1,所以 K+ — A-+-+Ajry(A+ K) +lAy+jr+ (x" , xy x y
將上式
10、中的右式減左式,得[y+x+ {xy) ] — \_xy(Ax+y) +1] = [(Ay) 2 — 1] — \_xy"x+y) — (x+
力]=(AJ+1)(刃一 1) — {x+y)(刃一 1)=(刃一 1) (xy — x— y+1)=(刃一 1) (x — 1) (y — 1) ?
又 xMl, yA|,所以 Oy — 1)(T — 1) (y — 1) "0,
從而所要證明的不等式成立.
(2)設logab.= x, log/, c=y,由對數(shù)換底公式得
1 1 1
log。log ” log。r , log. c=xy.
于是,所要證明的不等式.即為x+ y+丄£
11、丄+丄+ xy,
xy x y
其中 X=10ga 方$1,尸 10gb C$1.
故由(1)知所要證明的不等式成立.
12. 給定常數(shù)c>0,定義函數(shù)f{x) =2 1 x+ c+4 1 — | x+ c\,數(shù)列&i, a2,日3…滿足&卄1 = /*&), TJGN*
⑴若 & = — c — 2,求&2及&3;
(2)求證:對任意 77GN*, an+\ — anAc.
解析:因為c>0, N = — (c+2),故
日 2 = f@i) =21 <91 +c+41 — | =2,
&3=f@i) =21 日 2+c+41 — | &2+cl =c+10.
(2)要證
12、明原命題,只需證明 A A) aX+C對任意/WR都成立,
fAx) c02 I x~\~ c+41 — | x+ c I Ax+ c,
即只需證明 21 x~\~ c+41 2 I +x+ c,
若x+cWO,顯然有
2 | x+c+41 三 | x+c\ +x+c=0 成立;
若x+c>0則
21 x+ c+41 2 I x+c\ + x+ cAx+ c+ 4>x+ c 顯然咸立.綜上,/*(x)2x+c 恒成立,
即對任意的77AN*, &小一 ah c.
13. 設實數(shù)數(shù)列念2的前77項和$,滿足$+尸如ASWN* ),(利用綜合法和分析法) 4
求證:對£23有0W
13、越
證明:由題設條件有 S+ a n+i = a n+iSn,
故 0+1 Hl 且日卄 1= °, Sn= ,
bn丄 &n+1丄
從而對有
$-1 型-1 + Sk-2
ak —
—1 Sk-2 — 1
+ — 1
一越i +1 °
因云-1 —越一一 i+1 —(念-1 —診尸+ 丁〉。且£一■ 1上0,由①得鳥$0.
1型一 i
即證 3£_IW4&_ I —越-1 + 1)+艮卩(越
—1 — 2)空0.此式明顯成立.
4
因此A-(A3).即原命題成立.
14. (2015 ?新課標全國卷II,數(shù)學文理)設b, c, 〃均為正數(shù),且a+ b= c+
14、d.證明:
⑴若 ab> cd,貝]\y|A+y[b>y[c+\[c/ ; (2)y[a+y[b>y[c+y[dA \ a — 的充要條件.
分析:⑴由a+b= c+d及ab>cd,可證明
2
(y[a+y[b) > (A[c+\[c/) \ 開方即 Ay[a+\[b>y[c+y[d.
(2)本小題可借助第…問的結(jié)論來證明,但要分必要性與充分性來證明 解析:(1)因為(y[a+y[b) 由題設 a+b= c+d, at)>cd,
⑵①若 | a~b\ < | c~d\,
d,所以血cd,由⑴得
②若寸寸寸 2,則(r\[a+y[tf) b= c+ d,所以 ab>cd.
2
15、
=a+b+ 2y[ab, (y[c+y[c/) = c+d+ 2y[cd 9
2 2
得(y[a+y[i) >(r\[c+y[d),因此需 + 訓〉匹
則(& —方)2〈(c—???,即(A+Z?)2— 4a/K(c+ d)
4cd
因為a+b =c+
2
> (y[c+y/~A 即 a~\~ b~\~ 2y[ab> c+ d+ 2yl~cc/,
因為日+
,綜 _Ey[a+
于是 ?-方 T= (a+Z?)2— 4aZK (,c+(J) 2—4cd= (c — d) 21,因此 | a y[b>y[c+\[dA \a~b\< \ c — 的充要條件.
總與*h轄)
16、
i. 綜合法是從已知條件或基本不等式出發(fā),運用不等式的有關性質(zhì)推導出所要證明的 不等式,
證明思路是“由因?qū)Ч?綜合法證明不等式,要揭示岀條件與結(jié)論間的因果聯(lián)系 ,為此要著力分析
已知與求證間,不等式左、右兩端的差異與聯(lián)系,合理變換、恰當選擇已知 不等式是證明的關鍵.尋
找啟動不等式是綜合法的難點.常用不等式有:(l)a2$0(aWR);
怡 + ”2 1
(2) (& —方)2 三 0(&,方 GR),其變形有舟七甘 A2ab, [ ? J 鼻訪,52+Z?2a-(<3+Z?) 2 ; (3)若
方 WR+, —A — "Tab,特別的有'+ 蜀2; (4)a2+z?2 +c
17、Aab+ bc+ ca{a, b, cWR).
Z <3 b
2. 分析法就是從求證的不等式出發(fā),執(zhí)果索因,找出使這個不等式成立需具備的充分 條件,
直至能肯定所需條件已經(jīng)具備 . 證明的關鍵是推理的每一步都必須可逆 . 對思路不明 顯,從條件看感 到無從下手的問題宜用分析法 .
用分析法證明“若〃則的模式為:
欲證命題 B 成立, 只需證命題 Bi 成立
只需證命題 B 成立
只需證明力為真 .
今已知力為真,故 B 必真 .
可以簡單寫成:
. .. =B” =A.
3. 證明時省略掉“要證明”和“只需證明”的字樣,就會顛倒因果關系而犯邏輯上的 根本錯
誤,
18、但可用“曰‘取代那些必要的詞語 . 應予以足夠重視 .
4. 分析法和綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法,分■析法的特點是利于思考,因為其方向明 確,
思路自然,易于掌握 . 綜合法的優(yōu)點是宜于表述、條理清楚、形式簡潔 . 證明時常用分 析法探索證明 途徑,后用綜合法的形式寫出證明過程,這是解數(shù)學問題的一種重要思想方 法. 分析與綜合互為前
提,相互滲透,分析的終點是綜合的起點,綜合的終點又成為進一步 分析的起點,分析法和綜合法 要結(jié)合. 起來使用,也就是“兩頭湊”,會使問題較易解決 .即 在分析過程中有時進行到一定步驟不 易進行下去,就要從已知條件出發(fā),進行推理, .直至 綜合法推出的結(jié)論與分析法追溯的 A5 分條件 同一為止,從而證明了不等式 .這種“由兩頭 往中間靠”的方法可稱為分析綜合法 .
5. 一般來說,如果已知條件信息量較小,或已知與待證間的直接聯(lián)系不明顯,“距離” 較
大,用分析法來證明 .