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1、高中數學必修三 第三章3.3幾何概型教學設計 一，教材分析 本節(jié)課是新教材人教版必修3第三章第三節(jié)的第一課，它在課本中的位置排在古典概型之后，在概率的應用之前.我認為教材這樣安排的目的，一是為了體現幾何概型（3.31）和古典概型的區(qū)別和聯系，在比較中鞏固這兩種概型；并引入了均勻隨機數的產生（3.32）二是為解決實際問題提供一種簡單可行的概率求法，在教材中起承上啟下的作用. 教材首先通過實例對比概念給予描述,然后通過均勻隨機數隨機模擬的方法的介紹,給出了幾何概型的一種常用計算方法.與本課開始介紹的P(A)的公式計算方法前后對應,使幾何概型這一知識板塊更加系統(tǒng)和完整. 這節(jié)內容中的例題既通

2、俗易懂,又具有代表性,有利于我們的教與學生的學.教學重點是幾何概型的計算方法,尤其是設計模型運用隨機模擬方法估計未知量;教學難點是突出用樣本估計總體的統(tǒng)計思想,把求未知量的問題轉化為幾何概型求概率的問題. 二，學情分析 通過最近幾年的實際調查發(fā)現，學生在學習本節(jié)課時特別容易和古典概型相混淆，把幾何概型的“無限性”誤認為古典概型的“有限性”.究其原因是思維不嚴謹，研究問題時過于“想當然”，對幾何概型的概念理解不清.因此我認為要在幾何概型的特征和概念的理解上下功夫，不要浮于表面. 另外，在解決幾何概型的問題時，幾何度量的選擇也是需要特別重視的，在實際授課時，應當引導學生發(fā)現規(guī)律，找出適當的方

3、法來解決問題. 前面學生在已經掌握一般性的隨機事件即概率的統(tǒng)計定義的基礎上，又學習了古典概型。在古典概型向幾何概型的過渡時，以及實際背景如何轉化為長度比、面積比、體積比時，會有一些困難。但只要引導得當，理解幾何概型，完成教學目標，是切實可行的。根據學生的狀況及新課程標準，對教材作了如下處理：開頭的兩個問題，學生獨立思考，說出結果，師生共同糾正。之后的探究處理成演示試驗，以強化數學知識實際背景與形成過程，便于激發(fā)學生的學習興趣，加深對知識的理解與應用。例題、習題的選用，盡可能選用與日常生活息息相關的例子。 考慮到突出重點和化解難點的需要，在練習環(huán)節(jié)根據教材和學生的實際，適當改造和增補例題，并設

4、計成不同形式，逐步提高思維的層次，使一般學生都能熟練掌握要求的內容，學有余力的學生能得到進一步的加深。 三，教學目標 1．知識目標 ①通過探究，讓學生理解幾何概型試驗的基本特征，并與古典概型相區(qū)別； ②理解并掌握幾何概型的定義； ③了解幾何概型的概念及基本特點；熟練掌握幾何概型中概率的計算公式；會進行簡單的幾何概率計算. 2．過程與方法： （1）利用ＰＰＴ讓學生從熟悉的圖片中產生對問題的積極思考。 （2）經歷思維，探究知識的建構過程，并在師生、生生的交流與思維的碰撞的過程中，學生發(fā)現了幾何概型計算方法。 （3）教師例題引導，學生獨立完成練習并由小組交流推薦回答，提高表達能力。

5、 （4）鞏固知識形成解題方法。 3．情感目標： ①讓學生了解幾何概型的意義，加強與現實生活的聯系，以科學的態(tài)度評價身邊的一些隨機現象； ②通過學習，讓學生體會生活和學習中與幾何概型有關的實例，增強學生解決實際問題的能力；同時，適當地增加學生合作學習交流的機會，培養(yǎng)學生的合作能力. 4.能力目標： 培養(yǎng)學生的分析能力和抽象概括能力；滲透轉化、數形結合等思想方法；提高解決實際問題的能力 四．教學重點： 正確理解幾何概型的定義、特點；掌握幾何概型中概率的計算公式；會進行簡單的幾何概率計算. 五，教學難點： ①根據古典概型與幾何概型的區(qū)別，來判斷一個試驗是否為幾何概型②幾何概型的應

6、用 , 將求未知量的問題轉化為幾何概型求概率的問題，準確確定幾何區(qū)域D和與事件A對應的區(qū)域d，并求出它們的測度。 六．教學方法： 根據上面對教材的分析，并結合學生的認知水平和思維特點，本節(jié)課我采用以下教學方法. 教法方面：采用啟發(fā)式、討論式以及講練結合的方式，通過問題激發(fā)學生求知欲，使學生主動參與數學實踐活動，以獨立思考和相互交流的形式，在教師的指導下發(fā)現、分析和解決問題. 學法方面：在引導學生分析時，鼓勵學生大膽質疑，圍繞中心各抒己見，留出思考時間和空間，讓學生去聯想、探索，從而弄清思路和解決問題. 七，設計思想： 提供必要的概率統(tǒng)計數學基礎; 激發(fā)學生的數學學習興趣，形成積極主

7、動的學習方式; 突出數學的人文價值，提高學生的數學文化品味; 注重信息技術與數學課程內容的整合；學生成為課堂學習的主體，教師成為課堂上的主持人，把思考，討論，研究的時間還給學生，成為獨具慧眼的發(fā)現者，善于發(fā)現學生的長處，成為熱情的觀眾，精彩時報以掌聲，給予充分的肯定，失誤時，評論切磋，提出中肯的意見。 前面已經學習過了第二章統(tǒng)計和第三章概率的前兩節(jié)內容，概率是研究隨機現象規(guī)律的學科，它為應用數學解決實際問題提供了新的思想和方法，同時為統(tǒng)計學的發(fā)展提供了理論基礎。由于概率統(tǒng)計的應用性強，有利于培養(yǎng)學生的應用意識和動手能力，在數學課程中，加強概率統(tǒng)計的份量成為必然。“幾何概型”這一節(jié)就是新增加的

8、內容，是安排在“古典概型”之后的第二類概率模型，是對古典概型內容的進一步拓展，是等可能事件的概念從有限向無限的延伸，同時也更廣泛地滿足了隨機模擬的需要。幾何概型的關鍵是建立合理的幾何模型解決相關概率問題，通過建立基本事件與相應元素的對應，達到求解相關概率問題的目的，體現了數形結合的數學思想，是概率問題與幾何問題的一種完美結合 本節(jié)內容極能體現新課程理念，可以成為“知識與技能、過程與方法及情感態(tài)度價值觀”三個緯度目標有機融合的重要載體，從而實現三位一體的課程功能。 八．教學過程： （注意緊扣教材內容教學，以教材內容為主題，其他擴充內容為輔） （一）創(chuàng)設情景，引入新課 引例1 北京奧運會

9、圓滿閉幕，某玩具廠商為推銷其生產的福娃玩具，擴大知名度，特舉辦了一次有獎活動：顧客隨意擲兩顆骰子，如果點數之和大于10，則可獲得一套福娃玩具，問顧客能得到一套福娃玩具的概率是多少？ 設計意圖：復習鞏固古典概型的特點及其概率公式，為幾何概型的引入做好鋪墊. 引例2 廠商為了增強活動的趣味性，改變了活動方式，設立了一個可以自由轉動的轉盤（如圖1）轉盤被等分成8個扇形區(qū)域.顧客隨意轉動轉盤，如果轉盤停止轉動時，指針正好指向陰影區(qū)域，顧客則可獲得一套福娃玩具.問顧客能得到一套福娃玩具的概率是多少？ 設計意圖： 1．以實際問題引發(fā)學生的學習興趣和求知欲望； 2．以此為鋪墊，通過具體問題情境

10、引入課題； 3．簡單直觀，符合學生的思維習慣和認知規(guī)律. 問題提出后，學生根據日常生活經驗很容易回答：“由面積比計算出概率為1/4.” 提問：為什么會想到用面積之比來解決問題的呢？這樣做有什么理論依據嗎？ 學生思考，回答：“上一節(jié)剛學習的古典概型的概率就是由事件所包含的基本事件數占試驗的基本事件總數的比例來解決的，所以聯想到用面積的比例來解決.” 教師繼續(xù)提問：這個問題是古典概型嗎？ 通過提問，引導學生回顧古典概型的特點：有限性和等可能性.發(fā)現這個問題雖然貌似古典概型，但是由于這個問題中的基本事件應該是“指針指向的位置”，而不是“指針指向的區(qū)域”，所以有無限多種可能，不滿足有限性這

11、個特點，因此不是古典概型. 也就是說，我們不能用古典概型的概率公式去解決這個問題，剛才我們的解答只是猜測.到這里，我們自然而然地需要一個理論依據去支持這個猜測，從而引入幾何概型的概念. （二）結合教材問題: 學生活動圖中有兩個轉盤.甲乙兩人玩轉盤游戲,規(guī)定當指針指向B區(qū)域時,甲獲勝,否則乙獲勝.同學們能在兩種情況下分別猜想甲獲勝的概率分別是多少嗎?請將你的結論先偷偷告訴同桌. 學生分組做游戲:同桌二人一組(自定甲乙)玩自制如上圖轉盤.記錄勝敗次數. 1、你最關心的目標是什么?(想獲勝的心理狀態(tài)) 2 、在字母B區(qū)域內的標準是什么?如何度量? 圓弧的長度。 3 、可否將剛才猜

12、想的結果用一個公式來表示?(具有幾何特征) 教師活動 教師利用ＰＰＴ展示圖片。教師分析學生的觀點，師生交流，理清思路，明確概念，正確表達。體會數學來源與生活又高于生活。 總結如下: 甲獲勝的概率與字母B所在扇形區(qū)域的圓弧的長度有關,而與字母B所在區(qū)域的位置無關.因為轉轉盤時,指針指向每個圓弧上的哪一點都是等可能的.只要字母B所在的扇形區(qū)域的圓弧長度不變,不管這些區(qū)域是相鄰,還是不相鄰,甲獲勝的概率是不變的. 學生活動 學生結合教材130頁回答與教師的引導進行補充與改正。 教師活動 針對學生體表的回答教師采用ＰＰＴ課件，在總結時關注數學語言的規(guī)范性和精確性讓學生體驗問題的幾何性。

13、 (三).幾何概型的定義： 教師活動 1、 如果每個事、件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱為幾何概型. 2、幾何概型的特點: (1)試驗中所有可能出現的結果(基本事件)有無限多個. 2、 (2)每個基本事件出現的可能性相等. 學生活動 學生對定義的闡述與修正。 設計意圖 檢驗學生的概括能力與自學水平，準確表達幾何概型的定義，反映數學的類比思想。學生體驗到探究的樂趣與數學表達的科學性與簡煉，體會數學化。 (四).幾何概型概率的計算公式： 教師活動（板書） 學生活動 思考：1、引例2概率如何用公式表達？

14、 3、 轉盤問題中若是改為“現在向該圓形區(qū)域內隨機地投擲一石子，求石子落在B區(qū)域內的概率？ 設計意圖 類比古典概率的計算方法，給出了計算公式，教師通過思考讓學生加深對公式的理解，特別是公式的適用范圍與問題特征，為其運用打下基礎 (五)討論研究 1.幾何概型的特征：無限性，等可能性； 2.幾何概型與古典概型關系：幾何概型是在古典概型基礎上進一步的發(fā)展，是等可能事件的概念從有限向無限的延伸. 3.判斷下列問題是不是幾何概型： ⑴拋擲一枚硬幣，觀察其出現正面或反面； ⑵某人射擊中靶或不中靶. 分析：因為 ⑴事件結果有限；⑵不是等可能的，均不滿足定義，所以兩個都不是幾何概型. （六

15、）教材例題講解與拓展 教材例1 某人午覺醒來,發(fā)現表停了,他打開收音機,想聽電臺報時,求他等待的時間不多于10分鐘的概率. 解:設A={等待的時間不多于10分鐘}.我們所關心的事件A恰好是打開收音機的時刻位于[50,60]時間段內,因此由幾何概型的求概率的公式得 即“等待的時間不超過10分鐘”的概率為 教材例 題2 假設你家訂了一份報紙,送報人可能在早上6:30~7:30之間把報紙送到你家,而你父親離開家去工作的時間在早上7:00~8:00之間,問你父親在離開家前能得到報紙(稱為事件A)的概率是多少. 分析:我們有兩種方法計算事件的概率

16、. (1)利用幾何概型的公式. (2)利用隨機模擬的方法. 解法1:如圖,方形區(qū)域內任何一點的橫坐標表示送報人送到報紙的時間,縱坐標表示父親離開家去工作的時間.假設隨機試驗落在方形內任一點是等可能的,所以符合幾何概型的條件.根據題意,只要點落到陰影部分,就表示父親在離開家前能得到報紙,即事件A發(fā)生,所以 解法2:設X,Y是0~1之間的均勻隨機數.X+6.5表示送報人送到報紙的時間,Y+7表示父親離開家去工作的時間.如果Y+7>X+6.5,即Y>X-0.5,那么父親在離開家前能得到報紙.用計算機做多次試驗,即可得到P(A). 教師引導學生獨立解答,充分調動學生自主設計隨機模擬方法,并組

17、織學生結合教材132頁例題2展示自己的解答過程,要求學生說明解答的依據.教師總結,并明晰用計算機(或計算器)產生隨機數的模擬試驗.強調:這里采用隨機數模擬方法,是用頻率去估計概率,因此,試驗次數越多,頻率越接近概率. 教材例3. 如圖,在正方形中隨機撒一大把豆子,計算落在圓中的豆子數與落在正方形中的豆子數之比,并以此估計圓周率的值. 解:隨機撒一把豆子,每個豆子落在正方形內任何一點是等可能的,落在每個區(qū)域的豆子數與這個區(qū)域的面積近似成正比,即 假設正方形的邊長為2,則 由于落在每個區(qū)域的豆子數是可以數出來的,所以 這樣就得到了π的近似值. 另外,我們也可以用計算器或計算機模擬,步驟

18、如下: (1)產生兩組0~1區(qū)間的均勻隨機數,a1=RAND,b1=RAND; (2)經平移和伸縮變換,a=(a1-0.5)*2,b=(b1-0.5)*2; (3)數出落在圓內a2+b2<1的豆子數N1,計算 (N代表落在正方形中的豆子數). 可以發(fā)現,隨著試驗次數的增加,得到π的近似值的精度會越來越高. 本例啟發(fā)我們,利用幾何概型,并通過隨機模擬法可以近似計算不規(guī)則圖形的面積. 讓同學們結合教材例題3進行理解 接下來請同學們把講過的例題認真理解一下，部分沒有講過的教材內容請同學們先自學然后提出問題來一起探究 拓展與練習（多媒體展示）： 例1.在集合M=｛x為實數|1≤x≤1

19、0｝中，求x>3.5的概率. 分析：因為x能取的值為無限個，且每個值被取得的可能性相等，所以此問題屬于幾何概型. 解：記“x>3.5”為事件A,則其幾何測度為區(qū)間長度，所以 P(A)=(3.5,10]的區(qū)間長度/[1,10]的區(qū)間長度=(10-3.5)/(10-1)=13/18. 答：x>3.5的概率為13/18. 例2.取一個邊長為2a的正方形及其內切圓（如圖2），隨機向正方形內丟一粒豆子，求豆子落入圓內的概率． 分析：由于是隨機丟豆子，故可認為豆子落入正方形內任一點的機會都是均等的，于是豆子落入圓中的概率應等于圓面積與正方形面積的比． 解：記“豆子落入圓內”為事件A，則

20、P(A)=圓的面積/正方形的面積=(Пa2 )/(4a2)=П/4. 答：豆子落入圓內的概率為П/4．　 思考練習（多媒體展示）: 練習1. 如圖6,將一個長與寬不等的長方形水平放置，長方形對角線將其分成四個區(qū)域.在四個區(qū)域內涂上紅、藍、黃、白四種顏色，并在中間裝個指針，使其可以自由轉動.對于指針停留的可能性，下列說法正確的是（ ） A．一樣大 B. 黃、紅區(qū)域大 C. 藍、白區(qū)域大 D. 由指針轉動圈數確定 設計意圖：通過與引例2對比，使學生發(fā)現這兩個問題選擇的正確幾何度量應該是“角度”，而不是“面積”.而引例2之所以用面積比也能解決問題，是因為其面積比恰好等于角度比. 提

21、出問題：如何才能找到最恰當的幾何度量呢？ 引導學生找問題中的“提示”.如問題3中在圓周上任意取點，因此選取弧長作為幾何度量是最恰當的方法. 教材練習2.如右下圖,假設你在每個圖形上隨機撒一粒黃豆,分別計算它落到陰影部分的概率 教材練習1 .有一杯1升的水,其中含有1個細菌,用一個小杯從這杯水中取出0.1升,求小杯水中含有這個細菌的概率. 設計意圖： 在練習1的基礎上，學生能通過練習2、3、4并結合例題１進一步明確了公式中的長度、面積、體積。本題可做為課內思考或課外同學或師生交流的問題。本題關注了“體積” （七）課堂小結： 課堂小結： 這個工作我準備交給學生去做。讓學生自

22、己總結：這節(jié)課你學到了什么？通過這節(jié)課你掌握了哪些方法？應該注意些什么問題？有哪些思想是在以后的學習中可以借鑒的等等，引導學生對這節(jié)課的內容加以鞏固深化. 主要內容應為：1.幾何概型的特點2.幾何概型的概率公式. （八）布置作業(yè)： 請同學們課后把教材習題3.3做一下，重點是A組題，不會做的做好標記下次課提出來大家一起解決。 3.公式的運用。 與教師共同總結，可以讓學生自行總結，并讓學生代表回答，教師最后用ＰＰＴ展示總結。 九，教學反思 本節(jié)課采用了類比的思維方式，讓學生明確古典概型與幾何概型的異同。在啟發(fā)式教學方式的引領下，以問題串的形式開啟學生思維之門。我認為本節(jié)課有以下五

23、個方面做得比較成功. 1．通過具體的問題情境引入，容易激發(fā)學生的學習興趣和求知欲. 2．通過與古典概型對比，產生矛盾，促使學生迫切想去探求解決問題的方法. 3．分解難度，將抽象的概念“解剖”，易于理解. 4．問題設置層層遞進，由淺入深，有層次、有目標地解決各個難點，符合學生的學習規(guī)律. 5．本節(jié)課中所體現的極限思想、類比思想、轉化思想等將會對學生的思維發(fā)展有所幫助。 6.教材例題講解教細，拓展練習具有代表性，題型新穎，難度適當。 十，板書設計 大體將黑板劃分為三個部分 黑板最上面最中間位置：標題：3.3幾何概型 黑板左半部分大體內容： 1.幾何概型概念及特征 2.幾何概型概率公式 黑板中間部分大體內容： 引例1 引例2 教材例題1例2例2例3 主要解法的步驟和說明 黑板最又部分： 打草稿 進行課后總結 課堂練習的講解 要布置的作業(yè) - 10 –