3、
在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線的頂點坐標為(2,0)，且經過點(4,1)，如圖，直線y=x與拋物線交于A、B兩點，直線l為y= –1.
（1）求拋物線的解析式;
（2）在l上是否存在一點P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出點P的坐標;若不存在，請說明理由。
（3）知F(x0,y0)為平面內一定點，M(m,n)為拋物線上一動點，且點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等，求定點F的坐標。
類型2 探究面積問題
（2018·遂寧）
（2018·玉林）
（2018·建設兵團）
25．（2018·東營）(本題滿分12分)
如圖，拋物線y
4、=a（a0）與x軸交于A、B兩點，拋物線上另有一點C在x軸下方，且使△OCA∽△OBC．
（1）求線段OC的長度；
（2）設直線BC與y軸交于點M，點C是BM的中點時，求直線BM和拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，直線BC下方拋物線上是否存在一點P，使得四邊形ABPC面積最大？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
25．(本題滿分12分)
解：（1）由題可知當y=0時，a =0
解得：x1=1，x2=3
則A（1,0），B（3,0）于是OA=1，OB=3
∵△OCA∽△OBC ∴OC∶OB=OA∶OC …………………2分
5、
∴OC2=OA?OB=3即OC=……………………………3分
（2）因為C是BM的中點
∴OC=BC從而點C的橫坐標為
又OC=，點C在x軸下方∴C…………………5分
設直線BM的解析式為y=kx+b，
(第25題答案圖1)
因其過點B（3，0），C，
則有
∴，
∴……………………5分
又點C在拋物線上,代入拋物線解析式，
解得a=……………………6分
∴拋物線解析式為：……………………7分
（3）點P存在.……………………8分
設點P坐標為（x，），過點P作PQx軸交直線BM于點Q，
則Q（x,）,
PQ=……………
6、………9分
當△BCP面積最大時，四邊形ABPC的面積最大
……………………10分
(第25題答案圖2)
當時，有最大值，四邊形ABPC的面積最大，…11分
此時點P的坐標為……………………12分
（2018·荊門）
25.（2018·黃石）（本小題10分）已知拋物線過點（3，1），D為拋物線的頂點.
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點B、C均在拋物線上，其中點B（0，），且∠BDC=90°，求點C的坐標；
（3）如圖，直線與拋物線交于P、Q兩點.
①求證：∠PDQ=90°；
②求△PDQ面積的最小值.
24.
7、（2018·恩施）如圖，已知拋物線交軸于、兩點，交軸于點，點坐標為，，，點為拋物線的頂點.
（1）求拋物線的解析式；
（2）為坐標平面內一點，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，求點坐標；
（3）若拋物線上有且僅有三個點、、使得、、的面積均為定值，求出定值及、、這三個點的坐標.
（2018·涼山州）
27.（2018·鹽城）如圖①，在平面直角坐標系中，拋物線經過點、兩點，且與軸交于點.
（1）求拋物線的表達式；
（2）如圖②，用寬為4個單位長度的直尺垂直于軸，并沿軸左右平移，直尺的左右兩邊所在的直線與拋物線相交于、兩點（點在點的左側），連接，在線段上方拋物
8、線上有一動點，連接、.
（Ⅰ）若點的橫坐標為，求面積的最大值，并求此時點的坐標；
（Ⅱ）直尺在平移過程中，面積是否有最大值？若有，求出面積的最大值；若沒有，請說明理由.
（2018·婁底）
28.（2018·白銀）如圖，已知二次函數的圖象經過點，與軸分別交于點，點.點是直線上方的拋物線上一動點.
（1）求二次函數的表達式；
（2）連接，，并把沿軸翻折，得到四邊形.若四邊形為菱形，請求出此時點的坐標；
（3）當點運動到什么位置時，四邊形的面積最大？求出此時點的坐標和四邊形的最大面積.
（2018·衡陽）
（2018·棗莊）
（201
9、8·寧波）
（2018·甘肅）
（2018·麗水）
22.（本題10分）
如圖，拋物線（a≠0）過點E（10,0）, 矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點A在點B的左邊），點C,D在拋物線上.設A(t,0)，當t=2時，AD=4.
（1）求拋物線的函數表達式.
（2）當t為何值時，矩形ABCD的周長有最大值？最大值是多少？
（3）保持t=2時的矩形ABCD不動，向右平移拋物線.當平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點G,H，且直線GH平分矩形的面積時，求拋物線平移的距離.
D
C
E
B
A
O
y
x
第22題圖
10、
（2018·內江）
類型3 探究特殊三角形的存在性問題
（2018·吉林）
（2018·沈陽）
（2018·安順）
（2018·德陽）
（2018·邵陽）
（2018·湖州）
（2018·蘭州）
（2018·龍東）
（2018·臨沂）
（2018·海南）
（2018·大慶）
（2018·懷化）
26．（2018·眉山）(本小題滿分11分）如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經過點A（0，3)、B（1，0），其對
稱軸為直線l：x=2，過點A作AC∥x軸交拋物線
11、于點C，∠AOB的平分線交線段AC于點E，點P是拋物線上的一個
動點，設其橫坐標為m.
（1）求拋物線的解析式；
（2）若動點P在直線OE下方的拋物線上，連結PE、PO，當m為何值時，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值；
（3）如圖②，F是拋物線的對稱軸l上的一點，在拋物線上是否存在點P使△POF成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.
（2018·泰安）
（2018·重慶B）
類型4 探究特殊四邊形的存在性問題
（2018·河南）
（2018·濟寧）
（2018·齊齊哈爾）
12、
（2018·岳陽）
26.（本題滿分14分）（2018·自貢）
如圖，拋物線過，直線交拋物線于點,點的橫坐標為 ，點是線段上的動點.
⑴.求直線及拋物線的解析式；
⑵.過點的直線垂直于軸，交拋物線于點 ,求線段 的長度與的關系式，為何值時，最長？
⑶.在平面內是否存在整點（橫、縱坐標都為整數）,使得為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由.
（2018·重慶A）
26. 如圖，在平面直角坐標系中，點在拋物線上,且橫坐標為1，點與點關于拋物線的對稱軸對稱，直線與軸交于點，點為拋物線的頂點，點的坐標為
（1） 求線段的長
13、；
（2） 點為線段上方拋物線上的任意一點，過點作的垂線交于點，點為軸上一點，當的面積最大時，求的最小值；
（3） 在（2）中，取得最小值時，將繞點順時針旋轉后得到,過點作的垂線與直線交于點，點為拋物線對稱軸上的一點，在平面直角坐標系中是否存在點，使得點為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由。
【答案】（1）
（2） =
（3） (-1，3+)；(-1，3-)；(5，3)；(-1，8)
【解析】解：（1）由題意得(1，3) (3，3） (2，4)
(0，3) (1，1)
則
14、
（2） 延長，交于點
(3，3)，(1，1)
直線的解析式為:
設(，)，,則(m，m)
分析可得，當取最大值時，取最大值
當，PN取最大值
∴(，)，(，)
構造與軸夾角為的直線OM，如圖所示
M
則，即,
當時，
（3）∵OM的解析式為,HM⊥OM,且HM過點H
∴HM的解析式為:
∴(0
15、，3-）
又∵(0，3)
在中，
(-1，3)
①以為邊,此時(-1，3-)；(5，3)；(-1，3+)；
②以為對角線， 此時(-1，8)
（2018·南充）
（2018·曲靖）
類型5 探究全等、相似三角形的存在性問題
（2018·廣安）
（2018·銅仁）
（2018·烏魯木齊）
（2018·十堰）
16、
27.（2018·畢節(jié)）(本題16分)如圖,以D為頂點的拋物線交軸于A、B兩點，交軸于點C,直線BC的表達式為.
(1)求拋物線的表達式；
(2)在直線BC上有一點P,使PO+PA的值最小,求點P的坐標；
(3)在軸上是否存在一點Q,使得以A、C、Q為頂點的三角形與△BCD相似?若存在,請求出點Q的坐標；若不存在,請說明理由。
24．（2018·武漢）（本題12分）拋物線L：y＝－x2＋bx＋c經過點A(0，1)，與它的對稱軸直線x＝1交于點B
(1) 直接寫出拋物線L的解析式
(2) 如圖1，過定點的直線y＝kx－k＋4（k＜0）與拋物線L交于點M、N．若△BMN
17、的面積等于1，求k的值
(3) 如圖2，將拋物線L向上平移m（m＞0）個單位長度得到拋物線L1，拋物線L1與y軸交于點C，過點C作y軸的垂線交拋物線L1于另一點D．F為拋物線L1的對稱軸與x軸的交點，P為線段OC上一點．若△PCD與△POF相似，并且符合條件的點P恰有2個，求m的值及相應點P的坐標
（2018·濰坊）
（2018·巴中）
（2018·隨州）
25.（2018·常德）如圖13，已知二次函數的圖像過點,,與軸交于另一點,且對稱軸是直線.
（1）求該二次函數的解
18、析式；
（2）若是上的一點，作交于,當面積最大時，求的坐標；
（3）是軸上的點，過作軸，與拋物線交于,過作軸于.當以、、為頂點的三角形與、、為頂點的三角形相似時，求點的坐標.
（2018·衡陽）
（2018·綿陽）
（2018·德州）
（2018·連云港）
類型6 反比例函數與幾何圖形的綜合
（2018·貴陽）
（2018·泰州）
24.（2018·宜昌）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點的坐標分別為,.過點的雙曲線與矩形的邊交于點.
(1)填空：_____,_____,
19、點的坐標為__________；
(2)當時，經過點與點的直線交軸于點，點是過兩點的拋物線的頂點.
①當點在雙曲線上時，求證：直線與雙曲線沒有公共點；
②當拋物線與矩形有且只有三個公共點，求的值；
③當點和點隨著的變化同時向上運動時，求的取值范圍，并求在運動過程中直線在四邊形中掃過的面積.
類型7 其他問題
（2018·成都）
（2018·綿陽）
（2018·濱州）
（2018·衢州）
（2018·廣州）
（2018·宿遷）
（2018·揚州）
20、
（2018·江西）
（2018·寧波）
（2018·天津）
26、（2018·株洲）（本題滿分12分）如圖，已知二次函數的圖象拋物線與軸相交于不同的兩點，,且,
(1)若拋物線的對稱軸為求的值；
（2）若，求的取值范圍；
（3）若該拋物線與軸相交于點D，連接BD，且∠OBD＝60°，拋物線的對稱軸與軸相交點E，點F是直線上的一點，點F的縱坐標為，連接AF，滿足∠ADB＝∠AFE，求該二次函數的解析式。
27.（2018·南通）已知，正方形 ，，拋物線
(為常數)，頂點為
（1）拋物
21、線經過定點坐標是 ，頂點的坐標（用的代數式表示）是 ；
（2）若拋物線(為常數)與正方形的邊有交點，求的取值范圍；
（3）若時，求的值.
（2018·荊州）
（2018·孝感）
（2018·郴州）
23．（2018·深圳）如圖11，頂點為的拋物線經過,兩點。
（1）試求拋物線的解析式；
（2）如圖12，連接，交軸于點，交軸于點，拋物線與軸交于點。若在直線上有一點，使得，試求的面積；
（3）如圖13，若點是折線上一點，過點作∥軸，過點作∥軸，直線QN與直線EN交于點N，連接QE，將沿QE翻折得到。若點 落在軸上
22、，請直接寫出Q點的坐標。
圖11
圖12
圖13
（2018·福建）
23. (本小題滿分10分)（2018·張家界）
如圖,已知二次函數的圖象過點,一次函數的圖象經過點.
(1) 求值并寫出二次函數表達式；
(2) 求值；
(3) 設直線與二次函數圖象交于兩點,過作垂直軸于點,
試證明:；
(4) 在（3）的條件下，請判斷以線段為直徑的圓與軸的位置關系,并說明理由.
解（1）
…………………1分
…………………2分
（2） …………………3分
23、 …………………4分
（3）過點M作軸于點E，
設 ………………5分
………………6分
……………………………7分
（4） 相切 ……………………………8分
過點N作軸于D，取MN的中點為P，過點P作軸于點F,過點N作于點H，交PF于點P.
由（3）知
……………………………9分
又
24、
以MN為直徑的圓與軸相切 ………………10分
（其他方法只要合理參照給分）
25．（滿分12分）（2018·仙桃）拋物線y與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C，其頂點為D．將拋物線位于直線l：yt（）上方的部分沿直線l向下翻折，拋物線剩余部分與翻折后所得圖形組成一個“M”形的新圖象．
（1）點A，B，D的坐標分別為 ， ， ；
（2）如圖①，拋物
25、線翻折后，點D落在點E處．當點E在△ABC內（含邊界）時，求t的取值范圍；
（3）如圖②，當t0時，若Q是“M”形新圖象上一動點，是否存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點P？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
圖①
l
E
y
A
B
O
D
C
·
·
圖②
（第25題圖）
O
A
C
B
x
y
·
D
x
（2018·遵義）
（2018·長春）
26. （2018·桂林）（本題滿分12分）如圖，已知
26、拋物線與x軸交于點A（-3，0）和點B（1，0），與y軸交于點C.
（1） 求拋物線y的函數表達式及點C的坐標；
（2） 點M為坐標平面內一點，若MA=MB=MC，求點M的坐標；
（3） 在拋物線上是否存在點E，使∠ABE=∠ACB？若存在，求出滿足條件的所有點E的坐標；若不存在，請說明理由.
26.（本題12分）
（1）
（2）M（-1，）
（3）①過點A作交y軸于點F，交CB的延長線于點D
∵∠ACO+∠CAO=90°,∠DAO+∠CAO=90°
∴∠DAO=∠ACO
∵∠ACO=∠ACO
∴ΔAOE∽ΔCOA
∴ ∴
∵OA=3,OC=6
∴ ∴
直線AE的解析式為：
直線BC的解析式為：
∴，解得 ∴
∴
∴∠ACB=
∵∠ABE=∠ACB
∴∠ABE=2
過點A作軸，連接BM交拋物線于點E
∵AB=4，∠ABE=2
∴AF=8
∴F（-3，8）
直線BM的解析式為：
∴，解得
∴y=6 ∴E（-2，6）
②當點E在x軸下方時，過點E作，連接BE，設點E
∴∠ABE=2
∴m=-4或m=1（舍去）
可得E（-4，-10）
綜上所訴∴E1（-2，6），E2（-4，-10）
81
全國2018年中考數學真題分類匯編 專題復習（八）函數與幾何圖形綜合探究題（答案不全）
