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1、- "博弈論：原理、模型與教程" 第一局部 完全信息靜態(tài)博弈 第2章 Nash 均衡 第2.1節(jié) 占優(yōu)行為 第2.2節(jié) 重復(fù)剔除劣戰(zhàn)略行為 第2.3節(jié) Nash均衡 2.2 重復(fù)剔除劣戰(zhàn)略行為 〔已精細(xì)訂正！〕 1、定義2-3 【例2-3】 【例2-4】 【例2-5】 2、定義2-4 在"囚徒困境〞中，"坦白〞是小偷的占優(yōu)戰(zhàn)略，也就是說，相對于戰(zhàn)略"抵賴〞，"坦白〞在任何情況下都是小偷的最優(yōu)選擇。因此，小偷只會選擇戰(zhàn)略"坦白〞。 反過來也可以這么理解：相對于戰(zhàn)略"坦白〞，小偷選擇"抵賴〞所得到的支付都要小于選擇"坦白〞所的得到的。既然選

2、擇"抵賴〞的所得總是小于選擇"坦白〞的所得，小偷當(dāng)然就不會選擇"抵賴〞，這也就相當(dāng)于小偷將戰(zhàn)略"抵賴〞從自己的選擇中剔除掉了。 考察更一般的人博弈情形。在人博弈中，如果存在參與人的占優(yōu)戰(zhàn)略，則他在博弈中的戰(zhàn)略選擇問題就很簡單：選擇占優(yōu)戰(zhàn)略。 但在大多數(shù)博弈問題中，參與人的占優(yōu)戰(zhàn)略并不存在。雖然不存在占優(yōu)戰(zhàn)略，但在*些博弈問題中，參與人在對自己的戰(zhàn)略進(jìn)展比較時，可能會發(fā)現(xiàn)這樣的情形：存在兩個戰(zhàn)略和〔，〕，雖然不是占優(yōu)戰(zhàn)略，但與相比，自己在任何情況下選擇的所得都要大于選擇的所得。在這種情況下，理性參與人的選擇又有什么樣的特點呢.雖然不能確定參與人最終會選擇什么樣的戰(zhàn)略，但可以肯定的是，理性參與

3、人絕對不會選擇戰(zhàn)略。因為參與人選擇戰(zhàn)略，還不如直接選擇戰(zhàn)略〔因為參與人在任何情況下選擇的所得都要大于選擇的所得〕。 定義2-3 在人博弈中，如對于參與人，存在戰(zhàn)略，，對，有 則稱戰(zhàn)略為參與人的劣戰(zhàn)略，或者說戰(zhàn)略相對于戰(zhàn)略占優(yōu)。 在博弈中，如果戰(zhàn)略是參與人劣戰(zhàn)略，則參與人肯定不會選擇戰(zhàn)略。這也是相當(dāng)于參與人將戰(zhàn)略從自己的戰(zhàn)略集剔除掉，直接從戰(zhàn)略集中選擇自己的戰(zhàn)略。參與人的這種選擇行為稱之為剔除劣戰(zhàn)略行為。剔除劣行為也是理性參與人選擇行為的根本特征之一。 考察戰(zhàn)略式博弈。如果戰(zhàn)略是參與人的劣戰(zhàn)略 ，則參與人將只會從戰(zhàn)略集中選擇自己的戰(zhàn)略。令，構(gòu)造一個新的戰(zhàn)略式博弈。此時，對戰(zhàn)略式博弈的求

4、解問題就可以轉(zhuǎn)換為對的求解。 【例2-3】 考察圖2-4中的戰(zhàn)略式博弈，其中參與人1有兩個戰(zhàn)略——和，參與人2有三個戰(zhàn)略，和。 1，0 參與人1 3，2 1，1 2，2 2，0 0，1 圖2-4 戰(zhàn)略式博弈 參與人2 從圖2-4中可以看出：戰(zhàn)略相對于戰(zhàn)略占優(yōu)，也就是說是參與人2的劣戰(zhàn)略。因此，對圖2-4中博弈問題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對圖2-5中博弈的求解。 1，0 參與人1 3，2 2，2 0，1 圖2-5

5、戰(zhàn)略式博弈 參與人2 遵循上面的求解思路，如果在新構(gòu)造出來的戰(zhàn)略式博弈中，存在參與人的*個劣戰(zhàn)略，則又可以構(gòu)造出一個新的戰(zhàn)略式博弈，其中參與人的戰(zhàn)略集為。此時，對戰(zhàn)略式博弈的求解問題就可以轉(zhuǎn)換為對的求解。而參與人的這種不斷剔除劣戰(zhàn)略的行為稱為重復(fù)剔除劣戰(zhàn)略行為。 【例2-4】 考察圖2-6中的戰(zhàn)略式博弈，其中參與人1有三個博弈——，和，參與人2有三個戰(zhàn)略，和。 1，0 參與人1 3，2 1，1 3，2 2，0 2，1 圖2-6 戰(zhàn)略式博弈 參與人2 2，1 1

6、，3 3，2 從圖2-6中可以看出：戰(zhàn)略是參與人2的劣戰(zhàn)略。因此，對圖2-6中博弈問題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對圖2-7中博弈的求解。 1，0 參與人1 3，3 3，2 2，1 圖2-7 戰(zhàn)略式博弈 參與人2 2，1 1，3 從圖2-7中又可以看出：戰(zhàn)略是參與人1的劣戰(zhàn)略。因此，對圖2-7中博弈問題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對圖2-8中博弈的求解。也就是對圖2-6中原博弈問題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對圖2-8中博弈的求解。 1，0

7、參與人1 3，2 3，2 2，1 圖2-8 戰(zhàn)略式博弈 參與人2 如果以上重復(fù)剔除劣戰(zhàn)略的過程可以不斷進(jìn)展下去，直到新構(gòu)造出來的博弈中每個參與人都只有一個戰(zhàn)略，則由所有的參與人剩下的唯一戰(zhàn)略所構(gòu)成的戰(zhàn)略組合就是原博弈問題的解，稱之為"重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡〞。此時，也稱原博弈問題是"重復(fù)剔除劣戰(zhàn)略可解的〞。 【例2-5】 考察圖2-9中的戰(zhàn)略式博弈，其中參與人1有三個戰(zhàn)略——、和，參與人2有三個戰(zhàn)略，和。 1，0 參與人1 3，1 1，1 3，3 2，0 2，2

8、 圖2-9 戰(zhàn)略式博弈 參與人2 2，4 1，3 3，2 從圖2-9中可以看出：戰(zhàn)略是參與人2的劣戰(zhàn)略。因此，對圖2-9中博弈問題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對圖2-10中博弈的求解。 從圖2-10中又可以看出：戰(zhàn)略是參與人1的劣戰(zhàn)略。因此，對圖2-10中博弈問題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對圖2-11中博弈的求解。 1，0 參與人1 3，1 3，3 2，2 圖2-10 戰(zhàn)略式博弈 參與人2 2，4 1，3 1，0 參與人1

9、 3，1 3，3 2，2 圖2-11 戰(zhàn)略式博弈 參與人2 從圖2-11中又可以看出：戰(zhàn)略是參與人2的劣戰(zhàn)略。因此，對圖2-11中博弈問題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對圖2-12中博弈的求解。 3，3 參與人1 2，2 圖2-12 戰(zhàn)略式博弈 參與人2 在圖2-12中，參與人2只有一個戰(zhàn)略，參與人1選擇戰(zhàn)略，因此原博弈問題的解為戰(zhàn)略組合。而就是所謂的重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡。 在*些博弈問題中，參與人在對自己的戰(zhàn)略進(jìn)展比較時，還可能會發(fā)現(xiàn)這樣的情形：存在兩個戰(zhàn)略和〔，〕，與相比，雖然選擇的所得并不

10、一定總是大于選擇的所得，但自己在任何情況下選擇的所得都不會比選擇的所得小，而且在*些情況下選擇的所得嚴(yán)格大于選擇的所得。顯然，在這種情況下，理性的參與人將戰(zhàn)略從自己的選擇中剔除掉也是有道理的。與定義2-3中所定義的劣戰(zhàn)略相仿，稱戰(zhàn)略、為參與人的弱劣戰(zhàn)略。 定義2-4 在人博弈中，如果對于參與人，存在戰(zhàn)略，對，有 且，使得 則稱戰(zhàn)略為參與人的弱劣戰(zhàn)略，或者說戰(zhàn)略相對于戰(zhàn)略弱占優(yōu)。 有時為了表述方便，也將定義2-3所定義的劣戰(zhàn)略稱為嚴(yán)格劣戰(zhàn)略，而將弱劣戰(zhàn)略和嚴(yán)格劣戰(zhàn)略統(tǒng)稱為劣戰(zhàn)略。 與重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略的思路一樣，也可以采用重復(fù)剔除弱劣戰(zhàn)略的方法來求解博弈問題。 但需要注意的是，在重復(fù)

11、剔除的過程中，如果每次可以剔除的劣戰(zhàn)略〔包括嚴(yán)格劣戰(zhàn)略和弱劣戰(zhàn)略〕不只一個，則各個劣戰(zhàn)略剔除的順序不同，得到的博弈結(jié)果就有可能不同。除非每次剔除的都是嚴(yán)格列戰(zhàn)略。 下面通過一個例子來說明這個問題?！仓攸c！〕 考察圖2-13中的戰(zhàn)略式博弈。在圖2-13中，和是參與人2的劣戰(zhàn)略。 參與人1 3，3 3，1 1，2 1，1 2，0 2，0 圖2-13 戰(zhàn)略式博弈 參與人2 3，4 1，3 3，2 如果首先剔除劣戰(zhàn)略，則在新博弈中，戰(zhàn)略成為弱劣戰(zhàn)略，如果再剔除，則博弈的結(jié)果為戰(zhàn)略組合；如果首先剔除劣戰(zhàn)略，則在新博弈中，戰(zhàn)略成為

12、弱劣戰(zhàn)略，如果再剔除，則博弈的結(jié)果為戰(zhàn)略組合。 造成博弈結(jié)果不同的原因在于：在原博弈中，和原本互不占優(yōu)，但是如果先剔除，則相對于弱占優(yōu)，就可能因此被剔除掉；如果先剔除掉，則相對于弱占優(yōu)，就可能因此被剔除掉。因此，當(dāng)和的剔除順序不同時，參與人1保存下來的戰(zhàn)略就可能不同。但是，如果只允許剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略，則無論是先剔除還是，得到的博弈結(jié)果都是戰(zhàn)略組合和。 為了進(jìn)一步說明問題，考察圖2-14中戰(zhàn)略式博弈，圖2-14 中博弈與圖2-13中博弈的不同之處僅在于戰(zhàn)略組合下參與人1的支付不同。 參與人1 4，3 3，1 1，2 1，1 2，0 2，0 圖2-14

13、 戰(zhàn)略式博弈 參與人2 3，4 1，3 3，2 在圖2-14中，和也是互不占優(yōu)。但是，在剔除劣戰(zhàn)略和的過程中，無論是先剔除還是，只會出現(xiàn)相對于占優(yōu)的情形，而不會出現(xiàn)相對于占優(yōu)或弱占優(yōu)的情形。因此，無論剔除劣戰(zhàn)略的順序如何，博弈的結(jié)果都是戰(zhàn)略組合。 前面一再提到博弈分析是在假設(shè)博弈問題的構(gòu)造和參與人完全理性為共同知識的前提下進(jìn)展的，現(xiàn)在分析如果沒有這樣的假設(shè)，所得到的博弈問題的解——占優(yōu)戰(zhàn)略均衡和重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡是否存在。 當(dāng)參與人理性時，如果參與人的占優(yōu)戰(zhàn)略，則無論其他參與人是否理性或者是否知道他是理性的，他都會選擇占優(yōu)戰(zhàn)略。因此，如果博弈中存在占優(yōu)戰(zhàn)略均衡且所有的

14、參與人都理性，則博弈的結(jié)果就是占優(yōu)戰(zhàn)略均衡。也就是說，不需要完全理性為共同知識就可確保占優(yōu)戰(zhàn)略均衡為博弈的結(jié)果。但是，必須清楚：存在占優(yōu)戰(zhàn)略均衡的博弈絕對只是博弈問題中的極少數(shù)，在大多數(shù)情況下占優(yōu)戰(zhàn)略均衡是不存在的。 更重要的是，如果僅僅假設(shè)參與人是理性的，就會發(fā)現(xiàn)及時博弈問題是"重復(fù)剔除劣戰(zhàn)略可解的〞，也無法保證博弈的結(jié)果就是重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡，這是因為：在重復(fù)剔除過程的每一步中，如果只假設(shè)參與人理性，則只能確保參與人將其劣戰(zhàn)略剔除掉；而如果其他參與人不知道他是理性的，就不能確保其他參與人知道他已將劣戰(zhàn)略剔除掉。在這種情況下，就不能講原博弈問題轉(zhuǎn)換為新的博弈問題，也就是說，雖然剔除劣戰(zhàn)略行

15、為是理性參與人選擇行為的根本特征，但如果僅僅假設(shè)參與人理性是不能確保重復(fù)剔除的。 在例2-3中，如果參與人1不知道參與人2的理性的，他就不知道自己面臨的博弈問題已由圖2-4中的戰(zhàn)略式博弈轉(zhuǎn)換為圖2-5中的博弈。同樣，如果參與人2不知道參與人1知道自己是理性的，圖2-4中的戰(zhàn)略式博弈也不能轉(zhuǎn)換為圖2-5中的博弈。 在例2-4中，要確保圖2-6的中博弈轉(zhuǎn)換為圖2-8中的博弈，就必須要求每個參與人都知道博弈問題轉(zhuǎn)換的每一步〔即每一次剔除劣戰(zhàn)略〕，而且還要知道其他參與人知道博弈問題轉(zhuǎn)換的每一步。 具體講就是： 〔1〕參與人2是理性； 〔2〕參與人1知道到參與人2理性，參與人2知道參與人1知道到參與人2理性； 〔3〕參與人1是理性，參與人2知道到參與人1理性，參與人1知道參與人2知道到參與人1理性。 而在例2-5中，對參與人理性假設(shè)的要求就更為復(fù)雜，除了例2-4中所要求的以上3點外，對理性還有進(jìn)一步的要求。 所以，隨著博弈中參與人人數(shù)的增加及參與人戰(zhàn)略空間的增大，重復(fù)剔除的過程就會越來越復(fù)雜，對理性假設(shè)的要求也就越來越高。 因此，為了確保博弈分析的順利進(jìn)展，一般都假設(shè)參與人完全理性為共同知識。 基于同樣的理由，也假設(shè)博弈問題的構(gòu)造〔包括參與人的支付〕為共同知識。 . z.