《山東省濱州市2019中考數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù) 第六節(jié) 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用要題隨堂演練》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《山東省濱州市2019中考數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù) 第六節(jié) 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用要題隨堂演練（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、二次函數(shù)的綜合應(yīng)用
要題隨堂演練
1．(2018·日照中考)如圖，已知點(diǎn)A(－1，0)，B(3，0)，C(0，1)在拋物線y＝ax2＋bx＋c上．
(1)求拋物線解析式；
(2)在直線BC上方的拋物線上求一點(diǎn)P，使△PBC面積為1；
(3)在x軸下方且在拋物線對稱軸上，是否存在一點(diǎn)Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
2．(2018·萊蕪中考)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－1，0)，B(4，0)，C(0，3)三點(diǎn)，D為直線BC上方拋物線上一動點(diǎn)，DE⊥BC于E.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(
2、2)如圖1，求線段DE長度的最大值；
(3)如圖2，設(shè)AB的中點(diǎn)為F，連接CD，CF，是否存在點(diǎn)D，使得△CDE中有一個角與∠CFO相等？若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
圖1
圖2
3．(2018·自貢中考)如圖，拋物線y＝ax2＋bx－3過A(1，0)，B(－3，0)，直線AD交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為－2，點(diǎn)P(m，n)是線段AD上的動點(diǎn)．
(1)求直線AD及拋物線的解析式；
(2)過點(diǎn)P的直線垂直于x軸，交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ的長度l與m的關(guān)系式，m為何值時，PQ最長？
(3)在平面內(nèi)是否存在整點(diǎn)(
3、橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù))R，使得P，Q，D，R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
參考答案
1．解：(1)把點(diǎn)A(－1，0)，B(3，0)，C(0，1)代入y＝ax2＋bx＋c
得解得
∴拋物線的解析式為y＝－x2＋x＋1.
(2)∵B(3，0)，C(0，1)，∴直線BC的解析式為y＝－x＋1.
理由：如圖，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D.
設(shè)P(x，－x2＋x＋1)，則D(x，－x＋1)，
∴PD＝－x2＋x＋1－(－x＋1)＝－x2＋x，
∴S△PBC＝S△PDC＋S△PDB＝PD(xB－xC)
4、＝(－x2＋x)(3－0)＝－x2＋x.
又∵S△PBC＝1，∴－x2＋x＝1，∴x2－3x＋2＝0，
解得x1＝1，x2＝2，∴P1(1，)，P2(2，1)．
(3)存在．
如圖，∵A(－1，0)，C(0，1)，∴OC＝OA＝1，∴∠BAC＝45°.
∵∠BAC＝∠BQC，∴∠BQC＝45°，
∴點(diǎn)Q為△ABC外接圓與拋物線對稱軸在x軸下方的交點(diǎn)．
設(shè)△ABC外接圓圓心為M.
∵線段AC的垂直平分線為直線y＝－x，線段AB的垂直平分線為直線x＝1，
∴點(diǎn)M為直線y＝－x與直線x＝1的交點(diǎn)，即M(1，－1)，
∴∠BMC＝2∠BQC＝90°.
又∵M(jìn)Q＝MB＝R＝，∴yQ
5、＝－(1＋)＝－1－.
∵Q在直線x＝1上，∴xQ＝1，∴Q(1，－1－)．
2．解：(1)由已知得解得
∴y＝－x2＋x＋3.
(2)設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，
∴解得
∴y＝－x＋3.
設(shè)D(a，－a2＋a＋3)，(0
6、，最大值是.
(3)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)D，使得△CDE中有一個角與∠CFO相等．
∵F為AB的中點(diǎn)，∴OF＝，tan∠CFO＝＝2.
如圖，過點(diǎn)B作BG⊥BC，交CD的延長線于G，過點(diǎn)G作GH⊥x軸，垂足為H.
①若∠DCE＝∠CFO，∴tan∠DCE＝＝2，∴BG＝10.
∵△GBH∽△BCO，∴＝＝，
∴GH＝8，BH＝6，∴G(10，8)．
設(shè)直線CG的解析式為y＝kx＋b，
∴解得
∴y＝x＋3，
∴解得x＝或x＝0(舍)．
②若∠CDE＝∠CFO，同理可得BG＝，GH＝2，BH＝，
∴G(，2)．
同理可得直線CG的解析式為y＝－x＋3，
∴解得x＝或x
7、＝0(舍)．
綜上所述，存在D使得△CDE中有一個角與∠CFO相等，其橫坐標(biāo)是或.
3．解：(1)把(1，0)，(－3，0)代入函數(shù)解析式得
解得
∴拋物線的解析式為y＝x2＋2x－3.
當(dāng)x＝－2時，y＝(－2)2＋2×(－2)－3，解得y＝－3，
即D(－2，－3)．
設(shè)AD的解析式為y＝kx＋b，將A(1，0)，D(－2，－3)代入得解得
∴直線AD的解析式為y＝x－1.
(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m，m－1)，Q(m，m2＋2m－3)，
l＝(m－1)－(m2＋2m－3)，
化簡得l＝－m2－m＋2，
配方得l＝－(m＋)2＋，
∴當(dāng)m＝－時，l最大＝.
(3)由
8、(2)可知，0＜PQ≤.
當(dāng)PQ為邊時，DR∥PQ且DR＝PQ.
∵R是整點(diǎn)，D(－2，－3)，
∴PQ是正整數(shù)，∴PQ＝1或PQ＝2.
當(dāng)PQ＝1時，DR＝1，
此時點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為－2，縱坐標(biāo)為－3＋1＝－2或－3－1＝－4，
∴R(－2，－2)或(－2，－4)．
當(dāng)PQ＝2時，DR＝2，
此時點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為－2，縱坐標(biāo)為－3＋2＝－1或－3－2＝－5，
即R(－2，－1)或(－2，－5)．
當(dāng)PQ為對角線時，PD∥QR，且PD＝QR.
設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為(n，n＋m2＋m－3)，則QR2＝2(m－n)2.
又∵P(m，m－1)，D(－2，－3)，
∴PD2＝2(m＋2)2，∴(m＋2)2＝(m－n)2，
解得n＝－2(不合題意，舍去)或n＝2m＋2，
∴點(diǎn)R的坐標(biāo)為(2m＋2，m2＋3m－1)．
∵R是整點(diǎn)，－2＜m＜1，
∴當(dāng)m＝－1時，點(diǎn)R的坐標(biāo)為(0，－3)；
當(dāng)m＝0時，點(diǎn)R的坐標(biāo)為(2，－1)．
綜上所述，存在滿足R的點(diǎn)，它的坐標(biāo)為(－2，－2)或(－2，－4)或(－2，
－1)或(－2，－5)或(0，－3)或(2，－1)．
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