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1、第一部分 第五章 第21講
1．如圖所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于點E，對角線AC，BD交于O，且BE＝1，ED＝3，則矩形ABCD的面積為( C )
A．4 B．2
C．4 D．6
2．四邊形ABCD的對角線AC＝BD，AC⊥BD，分別過A，B，C，D作對角線的平行線，所成的四邊形EFMN是( A )
A．正方形 B．菱形
C．矩形 D．任意四邊形
3．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一點，BE交AC于F，連接DF.
(1)求證：四邊形ABCD是菱形；
(2)若∠EFD＝∠BCD，試說明BE⊥CD
2、.
(1)證明：在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(SSS)．∴∠BAC＝∠DAC.
∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，
∴∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD.
∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD.
∴四邊形ABCD是菱形．
(2)解：∵四邊形ABCD為菱形，
∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF.
在△BCF和△DCF中，
∴△BCF≌△DCF(SAS)．∴∠CBF＝∠CDF.
∵∠EFD＝∠BCD且三角形內角和都相等，
∴∠BEC＝∠DEF.
∵∠BEC＋∠DEF＝180°，
∴∠BEC＝∠DEF＝90°.即BE⊥CD.
4．如圖1
3、，點E為正方形ABCD的邊AB上一點，EF⊥EC，且EF＝EC，連接AF.
(1)求∠EAF的度數；
(2)如圖2，連接FC交BD于M，交AD于N.求證：BD＝AF＋2DM.
解：(1)如答圖1，過點F作FG⊥AB并交BA的延長線于點G，易證△EBC≌△FGE.
∴FG＝BE，EG＝BC.
∵BC＝AB，∴EG＝AB.
∴EG－AE＝AB－AE.
∴AG＝BE. ∴FG＝AG.
∵FG⊥AB，∴∠GAF＝45°，∴∠EAF＝135°.
(2)證明：如答圖2，過點F作FO∥AB交BD于點O.
由(1)可知∠EAF＝135°.∵∠ABD＝45°，
∴∠EAF＋∠ABD＝180°，∴AF∥BO.
∵FO∥AB，∴四邊形ABOF為平行四邊形，
∴AF＝BO，F(xiàn)O＝AB.
∵AB＝CD，∴FO＝CD.
易證△FOM≌△CDM，
∴OM＝DM，∴DO＝2DM，
∴BD＝BO＋DO＝AF＋2DM.
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