《浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章 基本圖形(一)第19講 特殊三角形 第1課時(shí) 等腰三角形講解篇》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章 基本圖形(一)第19講 特殊三角形 第1課時(shí) 等腰三角形講解篇（13頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第19講　特殊三角形 第1課時(shí)　等腰三角形 1．等腰三角形 考試內(nèi)容 考試 要求 概念 有兩條邊　　　　　　　　的三角形是等腰三角形． a 性質(zhì) 1.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，一般有　　　　　　　　條對(duì)稱軸． 2．性質(zhì)1：等腰三角形的兩底角　　　　　　　　(簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)　　　　　　　　”)． 3．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的　　　　　　　　、底邊上的　　　　　　　　相互重合(簡(jiǎn)寫(xiě)成“三線合一”)． c 判定 1.有兩邊相等的三角形是等腰三角形； 2．有兩角相等(簡(jiǎn)寫(xiě)成“等角對(duì)　　　　　　　　”)的三角形是等腰三角形． 2.等邊三角形

2、考試內(nèi)容 考試 要求 概念 有　　　　　　　　條邊相等的三角形叫做等邊三角形． a 性質(zhì) 1.具有一般等腰三角形的所有性質(zhì)； 2．等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都于　　　　　　　??； 3．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，共有　　　　　　　　條對(duì)稱軸． c 判定 1.三條邊相等的三角形是等邊三角形； 2．三個(gè)角都　　　　　　　　的三角形是等邊三角形； 3．有一個(gè)角是　　　　　　　　的等腰三角形是等邊三角形． 拓展 S等邊△ABC＝ah＝a2，h＝a，其中a為邊長(zhǎng)，h為高． 考試內(nèi)容 考試 要求 基本 方法 求等腰三角形腰上的高，在所給條件不確定的條件

3、下，應(yīng)按頂角為銳角和鈍角兩種情況來(lái)考慮：(1)當(dāng)頂角為銳角時(shí)，腰上的高在三角形內(nèi)部；(2)當(dāng)頂角為鈍角時(shí)，腰上的高在三角形外部． c 1． (2017·臺(tái)州)如圖，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交腰AC于點(diǎn)E，則下列結(jié)論一定正確的是(　　) A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE 2．(2017·麗水)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為100°，則頂角的度數(shù)是____________________． 3．(2015·義烏)由于木質(zhì)衣架沒(méi)有柔性，在掛置衣服的時(shí)候不太方便操作．小敏設(shè)計(jì)了一種衣架

4、，在使用時(shí)能輕易收攏，然后套進(jìn)衣服后松開(kāi)即可．如圖1，衣架桿OA＝OB＝18cm，若衣架收攏時(shí)，∠AOB＝60°，如圖2，則此時(shí)A，B兩點(diǎn)之間的距離是____________________cm. 【問(wèn)題】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AE＝BE，D為EC中點(diǎn)． (1)你能從圖中得到哪些信息？ (2)求∠CAE的度數(shù)； (3)求證：△ADE是等邊三角形． 　　　　　　　　 【歸納】通過(guò)開(kāi)放式問(wèn)題，歸納、疏理等腰三角形、等邊三角形的有關(guān)知識(shí)． 類型一　等腰三角形的性質(zhì)與判定 　如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，點(diǎn)D在BC上．

5、 (1)若頂角40°，則一個(gè)底角的度數(shù)為_(kāi)_______； (2)若一個(gè)內(nèi)角50°，則頂角的度數(shù)為_(kāi)_______； (3)若一個(gè)外角為100°，則頂角的度數(shù)為_(kāi)_______； (4)若AD⊥BC，AB＝6，CD＝4，則△ABC的周長(zhǎng)是________． (5)若BD＝DC，∠B＝50°，則∠DAC＝________． (6)若△ABC的兩條邊長(zhǎng)為7cm和14cm，則它的底邊為_(kāi)_______cm. 【解后感悟】解答此類問(wèn)題時(shí)要注意角的指代明確性：頂角還是底角、內(nèi)角還是外角；對(duì)于(4)(5)沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況分類討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解

6、答． 1． (1)(2016·泰安)如圖，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分別是PA，PB，AB上的點(diǎn)，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，則∠P的度數(shù)為(　　) A．44° B．66° C．88° D．92° (2) (2017·紹興模擬)如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，M為CD中點(diǎn)，今以B、M為圓心，分別以BC長(zhǎng)、MC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于P點(diǎn)．若∠PBC＝70°，則∠MPC的度數(shù)為(　　) A．20° B．35° C．40°

7、D．55° (3) (2016·濱州)如圖，△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，則∠CDE的度數(shù)為(　　) A．50° B．51° C．51.5° D．52.5° (4) (2017·溫州模擬)如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，點(diǎn)E是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)AE，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，若DE＝10cm，則AB＋BD＝ 　cm. 類型二　等邊三角形的性質(zhì)與判定 　(1)等邊△ABC中，AB＝4，則它的高為_(kāi)_______，△ABC

8、的面積為_(kāi)_______； (2) 如圖1，等邊△ABC中，CD是∠ACB的平分線，過(guò)D作DE∥BC交AC于E，△ABC的邊長(zhǎng)為a，則△ADE的周長(zhǎng)是________； (3) 如圖2，等邊△ABC中，D是AC邊上的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE＝CD，則∠E的度數(shù)為_(kāi)_______； (4) 如圖3，等邊△ABC中，點(diǎn)D為BC邊上的點(diǎn)，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，則∠EDF的度數(shù)為_(kāi)_________． 【解后感悟】解題的關(guān)鍵是利用現(xiàn)有圖形或畫(huà)出圖形，利用等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理，揭示圖形之間的數(shù)量關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題． 2． (1)(2016·本溪模擬)如圖，在正方形

9、ABCD的外側(cè)，作等邊△ADE，則∠BED的度數(shù)是　　　　　　　　. (2) (2017·上海模擬)如圖，以△ABC的三邊為邊分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF，則下列結(jié)論：①△EBF≌△DFC；②四邊形AEFD為平行四邊形；③當(dāng)AB＝AC，∠BAC＝120°時(shí)，四邊形AEFD是正方形．其中正確的結(jié)論是　　　　　　　　.(請(qǐng)寫(xiě)出正確結(jié)論的序號(hào))． 3．(2017·河北模擬)如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AB上，且BD＝AE，AD與CE交于點(diǎn)F. (1)求證：AD＝CE； (2)求∠DFC的度數(shù)． 　　　　　　 類型三　等腰三角形構(gòu)造的分類討論

10、 　(2016·黃岡模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P(2，2)，點(diǎn)Q在坐標(biāo)軸上，△PQO是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)Q共有______個(gè)． 【解后感悟】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是如何確定點(diǎn)Q(即分類討論)，以及利用勾股定理求出OP的長(zhǎng)． 4． (1)(2017·西寧模擬)如圖，等腰直角三角形BDC的頂點(diǎn)D在等邊三角形ABC的內(nèi)部，∠BDC＝90°，連結(jié)AD，過(guò)點(diǎn)D作一條直線將△ABD分割成兩個(gè)等腰三角形，則分割出的這兩個(gè)等腰三角形的頂角分別是____________________度． (2) (2016·丹東模擬)如圖，邊長(zhǎng)為6的

11、正方形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)P，BP＝4，∠PBC＝60°，點(diǎn)Q為正方形邊上一動(dòng)點(diǎn)，且△PBQ是等腰三角形，則符合條件的Q點(diǎn)有 　　個(gè)． 類型四　等腰三角形的探究問(wèn)題 　(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn) 如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連結(jié)BE. 填空：①∠AEB的度數(shù)為_(kāi)_______； ②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是________． (2)拓展探究 如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連結(jié)BE.請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理

12、由． (3)解決問(wèn)題 如圖3，在正方形ABCD中，CD＝.若點(diǎn)P滿足PD＝1，且∠BPD＝90°，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A到BP的距離． 【解后感悟】本題主要考查了運(yùn)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題的能力，而通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線從而能用(2)中的結(jié)論解決問(wèn)題是解決第(3)題的關(guān)鍵．它是中考的熱點(diǎn)題型． 5． (2016·江西模擬)有一三角形紙片ABC，∠A＝80°，點(diǎn)D是AC邊上一點(diǎn)，沿BD方向剪開(kāi)三角形紙片后，發(fā)現(xiàn)所得兩紙片均為等腰三角形，則∠C的度數(shù)可以是　　　　　　　　. 類型五　等腰三角形的綜合運(yùn)用 　(2016·石家莊模擬)如圖，點(diǎn)

13、O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△ADC，連結(jié)OD. (1)求證：△COD是等邊三角形； (2)當(dāng)α＝150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說(shuō)明理由； (3)探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？ 【解后感悟】本題以“空間與圖形”中的核心知識(shí)(如等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與證明、直角三角形的判定、多邊形內(nèi)角和等)為載體，內(nèi)容由淺入深，層層遞進(jìn)，試題中幾何演繹推理的難度適宜，蘊(yùn)含著豐富的思想方法(如運(yùn)動(dòng)變化、數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程思想等)． 6．(2016·河南)

14、(1)發(fā)現(xiàn) 如圖1，點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC＝a，AB＝b. 填空：當(dāng)點(diǎn)A位于　　　　　　　　時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為　　　　　　　　.(用含a，b的式子表示) (2)應(yīng)用 點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC＝3，AB＝1.如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連結(jié)CD，BE. ①請(qǐng)找出圖中與BE相等的線段，并說(shuō)明理由； ②直接寫(xiě)出線段BE長(zhǎng)的最大值． 圖1 圖2 (3)拓展 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5，0)，點(diǎn)P為線段AB外一

15、動(dòng)點(diǎn)，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°.請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AM長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)． 【探索研究題】 (2016·菏澤)如圖，△ACB和△DCE均為等腰三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連結(jié)BE. (1)如圖1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°. ①求證：AD＝BE； ②求∠AEB的度數(shù)． (2)如圖2，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM為△DCE中DE邊上的高，BN為△ABE中AE邊上的高，試證明：AE＝2CM＋BN. 【方法與對(duì)策】(1)①通過(guò)角的計(jì)算找出∠ACD＝∠BCE

16、，再結(jié)合△ACB和△DCE均為等腰三角形可得出“AC＝BC，DC＝EC”，利用全等三角形的判定(SAS)即可證出△ACD≌△BCE，由此即可得出結(jié)論AD＝BE；②結(jié)合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC＝∠BEC，再通過(guò)角的計(jì)算即可算出∠AEB的度數(shù)；(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合頂角的度數(shù)，即可得出底角的度數(shù)，利用(1)的結(jié)論，通過(guò)解直角三角形即可求出線段AD、DE的長(zhǎng)度，二者相加即可證出結(jié)論．這類探究性問(wèn)題，往往從特殊到一般，積累經(jīng)驗(yàn)，利用前小題的結(jié)論或方法解決問(wèn)題．這類問(wèn)題是中考的熱點(diǎn)題型． 【忽視等腰三角形腰的高線不明確】 (2015·西寧)等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角

17、的度數(shù)為20°，則頂角的度數(shù)是　　　　　　　　. 參考答案 第19講　特殊三角形 第1課時(shí)　等腰三角形 【考點(diǎn)概要】 1．相等　一　相等　等角　中線　高　等邊　2.三　60°　三　相等　60° 【考題體驗(yàn)】 1．C　2.100°　3.18 【知識(shí)引擎】 【解析】(1)從角、邊、對(duì)稱性、圖形的形狀角度去考慮，并注意之間的相關(guān)性． (2)根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠B＝30°，∠BAE＝∠B＝30°，∴∠CAE＝120°－30°＝90°； (3)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出AD＝EC＝ED＝DC，得出∠DAC＝∠C＝30°，∴∠EAD＝60°，

18、∴△ADE是等邊三角形． 【例題精析】 例1　(1)70°　(2)80°或50°　(3)80°或20°　(4)20　(5)40°　(6)7　 例2　(1)2；4；(2)a；(3)30°；(4)60°　 例3　 ∵P(2，2)，∴OP＝＝2，∴當(dāng)點(diǎn)Q在y軸上時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0，2)，(0，－2)，(0，4)，(0，2)；當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2，0)，(－2，0)，(4，0)，(2，0)．所以共有8個(gè)．故答案為：8.　 例4　 (1) ①60°　②AD＝BE；　(2)∠AEB＝90°；AE＝2CM＋BE.理由：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠A

19、CB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∠BEC＝∠ADC＝135°.∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝135°－45°＝90°.在等腰Rt△DCE中，CM為斜邊DE上的高，∴CM＝DM＝ME，∴DE＝2CM.∴AE＝DE＋AD＝2CM＋BE.　(3)或.∵PD＝1，∠BPD＝90°，∴BP是以點(diǎn)D為圓心、以1為半徑的⊙D的切線，點(diǎn)P為切點(diǎn)．第一種情況：如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AP的垂線，交BP于點(diǎn)P′，可證△APD≌△AP′B，PD＝P′B＝1，CD＝，∴BD＝2，BP＝，∴AM＝PP′＝(PB

20、－BP′)＝.第二種情況如圖2，可得AM＝PP′＝(PB＋BP′)＝.　 例5　(1)∵將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等邊三角形．　(2)當(dāng)α＝150°時(shí)，△AOD是直角三角形．理由是：∵將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°，又∵△COD是等邊三角形，∴∠ODC＝60°，∴∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝90°，∵∠α＝150°，∠AOB＝110°，∠COD＝60°，∴∠AOD＝360°－∠α－∠AOB－∠COD＝360°－150°－110°－60°＝40°，∴△A

21、OD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．　(3)①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，∵∠AOD＝360°－110°－60°－α＝190°－α，∠ADO＝α－60°，∴190°－α＝α－60°，∴α＝125°；②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO.∵∠OAD＝180°－(∠AOD＋∠ADO)＝180°－(190°－α＋α－60°)＝50°，∴α－60°＝50°，∴α＝110°；③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD.∵∠AOD＝360°－110°－60°－α＝190°－α，∠OAD＝＝120°－，∴190°－α＝120°－，解得α＝140°.綜上所述：當(dāng)α的度數(shù)為125°或110°

22、或140°時(shí)，△AOD是等腰三角形． 【變式拓展】 1． (1)D　(2)B　(3)D　(4)10　2.(1)45°　(2)①②　3.(1)略．　(2)60°.　4.(1)120和150　(2)5　5.25°或40°或10° 　6.(1)CB的延長(zhǎng)線上　a＋b　(2)①DC＝BE，理由如下：∵△ABD和△ACE為等邊三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，∴△CAD≌△EAB.∴DC＝BE.②BE的最大值是4. (3)AM長(zhǎng)的最大值是3＋2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2－，)． 【熱點(diǎn)題型】 【分析與解】

23、(1)①∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，∴∠ACB＝∠DCE＝180°－2×50°＝80°.∵∠ACB＝∠ACD＋∠DCB，∠DCE＝∠DCB＋∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE.∵△ACB和△DCE均為等腰三角形，∴AC＝BC，DC＝EC.在△ACD和△BCE中，∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，DC＝EC，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE.?、凇摺鰽CD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC.∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，且∠CDE＝50°，∴∠ADC＝180°－∠CDE＝130°，∴∠BEC＝130°.∵∠BEC＝∠CED＋∠AEB，且∠CED＝50°，∴∠AEB＝∠B

24、EC－∠CED＝130°－50°＝80°. (2)∵△ACB和△DCE均為等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°，∴∠CDM＝∠CEM＝×(180°－120°)＝30°.∵CM⊥DE，∴∠CMD＝90°，DM＝EM.在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，∠CDM＝30°，∴DE＝2DM＝2×＝2CM.∵∠BEC＝∠ADC＝180°－30°＝150°，∠BEC＝∠CEM＋∠AEB，∴∠AEB＝∠BEC－∠CEM＝150°－30°＝120°，∴∠BEN＝180°－120°＝60°.在Rt△BNE中，∠BNE＝90°，∠BEN＝60°，∴BE＝＝BN.∵AD＝BE，AE＝AD＋DE，∴AE＝BE＋DE＝2CM＋BN. 【錯(cuò)誤警示】當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角時(shí)，腰上的高在外部．即可求得頂角是90°＋20°＝110°；當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘卿J角時(shí)，腰上的高在其內(nèi)部，故頂角是90°－20°＝70°.故答案為：110°或70°. 13