《（全國通用版）2019年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第六單元 圓 滾動(dòng)小專題（七）與圓有關(guān)的計(jì)算與證明練習(xí)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國通用版）2019年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第六單元 圓 滾動(dòng)小專題（七）與圓有關(guān)的計(jì)算與證明練習(xí)（7頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 滾動(dòng)小專題(七)　與圓有關(guān)的計(jì)算與證明 類型1　與圓的基本性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算與證明 1．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點(diǎn)，OD⊥AC，垂足為E，連接BD. (1)求證：BD平分∠ABC； (2)當(dāng)∠ODB＝30°時(shí)，求證：BC＝OD. 證明：(1)∵OD⊥AC，OD為半徑， ∴＝. ∴∠CBD＝∠ABD. ∴BD平分∠ABC. (2)∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB＝30°. ∴∠AOD＝∠OBD＋∠ODB＝30°＋30°＝60°. 又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA＝90°. ∴∠A＝180°－∠OEA－∠AOD＝30°. 又∵A

2、B為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°. ∴在Rt△ACB中，BC＝AB. 又∵OD＝AB， ∴BC＝OD. 2．(2018·溫州)如圖，D是△ABC的BC邊上一點(diǎn)，連接AD，作△ABD的外接圓，將△ADC沿直線AD折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)E落在⊙O上． (1)求證：AE＝AB； (2)若∠CAB＝90°，cos∠ADB＝，BE＝2，求BC的長． 解：(1)證明：由題意，得△ADE≌△ADC， ∴∠AED＝∠ACD，AE＝AC. ∵∠ABD＝∠AED， ∴∠ABD＝∠ACD. ∴AB＝AC，∴AE＝AB. (2)過點(diǎn)A作AH⊥BE于點(diǎn)H. ∵AB＝AE，BE＝2. ∴

3、BH＝EH＝1. ∵∠ABE＝∠AEB＝∠ADB，cos∠ADB＝， ∴cos∠ABE＝cos∠ADB＝. ∴＝. ∴AC＝AB＝3. ∵∠BAC＝90°，AC＝AB， ∴BC＝3. 3．(2018·包頭)如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，BA的延長線交⊙A于點(diǎn)E，連接CD，CE，F(xiàn)是⊙A上一點(diǎn)，點(diǎn)F與點(diǎn)C位于BE兩側(cè)，且∠FAB＝∠ABC，連接BF. (1)求證：∠BCD＝∠BEC； (2)若BC＝2，BD＝1，求CE的長及sin∠ABF的值． 解：(1)證明：∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD＋∠ACD＝90°

4、. ∵DE是⊙A的直徑， ∴∠DCE＝90°. ∴∠BEC＋∠CDE＝90°. ∵AD＝AC， ∴∠CDE＝∠ACD.∴∠BCD＝∠BEC. (2)∵∠BCD＝∠BEC，∠CBD＝∠EBC， ∴△BDC∽△BCE.∴＝＝. ∵BC＝2，BD＝1，∴BE＝4，EC＝2CD. ∴DE＝BE－BD＝3. 在Rt△DCE中，DE2＝CD2＋CE2＝9. ∴CD＝.∴CE＝. 過點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M， ∵∠FAB＝∠ABC，∠FMA＝∠ACB＝90°， ∴△AFM∽△BAC.∴＝. ∵DE＝3，∴AD＝AF＝AC＝，AB＝. ∴FM＝. 過點(diǎn)F作FN⊥BC于點(diǎn)N，

5、∴∠FNC＝90°. ∵∠FAB＝∠ABC，∴FA∥BC. ∴∠FAC＝∠ACB＝90°.∴四邊形FNCA是矩形． ∴FN＝AC＝，NC＝AF＝，∴BN＝. 在Rt△FBN中，BF＝＝， ∴在Rt△FBM中，sin∠ABF＝＝. 類型2　與圓的切線有關(guān)的計(jì)算與證明 4．(2018·濱州)如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，AD⊥CD于點(diǎn)D，且AC平分∠DAB.求證： (1)直線DC是⊙O的切線； (2)AC2＝2AD·AO. 證明：(1)連接OC. ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA. ∵AC平分∠DAB， ∴∠OAC＝∠DAC. ∴∠DAC＝∠O

6、CA. ∴OC∥AD. 又∵AD⊥CD， ∴OC⊥DC. ∵OC為⊙O的半徑， ∴DC是⊙O的切線． (2)連接BC. ∵AB為⊙O的直徑， ∴AB＝2AO，∠ACB＝90°. ∵AD⊥DC， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°. 又∵∠DAC＝∠CAB， ∴△DAC∽△CAB. ∴＝，即AC2＝AB·AD. ∴AC2＝2AD·AO. 5．(2017·金華)如圖，已知：AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，CD是⊙O的切線，AD⊥CD于點(diǎn)D，E是AB延長線上一點(diǎn)，CE交⊙O于點(diǎn)F，連接OC，AC. (1)求證：AC平分∠DAO； (2)若∠DAO＝105°，∠E＝

7、30°. ①求∠OCE的度數(shù)； ②若⊙O的半徑為2，求線段EF的長． 解：(1)證明：∵直線CD與⊙O相切，∴OC⊥CD. 又∵AD⊥CD，∴AD∥OC. ∴∠DAC＝∠OCA. 又∵OC＝OA， ∴∠OAC＝∠OCA. ∴∠DAC＝∠OAC. ∴AC平分∠DAO. (2)①∵AD∥OC，∴∠EOC＝∠DAO＝105°， ∵∠E＝30°，∴∠OCE＝45°. ②過點(diǎn)O作OG⊥CE于點(diǎn)G，可得FG＝CG. ∵OC＝2，∠OCE＝45°，∴OG＝CG＝2. ∴FG＝2. ∵在Rt△OGE中，∠E＝30°，∴GE＝2. ∴EF＝GE－FG＝2－2. 6．

8、(2018·蘇州)如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，AD垂直于過點(diǎn)C的切線，垂足為D，CE垂直AB，垂足為E，延長DA交⊙O于點(diǎn)F，連接FC，F(xiàn)C與AB相交于點(diǎn)G，連接OC. (1)求證：CD＝CE； (2)若AE＝GE，求證：△CEO是等腰直角三角形． 證明：(1)連接AC. ∵CD為⊙O的切線， ∴OC⊥CD. 又∵AD⊥CD， ∴∠DCO＝∠D＝90°. ∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO. 又∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO. ∴∠DAC＝∠CAO. 又∵CE⊥AB，∴∠CEA＝90°. 在△CDA和△CEA中， ∴△CDA≌△CEA(AAS)．

9、∴CD＝CE. (2)證法一：連接BC. ∵△CDA≌△CEA，∴∠DCA＝∠ECA. ∵CE⊥AG，AE＝EG，∴CA＝CG. ∴∠ECA＝∠ECG. ∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°. 又∵CE⊥AB， ∴∠ACE＝∠B. 又∵∠B＝∠F， ∴∠F＝∠ACE＝∠DCA＝∠ECG. 又∵∠D＝90°， ∴∠DCF＋∠F＝90°. ∴∠F＝∠DCA＝∠ACE＝∠ECG＝22.5°. ∴∠AOC＝2∠F＝45°. ∴△CEO是等腰直角三角形． 證法二：設(shè)∠F＝x°， 則∠AOC＝2∠F＝2x°. ∵AD∥OC，∴∠OAF＝∠AOC＝2x°. ∴∠CGA＝

10、∠OAF＋∠F＝3x°. ∵CE⊥AG，AE＝EG， ∴CA＝CG.∴∠EAC＝∠CGA. ∴∠DAC＝∠EAC＝∠CGA＝3x°. 又∵∠DAC＋∠EAC＋∠OAF＝180°， ∴3x°＋3x°＋2x°＝180°. ∴x＝22.5. ∴∠AOC＝2x°＝45°. ∴△CEO是等腰直角三角形． 7．(2017·孝感)如圖，⊙O的直徑AB＝10，弦AC＝6，∠ACB的平分線交⊙O于D，過點(diǎn)D作DE∥AB交CA的延長線于點(diǎn)E，連接AD，BD. (1)由AB，BD，圍成的曲邊三角形的面積是＋； (2)求證：DE是⊙O的切線； (3)求線段DE的長． 解：(2)證

11、明：連接OD. ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD. ∴AD＝DB. 又∵AB為直徑，∴AD⊥DB，∴∠ADB＝90°. ∴OD⊥AB. ∵DE∥AB， ∴OD⊥DE. 又∵OD為⊙O的半徑， ∴DE是⊙O的切線． (3)∵AB＝10，AC＝6， ∴BC＝＝8. 過點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F，則四邊形AODF是正方形， ∴AF＝OD＝FD＝5，∠BAF＝90°. ∵∠EAF＋∠CAB＝90°，∠ABC＋∠CAB＝90°， ∴∠EAF＝∠ABC. ∴tan∠EAF＝tan∠ABC. ∴＝，即＝. ∴EF＝. ∴DE＝DF＋EF＝5＋＝. 8．(2018

12、·株洲)如圖，已知AB為⊙O的直徑，AB＝8，點(diǎn)C和點(diǎn)D是⊙O上關(guān)于直線AB對稱的兩個(gè)點(diǎn)，連接OC，AC，且∠BOC＜90°，直線BC和直線AD相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作直線CG與線段AB的延長線相交于點(diǎn)F，與直線AD相交于點(diǎn)G，且∠GAF＝∠GCE. (1)求證：直線CG為⊙O的切線； (2)若點(diǎn)H為線段OB上一點(diǎn)，連接CH，滿足CB＝CH. ①求證：△CBH∽△OBC； ②求OH＋HC的最大值． 解：(1)證明：∵C，D關(guān)于AB對稱， ∴∠GAF＝∠CAF. ∵∠GAF＝∠GCE， ∴∠GCE＝∠CAF. ∵OA＝OC， ∴∠CAF＝∠ACO.∴∠GCE＝∠ACO.

13、∵AB為直徑， ∴∠ACO＋∠OCB＝90°. ∴∠GCE＋∠OCB＝90°，即∠OCG＝90°. 又∵OC為⊙O的半徑， ∴CG為⊙O的切線． (2)①證明：∵OC＝OB，CH＝BC， ∴∠OCB＝∠OBC，∠CHB＝∠CBH，∠CBH＝∠OBC＝∠OCB＝∠CHB. ∴△CBH∽△OBC. ②∵△CBH∽△OBC，∴＝.∴BH＝. 設(shè)BC＝x，則CH＝x，BH＝. ∴OH＋HC＝－x2＋x＋4＝－(x－2)2＋5. ∴當(dāng)x＝2時(shí)，OH＋HC的最大值為5. 9．(2018·婁底)如圖，C，D是以AB為直徑的⊙O上的點(diǎn)，＝，弦CD交AB于點(diǎn)E. (1)當(dāng)PB是⊙O

14、的切線時(shí)，求證：∠PBD＝∠DAB； (2)求證：BC2－CE2＝CE·DE； (3)已知OA＝4，E是半徑OA的中點(diǎn)，求線段DE的長． 解：(1)證明：∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB＝90°，即∠DAB＋∠ABD＝90°. ∵PB是⊙O的切線， ∴∠ABP＝90°，即∠PBD＋∠ABD＝90°. ∴∠DAB＝∠PBD. (2)證明：∵∠A＝∠C，∠AED＝∠CEB， ∴△ADE∽△CBE. ∴＝，即DE·CE＝AE·BE. 連接OC. 設(shè)圓的半徑為r，則OA＝OB＝OC＝r， 則DE·CE＝AE·BE＝(OA－OE)(OB＋OE)＝r2－OE2. ∵＝， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°. ∴CE2＝OE2＋OC2＝OE2＋r2，BC2＝BO2＋CO2＝2r2，則BC2－CE2＝2r2－(OE2＋r2)＝r2－OE2. ∴BC2－CE2＝DE·CE. (3)∵OA＝4， ∴OB＝OC＝OA＝4. ∴BC＝＝4. 又∵E是半徑OA的中點(diǎn)， ∴AE＝OE＝2. 則CE＝＝＝2. ∵BC2－CE2＝DE·CE， ∴(4)2－(2)2＝DE·2. ∴DE＝. 7