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1、2021-2022年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 植樹問題 　　綠化工程是造福子孫后代的大事。確定在一定條件下栽樹、種花的棵數(shù)是最簡單、最基本的“植樹問題”。還有許多應(yīng)用題可以化為“植樹問題”來解，或借助解“植樹問題”的思考方法來解。 　　先介紹四類最簡單、最基本的植樹問題。 　　為使其更直觀，我們用圖示法來說明。樹用點來表示，植樹的沿線用線來表示，這樣就把植樹問題轉(zhuǎn)化為一條非封閉或封閉的線上的“點數(shù)”與相鄰兩點間的線的段數(shù)之間的關(guān)系問題。 　　顯然，只有下面四種情形： 　　(1)非封閉線的兩端都有“點”時， 　　“點數(shù)”＝“段數(shù)”＋1。 　　(2)非封閉線只有一端有“點”時， 　

2、　“點數(shù)”=“段數(shù)”。 　　(3)非封閉線的兩端都沒有“點”時， 　　“點數(shù)”＝“段數(shù)”-1。 　　(4)封閉線上，“點數(shù)”=“段數(shù)”。 　　最簡單、最基本的植樹問題只有這四類情形。 　　例如，一條河堤長420米，從頭到尾每隔3米栽一棵樹，要栽多少棵樹？這是第(1)種情形，所以要栽樹420÷3＋1＝141(棵)。 　　又如，肖林家門口到公路邊有一條小路，長40米。肖林要在小路一旁每隔2米栽一棵樹，一共要栽多少棵樹？由于門的一端不能栽樹，公路邊要栽樹，所以，屬于第(2)種情形，要栽樹40÷2＝20(棵)。 　　再如，兩座樓房之間相距30米，每隔2米栽一棵樹，一直行能栽多

3、少棵樹？因緊挨樓房的墻根不能栽樹，所以，屬于第(3)種情形，能栽樹30÷2-1＝14(棵)。 　　再例如，一個圓形水池的圍臺圈長60米。如果在此臺圈上每隔3米放一盆花，那么一共能放多少盆花？這屬于第(4)種情形，共能放花60÷3＝20(盆)。 　　許多應(yīng)用題都可以借助或歸結(jié)為上述植樹問題求解。 例1在一段路邊每隔50米埋設(shè)一根路燈桿，包括這段路兩端埋設(shè)的路燈桿，共埋設(shè)了10根。這段路長多少米？ 解：這是第(1)種情形，所以，“段數(shù)”＝10－1＝9。這段路長為50×(10-1)＝450(米)。 　　答：這段路長450米。 例2小明要到高層建筑的11層，他走到5層用了100秒，照此速度

4、計算，他還需走多少秒？ 　　分析：因為1層不用走樓梯，走到5層走了4段樓梯，由此可求出走每段樓梯用100÷(5－1)＝25(秒)。走到11層要走10段樓梯，還要走6段樓梯，所以還需 　　25×6＝150(秒)。 解：［100÷(5-1)］×(11-5)＝150(秒)。 　　答：還需150秒。 例3一次檢閱，接受檢閱的一列彩車車隊共30輛，每輛車長4米，前后每輛車相隔5米。這列車隊共排列了多長？如果車隊每秒行駛2米，那么這列車隊要通過535米長的檢閱場地，需要多少時間？ 解：車隊間隔共有 　　30-1＝29(個)， 　　每個間隔5米，所以，間隔的總長為 　　(30-1)×5＝1

5、45(米)， 　　而車身的總長為30×4＝120(米)，故這列車隊的總長為 　　(30-1)×5+30×4＝265(米)。 　　由于車隊要行265＋535＝800(米)，且每秒行2米，所以，車隊通過檢閱場地需要 　　(265＋535)÷2＝400(秒)＝6分40秒。 　　答：這列車隊共長265米，通過檢閱場地需要6分40秒。 例4下圖是五個大小相同的鐵環(huán)連在一起的圖形。它的長度是多少？十個這樣的鐵環(huán)連在一起有多長？ 解：如上圖所示。關(guān)鍵是求出重疊的“環(huán)扣”數(shù)(每個長6毫米)。根據(jù)植樹問題的第(3)種情形知，五個連在一起的“環(huán)扣”數(shù)為5-1＝4(個)，所以重疊部分的長為 　　

6、6×(5-1)＝24(毫米)， 　　又4厘米=40毫米，所以五個鐵環(huán)連在一起長 　　40×5-6×(5－1)＝176(毫米)。 　　同理，十個鐵環(huán)連在一起的長度為 　　40×10-6×(10-1)=346(毫米)。 　　答：五個鐵環(huán)連在一起的長度為176毫米。十個鐵環(huán)連在一起的長度為346毫米。 例5父子倆一起攀登一個有300個臺階的山坡，父親每步上3個臺階，兒子每步上2個臺階。從起點處開始，父子倆走完這段路共踏了多少個臺階？(重復(fù)踏的臺階只算一個)。 解：因為兩端的臺階只有頂?shù)呐_階被踏過，根據(jù)已知條件，兒子踏過的臺階數(shù)為 　　300÷2＝150(個)， 　　父親踏過的臺階數(shù)

7、為300÷3＝100(個)。 　　由于2×3=6，所以父子倆每6個臺階要共同踏一個臺階，共重復(fù)踏了300÷6＝50(個)。所以父子倆共踏了臺階 　　150＋100-50＝200(個)。 　　答：父子倆共踏了200個臺階。 ? ?練習(xí) 　　1.學(xué)校有一條長60米的走道，計劃在道路一旁栽樹。每隔3米栽一棵。 　　(1)如果兩端都各栽一棵樹，那么共需多少棵樹苗？ 　　(2)如果兩端都不栽樹，那么共需多少棵樹苗？ 　　(3)如果只有一端栽樹，那么共需多少棵樹苗？ 　　2.一個長100米，寬20米的長方形游泳池，在離池邊3米的外圍圈(仍為長方形)上每隔2米種一棵樹。共種了多少棵樹？

8、 　　3.一根90厘米長的鋼條，要鋸成9厘米長的小段，一共要鋸幾次？ 　　4.測量人員測量一條路的長度。先立了一個標桿，然后每隔40米立一根標桿。當立桿10根時，第1根與第10根相距多少米？ 　　5.學(xué)校舉行運動會。參加入場式的儀仗隊共180人，每6人一行，前后兩行間隔120厘米。這個儀仗隊共排了多長？ 　　6.在一條長1200米的河堤邊等距離植樹(兩端都要植樹)。已挖好每隔6米植一棵樹的坑，后要改成每隔4米植一棵樹。還要挖多少個坑？需要填上多少個坑？ 　　7.一個車隊以5米/秒的速度緩緩地通過一座210米長的大橋，共用100秒。已知每輛車長5米，兩車之間相隔10米，那么這個車隊共有

9、多少輛車？ 附送： 2021-2022年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 橫式數(shù)字謎（一） 　　在一個數(shù)學(xué)式子(橫式或豎式)中擦去部分數(shù)字，或用字母、文字來代替部分數(shù)字的不完整的算式或豎式，叫做數(shù)字謎題目。解數(shù)字謎題就是求出這些被擦去的數(shù)或用字母、文字代替的數(shù)的數(shù)值。 　　例如，求算式324+□=528中□所代表的數(shù)。 　　根據(jù)“加數(shù)=和-另一個加數(shù)”知， 　　□=582-324＝258。 　　又如，求右豎式中字母A，B所代表的數(shù)字。顯然個位數(shù)相減時必須借位，所以，由12-B＝5知，B＝12-5＝7；由A-1＝3知，A＝3＋1＝4。 　　解數(shù)字謎問題既能增強數(shù)字運用能力，又能加深對運算

10、的理解，還是培養(yǎng)和提高分析問題能力的有效方法。 　　這一講介紹簡單的算式(橫式)數(shù)字謎的解法。 　　解橫式數(shù)字謎，首先要熟知下面的運算規(guī)則： (1)一個加數(shù)+另一個加數(shù)=和； (2)被減數(shù)-減數(shù)=差； (3)被乘數(shù)×乘數(shù)=積； (4)被除數(shù)÷除數(shù)=商。 　　由它們推演還可以得到以下運算規(guī)則： 　　由(1)，得 和-一個加數(shù)=另一個加數(shù)； 　　其次，要熟悉數(shù)字運算和拆分。例如，8可用加法拆分為 　　8＝0＋8＝1＋7＝2＋6＝3＋5＝4＋4； 　　24可用乘法拆分為 　　24＝1×24=2×12＝3×8＝4×6(兩個數(shù)之積) 　　=1×2×12＝2×2×6=…(三個數(shù)之

11、積) 　　=1×2×2×6＝2×2×2×3=…(四個數(shù)之積) 例1 下列算式中，□，○，△，☆，*各代表什么數(shù)？ (1)□+5＝13-6； (2)28-○＝15＋7； (3)3×△=54； (4)☆÷3＝87； (5)56÷*＝7。 解：(1)由加法運算規(guī)則知，□=13-6-5＝2； (2)由減法運算規(guī)則知，○＝28-(15＋7)＝6； (3)由乘法運算規(guī)則知，△＝54÷3＝18； (4)由除法運算規(guī)則知，☆=87×3＝261； (5)由除法運算規(guī)則知，*＝56÷7＝8。 例2 下列算式中，□，○，△，☆各代表什么數(shù)？ (1)□+□+□=48； (2)○＋○＋6＝21

12、-○； (3)5×△-18÷6＝12； (4)6×3-45÷☆＝13。 解：(1)□表示一個數(shù)，根據(jù)乘法的意義知， 　　□+□+□=□×3， 　　故□=48÷3＝16。 (2)先把左端(○＋○＋6)看成一個數(shù)，就有 　　(○＋○＋6)＋○＝21， 　　○×3＝21-6， 　　○＝15÷3＝5。 (3)把5×△，18÷6分別看成一個數(shù)，得到 　　5×△=12＋18÷6， 　　5×△=15， 　　△=15÷5＝3。 (4)把6×3，45÷☆分別看成一個數(shù)，得到 　　45÷☆＝6×3-13， 　　45÷☆＝5， 　　☆＝45÷5＝9。 例3(1)滿足58＜12×□

13、＜71的整數(shù)□等于幾？ (2)180是由哪四個不同的且大于1的數(shù)字相乘得到的？試把這四個數(shù)按從小到大的次序填在下式的□里。 　　180=□×□×□×□。 (3)若數(shù)□，△滿足 　　□×△=48和□÷△=3， 　　則□，△各等于多少？ 分析與解：(1)因為 　　58÷12＝4……10，71÷12＝5……11， 　　并且□為整數(shù)，所以，只有□=5才滿足原式。 (2)拆分180為四個整數(shù)的乘積有很多種方法，如 　　180＝1×4×5×9＝1×2×3×30＝… 　　但拆分成四個“大于1”的數(shù)字的乘積，范圍就縮小了，如 　　180＝2×2×5×9＝2×3×5×6＝… 　　若再限

14、制拆分成四個“不同的”數(shù)字的乘積，范圍又縮小了。按從小到大的次序排列只有下面一種： 　　180＝2×3×5×6。 　　所以填的四個數(shù)字依次為2，3，5，6。 (3)首先，由□÷△=3知，□＞△，因此，在把48拆分為兩數(shù)的乘積時，有 　　48＝48×1＝24×2＝16×3＝12×4＝8×6， 　　其中，只有48＝12×4中，12÷4=3，因此 　　□=12，△=4。 　　這道題還可以這樣解：由□÷△=3知，□=△×3。把□×△=48中的□換成△×3，就有 　　(△×3)×△＝48， 　　于是得到△×△=48÷3＝16。因為16＝4×4，所以△=4。再把□=△×3中的△換成4，就

15、有 　　□=△×3=4×3=12。 　　這是一種“代換”的思想，它在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用十分廣泛。 　　下面，我們再結(jié)合例題講一類“填運算符號”問題。 例4 在等號左端的兩個數(shù)中間添加上運算符號，使下列各式成立： (1)4 4 4 4＝24； (2)5 5 5 5 5=6。 解：(1)因為4＋4＋4＋4＜24，所以必須填一個“×”。4×4＝16，剩下的兩個4只需湊成8，因此，有如下一些填法： 　　4×4＋4＋4＝24； 　　4＋4×4＋4＝24； 　　4＋4＋4×4＝24。 (2)因為5+1=6，等號左端有五個5，除一個5外，另外四個5湊成1，至少要有一個“÷”，有如下填

16、法： 　　5÷5+5-5+5＝6； 　　5＋5÷5＋5-5＝6； 　　5＋5×5÷5÷5=6； 　　5＋5÷5×5÷5＝6。 　　由例4看出，填運算符號的問題一般會有多個解。這些填法都是通過對問題的綜合觀察、分析和試算得到的，如果只是盲目地“試算”，那么就可能走很多彎路。 例5 在下式的兩數(shù)中間添上四則運算符號，使等式成立： 　　8 2 3＝3 3。 分析與解：首先考察右端“3 3”，它有四種填法： 　　3+3＝6； 3-3＝0； 　　3×3＝9； 3÷3=1。 　　再考察左端“8 2 3”，因為只有一個奇數(shù)3，所以要想得到奇數(shù)，3的前面只能填“＋”或“-”，要想得到偶數(shù)，3的前面只能填“×”。經(jīng)試算，只有兩種符合題意的填法： 　　8-2＋3＝3×3；8÷2-3＝3÷3。 　　填運算符號可加深對四則運算的理解和認識，也是培養(yǎng)分析能力的好內(nèi)容。 ?