《備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學(xué)十大題型專(zhuān)練卷 題型08 與圓有關(guān)的證明與計(jì)算題（含解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學(xué)十大題型專(zhuān)練卷 題型08 與圓有關(guān)的證明與計(jì)算題（含解析）（32頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、題型08 與圓有關(guān)的證明與計(jì)算題 一、單選題 1．如圖，是的弦，交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，則的度數(shù)為（ ）． A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】D 【分析】由垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證出∠OAC=∠OCA=∠AOC，得出△OAC是等腰三角形，得出∠BOC=∠AOC=60°即可． 【詳解】解：如圖，∵， ∴． ∵是的弦，交于點(diǎn)， ∴． ∴． 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，解題關(guān)鍵證明. 2．如圖，為的切線，切點(diǎn)為，連接，與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為( ) A． B． C． D． 【答案

2、】D 【分析】由切線性質(zhì)得到，再由等腰三角形性質(zhì)得到，然后用三角形外角性質(zhì)得出 【詳解】切線性質(zhì)得到 故選D 【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的切線性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等，掌握基礎(chǔ)定義是解題關(guān)鍵 3．如圖，是的內(nèi)接三角形，，過(guò)點(diǎn)的圓的切線交于點(diǎn)，則的度數(shù)為（ ） A．32° B．31° C．29° D．61° 【答案】A 【分析】根據(jù)題意連接OC，為直角三角形，再根據(jù)BC的優(yōu)弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍，可計(jì)算的的度，再根據(jù)直角三角形可得的度數(shù). 【詳解】根據(jù)題意連接OC.因?yàn)? 所以可得BC所對(duì)的大圓心角為 因?yàn)锽D為直徑，所以可得 由

3、于為直角三角形 所以可得 故選A. 【點(diǎn)睛】本題主要考查圓心角的計(jì)算，關(guān)鍵在于圓心角等于同弧所對(duì)圓周角的2倍. 4．如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧，點(diǎn)是這段弧所在圓的圓心，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，則這段彎路所在圓的半徑為（　?。? A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根據(jù)題意，可以推出AD＝BD＝20，若設(shè)半徑為r，則OD＝r﹣10，OB＝r，結(jié)合勾股定理可推出半徑r的值． 【詳解】解：， ， 在中，， 設(shè)半徑為得：， 解得：， 這段彎路的半徑為 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理的應(yīng)用、勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵在于設(shè)出半徑為r后，用r表示出OD、OB的

4、長(zhǎng)度． 5．如圖，點(diǎn)為扇形的半徑上一點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)處，且（表示的長(zhǎng)），若將此扇形圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的底面半徑與母線長(zhǎng)的比為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】連接OD，求出∠AOB，利用弧長(zhǎng)公式和圓的周長(zhǎng)公式求解即可. 【詳解】解：連接交AC于． 由折疊的知識(shí)可得：，， ， ， 且， 設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為， ， ． 故選：． 【點(diǎn)睛】本題考查的是扇形，熟練掌握?qǐng)A錐的弧長(zhǎng)公式和圓的周長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵. 6．如圖，邊長(zhǎng)為的等邊的內(nèi)切圓的半徑為( ) A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分

5、析】連接AO、CO，CO的延長(zhǎng)線交AB于H，如圖，利用內(nèi)心的性質(zhì)得CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠CAB=60°，CH⊥AB，則∠OAH=30°，AH=BH= AB=3，然后利用正切的定義計(jì)算出OH即可． 【詳解】設(shè)的內(nèi)心為O，連接AO、BO，CO的延長(zhǎng)線交AB于H，如圖， ∵為等邊三角形， ∴CH平分，AO平分，∵為等邊三角形， ∴，， ∴，， 在中，∵， ∴， 即內(nèi)切圓的半徑為1． 故選A． 【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．

6、 7．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中點(diǎn)為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑作半圓交AC于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】連接OD，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AC，垂足為 H，則有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，繼而可求得OH、AH長(zhǎng)，根據(jù)圓周角定理可求得∠BOC =60°，然后根據(jù)S陰影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD進(jìn)行計(jì)算即可. 【詳解】連接OD，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AC，垂足為 H， 則有AD=2AH，∠AHO=90°， 在Rt△ABC中，∠ABC=

7、90°，AB=，BC=2，tan∠A=， ∴∠A=30°， ∴OH=OA=，AH=AO?cos∠A=，∠BOC=2∠A=60°， ∴AD=2AH=， ∴S陰影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD==， 故選A. 【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，扇形面積，解直角三角形等知識(shí)，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵. 8．如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，則陰影部分(即四邊形AEOF)的面積是( ) A．4 B．6.25 C．7.5 D．9 【答案】A 【分析】先利用勾

8、股定理判斷△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°，繼而證明四邊形AEOF為正方形，設(shè)⊙O的半徑為r，利用面積法求出r的值即可求得答案. 【詳解】∵AB=5，BC=13，CA=12， ∴AB2+AC2=BC2， ∴△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°， ∵⊙O為△ABC內(nèi)切圓， ∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF， ∴四邊形AEOF為正方形， 設(shè)⊙O的半徑為r， ∴OE=OF=r， ∴S四邊形AEOF=r2， 連接AO，BO，CO， ∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC， ∴， ∴r=2， ∴S四邊形AEOF=r2=4， 故選A. 【

9、點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓，勾股定理的逆定理，正方形判定與性質(zhì)，面積法等，正確把握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵. 9．如圖，是的直徑，，是上的兩點(diǎn)，且平分，分別與，相交于點(diǎn)，，則下列結(jié)論不一定成立的是（　?。? A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圓周角定理和角平分線得出，，由等腰三角形的性質(zhì)得出，得出，證出，選項(xiàng)A成立；由平行線的性質(zhì)得出，選項(xiàng)B成立；由垂徑定理得出，選項(xiàng)D成立；和中，沒(méi)有相等的邊，與不全等，選項(xiàng)C不成立，即可得出答案． 【詳解】∵是的直徑，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，選項(xiàng)A成立； ∴，選項(xiàng)B成立； ∴，選項(xiàng)D成立； ∵和中

10、，沒(méi)有相等的邊， ∴與不全等，選項(xiàng)C不成立， 故選C． 【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是熟練掌圓周角定理和垂徑定理． 10．如圖，在中，以BC為直徑的半圓O交斜邊AB于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論． 【詳解】解：∵在中，， ， ， ，BC為半圓O的直徑， ， ， ， 圖中陰影部分的面積 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積公式、直角三角形的性質(zhì)、解題

11、的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分割法求面積。 二、填空題 11．如圖，的兩條相交弦、，，，則的面積是_______． 【答案】． 【分析】由，而，所以，得到為等邊三角形，又，從而求得半徑，即可得到的面積． 【詳解】解：∵， 而， ∴， ∴為等邊三角形， ∵， ∴圓的半徑為2， ∴的面積是， 故答案為． 【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，解題的關(guān)鍵是能夠求得圓的半徑，難度不大． 12．如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中心與半徑為2的⊙O的圓心重合,E、F分別是AD、BA的延長(zhǎng)與⊙O的交點(diǎn),則圖中陰影部分的面積是______.(結(jié)果保留) 【答案】－1 【分析】延長(zhǎng)DC，CB交⊙O

12、于M，N，根據(jù)圓和正方形的面積公式即可得到結(jié)論． 【詳解】解：延長(zhǎng)DC，CB交⊙O于M，N， 則圖中陰影部分的面積＝×（S圓O?S正方形ABCD）＝×（4π?4）＝π?1， 故答案為：π?1． 【點(diǎn)睛】本題考查了圓中陰影部分面積的計(jì)算，正方形的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵． 13．如圖，為的直徑，弦，垂足為，，，，則弦的長(zhǎng)度為_(kāi)_____． 【答案】 【分析】連接、，交于，如圖，利用垂徑定理得到，設(shè)的半徑為，則，，根據(jù)勾股定理得到，解得，再利用垂徑定理得到，，則，，然后解方程組求出，從而得到的長(zhǎng)． 【詳解】連接、，交于，如圖， ∵， ， 設(shè)⊙的半徑為，則，

13、， 在中，，解得， ∵， ，， 在中，，① 在中，，② 解由①②組成的方程組得到， ． 故答案為． 【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了垂徑定理． 14．如圖，分別以等邊三角形的每個(gè)頂點(diǎn)以圓心、以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形稱為勒洛三角形.若等邊三角形的邊長(zhǎng)為，則勒洛三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)_________． 【答案】 【分析】勒洛三角形的周長(zhǎng)為3段相等的弧，計(jì)算弧長(zhǎng)即可. 【詳解】勒洛三角形的周長(zhǎng)為3段相等的弧，每段弧的長(zhǎng)度

14、為： 則勒洛三角形的周長(zhǎng)為： 故答案為： 【點(diǎn)晴】考查弧長(zhǎng)公式，熟記弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵. 15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，與交于點(diǎn)，，則圓中陰影部分的面積為_(kāi)____． 【答案】 【分析】由圓周角定理可得，在Rt△AOB中，利用解直角三角形求出OA、AB的長(zhǎng)，然后根據(jù)S陰=S半-S△ABO求解即可. 【詳解】連接， ∵， ∴是直徑， 根據(jù)同弧對(duì)的圓周角相等得， ∵， ∴，，即圓的半徑為2， ∴． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查了：①同弧對(duì)的圓周角相等；②90°的圓周角對(duì)的弦是直徑；③銳角三角函數(shù)的概念；④

15、圓、直角三角形的面積分式．熟練掌握?qǐng)A周角定理是解答本題的關(guān)鍵. 16．如圖，是圓的弦，，垂足為點(diǎn)，將劣弧沿弦折疊交于的中點(diǎn)，若，則圓的半徑為_(kāi)____． 【答案】． 【分析】連接OA，設(shè)半徑為x，用x表示OC，根據(jù)勾股定理建立x的方程，便可求得結(jié)果． 【詳解】解：連接OA，設(shè)半徑為x， 將劣弧沿弦AB折疊交于OC的中點(diǎn)D， ，， ， ， ， 解得，． 故答案為． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列出半徑的方程． 17．如圖，扇形中，.為弧上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，與交于點(diǎn)，若，則該扇形的半徑長(zhǎng)為_(kāi)__________

16、 【答案】5 【分析】連接OP，設(shè)半徑為r，在直角三角形OCP中利用勾股定理將CO用r表示，得到AC，又有△ACD∽△AOB，利用，解出r即可 【詳解】連接OP，設(shè)半徑為r，則OP=OA=OB=r，PC=PD+CD=3, 在直角三角形OCP中，，即得OC2=r2-9，得到OC= 得到AC=，又易知△ACD∽△AOB，所以，即， 得到，解出r=5；故填5 【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理及相似三角形的證明與性質(zhì)，本題關(guān)鍵在于能夠連OP，表示出AC 18．如圖，在圓心角為90°的扇形中，，為上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)為的內(nèi)心，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，則內(nèi)心所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)____．

17、 【答案】 【分析】以為斜邊在的右邊作等腰，以為圓心為半徑作⊙，在優(yōu)弧上取一點(diǎn)H，連接，，，．求出，證，得，由，證四點(diǎn)共圓，故點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是，由弧長(zhǎng)公式可得. 【詳解】如圖，以為斜邊在的左邊作等腰，以為圓心為半徑作⊙，在優(yōu)弧上取一點(diǎn)H，連接，，，． ∵， ∴， ∵點(diǎn)是內(nèi)心， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四點(diǎn)共圓， ∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是， ∴內(nèi)心所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)， 故答案為． 【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算公式：l= ，其中l(wèi)表示弧長(zhǎng)，n表示弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)．同時(shí)考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、圓周角定理和圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．

18、 19．如圖，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧交于點(diǎn)，點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則陰影部分的面積為_(kāi)____. 【答案】 【分析】根據(jù)題意連接OC，可得陰影部分的面積等于兩個(gè)陰影部分面積之和，再根據(jù)弧AC所對(duì)的陰影部分面積等于弧AC所對(duì)圓心角的面積減去的面積，而不規(guī)則圖形BCD的面積等于的面積減去弧DC所對(duì)圓心角的面積.進(jìn)而可得陰影部分的面積. 【詳解】解：根據(jù)題意連接OC 為等邊三角形 陰影部分面積1= 陰影部分面積2= 陰影部分面積=陰影部分面積1+陰影部分面積2= 故答案為。 【點(diǎn)睛】本題只要考查圓弧的面積計(jì)算，關(guān)鍵在于陰影部分面積的分割. 20．如圖，在扇

19、形AOB中，，半徑OC交弦AB于點(diǎn)D，且．若，則陰影部分的面積為_(kāi)____． 【答案】 【分析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后根據(jù)圖形可知陰影部分的面積是的面積與扇形OBC的面積之和再減去的面積，本題得以解決． 【詳解】 解：作于點(diǎn)F， 在扇形AOB中，，半徑OC交弦AB于點(diǎn)D，且．， ，，， ， ，，，， ， 陰影部分的面積是：， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答． 三、解答題 21．如圖，內(nèi)接于，直徑交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使，連接并延長(zhǎng)交過(guò)點(diǎn)A的切線于點(diǎn)G，且滿足，連接，若，． （1）求證：；

20、 （2）求的半徑； （3）求證：是的切線． 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）的半徑為；（3）見(jiàn)解析. 【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和圓周角定理，結(jié)合題意進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案； （2）根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)，得到，從而得出答案； （3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案. 【詳解】解：（1）∵是的切線，是的直徑， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴設(shè)，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（負(fù)值舍去）， ∴， ∴的半徑為； （3）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的切線． 【點(diǎn)睛】本題考查平行

21、線的性質(zhì)、圓周角定理、三角函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)、圓周角定理、三角函數(shù)、相似三角形的性質(zhì). 22．如圖,內(nèi)接于，.將斜邊繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn). （1）求證：是的切線; （2）連接交于點(diǎn)，連接 求證：. 【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析 【分析】（1）因?yàn)橹苯侨切蔚耐庑臑樾边呏悬c(diǎn)，所以點(diǎn)O在AB上，AB為⊙O直徑，故只需證AD⊥AB即可．由∠ABC+∠BAC=90°和∠DAE=∠ABC可證得∠DAE+∠BAC=90°，而E、A、C在同一直線上，用180°減去90°即為∠BAD=90°，得證． （2）由

22、（1）利用勾股定理得出，公積金圖形得出，可知，即可得到，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，又因?yàn)?，即可解? 【詳解】（1）證明：且 為的半徑 為的切線 （2）證明：由①知 由模型可知， 【點(diǎn)睛】此題考查三角形相似，圓切線證明，解題關(guān)鍵在于證明AD⊥AB 23．如圖1，有一個(gè)殘缺的圓，請(qǐng)做出殘缺圓的圓心（保留作圖痕跡，不寫(xiě)做法） 如圖2，設(shè)是該殘缺圓的直徑，是圓上一點(diǎn)，的角平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)． （1）求證：；（2）若，，求殘缺圓的半圓面積． 【答案】圖1做圖題作法：詳見(jiàn)解析；圖2解答過(guò)程：（1）詳見(jiàn)解析；（2

23、）5π 【分析】作弦，，再作兩弦的垂直平分線，兩垂直平分線的交點(diǎn)O即為圓心． （1）連接交于，由切線的性質(zhì)可得，然后證明∥即可； （2）首先證明四邊形是矩形，然后求出BC，再利用勾股定理求出AB即可解決問(wèn)題． 【詳解】解：圖1做圖題作法： ①在殘缺的圓上取兩條不平行的弦和； ②以點(diǎn)為圓心大于一半長(zhǎng)為半徑在兩側(cè)作圓??； ③以點(diǎn)為圓心，同樣長(zhǎng)的半徑在兩側(cè)作圓弧與②中的圓弧交于，兩點(diǎn)； ④作直線即為線段的垂直平分線； ⑤以同樣的方法做線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)即為該殘缺圓的圓心. 圖2解答過(guò)程： （1）證明：連接交于 ∵為的切線 ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴∥

24、 ∴ （2）解： ∵是的直徑 ∴ ∵∥ ∴ ∴，四邊形為矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【點(diǎn)睛】本題考查作圖?復(fù)雜作圖，切線的性質(zhì)，垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型． 24．如圖1，已知⊙O外一點(diǎn)P向⊙O作切線PA，點(diǎn)A為切點(diǎn)，連接PO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)B，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作，分別交PB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，連接AD． （1）求證：△APO～△DCA； （2）如圖2，當(dāng)時(shí) ①求的度數(shù)； ②連接AB，在⊙O上是否存在點(diǎn)Q使得四邊形APQB是菱形．若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值；若不存在，請(qǐng)

25、說(shuō)明理由． 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①；②存在，. 【分析】（1）由切線性質(zhì)和直徑AC可得，由可得，即可得：； （2）①連接OD，由可得△OAD是等邊三角形，由此可得，； ②作交⊙O于Q，可證ABQP為菱形，求可轉(zhuǎn)化為求． 【詳解】（1）∵PA切⊙O于點(diǎn)A，AC是⊙O的直徑， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）如圖2，連接OD， ①∵ ，， ∴△是等邊三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ②存在．如圖2，過(guò)點(diǎn)B作交⊙O于Q，連接PQ，BC，CQ， 由①得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴

26、∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四邊形ABQP是平行四邊形， ∵， ∴四邊形ABQP是菱形， ∴ ∴， 【點(diǎn)睛】本題是有關(guān)圓的綜合題，難度不大；主要考查了切線性質(zhì)，圓周角與圓心角，等邊三角形性質(zhì)，特殊角三角函數(shù)值，菱形性質(zhì)等． 25．四邊形是的圓內(nèi)接四邊形，線段是的直徑，連結(jié)．點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，連結(jié)，且，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線相交與點(diǎn)． （1）求證：四邊形是平行四邊形； （2）若， ①求證：為等腰直角三角形； ②求的長(zhǎng)度． 【答案】（1）見(jiàn)解析;（2）①見(jiàn)解析;②. 【分析】（1）由圓周角的定理可得，可證，由一組對(duì)邊平行且相等的是四邊形是平行四邊形可證四邊形

27、是平行四邊形； （2）①由平行線的性質(zhì)可證，由，可證為等腰直角三角形； ②通過(guò)證明，可得，可得，通過(guò)證明，可得，可得，可求，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求的長(zhǎng)度． 【詳解】證明：（1）∵， ∴， ∴，且， ∴四邊形是平行四邊形， （2）①∵是直徑， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，且， ∴為等腰直角三角形； ②∵四邊形是的圓內(nèi)接四邊形， ∴，且， ∴， ∴，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，且為等腰直角三角形， ∴， 【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識(shí)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形

28、的判定和性質(zhì)等知識(shí)，求的長(zhǎng)度是本題的關(guān)鍵． 26．如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線與的外接圓交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn). （1）求證：； （2）求證：； （3）若，，求的長(zhǎng). 【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）3 【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)得，再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得，則，從而得到，則可判斷； (2)根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)得，然后證明得到； (3)證明，利用相似比得到，則，然后計(jì)算即可． 【詳解】(1)∵點(diǎn)是的內(nèi)心， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)∵點(diǎn)是的內(nèi)心， ∴， ∵， 即，

29、 ∴； (3)∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、三角形的外心、圓周角定理等知識(shí)，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 27．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在上，將沿折疊，點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上的點(diǎn).為上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，. (1)求證：是的切線； (2)在邊上截取，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn). 【分析】(1)連接，由等腰三角形性質(zhì)和折疊性質(zhì)證，根據(jù)矩形性質(zhì)證；（2）根據(jù)矩形性質(zhì)和勾股定理求CE,CF,由得出結(jié)論. 【詳解】解：(1)證明：連接

30、， ∵， ∴. 由折疊可知， ∴. ∴. ∴. ∵四邊形是矩形， ∴. ∴.即. ∴是的切線； (2)點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn). ∵四邊形是矩形， ∴，. ∴. ∵， ∴. ∴. ∴. ∴點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn). 【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：矩形性質(zhì)，切線判定.根據(jù)需要尋找條件是關(guān)鍵. 28．宿遷市政府為了方便市民綠色出行，推出了共享單車(chē)服務(wù)．圖①是某品牌共享單車(chē)放在水平地面上的實(shí)物圖，圖②是其示意圖，其中、都與地面l平行，車(chē)輪半徑為，，，坐墊與點(diǎn)的距離為. （1）求坐墊到地面的距離； （2）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)坐墊到的距離調(diào)整為人體腿長(zhǎng)的0.8時(shí)，坐騎比較舒適

31、．小明的腿長(zhǎng)約為，現(xiàn)將坐墊調(diào)整至坐騎舒適高度位置，求的長(zhǎng)． （結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，） 【答案】（1）99.5（2）3.9 【分析】（1）作于點(diǎn)，由可得答案； （2）作于點(diǎn)，先根據(jù)求得的長(zhǎng)度，再根據(jù)可得答案 【詳解】（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)， 由題意知、， ∴， 則單車(chē)車(chē)座到地面的高度為； （2）如圖2所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)， 由題意知， 則， ∴. 【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用銳角三角函數(shù)進(jìn)行解答． 29．（材料閱讀）:地球是一個(gè)球體，任意兩條相對(duì)的子午線都組成一個(gè)經(jīng)線圈（如圖中的）．人們?cè)诒卑肭蚩捎^測(cè)到北極星，我國(guó)古人在

32、觀測(cè)北極星的過(guò)程中發(fā)明了如圖所示的工具尺（古人稱它為“復(fù)矩”），尺的兩邊互相垂直，角頂系有一段棉線，棉線末端系一個(gè)銅錘，這樣棉線就與地平線垂直．站在不同的觀測(cè)點(diǎn)，當(dāng)工具尺的長(zhǎng)邊指向北極星時(shí)，短邊與棉線的夾角的大小是變化的． （實(shí)際應(yīng)用）:觀測(cè)點(diǎn)在圖1所示的上，現(xiàn)在利用這個(gè)工具尺在點(diǎn)處測(cè)得為，在點(diǎn)所在子午線往北的另一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，用同樣的工具尺測(cè)得為．是的直徑，． （1）求的度數(shù)； （2）已知km，求這兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)之間的距離即上的長(zhǎng)．（取） 【答案】（1）；（2）（km）． 【分析】（1）設(shè)點(diǎn)B的切線CB交ON延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，HD⊥BC于D，CH⊥BH交BC于點(diǎn)C，則∠DHC=67°，證出

33、∠HBD=∠DHC=67°，由平行線的性質(zhì)得出∠BEO=∠HBD=67°，由直角三角形的性質(zhì)得出∠BOE=23°，得出∠POB=90°-23°=67°； （2）同（1）可證∠POA=31°，求出∠AOB=∠POB-∠POA=36°，由弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)果． 【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的切線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，于，交于點(diǎn)，如圖所示： 則， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）同（1）可證， ， （km）． 【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)；熟練掌握切線的性質(zhì)和弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵． 30．如圖，是上的5等分點(diǎn)，連接，得到一個(gè)五角星圖形和五邊形

34、． （1）計(jì)算的度數(shù)； （2）連接，證明：； （3）求證：． 【答案】(1)36°;(2)見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析. 【分析】（1）由題意可得∠COD=70°，由圓周角的定理可得∠CAD=36°； （2）由圓周角的定理可得∠CAD=∠DAE=∠AEB=36°，可求∠AME=∠CAE=72°，可得AE=ME； （3）通過(guò)證明△AEN∽△BEA，可得，可得ME2=BE?NE，通過(guò)證明BM=NE，即可得結(jié)論． 【詳解】（1）∵是上的5等分點(diǎn)， ∴的度數(shù) ∴ ∵ ∴ （2）連接 ∵是上的5等分點(diǎn)， ∴ ∴ ∴，且 ∴ ∴ ∴ （3）連接 ∵ ∴，且 ∴ ∴ ∴，且 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，且 ∴ ∴ ∴ 【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識(shí)，相似三角形的性質(zhì)和判定，證明△AEN∽△BEA是本題的關(guān)鍵． 32