《六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題-2019小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)及公式總匯(必背) 人教新課標(biāo)（2014秋）（無(wú)答案）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題-2019小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)及公式總匯(必背) 人教新課標(biāo)（2014秋）（無(wú)答案）（30頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)及公式總匯（必背） 1．和差倍問(wèn)題 2 2．年齡問(wèn)題的三個(gè)基本特征： 3．歸一問(wèn)題的基本特點(diǎn)： 4．植樹(shù)問(wèn)題 5．雞兔同籠問(wèn)題 6．盈虧問(wèn)題 3 7．牛吃草問(wèn)題 8．周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律 9．平均數(shù) 10．抽屜原理 4 11．定義新運(yùn)算 12．?dāng)?shù)列求和 13．二進(jìn)制及其應(yīng)用 5 14．加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù) 15．質(zhì)數(shù)與合數(shù) 6 16．約數(shù)與倍數(shù) 17．?dāng)?shù)的整除 7 18．余數(shù)及其應(yīng)用 19．余數(shù)、同余與周期 20．分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用 8 21．分?jǐn)?shù)大小的比較

2、 9 22．分?jǐn)?shù)拆分 23．完全平方數(shù) 24．比和比例 10 25．綜合行程 26．工程問(wèn)題 27．邏輯推理 11 28．幾何面積 29．立體圖形 30．時(shí)鐘問(wèn)題—快慢表問(wèn)題 12 31．時(shí)鐘問(wèn)題—鐘面追及 32．濃度與配比 33．經(jīng)濟(jì)問(wèn)題 13 33．經(jīng)濟(jì)問(wèn)題 34．簡(jiǎn)單方程 35．不定方程 36．循環(huán)小數(shù) 14 1． 和差倍問(wèn)題 和差問(wèn)題 和倍問(wèn)題 差倍問(wèn)題 已知條件 幾個(gè)數(shù)的和與差 幾個(gè)數(shù)的和與倍數(shù) 幾個(gè)數(shù)的差與倍數(shù) 公式適用范圍 已知兩個(gè)數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系 公式 ①(和－差)÷

3、2=較小數(shù) 較小數(shù)＋差=較大數(shù) 和－較小數(shù)=較大數(shù) ②(和＋差)÷2=較大數(shù) 較大數(shù)－差=較小數(shù) 和－較大數(shù)=較小數(shù) 和÷(倍數(shù)＋1)=小數(shù) 小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù) 和－小數(shù)=大數(shù) 差÷(倍數(shù)-1)=小數(shù) 小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù) 小數(shù)＋差=大數(shù) 關(guān)鍵問(wèn)題 求出同一條件下的 和與差 和與倍數(shù) 差與倍數(shù) 2．年齡問(wèn)題的三個(gè)基本特征： ①兩個(gè)人的年齡差是不變的； ②兩個(gè)人的年齡是同時(shí)增加或者同時(shí)減少的； ③兩個(gè)人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的； 3．歸一問(wèn)題的基本特點(diǎn)： 問(wèn)題中有一個(gè)不變的量，一般是那個(gè)“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”……等詞語(yǔ)來(lái)表示。 關(guān)鍵問(wèn)題：根

4、據(jù)題目中的條件確定并求出單一量； 4．植樹(shù)問(wèn)題 基本類(lèi)型 在直線或者不封閉的曲線上植樹(shù)，兩端都植樹(shù) 在直線或者不封閉的曲線上植樹(shù)，兩端都不植樹(shù) 在直線或者不封閉的曲線上植樹(shù)，只有一端植樹(shù) 封閉曲線上植樹(shù) 基本公式 棵數(shù)=段數(shù)＋1 棵距×段數(shù)=總長(zhǎng) 棵數(shù)=段數(shù)－1 棵距×段數(shù)=總長(zhǎng) 棵數(shù)=段數(shù) 棵距×段數(shù)=總長(zhǎng) 關(guān)鍵問(wèn)題 確定所屬類(lèi)型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系 5．雞兔同籠問(wèn)題 基本概念：雞兔同籠問(wèn)題又稱(chēng)為置換問(wèn)題、假設(shè)問(wèn)題，就是把假設(shè)錯(cuò)的那部分置換出來(lái)； 基本思路：①假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）： ②假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差

5、，找出這個(gè)差是多少； ③每個(gè)事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的原因； ④再根據(jù)這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。 基本公式： ①把所有雞假設(shè)成兔子：雞數(shù)＝（兔腳數(shù)×總頭數(shù)－總腳數(shù)）÷（兔腳數(shù)－雞腳數(shù)） ②把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)＝（總腳數(shù)一雞腳數(shù)×總頭數(shù)）÷（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)） 關(guān)鍵問(wèn)題：找出總量的差與單位量的差。 6．盈虧問(wèn)題 基本概念：一定量的對(duì)象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于 分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對(duì)象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭浚? 基本思路：先將兩種分配方案進(jìn)行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變

6、化，根據(jù)這個(gè)關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對(duì)象的總量． 基本題型： ①一次有余數(shù)，另一次不足；基本公式：總份數(shù)＝（余數(shù)＋不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差 ②當(dāng)兩次都有余數(shù)；基本公式：總份數(shù)＝（較大余數(shù)一較小余數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差 ③當(dāng)兩次都不足；基本公式：總份數(shù)＝（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差 基本特點(diǎn)：對(duì)象總量和總的組數(shù)是不變的。 關(guān)鍵問(wèn)題：確定對(duì)象總量和總的組數(shù)。 7．牛吃草問(wèn)題 基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長(zhǎng)速度和總草量。 基本特點(diǎn)：原草量和新草生長(zhǎng)速度是不變

7、的； 關(guān)鍵問(wèn)題：確定兩個(gè)不變的量。 基本公式： 生長(zhǎng)量=（較長(zhǎng)時(shí)間×長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù) - 較短時(shí)間×短時(shí)間牛頭數(shù)）÷（長(zhǎng)時(shí)間-短時(shí)間）； 總草量= 較長(zhǎng)時(shí)間×長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù)- 較長(zhǎng)時(shí)間×生長(zhǎng)量； 8．周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律 周期現(xiàn)象：事物在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。 周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間叫周期。 關(guān)鍵問(wèn)題：確定循環(huán)周期。 閏年：一年有366天； ①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除； 平年：一年有365天。 ①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除； 9．平均數(shù) 基本公式：①平均數(shù)=總

8、數(shù)量÷總份數(shù) 總數(shù)量=平均數(shù)×總份數(shù) 總份數(shù)=總數(shù)量÷平均數(shù) ②平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)＋每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和÷總份數(shù) 基本算法： ①求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式①進(jìn)行計(jì)算. ②基準(zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均數(shù)；最后求這個(gè)差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見(jiàn)基本公式② 10．抽屜原理 抽屜原則一：如果把（n+1）個(gè)物體放在n個(gè)抽屜里，那么必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。 例：把4個(gè)物體放在3個(gè)抽屜里，也就是把4分解成三個(gè)

9、整數(shù)的和，那么就有以下四種情況： ①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1 觀察上面四種放物體的方式，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特點(diǎn)：總有那么一個(gè)抽屜里有2個(gè)或多于2個(gè)物體，也就是說(shuō)必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。 抽屜原則二：如果把n個(gè)物體放在m個(gè)抽屜里，其中n>m，那么必有一個(gè)抽屜至少有: ①k=[n/m ]+1個(gè)物體：當(dāng)n不能被m整除時(shí)。 ②k=n/m個(gè)物體：當(dāng)n能被m整除時(shí)。 理解知識(shí)點(diǎn)：[X]表示不超過(guò)X的最大整數(shù)。 例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2； 關(guān)鍵問(wèn)題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依

10、據(jù)抽屜原則進(jìn)行運(yùn)算。 11．定義新運(yùn)算 基本概念：定義一種新的運(yùn)算符號(hào)，這個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)包含有多種基本（混合）運(yùn)算。 基本思路：嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后按照基本運(yùn)算過(guò)程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。 關(guān)鍵問(wèn)題：正確理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義。 注意事項(xiàng)：①新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。 ②每個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中使用。 12．?dāng)?shù)列求和 等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。 基本概念：首項(xiàng)：等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)，一般用a1表示； 項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用n表示； 公差：

11、數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用d表示； 通項(xiàng)：表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的公式，一般用an表示； 數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示． 基本思路：等差數(shù)列中涉及五個(gè)量：a1 ,an, d, n, sn,,通項(xiàng)公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可求出第四個(gè)；求和公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可以求這第四個(gè)。 基本公式：通項(xiàng)公式：an = a1+（n－1）d；通項(xiàng)＝首項(xiàng)＋（項(xiàng)數(shù)一1) ×公差； 數(shù)列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2；數(shù)列和＝（首項(xiàng)＋末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2； 項(xiàng)數(shù)公式：n= (an+ a1)÷d＋1；項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差＋1； 公差公式：d

12、=（an－a1））÷（n－1）；公差=（末項(xiàng)－首項(xiàng)）÷（項(xiàng)數(shù)－1）； 關(guān)鍵問(wèn)題：確定已知量和未知量，確定使用的公式； 13．二進(jìn)制及其應(yīng)用 十進(jìn)制：用0～9十個(gè)數(shù)字表示，逢10進(jìn)1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。 =An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100 注意：N0=１；N１=N（其中N是任意自然數(shù)） 二進(jìn)制：用0～1兩個(gè)數(shù)字表示，逢2進(jìn)1；不同數(shù)位

13、上的數(shù)字表示不同的含義。 （2）= An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7 +……+A3×22+A2×21+A1×20 注意：An不是0就是1。 十進(jìn)制化成二進(jìn)制： ①根據(jù)二進(jìn)制滿2進(jìn)1的特點(diǎn)，用2連續(xù)去除這個(gè)數(shù)，直到商為0，然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫(xiě)出即可。 ②先找出不大于該數(shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個(gè)差的2的n次方，依此方法一直找到差為0，按照二進(jìn)制展開(kāi)式特點(diǎn)即可寫(xiě)出。 14．加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù) 加法原理：如果完成一件任務(wù)有n類(lèi)方法，在第一類(lèi)方法中有m1種不同方法，在第

14、二類(lèi)方法中有m2種不同方法……，在第n類(lèi)方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1+ m2....... +mn種不同的方法。 關(guān)鍵問(wèn)題：確定工作的分類(lèi)方法。 基本特征：每一種方法都可完成任務(wù)。 乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成n個(gè)步驟進(jìn)行，做第1步有m1種方法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1×m2....... ×mn種不同的方法。 關(guān)鍵問(wèn)題：確定工作的完成步驟。 基本特征：每一步只能完成任務(wù)的一部分。 直線：一點(diǎn)在直線或空間沿一定方向或相反方向運(yùn)動(dòng)，形成的軌跡。 直線特點(diǎn)：

15、沒(méi)有端點(diǎn)，沒(méi)有長(zhǎng)度。 線段：直線上任意兩點(diǎn)間的距離。這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)。 線段特點(diǎn)：有兩個(gè)端點(diǎn)，有長(zhǎng)度。 射線：把直線的一端無(wú)限延長(zhǎng)。 射線特點(diǎn)：只有一個(gè)端點(diǎn)；沒(méi)有長(zhǎng)度。 ①數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)＝1+2+3+…+（點(diǎn)數(shù)一1）； ②數(shù)角規(guī)律=1+2+3+…+（射線數(shù)一1）； ③數(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=長(zhǎng)的線段數(shù)×寬的線段數(shù)： ④數(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=1×1+2×2+3×3+…+行數(shù)×列數(shù) 15．質(zhì)數(shù)與合數(shù) 質(zhì)數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，沒(méi)有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù)。 合數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。 質(zhì)因數(shù)：如果某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么這個(gè)

16、質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。 分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。 分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式：N=，其中a1、a2、a3……an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且a1

17、 最大公約數(shù)的性質(zhì)： 1、幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。 2、幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)。 3、幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。 4、幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)m，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以m。 例如：12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12； 18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18； 那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6； 那么12和18最大的公約數(shù)是：6，記作（12，18）=6； 求最大公約數(shù)基本方法： 1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來(lái)。 2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。

18、 3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。 公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。 12的倍數(shù)有：12、24、36、48……； 18的倍數(shù)有：18、36、54、72……； 那么12和18的公倍數(shù)有：36、72、108……； 那么12和18最小的公倍數(shù)是36，記作[12，18]=36； 最小公倍數(shù)的性質(zhì)： 1、兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。 2、兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。 求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分解質(zhì)因數(shù)的方法

19、 17．?dāng)?shù)的整除 一、基本概念和符號(hào)： 1、整除：如果一個(gè)整數(shù)a，除以一個(gè)自然數(shù)b，得到一個(gè)整數(shù)商c，而且沒(méi)有余數(shù)，那么叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。 2、常用符號(hào)：整除符號(hào)“|”，不能整除符號(hào)“”；因?yàn)榉?hào)“∵”，所以的符號(hào)“∴”； 二、整除判斷方法： 1.能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。 2.能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。 3.能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。 4.能被3、9整除：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。 5.能被7整除： ①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能

20、被7整除。 ②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。 6.能被11整除： ①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。 ②奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。 ③逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。 7.能被13整除： ①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。 ②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。 三、整除的性質(zhì)： 1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。 2.如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。 3.如

21、果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。 4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。 18.余數(shù)及其應(yīng)用 基本概念：對(duì)任意自然數(shù)a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0

22、以m的余數(shù)相同，則稱(chēng)a、b對(duì)于模m同余。 ②已知三個(gè)整數(shù)a、b、m，如果m|a-b，就稱(chēng)a、b對(duì)于模m同余，記作a≡b(mod m)，讀作a同余于b模m。 二、同余的性質(zhì)： ①自身性：a≡a(modm)； ②對(duì)稱(chēng)性：若a≡b(modm)，則b≡a(modm)； ③傳遞性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，則a≡ c(modm)； ④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，則a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)； ⑤相乘性：若a≡ b(modm)，c≡d(modm)，則a×c≡ b×d(modm)； ⑥乘方性：若a≡b(modm)，則

23、an≡bn(modm)； ⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整數(shù)c，則a×c≡ b×c(modm×c)； 三、關(guān)于乘方的預(yù)備知識(shí)： ①若A=a×b，則MA=Ma×b=（Ma）b ②若B=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md 四、被3、9、11除后的余數(shù)特征： ①一個(gè)自然數(shù)M，n表示M的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，則M≡n(mod 9)或（mod 3）； ②一個(gè)自然數(shù)M，X表示M的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)； 五、費(fèi)爾馬小定理： 如果p是質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)），a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-1≡1(mod p

24、)。 20．分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用 基本概念與性質(zhì)： 分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。 分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。 分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。 百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)。 常用方法： ①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結(jié)果）進(jìn)行思考。 ②對(duì)應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系。 ③轉(zhuǎn)化思維方法：把一類(lèi)應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類(lèi)應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見(jiàn)的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系；把不同的標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條

25、件下的分率。常見(jiàn)的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。 ④假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況成立，計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最后結(jié)果。 ⑤量不變思維方法：在變化的各個(gè)量當(dāng)中，總有一個(gè)量是不變的，不論其他量如何變化，而這個(gè)量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。 ⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。 ⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理。 ⑧濃度配比法：一般應(yīng)用于總

26、量和分量都發(fā)生變化的狀況。 21．分?jǐn)?shù)大小的比較 基本方法： ①通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。 ②通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較。 ③基準(zhǔn)數(shù)法：確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。 ④分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差一定時(shí)，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大。 ⑤倍率比較法：當(dāng)比較兩個(gè)分子或分母同時(shí)變化時(shí)分?jǐn)?shù)的大小，除了運(yùn)用以上方法外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。（具體運(yùn)用見(jiàn)同倍率變化規(guī)律） ⑥轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行比較。 ⑦倍數(shù)比較法：用一個(gè)數(shù)除以另

27、一個(gè)數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1進(jìn)行比較。 ⑧大小比較法：用一個(gè)分?jǐn)?shù)減去另一個(gè)分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0比較。 ⑨倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。 ⑩基準(zhǔn)數(shù)比較法：確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)，每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。 22.分?jǐn)?shù)拆分 將一個(gè)分?jǐn)?shù)單位分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之和的公式： 第一題你要拆1/12（也就是1/A） 先列出12的約（因）數(shù)：1、2、3、4、6、12 隨便選兩個(gè)約數(shù) 分為a1 a2 這里我選3、4 公式：1/A=A÷a1×（a1+a2）/1+ A÷a2×（a1+a2）/1 套入公式：1/12=12÷3×（3+4）/1+ 12÷4×（3+4）/1 最后等于：1/12=1/2

28、8+1/21 第二題就像上面的一樣套入公式計(jì)算，要把第一題的其中一個(gè)答案再拆分就可以了。 答案是：1/21+1/84+1/42 23．完全平方數(shù) 完全平方數(shù)特征： 1.末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。 2.除以3余0或余1；反之不成立。 3.除以4余0或余1；反之不成立。 4.約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)；反之成立。 5.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。 6.奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。 7.兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。 平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y） 完全平方和公式：（X+Y）2= X2+2XY+Y2 完

29、全平方差公式：（X-Y）2= X2-2XY+Y2 24．比和比例 比：兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。比號(hào)前面的數(shù)叫比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫比的后項(xiàng)。 比值：比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商，叫做比值。 比的性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。 比例：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或 比例的性質(zhì)：兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)積(交叉相乘)，ad=bc。 正比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也擴(kuò)大或縮小幾倍（AB的商不變時(shí)），則A與B成正比。反比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也縮小或擴(kuò)大幾倍（AB的積不變時(shí)），則A與B成反比。比例尺：圖上距離與實(shí)際距離的比叫做比例尺。按比例

30、分配：把幾個(gè)數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。 25．綜合行程 基本概念：行程問(wèn)題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研究的是物體速度、時(shí)間、路程三者之間的關(guān)系. 基本公式：路程=速度×?xí)r間；路程÷時(shí)間=速度；路程÷速度=時(shí)間 關(guān)鍵問(wèn)題：確定運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的位置和方向。 相遇問(wèn)題：速度和×相遇時(shí)間=相遇路程（請(qǐng)寫(xiě)出其他公式） 追及問(wèn)題：追及時(shí)間＝路程差÷速度差（寫(xiě)出其他公式） 流水問(wèn)題：順?biāo)谐?（船速+水速）×順?biāo)畷r(shí)間 逆水行程=（船速-水速）×逆水時(shí)間 順?biāo)俣?船速+水速 逆水速度=船速-水速 靜水速度=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2 水速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2 流水問(wèn)題：關(guān)鍵

31、是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照以上公式。 過(guò)橋問(wèn)題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程，參照以上公式。 主要方法：畫(huà)線段圖法 基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程）、時(shí)間（相遇時(shí)間、追及時(shí)間）、速度（速度和、速度差）中任意兩個(gè)量，求第三個(gè)量。 26．工程問(wèn)題 基本公式：①工作總量=工作效率×工作時(shí)間 ②工作效率=工作總量÷工作時(shí)間 ③工作時(shí)間=工作總量÷工作效率 基本思路： ①假設(shè)工作總量為“1”（和總工作量無(wú)關(guān)）； ②假設(shè)一個(gè)方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時(shí)間的最小公倍數(shù)），利用上述三個(gè)基本關(guān)系，可以簡(jiǎn)單地表示出工作效率及工作時(shí)間. 關(guān)鍵問(wèn)題：確定工作量、工作時(shí)

32、間、工作效率間的兩兩對(duì)應(yīng)關(guān)系。 經(jīng)驗(yàn)簡(jiǎn)評(píng)：合久必分，分久必合。 27．邏輯推理 基本方法簡(jiǎn)介： ①條件分析—假設(shè)法：假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個(gè)假設(shè)去判斷，如果有與題設(shè)條件矛盾的情況，說(shuō)明該假設(shè)情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設(shè)a是偶數(shù)成立，在判斷過(guò)程中出現(xiàn)了矛盾，那么a一定是奇數(shù)。 ②條件分析—列表法：當(dāng)題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完成時(shí)，就需要進(jìn)行列表來(lái)輔助分析。列表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個(gè)長(zhǎng)方形表格中，表格的行、列分別表示不同的對(duì)象與情況，觀察表格內(nèi)的題設(shè)情況，運(yùn)用邏輯規(guī)律進(jìn)行判斷。 ③條件分析——圖表法：當(dāng)兩個(gè)對(duì)象之間只有兩種關(guān)系時(shí)

33、，就可用連線表示兩個(gè)對(duì)象之間的關(guān)系，有連線則表示“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒(méi)有連線則表示否定的狀態(tài)。例如A和B兩人之間有認(rèn)識(shí)或不認(rèn)識(shí)兩種狀態(tài)，有連線表示認(rèn)識(shí)，沒(méi)有表示不認(rèn)識(shí)。 ④邏輯計(jì)算：在推理的過(guò)程中除了要進(jìn)行條件分析的推理之外，還要進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算，根據(jù)計(jì)算的結(jié)果為推理提供一個(gè)新的判斷篩選條件。 ⑤簡(jiǎn)單歸納與推理：根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從特殊情況推廣到一般情況，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式，從而得到問(wèn)題的解決。 28．幾何面積 基本思路： 在一些面積的計(jì)算上，不能直接運(yùn)用公式的情況下，一般需要對(duì)圖形進(jìn)行割補(bǔ)，平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形

34、變?yōu)橐?guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算；另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。 常用方法： 1.連輔助線方法 2.利用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。 3.大膽假設(shè)（有些點(diǎn)的設(shè)置題目中說(shuō)的是任意點(diǎn)，解題時(shí)可把任意點(diǎn)設(shè)置在特殊位置上）。 4.利用特殊規(guī)律 ①等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積） ②梯形對(duì)角線連線后，兩腰部分面積相等。 ③圓的面積占外接正方形面積的78.5%。 29．立體圖形 名稱(chēng) 圖形 特征 表面積 體積 長(zhǎng)方體 8個(gè)頂點(diǎn)；6個(gè)面；相對(duì)的面相等；12條棱；相對(duì)的棱相等； S=2(ab+ah+bh) V=ab

35、h =Sh 正方體 8個(gè)頂點(diǎn)；6個(gè)面；所有面相等；12條棱；所有棱相等； S=6a2 V=a3 圓柱體 上下兩底是平行且相等的圓；側(cè)面展開(kāi)后是長(zhǎng)方形； S=S側(cè)+2S底 S側(cè)=Ch V=Sh 圓錐體 下底是圓；只有一個(gè)頂點(diǎn)；l:母線，頂點(diǎn)到底圓周上任意一點(diǎn)的距離； S=S側(cè)+S底 S側(cè)=rl V=Sh 球體 圓心到圓周上任意一點(diǎn)的距離是球的半徑。 S=4r2 V=r3 30．時(shí)鐘問(wèn)題—快慢表問(wèn)題 基本思路： 1、按照行程問(wèn)題中的思維方法解題； 2、不同的表當(dāng)成速度不同的運(yùn)動(dòng)物體； 3、路程的單位是分格（表一周為60分格）；

36、 4、時(shí)間是標(biāo)準(zhǔn)表所經(jīng)過(guò)的時(shí)間； 5、合理利用行程問(wèn)題中的比例關(guān)系； 31．時(shí)鐘問(wèn)題—鐘面追及 基本思路：封閉曲線上的追及問(wèn)題。 關(guān)鍵問(wèn)題：①確定分針與時(shí)針的初始位置； ②確定分針與時(shí)針的路程差； 基本方法： 　?、俜指穹椒ǎ? 　　時(shí)鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每小格我們稱(chēng)為1分格。分針每小時(shí)走60分格，即一周；而時(shí)針只走5分格，故分針每分鐘走1分格，時(shí)針每分鐘走1／12分格。 　　②度數(shù)方法： 　　從角度觀點(diǎn)看，鐘面圓周一周是360°，分針每分鐘轉(zhuǎn)360/60 度，即6°，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)360/12*60 度，即1/2 度。 32．濃度與配比 經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：在配比的

37、過(guò)程中存在這樣的一個(gè)反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。 溶質(zhì)：溶解在其它物質(zhì)里的物質(zhì)（例如糖、鹽、酒精等）叫溶質(zhì)。 溶劑：溶解其它物質(zhì)的物質(zhì)（例如水、汽油等）叫溶劑。 溶液：溶質(zhì)和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液。 基本公式： 溶液重量=溶質(zhì)重量+溶劑重量； 溶質(zhì)重量=溶液重量×濃度； 濃度=（溶質(zhì)／溶液）×100% 溶劑=溶液×（1-濃度） 理論部分小練習(xí)：試推出溶質(zhì)、溶液、溶劑三者的其它公式。 經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：在配比的過(guò)程中存在這樣的一個(gè)反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。 33．經(jīng)濟(jì)問(wèn)題 利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)=（賣(mài)價(jià)-

38、成本）÷成本×100%； 賣(mài)價(jià)=成本×（1+利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)）； 成本=賣(mài)價(jià)÷（1+利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)）； 商品的定價(jià)按照期望的利潤(rùn)來(lái)確定； 定價(jià)=成本×（1+期望利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)）； 本金：儲(chǔ)蓄的金額； 利率：利息和本金的比； 利息=本金×利率×期數(shù)； 含稅價(jià)格=不含稅價(jià)格×（1+增值稅稅率）； 34．簡(jiǎn)單方程 代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)（加減乘除）連接起來(lái)的字母或者數(shù)字。 方程：含有未知數(shù)的等式叫方程。 列方程：把兩個(gè)或幾個(gè)相等的代數(shù)式用等號(hào)連起來(lái)。 列方程關(guān)鍵問(wèn)題：用兩個(gè)以上的不同代數(shù)式表示同一個(gè)數(shù)。 等式性質(zhì)：等式兩邊同時(shí)加上或減去一個(gè)數(shù)，等式不變；等式兩邊同時(shí)乘以或除以一個(gè)數(shù)（

39、除0），等式不變。 移項(xiàng)：把數(shù)或式子改變符號(hào)后從方程等號(hào)的一邊移到另一邊； 移項(xiàng)規(guī)則：先移加減，后變乘除；先去大括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去小括號(hào)。 加去括號(hào)規(guī)則：在只有加減運(yùn)算的算式里，如果括號(hào)前面是“+”號(hào)，則添、去括號(hào)，括號(hào)里面的運(yùn)算符號(hào)都不變；如果括號(hào)前面是“－”號(hào)，添、去括號(hào)，括號(hào)里面的運(yùn)算符號(hào)都要改變；括號(hào)里面的數(shù)前沒(méi)有“+”或“－”的，都按有“+”處理。 移項(xiàng)關(guān)鍵問(wèn)題：運(yùn)用等式的性質(zhì)，移項(xiàng)規(guī)則，加、去括號(hào)規(guī)則。 乘法分配率：a(b+c)=ab+ac 解方程步驟：①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類(lèi)項(xiàng)；⑤求解； 方程組：幾個(gè)二元一次方程組成的一組方程。 解方程組的步驟

40、：①消元；②按一元一次方程步驟。 消元的方法：①加減消元；②代入消元。 35．不定方程 一次不定方程：含有兩個(gè)未知數(shù)的一個(gè)方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程； 常規(guī)方法：觀察法、試驗(yàn)法、枚舉法； 多元不定方程：含有三個(gè)未知數(shù)的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一； 多元不定方程解法：根據(jù)已知條件確定一個(gè)未知數(shù)的值，或者消去一個(gè)未知數(shù)，這樣就把三元一次方程變成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可； 涉及知識(shí)點(diǎn)：列方程、數(shù)的整除、大小比較； 解不定方程的步驟：1、列方程；2、消元；3、寫(xiě)出表達(dá)式；4、確定范圍；5、確定特征；6、確定答案；

41、技巧總結(jié)：A、寫(xiě)出表達(dá)式的技巧：用特征不明顯的未知數(shù)表示特征明顯的未知數(shù)，同時(shí)考慮用范圍小的未知數(shù)表示范圍大的未知數(shù)；B、消元技巧：消掉范圍大的未知數(shù)； 36．循環(huán)小數(shù) 一、把循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)的規(guī)則 ①純循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)：將一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)作為分子，分母的各位都是9，9的個(gè)數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，最后能約分的再約分。 ②混循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)：分子是第二個(gè)循環(huán)節(jié)以前的小數(shù)部分的數(shù)字組成的數(shù)與不循環(huán)部分的數(shù)字所組成的數(shù)之差，分母的頭幾位數(shù)字是9，9的個(gè)數(shù)與一個(gè)循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，末幾位是0，0的個(gè)數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)相同。 二、分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)的判斷方法：

42、 ①一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分母中既含有質(zhì)因數(shù)2和5，又含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)必定是混循環(huán)小數(shù)。 ②一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分母中只含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)必定是純循環(huán)小數(shù)。 *** 1至30的平方 1*1=1 2*2=4 3*3=9 4*4=16 5*5=25 6*6=36 7*7=49 8*8=64 9*9=81 10*10=100 11*11=121 12*12=144 13*13=169 14*14=196 15*15=225 16*16=256 17*17=289 18*18=324 19*19=36

43、1 20*20=400 21*21=441 22*22=484 23*23=529 24*24=576 25*25=625 26*26=676 27*27=729 28*28=784 29*29=841 30*30=900 *** 世界上最神奇的數(shù)字是1除以7的循環(huán)節(jié)：142857 1/7=0.142857 142857 142857............它神奇在哪里呢？ 1、我們把它從1乘到6看看 142857 X 1 = 142857 1→4→2→8→5→7 142857 X 2 = 285714 2→8

44、→5→7→1→4 142857 X 3 = 428571 4→2→8→5→7→1 142857 X 4 = 571428 5→7→1→4→2→8 142857 X 5 = 714285 7→1→4→2→8→5 142857 X 6 = 857142 8→5→7→1→4→2 同樣的6個(gè)數(shù)字，只是依此調(diào)換了位置，反復(fù)出現(xiàn)。 2、我們從1乘到6除以7看看 1/7=0.142857... 2/7=0.285714... 3/7=0.428571... 4/7=0.571428... 5/7=0.714285... 6/

45、7=0.857142. 1，3，5分別除以7所得商的規(guī)律是循環(huán)節(jié)的最高位后移，后面的前移。 2，4，6分別除以7所得商的規(guī)律是循環(huán)節(jié)的前兩位后移，后面的前移。 3、那么把它乘以7是多少呢？我們會(huì)驚人的發(fā)現(xiàn)是999999 4、142 + 857 = 999 14 + 28 + 57 = 99 1+4+2+8+5+7=9+9+9 5、我們用 142857 乘以142857=20408122449 前五位+上后六位的得數(shù)是多少呢？ 20408 + 122449 = 142857 “142857”發(fā)現(xiàn)于埃及金字塔內(nèi)，它確實(shí)是一組神奇的數(shù)字。 *** 數(shù)學(xué)小故事：神奇

46、美妙的“9 ” 　　九，是我們中華民族所崇拜的數(shù)字，在中國(guó)古代人們的觀念中，將天稱(chēng)為“九天”、“九重”、“九霄”;將地劃為“九州”、“九域 ?”;將宗廟稱(chēng)為“九廟”;道路謂之“九陌”;山有“九崇”;水曰“九河”;地有“九泉”;人分“九級(jí)”;官為“九品”。在古樂(lè)古詩(shī)中有九辯、九喜、九歌、九章等。九在中國(guó)人的心中竟擁有如此神奇的地位;作為一個(gè)數(shù)學(xué)愛(ài)好者，應(yīng)該去深入探索它的本質(zhì)及其它美妙的蘊(yùn)意。 　　《易經(jīng)》上說(shuō)，九數(shù)含有吉祥的意思，如果按照“陰陽(yáng)”來(lái)說(shuō)，奇數(shù)為陽(yáng)，偶數(shù)為陰，而九是陽(yáng)數(shù)中最大的，稱(chēng)為“極陽(yáng)數(shù)”。十是一個(gè)完美的數(shù)字，而九接近十而不到十，具有很強(qiáng)的傾向性，一位數(shù)字只有十個(gè)，而九是最大

47、的一個(gè)，故為數(shù)字之極，寓義崇高。也許，就是這個(gè)原因，九有其最多的奇妙特點(diǎn)，最多的趣味性質(zhì)。 　　九有一個(gè)非常奇妙的性質(zhì)，是其它數(shù)字所沒(méi)有的。如果要求一個(gè)自然數(shù)除以九的余數(shù)，則只要將這個(gè)數(shù)各位數(shù)字相加，其和如果仍是兩位以上的數(shù)，則再將這個(gè)和的各位數(shù)字相加，最后所得的一位數(shù)，就是這個(gè)自然數(shù)除以九的余數(shù)。九的這一奇妙特點(diǎn)，總使數(shù)學(xué)愛(ài)好者十分著迷，許多趣味數(shù)學(xué)游戲，都與九的這一規(guī)律有關(guān)。數(shù)學(xué)老師常用“湊九”法驗(yàn)算學(xué)生的算式是否有誤，而“湊九”法就是采納了這一原理。九的倍數(shù)的各位數(shù)字之和也一定是九的倍數(shù)，可知九的倍數(shù)是一個(gè)非常和諧圓滿的數(shù)系。 　　八位數(shù)12345679，如果將它同九相乘，奇怪的很，

48、其積竟是全由1組成的數(shù)字111111111;如再乘18(九的2倍)，可得九個(gè)2，乘27(九的3倍)，可得九個(gè)3……，直到乘81，就可以得到九個(gè)9.這種整齊統(tǒng)一的特點(diǎn)，給人以多么美妙的印象啊!也許有人要問(wèn)為什么把8去掉，填上會(huì)有規(guī)律嗎?若把7、8都去掉，或把6、7、8都去掉，仍用九去乘，還有規(guī)律嗎?答案是肯定的。九這個(gè)數(shù)字就是這么神奇，我們來(lái)看下列算式： 　　縱觀上面九個(gè)算式，不僅算式的結(jié)果很有規(guī)律，且積的數(shù)字之和都為九。第一個(gè)算式到第九個(gè)算式的變化，更能顯示出奇妙無(wú)比的秩序美。 　　如果你隨便找來(lái)一個(gè)兩位以上的自然數(shù)，比如是317，將此數(shù)打亂，變成173、731、713吧，我們現(xiàn)在求出

49、新數(shù)與原數(shù)的差，你猜會(huì)有什么結(jié)論?這些差144、414、396竟然全是九的倍數(shù)。在這里，無(wú)論是定數(shù)字，還是打亂所找數(shù)字的順序，都是多么的隨心所欲啊!可是在這種繁亂中竟能出現(xiàn)規(guī)律，這種規(guī)律的主宰者卻是九。假如再隨意找一個(gè)兩位以上的數(shù)，比方418，①先將它的各位數(shù)字之和求出;②用原數(shù)減去其數(shù)字之和(418-18)，其差405也是九的倍數(shù)。 　　下列算式的確是種簡(jiǎn)明的公式：100a+10b+c-(a+b+c)=99a+9b，公式的結(jié)果竟然是一個(gè)常數(shù)，且還是九的倍數(shù)，如所選的數(shù)是4位、5位，是否還有規(guī)律呢?我們敢于肯定地說(shuō)，九的奇妙一定處處再現(xiàn)，無(wú)論是多少位，九的統(tǒng)一美的光芒定會(huì)時(shí)時(shí)閃耀。 　　九

50、是一個(gè)神奇的反序數(shù)，在算式1089×9=9801中可知，九乘某一個(gè)數(shù)字，能使其順序正好顛倒過(guò)來(lái)。從算式123456789×8+9=987654321中也可知，九加某數(shù)也竟能使其順序顛倒;九也是一個(gè)神圣的自補(bǔ)數(shù)，因?yàn)?2=81，1+9=10;992=9801，1+99=102;9992=998001，1+999=103;……又99×47=4658，而53+47=102，999×321=320679，而670+321=103，九又是一個(gè)神秘的自生數(shù)，93=729，993=970299，9993=997002999;九也是一個(gè)奇妙的再植數(shù)，從算式109890×9=989010中看出，9竟然將這個(gè)數(shù)的

51、最高兩位變成最低兩位。九還是有趣的勾股數(shù)中不可缺少的成員：2+402=412、92+122=152、而40+41=92、12+15=33=3×9.啊!九的奇特，操縱著無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)運(yùn)算和游戲，它不愧為一位偉大的魔術(shù)師。 　　在除法中，九的奇異也使人迷戀?？聪铝械仁剑?/9=0.111……，2/9=0.222……，8/9=0.888……，多有規(guī)律啊!在化循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)時(shí)，九又是大顯神手，10是完美的數(shù)字，對(duì)于10，9和11是對(duì)稱(chēng)的，這種對(duì)稱(chēng)下也隱藏著許多秘密：1/11=0.09，2/11=0.18，3/11=0.27，…，9/11=0.81，10/11=0.90，真巧，分母含11的倍數(shù)，化成循環(huán)小數(shù)

52、，其循環(huán)節(jié)的兩個(gè)數(shù)竟然也是九的倍數(shù)。 　　九，在代數(shù)的世界里留有神奇的足跡…… 　　九的有趣性質(zhì)簡(jiǎn)直是太多啦!實(shí)在是舉不勝舉。這么獨(dú)特的數(shù)字，難怪人們特別喜歡它，非常崇拜它。正值冬天時(shí)，人們不數(shù)3，也不數(shù)10，偏偏數(shù)九：“頭九不算九;二九凍死狗;三九、四九掩門(mén)喚狗;五九、六九水走頭;七九、八九河邊看柳;九九又一九，犁牛遍地走”。重陽(yáng)節(jié)是雙九，人們十分重視這個(gè)節(jié)日，因?yàn)椤熬旁戮拧奔壹矣校藭r(shí)正是收獲的季節(jié)。 　　唐代詩(shī)人孟浩然寫(xiě)出“待到重陽(yáng)日，還來(lái)就菊花”的詩(shī)句，至今一直被文人墨客所稱(chēng)道。用九來(lái)起名的我國(guó)古代數(shù)學(xué)家泰九韶，所著的書(shū)名是《算術(shù)九章》，而書(shū)中共分九大類(lèi)，每類(lèi)又有九道題，他簡(jiǎn)直是

53、九的又一個(gè)崇拜者。 　　過(guò)去北京的許多建筑都和“九”這個(gè)數(shù)目有關(guān)。例如，北京城內(nèi)最早是九個(gè)城門(mén)，天安門(mén)的城樓是九重樓，故宮四個(gè)角樓的結(jié)構(gòu)是九梁十八柱，皇家建筑物大門(mén)上的釘數(shù)是縱九橫九，北海和故宮的九龍壁，都是九只龍，更有趣的是天壇有個(gè)歷代皇帝祭天的地方，無(wú)論是潔白的石欄桿，或是圓臺(tái)上磨平的石塊，其數(shù)目都和九字有關(guān)。在改革之年，我相信人們將會(huì)以九牛二虎之力，去九天 ?、到九州探寶，朝著九千九百九十九的通天大路奮勇向前。 　　九，這個(gè)數(shù)字王國(guó)中的明珠，它太神奇，太美妙啦!得到人們最高的崇尚，最好的贊揚(yáng)，最多的欣賞，最有情感的偏愛(ài)?？雌饋?lái)，它是一個(gè)很普通的數(shù)，只不過(guò)與完美的數(shù)字10差1，只不過(guò)是

54、一個(gè)完全平方數(shù)，只不過(guò)是一個(gè)最大的個(gè)位數(shù)，但恰恰就這點(diǎn)原因，竟蘊(yùn)藏著變幻無(wú)窮的秘密，在你隨時(shí)隨地的數(shù)字運(yùn)算過(guò)程中，也許就會(huì)突然發(fā)現(xiàn)九之規(guī)律所在，你會(huì)為此興奮不已，感嘆不盡?？赡阋?，你這也僅僅是在九的奇妙獨(dú)特性質(zhì)的海岸上，拾到的一塊小小的貝殼而已!要真正地全面了解九的神奇，九的美妙，無(wú)論是那個(gè)數(shù)學(xué)愛(ài)好者，都必須進(jìn)行艱苦的探索和頑強(qiáng)的鉆研。 1 x 8 + 1 = 9 12 x 8 + 2 =98 123 x 8 + 3 = 987 1234 x 8 + 4 = 9876 12345 x 8 + 5 = 98765 123456 x 8 + 6 = 987654 1234567

55、x 8 + 7 = 9876543 12345678 x 8 + 8 = 98765432 123456789 x 8 + 9 = 987654321 1 x 9 + 2 =11 12 x 9 + 3 =111 123 x 9 + 4 =1111 1234 x 9 + 5 =11111 12345 x 9 + 6 =111111 123456 x 9 + 7 =1111111 1234567 x 9 + 8 =11111111 12345678 x 9 + 9 =111111111 123456789

56、x 9 +10=1111111111 很炫，是不是？ 1 x 1 = 1 11 x 11 = 121 111 x 111 = 12321 1111 x 1111 = 1234321 11111 x 11111 = 12345432 1111111 x 111111 = 1234565432 11111111 x 1111111 = 123456765432 111111111 x 11111111 = 12345678765432 1111111111 x 111111111 =12345678987654321 再看看這個(gè)對(duì)稱(chēng)式 9 x 9 + 7 = 88 9

57、8 x 9 + 6 = 888 987 x 9 + 5 = 8888 9876 x 9 + 4 = 88888 98765 x 9 + 3 = 888888 987654 x 9 + 2 = 8888888 9876543 x 9 + 1 = 88888888 98765432 x 9 + 0 = 888888888 ***缺8數(shù)12345679實(shí)際上與循環(huán)小數(shù)是一根藤上的瓜，因?yàn)椋? 　　1/81＝0.012345679012345679012345679……，缺8數(shù)和1/81的循環(huán)節(jié)有關(guān)。 　　在以上小數(shù)中，為什么別的數(shù)碼都不缺，而唯獨(dú)缺少8呢？ 　　我們看到，1/

58、81＝1/9×1/9，把1/9化成循環(huán)小數(shù)，其循環(huán)節(jié)只有一位，即1/9＝0.111111111…… 　　1/9×1/9，即無(wú)窮個(gè)1的自乘。不妨先從有限個(gè)1的平方來(lái)看： 　　很明顯，11的平方＝121，111的平方＝12321，……，直到111111111的平方12345678987654321。 　　但現(xiàn)在是無(wú)窮個(gè)1的平方，長(zhǎng)長(zhǎng)的隊(duì)伍看不到盡頭，怎么辦呢？ 缺8數(shù)隱藏在循環(huán)小數(shù)里 　　利用數(shù)學(xué)歸納法，不難證明，在所有的層次，8都被一一跳過(guò)。 　　那么，缺8數(shù)乘以9的倍數(shù)得到“清一色”就很好理解了，因?yàn)椋? 　　1/81×9＝1/9＝0.111111111…… 　　缺8數(shù)乘以

59、3的倍數(shù)得到“三位一體”也不難理解，因?yàn)椋? 　　1/81×3＝1/27＝0.037037037……，一開(kāi)始就出現(xiàn)了三位的循環(huán)節(jié)。 　　缺8數(shù)乘以公差為9的等差數(shù)列時(shí)相當(dāng)于在原有基礎(chǔ)上每位數(shù)加1，自然就出現(xiàn)“走馬燈”了。 　　循環(huán)小數(shù)與循環(huán)群、周期現(xiàn)象的研究方興未艾，缺8數(shù)已引起人們的濃厚興趣與密切關(guān)注。由于計(jì)算機(jī)科學(xué)的蓬勃發(fā)展，人們?cè)絹?lái)越不滿足于泛泛的幾條性質(zhì)，而更著眼于探索其精微的結(jié)構(gòu)。 ??? 缺8數(shù)的精細(xì)結(jié)構(gòu)引起研究者的濃厚興趣，人們偶然注意到： 　　12345679×4＝49382716 　　12345679×5＝61728395 　　前一式的數(shù)顛倒過(guò)來(lái)讀，正好就是后一式

60、的積數(shù)。（雖有微小的差異，即5代以4，而根據(jù)“輪休學(xué)說(shuō)”，這正是題中應(yīng)有之義） 　　這樣的“回文結(jié)對(duì)，攜手并進(jìn)”現(xiàn)象，對(duì)（13、14）（22、23）（31、32）（40、41）等各對(duì)乘數(shù)（每相鄰兩對(duì)乘數(shù)的對(duì)應(yīng)公差均等于9）也應(yīng)如此。例如： 　　12345679×22＝271604938 　　12345679×23＝283950617 　　前一式的數(shù)顛倒過(guò)來(lái)讀，正好是后一式的積數(shù)。（后一式的2移到后面，并5代以4） 走馬燈 　　當(dāng)缺8數(shù)乘以19時(shí)，其乘數(shù)將是234567901，像走馬燈一樣，原先居第二位的數(shù)2卻成了開(kāi)路先鋒。例如： 　　12345679×19＝234567901

61、　　12345679×28＝345679012 　　12345679×37＝456790123 　　深入的研究顯示，當(dāng)乘數(shù)為一個(gè)公 差等于9的算術(shù)級(jí)數(shù)時(shí)，出現(xiàn)“走馬燈”的現(xiàn)象。例如： 　　12345679×8＝098765432 　　12345679×17＝209876543 　　12345679×26＝320987654 　　12345679×35＝432098765 一以貫之 　　當(dāng)乘數(shù)超過(guò)81時(shí)，乘積將至少是十位數(shù)，但上述的各種現(xiàn)象依然存在，真是“吾道一以貫之”。例如： 　　乘數(shù)為9的倍數(shù) 　　12345679×243＝2999999997 　　只要把乘積中

62、最左邊的一個(gè)數(shù)2加到最右邊的7上，仍呈現(xiàn)“清一色”。 　　乘數(shù)為3的倍數(shù)，但不是9的倍數(shù) 　　12345679×84＝1037037036 　　只要把乘積中最左邊的一個(gè)數(shù)1加到最右邊的6上，又出現(xiàn)“三位一體”。 　　乘數(shù)為3K＋1或3K＋2型 　　12345679×98＝1209876542 　　表面上看來(lái)，乘積中出現(xiàn)雷同的2，但只要把乘積中最左邊的數(shù)1加到最右邊的2上去之后，所得數(shù)為209876543，是“缺1”數(shù)，仍是輪流“休息”。 輪流休息 　　當(dāng)乘數(shù)不是9或3的倍數(shù)時(shí)，此時(shí)雖然沒(méi)有清一色或三位一體的現(xiàn)象，但仍可以看到一種奇異性質(zhì)：乘積的各位數(shù)字均無(wú)雷同，缺少1個(gè)

63、數(shù)字，而且存在著明確的規(guī)律。另外，在乘積中缺3、缺6、缺9的情況肯定不存在。例如乘數(shù)在區(qū)間［10，17］的情況（其中12和15因是3的倍數(shù)，予以排除）： 　　12345679×10＝123456790（缺8） 　　12345679×11＝135802469（缺7） 　　12345679×13＝160493827（缺5） 　　12345679×14＝172839506（缺4） 　　12345679×16＝197530864（缺2） 　　12345679×17＝209876543（缺1） 　　乘數(shù)在［19，26］及其他區(qū)間（區(qū)間長(zhǎng)度等于7）的情況與此完全類(lèi)似。乘積中缺什么數(shù)，就像工廠

64、或商店中職工“輪休”，人人有份，既不多也不少，實(shí)在有趣。 三位一體 　　缺8數(shù)乘以3的倍數(shù)但不是9的倍數(shù)，可以得到“三位一體”，例如： 　　12345679×12＝148148148 　　12345679×15＝185185185 　　12345679×33＝407407407 　　12345679×57＝703703703 　　12345679×78＝962962962 清一色 　　缺8數(shù)乘以9的倍數(shù)可以得到“清一色”，例如： 　　12345679×9＝111111111 　　12345679×18＝222222222 　　12345679×27＝333333333

65、 　　12345679×36＝444444444 　　12345679×45＝555555555 　　12345679×54＝666666666 　　12345679×63＝777777777 　　12345679×72＝888888888　 　　12345679×81＝999999999 速算公式 　　【首同末合十的兩位數(shù)相乘公式】若兩個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字都是a，個(gè)位上的數(shù)分別為b和c，且b+c=10，則這樣的兩個(gè)數(shù)便是“首同末合十”的兩個(gè)兩位數(shù)，它們的積為 　?。?0a+b）（10a+

66、c）=（10a）2+10ab+10ac+bc 　　=102a2+10a（b+c）+bc 　　=100a2+100a+bc 　?。絘（a+1）×100+bc。 　　根據(jù)這一公式，兩個(gè)“首同末合十”的兩位數(shù)相乘，可以先把首位數(shù)乘以比它大1的數(shù)的積的100倍，然后在所得的結(jié)果后面，添上兩個(gè)末位數(shù)的積。 　　例如，72×78=（7×8）×100+2×8 　　=5616 　　45×45=（4×5）×100+5×5 　　=2025 　　首同末合十的計(jì)算公式，也可以推廣到兩個(gè)三位數(shù)、兩個(gè)四位數(shù)相乘的速算中去。例如 　　256×254 　　可取a=25，b=6，c=4，再運(yùn)用公式計(jì)算，得 　　256×254=[25×（25+1）]×100+6×4 　　=[25×26]×100+24 　　=65024 　　又如，155×155=（15×16）×100+5×5 　　=24025 　　【末同首合十的兩位數(shù)相乘公式】若兩個(gè)兩位數(shù)十位上的數(shù)字分別是a和b，且a+b=10，個(gè)位上的數(shù)字都是c，則這樣的兩個(gè)數(shù)便是“末同首合十”的兩個(gè)兩位數(shù)，它們的積為 　?。?0a+c）（10b+