《六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題-2019小學(xué)奧數(shù)系統(tǒng)講義完整版人教新課標(biāo)（2014秋）（無(wú)答案）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題-2019小學(xué)奧數(shù)系統(tǒng)講義完整版人教新課標(biāo)（2014秋）（無(wú)答案）（39頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)分類(lèi) 小學(xué)奧數(shù)大約 80 個(gè)知識(shí)點(diǎn)，可分成 5 大類(lèi)，數(shù)論和行程是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。  小學(xué)奧數(shù)系統(tǒng)復(fù)習(xí)講義(完整版) 2 2 2 2 3 3 3 3 6． 速算巧算基本方法  湊整法、改變運(yùn)算次序法、連續(xù)數(shù)求和、基準(zhǔn)法、分組法、拆分法 7． 等差數(shù)列，等比數(shù)列，【拆分與裂項(xiàng)】，【換元法】，【錯(cuò)位相消法】， 【構(gòu)造法】等較難的計(jì)算方法。 拆分裂項(xiàng)公式： 等差數(shù)列公式： 第一部分  計(jì)算能力 萬(wàn)丈高樓平地起，計(jì)算能力任何時(shí)候都是學(xué)好數(shù)學(xué)的根基，必須高度重視！ 基本公式

2、1． 運(yùn)算順序 第一級(jí)：括號(hào)：（ ）→[ ] → { } 第二級(jí)：×÷: 同一級(jí)別可以交換運(yùn)算次序 簡(jiǎn)單等比公式： 例題分析 第三級(jí)：＋－： 同一級(jí)別可以交換運(yùn)算次序 2． 去括號(hào) 1. 393+404+397+398+405+401+400+399+391+402 ① ② ③ a＋(b＋c)=a＋b＋c a＋(b－c)=a＋b－c a－(b＋c)=a－b－c a－(b－c)=a－b＋c a×(b×c)=a×b×c a×(b÷c)=a×b÷c  2.  比較下面 A,B 兩數(shù)的大?。篈=2009×2009， B=200

3、8×2010 ④ a÷(b×c)=a÷b÷c a÷(b÷c)=a÷b×c 3． 分配律/結(jié)合律 乘法: a×(b＋c) = a×b＋a×c a×b＋a×c = a×(b＋c) 除法：(a＋b) ÷c = a÷c＋b÷ c a÷c＋b÷ c = (a＋b) ÷c 4． 兩個(gè)必須掌握的性質(zhì) 兩個(gè)數(shù)的和一定，則兩數(shù)越相近，積越大 3. 4. 結(jié)果末尾有多少個(gè)零？ 100 ＋99＋98－97－96－95＋……＋10＋9＋8－7－6－5＋4＋3＋2－1 兩個(gè)數(shù)的積一定，則兩數(shù)越分散，和越大 鞏固練習(xí) 5． 幾個(gè)計(jì)

4、算公式  2 2  2 5. 376＋385＋391＋380＋377＋389＋383＋374＋366＋378 2 2 求和公式一:1+2+3+……+n = 計(jì)算能力 速算與巧算、分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)、循環(huán)小數(shù)、分?jǐn)?shù)拆分、四則混合運(yùn)算等等 基礎(chǔ)知識(shí) 和差倍、年齡、植樹(shù)、周期、雞兔、方陣、邏輯、容斥、排列組合等 圖形問(wèn)題 平面圖形、立體圖形、幾何計(jì)數(shù)、周長(zhǎng)面積、表面積體積、陰影面積 行程問(wèn)題 相遇、追及、行程、流水、過(guò)橋、時(shí)鐘、圓周、發(fā)車(chē)間隔等等 數(shù)論問(wèn)題 平方數(shù)、奇數(shù)、偶

5、數(shù)、約數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、整除、余數(shù)、進(jìn)制 求和公式二：1 +2 +3 +……n = 求和公式三：1 +2 +3 +……n = 完全平方和（差）公式：（a±b） = a ±2ab+b 平方差公式： a -b = (a+b)(a-b)  6. 1÷50+2÷50+3÷50+……50÷50 2010 ÷2010 第二部分 基礎(chǔ)知識(shí) 基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)列表 7. 8.  9999999×2009  7777×3333÷1111 9.  比較下面 A

6、,B 兩數(shù)的大?。? A＝987654321×123456789；  B＝987654322×123456788  ?  歸一問(wèn)題 【含義】在解題時(shí)，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標(biāo) 準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。這類(lèi)應(yīng)用題叫做歸一問(wèn)題。 【數(shù)量關(guān)系】 總量÷份數(shù)＝1 份數(shù)量 10. 1996＋1994－1992－1990＋1988＋1986－1984－1982＋1980＋1978 －1976－1974＋1972＋1970……＋4＋2 1 份數(shù)量×所占份數(shù)＝所求幾份的數(shù)量 另一總量÷（總量÷

7、份數(shù)）＝所求份數(shù) 【解題思路】先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。 【例題】買(mǎi) 5 支鉛筆要 0.6 元錢(qián)，買(mǎi)同樣的鉛筆 16 支，需要多少錢(qián)？ 解：（1）買(mǎi) 1 支鉛筆多少錢(qián)？0.6÷5＝0.12（元） （2）買(mǎi) 16 支鉛筆需要多少錢(qián)？0.12×16＝1.92（元） 列成綜合算式：0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元） 答：需要 1.92 元。 11. 3 臺(tái)拖拉機(jī) 3 天耕地 90 公頃，5 臺(tái)拖拉機(jī) 6 天耕地多少公頃？ 12. 5 輛汽車(chē) 4 次可以運(yùn)送 100 噸鋼材，如果用同樣的 7 輛汽車(chē)運(yùn)送 105 噸鋼材，需要運(yùn)幾次？

8、 ?  歸總問(wèn)題 【含義】解題時(shí)，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求 的問(wèn)題，叫歸總問(wèn)題。所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價(jià)、幾小時(shí)（幾天） 的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時(shí)行的總路程等。 序號(hào) 知識(shí)點(diǎn)名稱(chēng) 序號(hào) 知識(shí)點(diǎn)名稱(chēng) 序號(hào) 知識(shí)點(diǎn)名稱(chēng) 1 歸一歸總 9 雞兔問(wèn)題 17 加法乘法原理 2 和差問(wèn)題 10 方陣問(wèn)題 18 排列與組合 3 和倍問(wèn)題 11 抽屜問(wèn)題 19 商品利潤(rùn) 4 差倍問(wèn)題 12 容斥問(wèn)題 20 存款利息 5 植樹(shù)問(wèn)題 13

9、邏輯問(wèn)題 21 濃度問(wèn)題 6 年齡問(wèn)題 14 數(shù)字謎 22 工程問(wèn)題 7 盈虧問(wèn)題 15 等差數(shù)列 23 正反比例 8 周期問(wèn)題 16 一筆畫(huà) 24 牛吃草問(wèn)題   【數(shù)量關(guān)系】 1 份數(shù)量×份數(shù)＝總量 總量÷1 份數(shù)量＝份數(shù) 總量÷另一份數(shù)＝另一每份數(shù)量 【解題思路】先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。 17. 甲乙兩車(chē)原來(lái)共裝蘋(píng)果 97 筐，從甲車(chē)取下 14 筐放到乙車(chē)上，結(jié)果甲 車(chē)比乙車(chē)還多 3 筐，兩車(chē)原來(lái)各裝蘋(píng)果多少筐？ 【例題】服裝廠原來(lái)做一套衣服用布 3.2 米，改進(jìn)裁剪方法后，每

10、套衣服  ?  和倍問(wèn)題 用布 2.8 米。原來(lái)做 791 套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？ 解：（1）這批布總共有多少米？ 3.2×791＝2531.2（米） （2）現(xiàn)在可以做多少套？ 2531.2÷2.8＝904（套） 列成綜合算式 3.2×791÷2.8＝904（套） 答：現(xiàn)在可以做 904 套。 13. 小華每天讀 24 頁(yè)書(shū)，12 天讀完了《紅巖》一書(shū)。小明每天讀 36 頁(yè)書(shū)， 幾天可以讀完《紅巖》？ 14. 食堂運(yùn)來(lái)一批蔬菜，原計(jì)劃每天吃 50 千克，30 天慢慢消費(fèi)完這批蔬 菜。后來(lái)根據(jù)大家的意見(jiàn)，每天比原計(jì)劃多吃 10 千克，這批蔬菜

11、可 以吃多少天？ 【含義】已知兩個(gè)數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之 幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類(lèi)應(yīng)用題叫做和倍問(wèn)題。 【數(shù)量關(guān)系】總和 ÷（幾倍＋1）＝較小的數(shù) 總和 － 較小的數(shù) ＝ 較大的數(shù) 較小的數(shù) ×幾倍 ＝ 較大的數(shù) 【解題思路】簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。 【例題】果園里有杏樹(shù)和桃樹(shù)共 248 棵，桃樹(shù)的棵數(shù)是杏樹(shù)的 3 倍，求杏 樹(shù)、桃樹(shù)各多少棵？ 解：（1）杏樹(shù)有多少棵？ 248÷（3＋1）＝62（棵） （2）桃樹(shù)有多少棵？ 62×3＝186（棵） 答：杏樹(shù)有 62 棵，桃樹(shù)有 186 棵。 18. 東西兩個(gè)倉(cāng)

12、庫(kù)共存糧 480 噸，東庫(kù)存糧數(shù)是西庫(kù)存糧數(shù)的 1.4 倍，求 兩庫(kù)各存糧多少?lài)崳? ?  和差問(wèn)題 【含義】已知兩個(gè)數(shù)量的和與差，求兩個(gè)數(shù)量各是多少，這類(lèi)應(yīng)用題叫和 差問(wèn)題。 【數(shù)量關(guān)系】大數(shù)＝（和＋差）÷ 2 小數(shù)＝（和－差）÷ 2 【解題思路】簡(jiǎn)單的題目可以直接套用公式；復(fù)雜的題目變通后再用公式。 【例題】甲乙兩班共學(xué)生 98 人，甲班比乙班多 6 人，求兩班各有多少人？ 解：甲班人數(shù)＝（98＋6）÷2＝52（人） 乙班人數(shù)＝（98－6）÷2＝46（人） 答：甲班有 52 人，乙班有 46 人。  19. 甲站原有車(chē) 52 輛，乙站原有車(chē) 32

13、 輛，若每天從甲站開(kāi)往乙站 28 輛， 從乙站開(kāi)往甲站 24 輛，幾天后乙站車(chē)輛數(shù)是甲站的 2 倍？ 20. 甲乙丙三數(shù)之和是 170，乙比甲的 2 倍少 4，丙比甲的 3 倍多 6，求三 數(shù)各是多少？ 15. 長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬之和為 18 厘米，長(zhǎng)比寬多 2 厘米，求長(zhǎng)方形的面積? ? 差倍問(wèn)題 【含義】已知兩個(gè)數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之 幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類(lèi)應(yīng)用題叫做差倍問(wèn)題。 16. 有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重 32 千克，乙丙兩袋共重 30 千克， 甲丙兩袋共重 22 千克，求三袋化肥各重多少千克。 

14、【數(shù)量關(guān)系】?jī)蓚€(gè)數(shù)的差÷（幾倍－1）＝較小的數(shù) 較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù) 【解題思路】簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。   【例題】果園里桃樹(shù)的棵數(shù)是杏樹(shù)的 3 倍，而且桃樹(shù)比杏樹(shù)多 124 棵。求 杏樹(shù)、桃樹(shù)各多少棵？ 25. 甲乙丙三人鋸?fù)瑯哟旨?xì)的鋼條，分別領(lǐng)取 1.6 米，2 米，1.2 米長(zhǎng)的 鋼條，要求都按 0.4 米規(guī)格鋸開(kāi)，勞動(dòng)結(jié)束后，甲乙丙分別鋸了 24 解：（1）杏樹(shù)有多少棵？ （2）桃樹(shù)有多少棵？ 124÷（3－1）＝62（棵） 62×3＝186（棵） 段，25 段，27 段，誰(shuí)鋸鋼條的速度最快？

15、 答：果園里杏樹(shù)是 62 棵，桃樹(shù)是 186 棵。 21. 爸爸比兒子大 27 歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的 4 倍，求父子 二人今年各是多少歲？  26. 某一淡水湖的周長(zhǎng) 1350 米,在湖邊每隔 9 米種柳樹(shù)一株,在兩株柳樹(shù) 中間種植 2 株夾枝桃,可栽柳樹(shù)多少株?可栽?shī)A枝桃多少株?兩株夾枝 桃之間相距多少米? 22. 商場(chǎng)改革經(jīng)營(yíng)管理辦法后，本月盈利比上月盈利的 2 倍還多 12 萬(wàn)元， 又知本月盈利比上月盈利多 30 萬(wàn)元，這兩個(gè)月盈利各是多少萬(wàn)元？ 27. 一座大橋長(zhǎng) 500 米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔 50 米有一

16、 個(gè)電桿，每個(gè)電桿上安裝 2 盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？ 23. 糧庫(kù)有 94 噸小麥和 138 噸玉米，如果每天運(yùn)出小麥和玉米各是 10 噸， 多少天后，玉米是小麥的 12 倍？ ? 年齡問(wèn)題 【含義】這類(lèi)問(wèn)題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點(diǎn)是兩人的年齡 差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長(zhǎng)在發(fā)生變化。 ? 植樹(shù)問(wèn)題 【數(shù)量關(guān)系】年齡問(wèn)題往往與和差、和倍、差倍問(wèn)題有著密切聯(lián)系，尤其 基本類(lèi)型及公式： ①在直線上或者不封閉的曲線上植樹(shù)，兩端都植樹(shù)。 基本公式：棵樹(shù)=段數(shù)＋1；棵距（段長(zhǎng)）×段數(shù)=總長(zhǎng) ②在直

17、線上或者不封閉的曲線上植樹(shù)，兩端都不植樹(shù)。 基本公式：棵樹(shù)=段數(shù)－1；棵距（段長(zhǎng)）×段數(shù)=總長(zhǎng) ③在封閉曲線上植樹(shù)： 基本公式：棵樹(shù)=段數(shù)；棵距（段長(zhǎng)）×段數(shù)=總長(zhǎng) 關(guān)鍵問(wèn)題：確定所屬類(lèi)型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系。 【例題】一條河堤 136 米，每隔 2 米栽一棵垂柳，頭尾都栽，共栽多少棵 垂柳？ 解：136÷2＋1＝68＋1＝69（棵） 答：一共要栽 69 棵垂柳。 24. 一個(gè)圓形池塘周長(zhǎng)為 400 米，在岸邊每隔 4 米栽一棵白楊樹(shù)，一共能 栽多少棵白楊樹(shù)？ 與差倍問(wèn)題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個(gè)特點(diǎn)。 【解題思路】可以利用“差倍問(wèn)題”

18、的解題思路和方法。 【例題】爸爸今年 35 歲，亮亮今年 5 歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？ 明年呢？ 解 35÷5＝7（倍） （35+1）÷（5+1）＝6（倍） 答：今年爸爸的年齡是亮亮的 7 倍，明年爸爸的年齡是亮亮的 6 倍。 28. 母親今年 37 歲，女兒 7 歲，幾年后母親年齡是女兒的 4 倍？ 29. 3 年前父子的年齡和是 49 歲，今年父親的年齡是兒子年齡的 4 倍，父 子今年各多少歲？  30. 甲對(duì)乙說(shuō)：“當(dāng)我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你才 4 歲”。乙對(duì) 甲說(shuō)：“當(dāng)我的歲數(shù)將來(lái)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你將 61 歲”。

19、求甲乙 現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少？ 識(shí)來(lái)解決。 在研究這些簡(jiǎn)單周期問(wèn)題時(shí)，我們首先要仔細(xì)審題，判斷其不斷重復(fù)出 現(xiàn)的規(guī)律，也就是找出循環(huán)的固定數(shù)，如果正好有個(gè)整數(shù)周期，結(jié)果為周 期里的最后一個(gè)；如果不是從第一個(gè)開(kāi)始循環(huán)，利用除法算式求出余數(shù)， 最后根據(jù)余數(shù)的大小得出正確的結(jié)果。 ?  盈虧問(wèn)題 周期現(xiàn)象：事物在變化過(guò)程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。 周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間叫周期。 【含義】根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈）， 一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類(lèi) 應(yīng)用題叫做盈虧問(wèn)題。 

20、閏年：四年一閏，百年不閏，四百年再閏； 月份：1、3、5、7、8、10、12 月大。 解答周期問(wèn)題的關(guān)鍵： 【數(shù)量關(guān)系】一般地說(shuō)，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有： 參加分配總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）÷分配差 ? ? 找出周期 T, 考察余數(shù)，注意周期的首尾兩數(shù)。 如果兩次都盈或都虧，則有： 參加分配總?cè)藬?shù)＝（大盈－小盈）÷分配差 參加分配總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧）÷分配差 【解題思路】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。 【例題】給幼兒園小朋友分蘋(píng)果，若每人分 3 個(gè)就余 11 個(gè)；若每人分 4 個(gè)就少 1 個(gè)。問(wèn)有多少小朋友？有多少個(gè)蘋(píng)果？ 解：按照“

21、參加分配的總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）÷分配差”的數(shù)量關(guān)系： （1）有小朋友多少人？ （11＋1）÷（4－3）＝12（人） （2）有多少個(gè)蘋(píng)果？ 3×12＋11＝47（個(gè)） 答：有小朋友 12 人，有 47 個(gè)蘋(píng)果。 31. 修一條公路，如果每天修 260 米，修完全長(zhǎng)就得延長(zhǎng) 8 天；如果每天 修 300 米，修完全長(zhǎng)仍得延長(zhǎng) 4 天。這條路全長(zhǎng)多少米？ 32. 學(xué)校組織春游，如果每輛車(chē)坐 40 人，就余下 30 人；如果每輛車(chē)坐 45 人，就剛好坐完。問(wèn)有多少車(chē)？多少人？  例題分析 【例 1】元旦是星期日，那么同年的國(guó)慶節(jié)是星期幾？ 【解】平年元旦到國(guó)慶節(jié)共

22、有的天數(shù)： 31+28+31+30+31+30+31+31+30+1=274； 循環(huán)的周期和余數(shù)：274÷7=39…1； 平年的國(guó)慶節(jié)是星期日；[整周期的第一個(gè)數(shù)] 閏年元旦到國(guó)慶節(jié)共有的天數(shù)：274+1=275； 循環(huán)的周期和余數(shù)：275÷7=39…2； 閏年的國(guó)慶節(jié)是星期一；[整周期的第二個(gè)數(shù)] 【例 2】甲、乙、丙三名學(xué)生，每天早晨輪流為李奶奶取牛奶，甲第一次 取奶是星期一，那么，他第 100 次取奶是星期______。 【解】21 天內(nèi)，每人取奶 7 次，甲第 8 次取奶又是星期一，即每取 7 次奶 為一個(gè)周期 100÷7＝14……2，所以甲第 100 次取奶是

23、星期二。 基礎(chǔ)務(wù)實(shí) 33. 1989 年 12 月 5 日是星期二，那么再過(guò)十年的 12 月 5 日是星期幾？ ?  周期問(wèn)題 在日常生活中，有一些現(xiàn)象按照一定的規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)。如：人調(diào) 查十二生肖：鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬；一年 有春夏秋冬四個(gè)季節(jié)；一個(gè)星期有七天等。像這樣日常生活中常碰到的有 一定周期的問(wèn)題，我們稱(chēng)為簡(jiǎn)單周期問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題一般要利用余數(shù)的知  34. 《小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》每周星期五出版一期，1994 年 10 月份第 1 期是 10 月 7 日出版的，1995 年 1 月份第 1 期應(yīng)在 1 月幾日出版？

24、   35. 果園里要種 100 棵果樹(shù)，要求每六棵為一組。第一棵種蘋(píng)果樹(shù)，第二、 ? 雞兔同籠 三棵種梨樹(shù)，后面三棵，即第四、第五、第六棵種桃樹(shù)。那么，最后 一棵應(yīng)種什么樹(shù)？在這 100 棵樹(shù)中，有蘋(píng)果樹(shù)、梨樹(shù)、桃樹(shù)各多少棵？ 36. 節(jié)日的校園內(nèi)掛起了一盞盞小電燈，小明看出每?jī)蓚€(gè)白燈之間有紅、 黃、綠各一盞彩燈也就是說(shuō)，從第一盞白燈起，每一盞白燈后面緊接 著有 3 盞彩燈。那么第 73 盞燈是什么顏色的燈？ 37. 小明把節(jié)省下來(lái)的硬幣先按四個(gè) 1 分，再按三個(gè) 2 分，最后按兩個(gè) 5 分這樣的順序往下排。那么，

25、他排的第 111 個(gè)是幾分硬幣，這 111 個(gè) 硬幣共多少元？ 38. 如果時(shí)鐘現(xiàn)在表示的時(shí)間是 18 點(diǎn)整，那么分針旋轉(zhuǎn) 1990 圈之后是幾 點(diǎn)鐘？ 39. 某年的 10 月里有 5 個(gè)星期六，4 個(gè)星期日。問(wèn)：這年的 10 月 1 日是 星期幾？ 【含義】這是古典的算術(shù)問(wèn)題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳， 求雞、兔各有多少只的問(wèn)題，叫做第一雞兔同籠問(wèn)題。已知雞兔的總數(shù)和 雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問(wèn)題叫做第二雞兔同籠問(wèn)題。 【數(shù)量關(guān)系】第一雞兔同籠問(wèn)題： 假設(shè)全都是雞，則有兔數(shù)＝（實(shí)際腳數(shù)－2×雞兔總數(shù)）÷（4－2） 假設(shè)全

26、都是兔，則有雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)－實(shí)際腳數(shù)）÷（4－2） 第二雞兔同籠問(wèn)題： 假設(shè)全都是雞，則有兔數(shù)＝（2×雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差）÷（4＋2） 假設(shè)全都是兔，則有雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差）÷（4＋2） 【解題思路】解答此類(lèi)題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以 假設(shè)都是兔。如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；如果先假設(shè)都是兔，然 后以雞換兔。這類(lèi)問(wèn)題也叫置換問(wèn)題。通過(guò)先假設(shè)，再置換，使問(wèn)題得到 解決。 【例題】長(zhǎng)毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五，腳數(shù)共有 九十四．請(qǐng)你仔細(xì)算一算，多少兔子多少雞？ 解：假設(shè) 35 只全為兔，則雞數(shù)＝（4×35－94）

27、÷（4－2）＝23（只） 兔數(shù)＝35－23＝12（只） 也可以先假設(shè) 35 只全為雞，則兔數(shù)＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只） 雞數(shù)＝35－12＝23（只） 答：有雞 23 只，有兔 12 只。 43. 2 畝菠菜要施肥 1 千克，5 畝白菜要施肥 3 千克，兩種菜共 16 畝，施 肥 9 千克，求白菜有多少畝？ 40. 學(xué)校一學(xué)期共安排 86 節(jié)數(shù)學(xué)課，單周一、三、五每天兩節(jié)，雙周二、 四每天兩節(jié)。開(kāi)學(xué)第一周星期一開(kāi)學(xué)典禮沒(méi)上課，從星期三開(kāi)始上， 則最后一節(jié)數(shù)學(xué)課是星期幾上的？ 41. 1993 年一月份有 4 個(gè)星期四、5 個(gè)星期五

28、，1993 年 1 月 4 日是星期幾？ 44. 李老師用 69 元給學(xué)校買(mǎi)作業(yè)本和日記本共 45 本，作業(yè)本每本 3.20 元，日記本每本 0.70 元。問(wèn)作業(yè)本和日記本各買(mǎi)了多少本？ 45. （第二雞兔同籠問(wèn)題）雞兔共有 100 只，雞的腳比兔的腳多 80 只， 問(wèn)雞與兔各多少只？ 42. 有一串?dāng)?shù)排成一行，其中第一個(gè)數(shù)是 15，第二個(gè)數(shù)是 40，從第三個(gè) 數(shù)起，每個(gè)數(shù)恰好是前兩個(gè)數(shù)的和，那么在這串?dāng)?shù)中，第 1991 個(gè)數(shù) 被 3 除，所得的余數(shù)是多少？ 46. 有 100 個(gè)饃 100 個(gè)和尚吃，大和尚一人吃 3 個(gè)饃，小和尚 3 人吃 1

29、 個(gè) 饃，問(wèn)大小和尚各多少人？  ? 方陣問(wèn)題 個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中放著 2 個(gè)或更多的物體（元素）。 【含義】將若干人或物依一定條件排成正方形（簡(jiǎn)稱(chēng)方陣），根據(jù)已知條 件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類(lèi)問(wèn)題就叫做方陣問(wèn)題。 【數(shù)量關(guān)系】（1）方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系： 四周人數(shù)＝（每邊人數(shù)－1）×4 每邊人數(shù)＝四周人數(shù)÷4＋1 （2）方陣總?cè)藬?shù)的求法： 實(shí)心方陣：總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)×每邊人數(shù) 內(nèi)邊人數(shù)＝外邊人數(shù)－層數(shù)×2 （3）若將空心方陣分成四個(gè)相等的矩形計(jì)算，則： 總?cè)藬?shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)）×層數(shù)×4 【解題思路】方陣問(wèn)題有

30、實(shí)心與空心兩種。實(shí)心方陣的求法是以每邊的數(shù) 自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應(yīng)根據(jù)具體情況確定。 【例題】在育才小學(xué)的運(yùn)動(dòng)會(huì)上，進(jìn)行體操表演的同學(xué)排成方陣，每行 22 人，參加體操表演的同學(xué)一共有多少人？ 解：22×22＝484（人） 抽屜原則可以推廣為：如果有 m 個(gè)抽屜，有 k×m＋r（0＜r≤m）個(gè)元素那 么至少有一個(gè)抽屜中要放（k＋1）個(gè)或更多的元素。 通俗地說(shuō)，如果元素的個(gè)數(shù)是抽屜個(gè)數(shù)的 k 倍多一些，那么至少有一個(gè)抽 屜要放（k＋1）個(gè)或更多的元素。 【解題思路】（1）改造抽屜，指出元素； （2）把元素放入（或取出）抽屜； （3）說(shuō)明理由，得出結(jié)論。

31、【例題】育才小學(xué)有 367 個(gè) 1999 年出生的學(xué)生，那么其中至少有幾個(gè)學(xué) 生的生日是同一天的？ 解：由于 1999 年是潤(rùn)年，全年共有 366 天，可以看作 366 個(gè)“抽屜”， 把 367 個(gè) 1999 年出生的學(xué)生看作 367 個(gè)“元素”。367 個(gè)“元素”放進(jìn) 366 個(gè)“抽屜”中，至少有一個(gè)“抽屜”中放有 2 個(gè)或更多的“元 素”。 這說(shuō)明至少有 2 個(gè)學(xué)生的生日是同一天的。 50. 有一四種顏色的小旗，任意取出三個(gè)排成一排，表示各種信號(hào)，在 200 個(gè)信號(hào)中至少有多少個(gè)信號(hào)相同？ 答：參加體操表演的同學(xué)一共有 484 人。 47. 有一個(gè) 3 層中空方陣，最

32、外邊一層有 10 人，求全方陣的人數(shù)。 51. 書(shū)法競(jìng)賽的獎(jiǎng)品是筆、墨、紙、硯四種，每位獲獎(jiǎng)?wù)呖扇芜x其中兩種 獎(jiǎng)品。問(wèn)至少應(yīng)有多少名獲獎(jiǎng)的同學(xué)，才能保證其中必有 4 名同學(xué)得 48. 有一隊(duì)學(xué)生，排成一個(gè)中空方陣，最外層人數(shù)是 52 人，最內(nèi)層人數(shù) 到的獎(jiǎng)品完全相同？ 是 28 人，這隊(duì)學(xué)生共多少人？ 52. 一個(gè)袋子里有一些球，這些球僅只有顏色不同。其中紅球 10 個(gè)，白 49. 一堆棋子，排列成正方形，多余 4 棋子，若正方形縱橫兩個(gè)方向各增 加一層，則缺少 9 只棋子，問(wèn)有棋子多少個(gè)？ 球 9 個(gè)，黃球 8 個(gè)，藍(lán)球 2 個(gè)。某人閉著眼睛從中取出若干

33、個(gè)，試問(wèn) 他至少要取多少個(gè)球，才能保證至少有 4 個(gè)球顏色相同？ ?  抽屜原理  ?  容斥原理 【含義】把 3 只蘋(píng)果放進(jìn)兩個(gè)抽屜中，會(huì)出現(xiàn)哪些結(jié)果呢？要么把 2 只蘋(píng) 果放進(jìn)一個(gè)抽屜，剩下的一個(gè)放進(jìn)另一個(gè)抽屜；要么把 3 只蘋(píng)果都放進(jìn)同 一個(gè)抽屜中。這兩種情況可用一句話表示：一定有一個(gè)抽屜中放了 2 只或 2 只以上的蘋(píng)果。這就是數(shù)學(xué)中的抽屜原則問(wèn)題。 【數(shù)量關(guān)系】基本的抽屜原則是：如果把 n＋1 個(gè)物體（也叫元素）放到 n 公式法：直接應(yīng)用包含與排除的概念和公式進(jìn)行求解 容斥原理一：C=A+B-AB，利用

34、這一公式可計(jì)出兩個(gè)集合圈的有關(guān)問(wèn)題。 容斥原理二：D＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC 利用這一公式可計(jì)算三個(gè)集 合圈的有關(guān)問(wèn)題。 圖像法：不是利用容斥原理的公式計(jì)算，而是畫(huà)圖，借助圖形幫助分析，   逐塊地計(jì)算出各個(gè)部分，從而解答問(wèn)題。 【例 1】某班學(xué)生在一次期末語(yǔ)文和數(shù)學(xué)考試中，語(yǔ)文得優(yōu)的有 15 人，數(shù) 學(xué)得優(yōu)的有 24，其中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)都得優(yōu)的有 12 人。全班得優(yōu)共有多少人？ 【解】全班得優(yōu)分 3 種:語(yǔ)數(shù)均得優(yōu);語(yǔ)文得優(yōu)數(shù)學(xué)不得優(yōu);數(shù)學(xué)得優(yōu)語(yǔ)文 不得優(yōu)。 語(yǔ)數(shù)均得優(yōu)=12 人 語(yǔ)文得優(yōu)數(shù)學(xué)不得優(yōu)=15-12=3 人 數(shù)學(xué)得優(yōu)語(yǔ)

35、文不得優(yōu)=24-12=12 人 全班得優(yōu)共有 12+3+12=27 人 53. 某班共 50 人,參加課外興趣小組學(xué)書(shū)法的 32 人,學(xué)繪畫(huà)的 28 人，其 中兩種都學(xué)的 15 人,這個(gè)班級(jí)還有多少人沒(méi)參加興趣小組？ 54. 從 1 到 100 的自然數(shù)中， （1）不能被 6 和 10 整除的數(shù)有多少個(gè)？ （2）至少能被 2，3，5 中一個(gè)數(shù)整除的數(shù)有多少個(gè)？ 又知道趙、錢(qián)、孫、李每人都只說(shuō)對(duì)了一半，那么丙的號(hào)碼是幾？ 56. 甲、乙、丙三名教師分別來(lái)自浙江、江蘇、福建，分別教數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、 英語(yǔ)。根據(jù)下面的已知條件： （1）甲不是浙江人，乙不是

36、江蘇人；（2）浙江的教師不教英語(yǔ)； （3）江蘇的教師教數(shù)學(xué)；（4）乙不教語(yǔ)文。 則丙不教什么學(xué)科？ 57. 執(zhí)行一項(xiàng)任務(wù)，要派 A、B、C、D、E 五人中的一些人去，受下述條件 約束：（1）若 A 去，B 必須去；（2）D、E 兩人至少去 1 人；（3）B、C 兩人只能去 1 人；（4）C、D 兩人都去或都不去；（5）若 E 去，A、D 兩人也必須去。問(wèn)應(yīng)派哪些人去？ ?  數(shù)字謎 ?  邏輯推理  數(shù)字謎語(yǔ)是一種有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題。它的特點(diǎn)是給出運(yùn)算式子，但式中 邏輯推理的方法主要不是依靠數(shù)學(xué)概念、法則、公式進(jìn)行運(yùn)算，而是

37、 根據(jù)條件和結(jié)論之間的邏輯關(guān)系進(jìn)行合理的推理，做到正確的判斷，最終 找到問(wèn)題的答案。邏輯推理問(wèn)題的條件一般說(shuō)來(lái)都具有一定的隱蔽性和迷 惑性，并且沒(méi)有一定的解題模式。因此，要正確解決這類(lèi)問(wèn)題，不僅需要 始終保持靈活的頭腦，更需要遵循邏輯思維的基本規(guī)律?同一律，矛盾律 和排中律。 ①“矛盾律”指的是在同一思維過(guò)程中，對(duì)同一對(duì)象的思想不能自相矛盾。 ②“排中律”指的是在同一思維過(guò)程中，一個(gè)思想或?yàn)檎婊驗(yàn)榧?，不能? 不真也不假。 ③“同一律”指的是在同一思維過(guò)程中，對(duì)同一對(duì)象的思想必須是確定的， 在進(jìn)行判斷和推理的過(guò)程中，每一概念都必須在同一意義下使用。 55. 甲、乙、丙、丁

38、四位同學(xué)的運(yùn)動(dòng)衫上印有不同的號(hào)碼。 趙說(shuō)：“甲是 2 號(hào)，乙是 3 號(hào).”錢(qián)說(shuō)：“丙是 4 號(hào)，乙是 2 號(hào).” 孫說(shuō)：“丁是 2 號(hào)，丙是 3 號(hào).”李說(shuō)：“丁是 4 號(hào)，甲是 1 號(hào).” 某些數(shù)字是用字母或漢字來(lái)代表的，要求我們進(jìn)行恰當(dāng)?shù)呐袛嗪屯评?，? 而確定這些字母或漢字所代表的數(shù)字。 步驟： 1、先確定明顯部分的數(shù)字 2、尋找突破口，縮小范圍 3、分情況討論 58. 下題中的每一個(gè)漢字都代表一個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字， 相同的漢字代表相同的數(shù)字，當(dāng)他們各代表什么數(shù)字時(shí)，算式成立？ 59. 每個(gè)漢字代表的數(shù)字是多少？ 60. 下邊的

39、算式中的不同漢字表示不同的數(shù)字，相同的漢字表示相同的數(shù)  2） 求該數(shù)列第 200 項(xiàng)與第 100 項(xiàng)的差。  字，如果巧+解+數(shù)+字+謎=30，那么“巧解數(shù)字謎”所代表的五位數(shù) 是多少？ 65. 在大于 1000 的整數(shù)中，找出所有被 34 除后商與余數(shù)相等的數(shù)，那么 這些數(shù)的和是多少？ 61. A、B 各代表什么數(shù)字？ ?  一筆畫(huà) 一筆畫(huà)性質(zhì)： ? 等差數(shù)列 2 凡是由偶點(diǎn)組成的連通圖，一定可以一筆畫(huà)成。畫(huà)時(shí)可以把任一偶點(diǎn) 若干個(gè)數(shù)排成一列，稱(chēng)為數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱(chēng)為一項(xiàng)，其中第 一項(xiàng)稱(chēng)為首項(xiàng)，最后一

40、項(xiàng)稱(chēng)為末項(xiàng)，數(shù)列中數(shù)的個(gè)數(shù)稱(chēng)為項(xiàng)數(shù)。 從第二項(xiàng)開(kāi)始，后項(xiàng)與其相鄰的前項(xiàng)之差都相等的數(shù)列稱(chēng)為等差數(shù) 列，后項(xiàng)與前項(xiàng)的差稱(chēng)為公差。  2 2 為起點(diǎn)，最后一定能以這個(gè)點(diǎn)為終點(diǎn)畫(huà)完此圖。 凡是只有兩個(gè)奇點(diǎn)的連通圖（其余都為偶點(diǎn)），一定可以一筆畫(huà)成。 畫(huà)時(shí)必須把一個(gè)奇點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)奇點(diǎn)終點(diǎn)。 其他情況的圖都不能一筆畫(huà)出。(有偶數(shù)個(gè)奇點(diǎn)除以二便可算出此圖 需幾筆畫(huà)成。) 例如：等差數(shù)列：3、6、9 …… 96，這是一個(gè)首項(xiàng)為 3，末項(xiàng)為 96， 項(xiàng)數(shù)為 32，公差為 3 的數(shù)列。 等差數(shù)列相關(guān)公式： 66. 下圖是一個(gè)公園的道路平面圖，要使游客走遍每條路且不重

41、復(fù)，問(wèn)出、 入口應(yīng)設(shè)在哪里？ 2 2 通項(xiàng)公式：第幾項(xiàng)＝首項(xiàng)＋（項(xiàng)數(shù)－1）×公差 項(xiàng)數(shù)公式：項(xiàng)數(shù)＝（末項(xiàng)－首項(xiàng)）÷公差＋1 2 2 求和公式：總和＝（首項(xiàng)＋末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2 平均數(shù)公式：平均數(shù)＝（首項(xiàng)＋末項(xiàng)）÷2 67. 甲乙兩個(gè)郵遞員去送信，兩人同時(shí)出發(fā)以同樣的速度走遍所有的街 道，甲從 A 點(diǎn)出發(fā)，乙從 B 點(diǎn)出發(fā)，最后都回到郵局（C 點(diǎn)）。如果要 在等差數(shù)列中，如果已知首項(xiàng)、末項(xiàng)、公差。求總和時(shí)，應(yīng)先求出項(xiàng) 數(shù)，然后再利用等差數(shù)列求和公式求和。 62. 某劇院有 25 排座位，后一排比前一排多兩個(gè)座位,最后一排有 70 個(gè) 座位，這個(gè)劇院一

42、共有多少個(gè)座位? 選擇最短的線路，誰(shuí)先回到郵局？ 68. 郵遞員從郵局出發(fā)送信，走過(guò)如圖的所有道路后再回到郵局。圖中各 橫道、豎道之間的道路都是平行的，郵遞員要走遍所有的郵路至少要 63. 等差數(shù)列第一項(xiàng)是 3，第四項(xiàng)是 15，求等差數(shù)列第二項(xiàng)和公差？ 走 千米。 64. 等差數(shù)列 1，5，9，13，17…… 1） 數(shù)字 2009 是不是該數(shù)列的項(xiàng)？  ? u  加法乘法原理 加法原理 如果完成一件任務(wù)有 n 類(lèi)方法，在一類(lèi)方法中有 m1 種不同的方法，在第二 類(lèi)方法中有

43、m2 種不同的方法……，在第 n 類(lèi)方法中有 mn 種不同的方法，則 完成這件任務(wù)共有：m1+m2+m3+……＋mn 種不同的方法。 u 乘法原理 如果完成一件任務(wù)需要分成 n 個(gè)步驟進(jìn)行，做第 1 步有 m1 種方法，不管第 1 步用哪一種方法，第 2 步總有 m2 種方法……不管前面 n-1 步用哪一種方 法，第 n 步總有 mn 種方法，那么完成這件任務(wù)共有 m1×m2×m3×…×mn 種 r r r r n n = r 72. 某鐵路線共有

44、14 個(gè)車(chē)站，該鐵路共需要多少種不同的車(chē)票？ 不同的方法。 69. 下圖中的“我愛(ài)希望杯”有  種不同的讀法。 73. 有紅、黃、藍(lán)三種信號(hào)旗，把任意兩面分上、下掛在旗桿上表示不同 信號(hào)，一共可以組成多少種不同信號(hào)？ 74. 一個(gè)籃球隊(duì)，五名隊(duì)員 A、B、C、D、E，在于某種原因，C 不能做中 鋒．而其余四人面可以分配到五個(gè)位置的任意位置上，共有多少種不 70. 如圖，把 A、B、C、D、E 這五部分用四種不同的顏色著色，且相鄰的 同的站位方法？ 部分不能使用同一種顏色，不相鄰的部分可以使用同一種顏色。那么， 這幅圖一共有多少種

45、不同的著色方法。 75. 七個(gè)同學(xué)照像，分別求出在下列條件下有多少種站法： （1）七個(gè)人排成一排； 71. 從 l、2、3、4、5 中任意選兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)真分?jǐn)?shù)，能組成多少不同 的真分?jǐn)?shù)? （2）7 個(gè)人排成一排，某人必須站在中間； ? 排列與組合 u u 排列：一般地，從 n 個(gè)不同元素中取出 r 個(gè)不同元素的無(wú)重復(fù)排列的 r r 我們記 n！表示 n 的階乘，即 n?。?×2×3×4×5×…×n。 組合：一般的，從 n 個(gè)不同元素中任取 r 個(gè)不同元素，不考慮取出元 素的順序并成一組，這類(lèi)任務(wù)叫做從 n 個(gè)不同元素中取

46、出 r 個(gè)不同元 素的無(wú)重復(fù)組合。組合與排列的區(qū)別在于取出元素是否考慮它們的位 置或順序。符號(hào) C nr 表示從 n 個(gè)不同元素中取出 r 個(gè)不同元素的無(wú)重 r r n 個(gè)不同元素中選出 r 個(gè)不同的元素的排列”分為兩步： （3）個(gè)人排成一排，某兩人必須有一人站在中間； （4）七個(gè)人排成一排，某兩人必須站在兩頭； （5）七個(gè)人排成一排，某兩人不能站在兩頭； （6）七個(gè)人排成兩排，前排三人，后排四人； （7）七個(gè)人排成兩排，前排三人，后排四人，某兩人不在同一排。 ①?gòu)?n 個(gè)不同的元素中選取 r 個(gè)不同的元素，方法有 C nr

47、 種；②對(duì)選出的 r ? 商品利潤(rùn) 【含義】這是一種在生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)中經(jīng)常遇到的問(wèn)題，包括成本、利潤(rùn)、利潤(rùn) 率和虧損、虧損率等方面的問(wèn)題。 【數(shù)量關(guān)系】利潤(rùn)＝售價(jià)－進(jìn)貨價(jià) 利潤(rùn)率＝（售價(jià)－進(jìn)貨價(jià)）÷進(jìn)貨價(jià)×100% 售價(jià)＝進(jìn)貨價(jià)×（1＋利潤(rùn)率） 虧損＝進(jìn)貨價(jià)－售價(jià) 虧損率＝（進(jìn)貨價(jià)－售價(jià)）÷進(jìn)貨價(jià)×100% 【解題思路】簡(jiǎn)單的題目可以直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。 【例題】某商品的平均價(jià)格在一月份上調(diào)了 10%，到二月份又下調(diào)了 10%， 這種商品從原價(jià)到二月份的價(jià)格變動(dòng)情況如何？ 解:設(shè)這種商品的原價(jià)為 1，則一月份售價(jià)為（1＋10%），二月份的

48、售價(jià)為 （1＋10%）×（1－10%），所以二月份售價(jià)比原價(jià)下降了 1－（1＋10%）×（1－10%）＝1% 答：二月份比原價(jià)下降了 1%。 76. 某服裝店因搬遷，店內(nèi)商品八折銷(xiāo)售。苗苗買(mǎi)了一件衣服用去 52 元， 已知衣服原來(lái)按期望盈利 30%定價(jià)，那么該店是虧本還是盈利？求虧 （盈）率？ 利息＝本金×存款年（月）數(shù)×年（月）利率 本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）數(shù)］ 【解題思路】簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。 【例題】李大強(qiáng)存入銀行 1200 元，月利率 0.8%，到期后連本帶利共取出 1488 元，求存款期多長(zhǎng)。

49、 解：因?yàn)榇婵钇趦?nèi)的總利息是（1488－1200）元， 所以總利率為（1488－1200）÷1200 又因?yàn)橐阎吕剩? 所以存款月數(shù)為（1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月） 答：李大強(qiáng)的存款期是 30 月即兩年半。 79. 銀行定期整存整取的年利率是：二年期 7.92%，三年期 8.28%，五年 期 9%。如果甲乙二人同時(shí)各存入 1 萬(wàn)元，甲先存二年期，到期后連本 帶利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同時(shí)取出，那么，誰(shuí)的 收益多？多多少元？ 80. 某廠向銀行申請(qǐng)甲乙兩種貸款一共 40 萬(wàn)元，每年需付利息 5 萬(wàn)元， 甲種貸款的年利率是 1

50、2%，乙種貸款的年利率是 14%。該廠申請(qǐng)的甲 乙兩種貸款的金額各是多少？ 77. 成本 0.25 元的作業(yè)本 1200 冊(cè)，按期望獲得 40%的利潤(rùn)定價(jià)出售，當(dāng) 銷(xiāo)售出 80%后，剩下的作業(yè)本打折扣，結(jié)果獲得的利潤(rùn)是預(yù)定的 86%。 問(wèn)剩下的作業(yè)本出售時(shí)按定價(jià)打了多少折扣？  ?  濃度問(wèn)題 【含義】在生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到溶液濃度問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題研究 的主要是溶劑（水或其它液體）、溶質(zhì)、溶液、濃度這幾個(gè)量的關(guān)系。例 78. 某種商品，甲店的進(jìn)貨價(jià)比乙店的進(jìn)貨價(jià)便宜 10%，甲店按 30%的利 潤(rùn)定價(jià)，乙店按 20%的利潤(rùn)定價(jià)，結(jié)果乙店

51、的定價(jià)比甲店的定價(jià)貴 6 元，求乙店的定價(jià)？ 如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質(zhì)，溶解后的混合物叫溶液。溶質(zhì) 的量在溶液的量中所占的百分?jǐn)?shù)叫濃度，也叫百分比濃度。 【數(shù)量關(guān)系】溶液＝溶劑＋溶質(zhì) 濃度＝溶質(zhì)÷溶液×100% 【解題思路】簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。 【例題】爺爺有 16%的糖水 50 克，（1）要把它稀釋成 10%的糖水，需加 ?  存款利率 水多少克？（2）若要把它變成 30%的糖水，需加糖多少克？ 解：（1）需要加水多少克？ 50×16%÷10%－50＝30（克） 【含義】把錢(qián)存入銀行是有一定利息的，利息的

52、多少，與本金、利率、存 期這三個(gè)因素有關(guān)。利率一般有年利率和月利率兩種。年利率是指存期一 年本金所生利息占本金的百分?jǐn)?shù)；月利率是指存期一月所生利息占本金的 百分?jǐn)?shù)。 【數(shù)量關(guān)系】年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）數(shù)×100% （2）需要加糖多少克？ 50×（1－16%）÷（1－30%）－50＝10（克） 答：（1）需要加水 30 克，（2）需要加糖 10 克。 81. 要把 30%的糖水與 15%的糖水混合，配成 25%的糖水 600 克，需要 30% 和 15%的糖水各多少克？   82. 甲容器有濃度為 12%的鹽水 500 克，乙容器有

53、 500 克水。把甲中鹽水 的一半倒入乙中，混合后再把乙中現(xiàn)有鹽水的一半倒入甲中，混合后 又把甲中的一部分鹽水倒入乙中，使甲乙兩容器中的鹽水同樣多。求 最后乙中鹽水的濃度？ 【含義】?jī)煞N相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩 種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫 做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意 義和解比例等知識(shí)的綜合運(yùn)用。 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相 對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做 ?  工程問(wèn)題 反比例關(guān)系

54、。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識(shí)的綜合運(yùn)用。 【數(shù)量關(guān)系】判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類(lèi)應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型 【含義】工程問(wèn)題主要研究工作量、工作效率和工作時(shí)間三者之間的關(guān)系。 這類(lèi)問(wèn)題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項(xiàng)工 程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時(shí)，常常 用單位“1”表示工作總量。 【數(shù)量關(guān)系】 解答工程問(wèn)題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工 作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)（它表示單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之 幾），進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時(shí)間三者的關(guān)系列出算式。 工作量＝工作效率×工作時(shí)間

55、工作時(shí)間＝工作量÷工作效率 工作時(shí)間＝總工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率） 【解題思路】變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。 【例題】一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需要 10 天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需要 15 天完 成，現(xiàn)在兩隊(duì)合作，需要幾天完成？ 解：題中的“一項(xiàng)工程”是工作總量，由于沒(méi)有給出這項(xiàng)工程的具體數(shù)量， 因此，把此項(xiàng)工程看作單位“1”。由于甲隊(duì)獨(dú)做需 10 天完成，那么每天 完成這項(xiàng)工程的 1/10；乙隊(duì)單獨(dú)做需 15 天完成，每天完成這項(xiàng)工程的 1/15；兩隊(duì)合做，每天可以完成這項(xiàng)工程的（1/10＋1/15）。 由此可以列出算式： 1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天

56、） 答：兩隊(duì)合做需要 6 天完成。 83. 一批零件，甲獨(dú)做 6 小時(shí)完成，乙獨(dú)做 8 小時(shí)完成。現(xiàn)在兩人合做， 應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問(wèn)題去解決，而且比較簡(jiǎn)捷。 【解題思路】解決這類(lèi)問(wèn)題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應(yīng) 用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。 【例題】修一條公路，已修的是未修的 1/3，再修 300 米后，已修的變成 未修的 1/2，求這條公路總長(zhǎng)是多少米？ 解 由條件知， 公路總長(zhǎng)不變。 原已修長(zhǎng)度∶總長(zhǎng)度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12 現(xiàn)已修長(zhǎng)度∶總長(zhǎng)度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12 比較以上兩式可知，把總長(zhǎng)度當(dāng)作 12 份，則 300

57、米相當(dāng)于（4－3）份， 從而知公路總長(zhǎng)為：300÷（4－3）×12＝3600（米） 答： 這條公路總長(zhǎng) 3600 米。 85. 孫亮看《十萬(wàn)個(gè)為什么》這本書(shū)，每天看 24 頁(yè)，15 天看完，如果每 天看 36 頁(yè)，幾天就可以看完？ 86. 一個(gè)大矩形被分成六個(gè)小矩形，其中四個(gè)小矩形的面積如圖所示，求 大矩形的面積。 完成任務(wù)時(shí)甲比乙多做 24 個(gè)，求這批零件共有多少個(gè)？ ? 牛吃草問(wèn)題 【含義】牛吃草問(wèn)題是大科學(xué)家牛頓提出的問(wèn)題，也叫“牛頓問(wèn)題”。這 84. 一件工作，甲獨(dú)做 12 小時(shí)完成，乙獨(dú)做 10 小時(shí)完成，丙獨(dú)做 15 小 時(shí)完成。

58、現(xiàn)在甲先做 2 小時(shí)，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時(shí)才 能完成？ 類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)在于要考慮草邊吃邊長(zhǎng)這個(gè)因素。 【數(shù)量關(guān)系】草總量＝原有草量＋草每天生長(zhǎng)量×天數(shù) 【解題思路】解這類(lèi)題的關(guān)鍵是求出草每天的生長(zhǎng)量。 【例題】一塊草地，10 頭牛 20 天可以把草吃完，15 頭牛 10 天可以把草 吃完。問(wèn)多少頭牛 5 天可以把草吃完？ ? 正反比例 解：草是均勻生長(zhǎng)的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長(zhǎng)量×天數(shù)。 求“多少頭牛 5 天可以把草吃完”，就是說(shuō) 5 天內(nèi)的草總量要 5 天吃完 的話，得有多少頭牛？設(shè)每頭牛每天吃草量為 1，按以下步驟解答： 

59、  第三部分  數(shù)論知識(shí)  （1）求草每天的生長(zhǎng)量 因?yàn)椋环矫?20 天內(nèi)的草總量就是 10 頭牛 20 天所吃的草，即 （1×10×20）；另一方面，20 天內(nèi)的草總量又等于原有草量加上 20 天內(nèi) 的生長(zhǎng)量，所以 1×10×20＝原有草量＋20 天內(nèi)生長(zhǎng)量，同理 1×15×10 ＝原有草量＋10 天內(nèi)生長(zhǎng)量，由此可知（20－10）天內(nèi)草的生長(zhǎng)量為 1×10×20－1×15×10＝50。因此草每天的生長(zhǎng)量為 50÷（20－10）＝5。 （2）求原有草量 原有草量＝10 天內(nèi)總草量－10 內(nèi)生長(zhǎng)量＝1×15×10－5×10＝100 （3

60、）求 5 天內(nèi)草總量 5 天內(nèi)草總量＝原有草量＋5 天內(nèi)生長(zhǎng)量＝100＋5×5＝125 數(shù)論由于比較抽象，是小學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，而且小學(xué)數(shù)論與中 學(xué)的代數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系，因此我們必須高度重視。 數(shù)論知識(shí)點(diǎn)列表 （4）求多少頭牛 5 天吃完草 因?yàn)槊款^牛每天吃草量為 1，所以每頭牛 5 天吃草量為 5。因此 5 天吃  ?  定義新運(yùn)算 完草需要牛的頭數(shù)：125÷5＝25（頭） 答：需要 5 頭牛 5 天可以把草吃完。 87. 有一塊草場(chǎng)，可供 15 頭牛吃 8 天，或可供 8 頭牛吃 20 天。如果一群 牛 14 天將這塊草場(chǎng)的草吃完，那么這群牛

61、有多少頭？ 定義一種新的運(yùn)算符號(hào)，這個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)包含有多種基本（混合） 運(yùn)算。嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的 運(yùn)算，然后按照基本運(yùn)算過(guò)程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。正確理解定義的運(yùn)算符號(hào) 的意義。 注意事項(xiàng)： ①新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。 ② 每個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中使用。 88. 牧場(chǎng)上一片青草，每天牧草都勻速生長(zhǎng)。這片牧草可供 10 頭牛吃 20 天，或者可供 15 頭牛吃 10 天?？晒?25 頭牛吃幾天？  89. 規(guī)定 a※b=  a × b a + b  ，則 2※2※10 的值是多

62、少？ 90. 對(duì)于任意的自然數(shù) a，b，定義：f（a）=a×a-1，g（b）=b÷2+1。 （1）求 f（g（6））-g（f（3））的值； （2）已知 f（g（x））=8，求 x 的值。 91. 對(duì)于任意正整數(shù)，定義：n!=1×2×3×……×n。例如：5！=1×2×3×4×5。 那么，1!+2!+3!+……+2003!和的個(gè)位數(shù)字是幾？  92. 若用 φ(a)表示 a 的所有約數(shù)的個(gè)數(shù)，例如 φ(4)=3，求 φ(φ(18))的值？ 94. 和為 1111 的四個(gè)自然數(shù)，它們的最大公約數(shù)最大能夠是多少？

63、 ?  約數(shù)與倍數(shù)  95. 李老師帶領(lǐng)一班學(xué)生去種樹(shù),學(xué)生恰好被平均分成四個(gè)小組,總共種 約數(shù)倍數(shù)：若整數(shù) a 能夠被 b 整除，a 叫做 b 的倍數(shù)，b 就叫做 a 的約數(shù)。 公約數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個(gè)， 叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。 公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)， 叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。 樹(shù) 667 棵,如果師生每人種的棵數(shù)一樣多,則這個(gè)班共有學(xué)生多少人？ 96. 有一根 180 厘米長(zhǎng)的繩子，從一端開(kāi)始每 3 厘米作一記號(hào)，每 4 厘米 也作一記號(hào)，

64、然后將標(biāo)有記號(hào)的地方剪斷，繩子共被剪成了多少段？ u 最大公約數(shù)的性質(zhì)： 幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。 幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)。 幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。 幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù) m，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大 公約數(shù)乘以 m。  97. 定義一種新運(yùn)算&滿足：a&b=[a，b]+（a，b） 求 ①14&4 ； ②已知 6&x=33，求 x 備注：[ ]表示最小公倍數(shù)，（ ）表示最大公約數(shù) u 求最大公約數(shù)基本方法： 2 2 2 分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然

65、后把相同的因數(shù)連乘起來(lái)。 短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。 輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就 是所求的最大公約數(shù)。 98. 自然數(shù) 360 有多少個(gè)約數(shù)? 所有約數(shù)的和是多少？ u 最小公倍數(shù)的性質(zhì)： ? 奇數(shù)與偶數(shù) 兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。 兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。 u 求最大公約數(shù)基本方法： 2 短除法求最小公倍數(shù)； 2 分解質(zhì)因數(shù)的方法 93. 105 個(gè)大小相同的正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形,有多少種不同的拼法?

66、所有自然數(shù)按能否被 2 整除分類(lèi)，能分成奇數(shù)和偶數(shù)兩類(lèi)；奇數(shù)被 2 除余 1，偶數(shù)能被 2 整除。最小的奇數(shù)為 1，最小的偶數(shù)為 0。 奇數(shù)和偶數(shù)的一般計(jì)算性質(zhì)： （1） 奇數(shù)±奇數(shù)＝偶數(shù) （2） 偶數(shù)±偶數(shù)＝偶數(shù) （3） 奇數(shù)±偶數(shù)＝奇數(shù) （4） 偶數(shù)±奇數(shù)＝奇數(shù) （5） 奇數(shù)×奇數(shù)＝奇數(shù) （6） 偶數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù) （7） 奇數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù) （8） 奇數(shù)÷奇數(shù)＝奇數(shù) （9） 奇數(shù)的連乘積永遠(yuǎn)是奇數(shù)，若干個(gè)整數(shù)連乘，如果其中有一個(gè)是 偶數(shù)，那么乘積一定為偶數(shù)。 （10） 相鄰兩個(gè)自然數(shù)的和必為奇數(shù)，相鄰兩個(gè)自然數(shù)的乘積必為偶數(shù)。 （11） 兩個(gè)整數(shù)之和與這兩個(gè)整數(shù)之差有著相同的奇偶性。 （12） 奇數(shù)的平方被 4 除余 1，偶數(shù)的平方是 4 的倍數(shù)。   （13） 奇數(shù)用 2K＋1 或 2K－1（K 是整數(shù)）表示；偶數(shù)用 2K 表示。 99. 10 個(gè)不同的自然數(shù)之和等于 80，在這 10 個(gè)自然數(shù)中，最多有多少個(gè) 奇數(shù)？ 100.任意取出 1996 個(gè)連續(xù)自然數(shù)，它們的總和是奇數(shù)還是偶數(shù)？ 105