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1、 輕松寒假，快樂(lè)復(fù)習(xí)30天 第10天空間角及距離（非向量法） ★思路點(diǎn)睛 一．求二面角的平面角的基本方法： 1.定義法（點(diǎn)P在棱上） 2.三垂線(xiàn)定理法（點(diǎn)P在一個(gè)半平面上），此法關(guān)鍵是找出線(xiàn)面（二面角中的某個(gè)）垂直，再過(guò)線(xiàn)上的點(diǎn)做棱的垂線(xiàn)。 3.垂面法（點(diǎn)P在二面角內(nèi)）過(guò)棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)所成的角，即為二面角的平面角。（或棱不出現(xiàn)，僅有一個(gè)交點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，過(guò)該交點(diǎn)存在兩平面的公共垂面，公共垂面與原來(lái)兩平面形成的角為二面角的平面角） 4.射影面積法: 5.補(bǔ)棱法本法是針對(duì)在解構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面沒(méi)有明確交線(xiàn)的求二面角題目時(shí)，要將

2、兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線(xiàn)（稱(chēng)為補(bǔ)棱），然后借助前述的定義法與三垂線(xiàn)法解題。 6.向量法（下節(jié)作業(yè)） 二．求空間距離的常用方法：直接法、轉(zhuǎn)化法、體積法、找垂面法、向量法。 三．注意事項(xiàng)：一定要注意各角的范圍，兩條異面直線(xiàn)所成的角]；線(xiàn)面角];斜線(xiàn)與平面所成角）；二面角]。 ★典型試題 1．已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，是的中點(diǎn)，則所成的角的余弦值為 A．B．C．D． 【答案】C 【解析】 試題分析：如圖： 在正四棱錐中，連接AC與BD相交于一點(diǎn)O，連結(jié)OE，由于是的中點(diǎn)，所以O(shè)E//SD，故AEO即為直線(xiàn)所成的角；易知AOE是直角，又側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)

3、都相等，設(shè)棱長(zhǎng)為2，則A0=，OE=1，AE=，所以有：cosAEO=; 故選C． 2．正方體，棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)到截面的距離為（） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】 試題分析：點(diǎn)到截面的距離為正方體的對(duì)角線(xiàn)的，即. 3．在長(zhǎng)方體中，．若分別為線(xiàn)段，的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為（） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】 試題分析：取的中點(diǎn)G，連接EG、FG、，容易證明為直線(xiàn)與平面所成角，設(shè)AB=a，則，在三角形中可求出，在三角形中可求出，所以在三角形中可求出，答案選C. 4.正四面體ABCD的頂點(diǎn)A，B，C分別在兩兩垂直的三條射線(xiàn)Ox，Oy，Oz上，則下列命題

4、中，錯(cuò)誤的是() A．O－ABC是正三棱錐 B．直線(xiàn)OB∥平面ACD C．直線(xiàn)AD與OB所成的夾角為45° D．二面角D－OB－A為45° 【答案】B 【解析】構(gòu)造圖形，把此正四面體放在正方體中?？梢耘袛郃，C，D為真命題，直線(xiàn)OB與平面ACD相交，所以B為假命題． 5．在矩形ABCD中，AB=a，AD=2b，a

5、-ABCD中，AC和AB成角為． 【答案】 【解析】 試題分析：由題意可得：在正方體ABCD-ABCD中，AC和AB成角即為AC和AB所成角，所以是. 7．到正方體ABCD-A1B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線(xiàn)的距離相等的點(diǎn)： ①有且只有1個(gè)； ②有且只有2個(gè)； ③有且只有3個(gè)； ④有無(wú)數(shù)個(gè)． 其中正確答案的序號(hào)是________ 【答案】④ 【解析】注意到正方體ABCD-A1B1C1D1的對(duì)角線(xiàn)B1D上的每一點(diǎn)到直線(xiàn)AB，CC1，A1D1的距離都相等，因此到ABCD-A1B1C1D1的三條棱AB，CC1，A1D1所在直線(xiàn)距離相等的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，其中正確答

6、案的序號(hào)是④. 8．已知ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GC垂直于A(yíng)BCD所在平面，且GC=2，則點(diǎn)B到平面EFG的距離為． 【答案】 【解析】設(shè)B到面EFG的距離為h， 由于， 所以 另一方面，， 所以， 得即為B到平面GEF的距離。 9.如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為１的菱形，∠BCD＝600，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA=2. （1）平面PBE與平面PAB的位置關(guān)系是． （2）平面PAD和平面PBE所成的二面角（銳角）的大小為． 【答案】（1）垂直；（2） 【解析】 解：延長(zhǎng)相交于點(diǎn)，連結(jié).

7、過(guò)點(diǎn)作于,由（1）知平面平面，所以平面.在中，因?yàn)?所以. 在等腰中,取的中點(diǎn),連接.則.連結(jié).由三垂線(xiàn)定理的逆定理得，.所以是平面和平面所成的二面角的平面角（銳角） 在等腰中, 在中, 所以，在中， 故平面和平面所成的二面角的平面角（銳角）的大小是 10.（能力提高）已知圓O和圓K是球O的大圓和小圓，其公共弦長(zhǎng)等于球O的半徑，OK＝，且圓O與圓K所在的平面所成的一個(gè)二面角為60°，則球O的表面積等于________． 【答案】16π 【解析】設(shè)兩圓的公共弦AB的中點(diǎn)為D，則KD⊥DA，OD⊥DA，∠ODK即為圓O和和圓K所在平面所成二面角的平面角，所以∠ODK＝60°.由于O

8、為球心，故OK垂直圓K所在平面，所以O(shè)K⊥KD.在直角三角形ODK中，＝sin60°，即OD＝×＝，設(shè)球的半徑為r，則DO＝r，所以r＝，所以r＝2，所以球的表面積為4πr2＝16π. 11.如圖，在三棱錐中，，，，． A C B D P （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求二面角的大??； （Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離． 【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）． 【解析】 解法一： （Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)． ，．，． ，平面． 平面，． （Ⅱ） A C B E P ，， ． 又，． 又，即，且， 平面． 取中點(diǎn)．連結(jié)． ，． 是在平面內(nèi)的

9、射影，． 是二面角的平面角． 在中，，， ，． 二面角的大小為． （Ⅲ） A C B D P H 由（Ⅰ）知平面， 平面平面． 過(guò)作，垂足為． 平面平面，平面． 的長(zhǎng)即為點(diǎn)到平面的距離． 由（Ⅰ）知，又，且， 平面．平面，． 在中，，， ．． 點(diǎn)到平面的距離為． 解法二： （Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)． ，．，． ，平面． 平面，． （Ⅱ） A C B E P ，， ． 又，． 又，即，且， 平面． 取中點(diǎn)．連結(jié)． ，． 是在平面內(nèi)的射影，． 是在平面內(nèi)的射影， 于是可求得：, 則, 設(shè)二面角的大小為，則

10、 二面角的大小為． （Ⅲ） A C B D P H 由（Ⅰ）知平面， 平面平面． 過(guò)作，垂足為． 平面平面，平面． 的長(zhǎng)即為點(diǎn)到平面的距離． 由（Ⅰ）知，又，且， 平面．平面，． 在中，，， ．． 點(diǎn)到平面的距離為． ★真題摘編 （2013高考真題）如圖，正三棱柱中，是中點(diǎn)． A B C E B1 A1 C1 （1）求證：平面⊥平面； （2）若，求二面角的大?。? 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）45° 【解析】 （1）證明：如圖，∵是正三棱柱， ∴ ∴． ∵△ABC是正三角形，E是AC中點(diǎn)， ∴ ∴. 又∵

11、， ∴平面． （2）解：如圖，作，于G，連CG. ∵平面， ∴， ∴FG是CG在平面上的射影. ∴根據(jù)三垂線(xiàn)定理得，， ∴∠CGF是二面角的平面角， 設(shè)，∵，則. 在中，. 在中，, 在中，∵, ∴. ∴二面角的大小是45°. County continuation records has examined and approved the draft, spirit, believe, prehensive Yearbook of zhuanglang already prepared draft, entered the phase of evaluation. Civil air defense work