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1、1 例例 質量為質量為 mm 的物體自空中落下的物體自空中落下, , 它除受重力外它除受重力外, , 還受到一個與速度平方成正比的阻力的作用還受到一個與速度平方成正比的阻力的作用. . 比例系數(shù)比例系數(shù)為為 k k ，k k 為正常數(shù)為正常數(shù). . 該下落物體的該下落物體的終極終極速度速度（即最后物即最后物體做勻速直線的速度）將是體做勻速直線的速度）將是kmg(A)gk(C)kg2(B) gk(D)2（A）（B）（C）singcosg（D）cosgtangmmg1NF2NFmgFcosN12N1NsinFFtansinN1gmFa 例例 在傾角為在傾角為 的固定光滑的斜面上，放一質的固定光滑的

2、斜面上，放一質量為量為 m 的小球，球被豎直的木板擋住，在豎直木板的小球，球被豎直的木板擋住，在豎直木板被迅速拿開的瞬間，小球獲得的被迅速拿開的瞬間，小球獲得的加速度加速度3（A） （B）（C） （D）需由小環(huán)質量決定需由小環(huán)質量決定 例例 一小環(huán)可在半徑為一小環(huán)可在半徑為R 的大圓環(huán)上無摩擦地滑動的大圓環(huán)上無摩擦地滑動, , 大圓環(huán)以其豎直直徑為軸轉動大圓環(huán)以其豎直直徑為軸轉動, , 如圖所示如圖所示. . 當圓環(huán)以恒當圓環(huán)以恒定角速度定角速度 轉動轉動, ,小環(huán)偏離圓環(huán)轉軸而且相對圓環(huán)靜止小環(huán)偏離圓環(huán)轉軸而且相對圓環(huán)靜止時時, , 小環(huán)所在處圓環(huán)半徑偏離豎直方向的角度小環(huán)所在處圓環(huán)半徑偏離

3、豎直方向的角度 為為mgNcossinsin2RmNRg2cos解解 對小環(huán)受力分析，有對小環(huán)受力分析，有從以上二式可得到從以上二式可得到gmNR2)arccos(2Rg)arctan(2gR4rRhm解解 設小球位置如圖設小球位置如圖mgFNcosRhRRrcossin ，2gRhrmFN2sin 例例 在一只半徑為在一只半徑為R 的半球形碗內(nèi)，有一質量為的半球形碗內(nèi)，有一質量為 m的小球，當球以角速度的小球，當球以角速度 在水平面內(nèi)沿碗內(nèi)壁作勻速在水平面內(nèi)沿碗內(nèi)壁作勻速圓周運動時圓周運動時, ,它離碗底有多高？它離碗底有多高？NFgmm5解解 設木板加速度設木板加速度 , 夾子加速度夾子加

4、速度 .1a2aFgm2NFNFgm1NFNFNFNF 例例 一質量為一質量為 m2= 0.5 kg 的夾子的夾子, 以壓力以壓力FN =120 N 夾著質量夾著質量 m1=1.0 kg 的木板的木板, 已知夾子與木板間的摩擦系已知夾子與木板間的摩擦系數(shù)數(shù) = 0.2 , 問以多大的力豎直向上拉時問以多大的力豎直向上拉時, 才會使木板才會使木板脫離脫離夾子夾子.222N2amgmFF111N2amgmFNFNFTFTFF611N22N22mgmFmgmFFN72)(2111NmmmFF222N2amgmFF111N2amgmF12aa 脫離條件脫離條件 注意注意 起重機爪鉤提升物體速度安全問題

5、起重機爪鉤提升物體速度安全問題.NFNFgm1NFNFgm2NFNFNFNFTFTFF7 例例 已知一物體質量已知一物體質量 m 沿水平方向運動沿水平方向運動, 初速度為初速度為v0, 所受的阻力為所受的阻力為 Ff = k v，求停止運動時，求停止運動時, 物體運動物體運動的距離的距離.tmmakFfddvvxvvvddddtxvvvddmk vdd xmkv0v0dd0 xmkx0vxmk0vkmx 解解8tmmgddsinv解解0dsind0glvvvv)cos32(20TgglmFvddddddddvvvvltt) 1(cos220lgvvtsinmamgnTcosmamgFlmmgF

6、/cos2Tv 例例 如圖所示長為如圖所示長為l 的輕繩，一端系質量為的輕繩，一端系質量為m的小球的小球, ,另一端系于定點另一端系于定點O，t=0 時小球位于最低位置，并具有時小球位于最低位置，并具有水平速度水平速度v0，求小球在任意位置的速率及繩的張力，求小球在任意位置的速率及繩的張力. . o0vvTFgmtene9F 例例 質量為質量為m的物體在摩擦系數(shù)為的物體在摩擦系數(shù)為 的平面上作的平面上作勻速直線運動，問當力與水平面成勻速直線運動，問當力與水平面成 角多大時最省力？角多大時最省力？ 解解 建立坐標系，建立坐標系，受力分析，列受力方程受力分析，列受力方程 . .xygmfFNFO0

7、cosNF0sinmgFN聯(lián)立求解：聯(lián)立求解：sincosmgF分母有極大值時，分母有極大值時，F(xiàn) 有極小值，有極小值，sincosy, 0ddyarctan, 0/dd22y10tmktFtdd000vv202tmktmFv由由txddvtxddv有有ttmktmFxtxd )2(d020032062tmktmFx 例例 質量為質量為 m 的物體，在的物體，在 F = F0kt 的外力作用下的外力作用下沿沿 x 軸運動，已知軸運動，已知 t = = 0 時，時，x0= 0,v0= 0, , 求：物體在任求：物體在任意時刻的加速度意時刻的加速度 a，速度，速度 v 和位移和位移 x 。解解tm

8、ktFdd0 vmFa t ddvmktF011證明證明maF mFa2mxkt ddvxmxkdd2vva 中不顯含時間中不顯含時間 t，進行積分變量的變換，進行積分變量的變換vvdd xa02112xxmkv兩邊積分兩邊積分xmxkxxdd020vvv則則0112xxmkv 例例 一質量為一質量為 m 的物體，最初靜止的物體，最初靜止于于 x0 處處, , 在在力力 F = k/x2 的作用下沿直線運動，的作用下沿直線運動，試證明物體在任試證明物體在任意位置意位置 x 處的速度為處的速度為0112xxmkv12vBFrF解解 取坐標如圖所示取坐標如圖所示)(dd0bFmbtvvmarFmg

9、v6B令令rbFmgF6B0tmbFdd0vv GyBF為浮力為浮力 例例 一質量一質量m, ,半徑半徑 r 的球體在水中靜止釋放沉入的球體在水中靜止釋放沉入水底水底. .已知阻力已知阻力 , , 為粘性系數(shù)為粘性系數(shù), ,求求 v(t) . . vrF6r13bFt/,0Lv（終極速度）（終極速度）tmbbF)/(0e1vLL95. 0)05. 01 (vvvbmt3當當 時時ttmbbF000d)(dvvvvBFrFGyvbF0to)(dd0bFmbtvvL,3vv bmt一般認為一般認為 例例 一人握有兩只啞鈴一人握有兩只啞鈴, 站在一可無摩擦地轉動站在一可無摩擦地轉動的水平平臺上的水平

10、平臺上, 開始時兩手平握啞鈴開始時兩手平握啞鈴, 人、啞鈴、平臺人、啞鈴、平臺組成的系統(tǒng)以一角速度旋轉組成的系統(tǒng)以一角速度旋轉, 后來此人將啞鈴下垂于后來此人將啞鈴下垂于身體兩側身體兩側, 在此過程中在此過程中, 系統(tǒng)系統(tǒng)(A) 角動量守恒角動量守恒, 機械能不守恒機械能不守恒; (B) 角動量守恒角動量守恒, 機械能守恒機械能守恒; (C) 角動量不守恒角動量不守恒, 機械能守恒機械能守恒; (D) 角動量不守恒角動量不守恒, 機械能不守恒機械能不守恒. 例例 關于力矩有以下幾種說法關于力矩有以下幾種說法:（1）內(nèi)力矩不會改變剛體對某個軸的角動量）內(nèi)力矩不會改變剛體對某個軸的角動量; （2）

11、作用力和反作用力對同一軸的力矩之和必為零）作用力和反作用力對同一軸的力矩之和必為零; （3）質量相等）質量相等, 形狀和大小不同的兩個剛體形狀和大小不同的兩個剛體, 在相同在相同力矩的作用下力矩的作用下, 他們的角加速度一定相等他們的角加速度一定相等; 在上述說法中在上述說法中(A) 只有（只有（2）是正確的）是正確的; (B)（1）、（）、（2）是正確的）是正確的; (C)（2）、（）、（3）是正確的）是正確的; (D)（1）、（）、（2）、（）、（3）都是正確的）都是正確的. AMBF =Mg（A）AB ; （B）AB; （C） AB ; （D）無法確定）無法確定. 例例 如圖所示如圖所示

12、, A、B為兩個相同的定滑輪為兩個相同的定滑輪, A 滑滑輪掛一質量為輪掛一質量為M的物體的物體, B滑輪受力滑輪受力F = Mg, 設設 A、B兩滑輪的角加速度分別為兩滑輪的角加速度分別為 A和和B ,不計滑輪的摩擦不計滑輪的摩擦,這這兩個滑輪的角加速度的兩個滑輪的角加速度的大小關系為大小關系為: AMaTMgraJJTrAAA AraJJMgrFrBBB BgMT(A) 動量不守恒動量不守恒, 動能守恒動能守恒; (B) 動量守恒動量守恒, 動能不守恒動能不守恒; (C) 角動量守恒角動量守恒, 動能不守恒動能不守恒; (D) 角動量不守恒角動量不守恒, 動能守恒動能守恒. 例例 人造地球

13、衛(wèi)星人造地球衛(wèi)星, 繞地球作橢圓軌道運動繞地球作橢圓軌道運動, 地球地球在橢圓的一個焦點上在橢圓的一個焦點上, 則衛(wèi)星的：則衛(wèi)星的： 例例 一飛輪在時間一飛輪在時間 t t 內(nèi)轉過角度內(nèi)轉過角度 ，式中式中 a、b、c 都是常量，求它的角加速度都是常量，求它的角加速度. .43ctbtat 324343)(ddctbtactbtatt232126)43(ddctbtctbtat解：解：解（解（1）2srad8 . 05 . 04 . 0rarat 例例 一條纜索繞過一定滑輪拉動一升降機，滑輪半一條纜索繞過一定滑輪拉動一升降機，滑輪半徑徑 , 如果升降機從靜止開始以如果升降機從靜止開始以 加速度

14、上升加速度上升, 求求 （1）滑輪角加速度；滑輪角加速度；（2） 時時角速度及轉過的圈數(shù)；角速度及轉過的圈數(shù)；（3） 時輪緣上一點的時輪緣上一點的加速度加速度.2sm4 . 0am5 . 0rs5ts1t已知：已知：m5 . 0r2sm4 . 0aar2tsm4 . 0 aasrad4t6 . 12n2tsm4 . 0 aa22nsm32. 0rarad10212t1srad8 .0t求（求（2） 時角速度及轉過的圈數(shù)；時角速度及轉過的圈數(shù)；s5t2srad8 . 0求（求（3） 時輪緣上一點的加速度時輪緣上一點的加速度.s1tm5 . 0r22n2tsm51. 0aaa7 .38)arcta

15、n(tnaaarnataal lo0iF 0iM解：解：剛體平衡的條件剛體平衡的條件 例例 一長為一長為 l l，重為，重為W W 的均勻梯子，靠墻放置，墻的均勻梯子，靠墻放置，墻光滑，當梯子與地面成光滑，當梯子與地面成 角時處于平衡狀態(tài)，求梯子角時處于平衡狀態(tài)，求梯子與地面的摩擦力。與地面的摩擦力。02f NF01 NP 以支點以支點O為轉動中心，梯子受為轉動中心，梯子受的合外力矩：的合外力矩：0sincos22lNlPcot22fPNF1N2NPfFxo 例例 一質量為一質量為m、長為、長為L的均勻細棒，可在水平桌面的均勻細棒，可在水平桌面上繞通過其一端的豎直固定軸轉動，已知細棒與桌面的上

16、繞通過其一端的豎直固定軸轉動，已知細棒與桌面的摩擦系數(shù)為摩擦系數(shù)為 , 求棒轉動時受到的摩擦力矩的大小求棒轉動時受到的摩擦力矩的大小 dxxfFd解：解：取一小段如圖取一小段如圖xlmmdd)d(dmgxMmgLxxlmgmgxML21dd0mgFfdd 例例 電風扇在開啟電源后，經(jīng)電風扇在開啟電源后，經(jīng)t1時間達到了額時間達到了額定轉速，此時相應的角速度為定轉速，此時相應的角速度為0 ，當關閉電源后，當關閉電源后，經(jīng)過經(jīng)過t2時間風扇停轉已知風扇轉子的轉動慣量為時間風扇停轉已知風扇轉子的轉動慣量為J，并假設摩擦阻力矩和電機的電磁力矩均為常量，并假設摩擦阻力矩和電機的電磁力矩均為常量，求電機的

17、電磁力矩求電機的電磁力矩)11(210ttJM解：解：22110tt1fJMM2fJM 例：例：求一半徑求一半徑 的飛輪對過其中心軸的的飛輪對過其中心軸的轉動慣量，在飛輪上繞以細繩，繩末端掛一重物轉動慣量，在飛輪上繞以細繩，繩末端掛一重物, 其其質量質量 的讓其從的讓其從 處靜止下落處靜止下落, 測得下落時間測得下落時間 ；若用質量；若用質量 的的重物時重物時, , 假定摩擦力矩假定摩擦力矩 是一個常量是一個常量 , 求求飛輪的轉動慣量飛輪的轉動慣量.cm50Rm0 . 2hkg0 . 81mkg0 . 42ms161ts252tfMR1mhR2mhfM解：受力分析、解：受力分析、坐標如圖坐標

18、如圖TTgmy y2222f2222221tahRaJMRTamTgm1111amTgmRaJMRT1f121121tah fMTTgmy y已知：已知： cm50Rm0 . 2hkg0 .81mkg0 . 42ms161ts252tCM f求求：J J2211m/s0156. 02tha2222m/s0064. 02tha22121)()(RTTJaa21221)(aaRTTJ23mkg1006. 1N3 .78)(111agmT已知：已知： cm50Rm0 . 2hkg0 .81mkg0 . 42ms161ts252tCM f求求：J JfMTTgmy yRaJMRT2f2RaJMRT1f

19、11111amTgm2222amTgm21m/s0156.0a22m/s0064.0aN2 .39)(222agmT 例例 一滑冰者開始轉動時一滑冰者開始轉動時 ，然后將，然后將手臂收回，使轉動慣量減少為原來的手臂收回，使轉動慣量減少為原來的 1/3，求此時的轉，求此時的轉動角速度動角速度.2200k0JE00031JJ 注意：注意：剛體定軸轉動剛體定軸轉動內(nèi)力矩內(nèi)力矩的功之的功之和為和為零，非零，非剛體剛體不不一定一定.200200k200k023932121JJEJE解：解：外力矩為零，外力矩為零，角動量守恒角動量守恒內(nèi)力做功，內(nèi)力做功，轉動動能轉動動能變化變化03 例例 把單擺和一等長的

20、勻質直桿懸掛在同一點，桿把單擺和一等長的勻質直桿懸掛在同一點，桿與單擺的擺錘質量均為與單擺的擺錘質量均為 m . 開始時直桿自然下垂，將單開始時直桿自然下垂，將單擺擺錘拉到高度擺擺錘拉到高度 ，令它自靜止狀態(tài)下擺，于垂直位，令它自靜止狀態(tài)下擺，于垂直位置和直桿作彈性碰撞置和直桿作彈性碰撞. 求求 碰后直桿下端達到的高度碰后直桿下端達到的高度 h .0hhhmlc 解：解：此問題分為此問題分為三個階段三個階段0hllmm0v002ghv 1） 單擺自由下單擺自由下擺（機械能守恒），擺（機械能守恒），與桿碰前速度與桿碰前速度2）擺與桿彈性碰撞（擺與桿彈性碰撞（擺，桿擺，桿）角動量守恒角動量守恒vv

21、mlJml0機械能守恒機械能守恒2220212121Jmmvv021vv l 230v3）碰后桿上擺，碰后桿上擺，機械能守恒（機械能守恒（桿，地球桿，地球）cmghJ2210232hhhc002ghvhhmlc解解：盤和人為系統(tǒng)，角動量守恒。盤和人為系統(tǒng)，角動量守恒。設：設： 分別為人和盤相對地分別為人和盤相對地 的角速度，的角速度，順時針為正向順時針為正向.,00210202RmmR22200mmm順時針向順時針向tRmtmRdddd2102022002002dd21RmmR 例：例： 質量質量 ，半徑，半徑 的均勻圓盤可繞過中心的光滑的均勻圓盤可繞過中心的光滑豎直軸自由轉動豎直軸自由轉動.

22、 在盤緣站一質量為在盤緣站一質量為 的人，開始人和的人，開始人和盤都靜止，當人在盤緣走一圈時，盤對地面轉過的角度盤都靜止，當人在盤緣走一圈時，盤對地面轉過的角度.0mRmmR0moRhmmm2022121JJ 和和 、 分別分別為圓盤終了和起始時的角為圓盤終了和起始時的角坐標和角速度坐標和角速度 .0,0dd00TTFRRF 例例 一質量為一質量為 、半徑為、半徑為 R 的圓盤，可繞一垂的圓盤，可繞一垂直通過盤心的無摩擦的水平軸轉動直通過盤心的無摩擦的水平軸轉動 . 圓盤上繞有輕繩，圓盤上繞有輕繩，一端掛質量為一端掛質量為m 的物體的物體 . 問物體在靜止下落高度問物體在靜止下落高度 h 時，

23、時，其速度的大小為多少其速度的大小為多少? 設繩的質量忽略不計設繩的質量忽略不計 .m 解解 拉力拉力 對圓盤做功，由剛體繞定軸轉動的動對圓盤做功，由剛體繞定軸轉動的動能定理可得，拉力能定理可得，拉力 的力矩所作的功為的力矩所作的功為TFTFoTFNFPTFPm202TT2121dd00JJFRRF物體由靜止開始下落物體由靜止開始下落0, 000v解得解得ghm2)2(mm2mmmgh2v并考慮到圓盤的轉動慣量并考慮到圓盤的轉動慣量221RmJ202T2121d0vvmmFRmgh由質點動能定理由質點動能定理TTFFoTFNFPTFPmRv 例例 質量為質量為 的物體的物體 A 靜止在光滑水平

24、面上，靜止在光滑水平面上，和一質量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為和一質量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為 R、質、質量為量為 的圓柱形滑輪的圓柱形滑輪 C，并系在另一質量為，并系在另一質量為 的物的物體體 B 上上. 滑輪與繩索間沒有滑動，滑輪與繩索間沒有滑動， 且滑輪與軸承間的摩且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計擦力可略去不計. 問：（問：（1） 兩物體的線加速度為多少？兩物體的線加速度為多少？ 水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（2） 物體物體 B 從從BmCm 再求線加速度及再求線加速度及繩的張力繩的張力. 靜止落下距離靜止落下距離 時，時，其速率

25、是多少？（其速率是多少？（3）若滑輪與軸承間的摩若滑輪與軸承間的摩擦力不能忽略，并設擦力不能忽略，并設它們間的摩擦力矩為它們間的摩擦力矩為fMyAmABCAmBmCmABCAmBmCmT1FT2FAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmamFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra 解解 （1）隔離物體分）隔離物體分別對物體別對物體A、B 及滑輪作及滑輪作受力分析，取坐標如圖，受力分析，取坐標如圖，運用牛頓第二定律運用牛頓第二定律 、轉、轉動定律列方程動定律列方程 . T2FT1FCPCF2CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF如令如令

26、 ，可得，可得0CmBABAT2T1mmgmmFF（2） B由靜止出發(fā)作勻加速直線運動，下落的速率由靜止出發(fā)作勻加速直線運動，下落的速率2/22CBABmmmgymayvABCAmBmCmT1FT2F （3） 考慮滑輪與軸承間的考慮滑輪與軸承間的摩擦力矩摩擦力矩 ，轉動定律，轉動定律fM結合（結合（1）中其它方程）中其它方程JMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRa JMRFRFfT1T2T2FBPBmAPT1FNFAmT2FT1FfM2/)/(CBAfBAT1mmmRMgmmF2)2(CBAfCABT2mmmRMgmmmF2/CBAfBmmmRMgmaABCAmBmCmT1FT2FJMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRa