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選修4-5 不等式選講

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1、選修選修4 45 5不等式選講不等式選講第一節(jié)絕對值不等式第一節(jié)絕對值不等式n 一、絕對值三角不等式n 1定理1:如果a,b是實數(shù),則|ab| ,當且僅當 時,等號成立n 2 定 理 2 : 如 果 a , b , c 是 實 數(shù) , 則 | a c| ,當且僅當 時,等號成立|a|b|ab0|ab|bc|(ab)(bc)0n 二、絕對值不等式的解法n 1含絕對值的不等式|x|a的解集n 2.|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法n (1)|axb|c .n (2)|axb|c .caxbcaxbc或或axbcn 3|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)n 型不等

2、式的解法n (1)利用絕對值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想;n (2)利用“零點分段法”求解,體現(xiàn)了分類討論的思想;n (3)通過構造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解,體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想n 1(課本習題改編)已知2a3,3b4,則a|b|的取值范圍是()n A(6,3)B(6,3n C(6,6) D(6,6n 解析:3b4,0|b|0的解集是()n Ax|0 x1 Bx|x0且x1n Cx|1x1 Dx|x1且x1n 解析:當x0,x0,x21,1x1,0 x1,n 綜上所述得x1且x1,故選D.n 答案:Dn 3(2013年青島模擬)若不等式x2|2x6|a對于一切實數(shù)x均成立,則實

3、數(shù)a的最大值是()n A7 B9n C5 D11n 解析:令f(x)x2|2x6|,當x3時,f(x)x22x6(x1)279;當x3時,f(x)x22x6(x1)255.綜上可知,f(x)的最小值為5,故原不等式恒成立只需a5即可,從而a的最大值為5.n 答案:Cn 4(課本習題改編)f(x)|2x|x1|的最小值為_n 解析:|2x|x1|2xx1|1,n f(x)min1.n 答案:1n 5(2013年西安質檢)若關于x的不等式|xa|1的解集為(1,3),則實數(shù)a的值為_n 解析:原不等式可化為a1xa1,又知其解集為(1,3),所以通過對比可得a2.n 答案:2n 考向一絕對值不等式

4、的解法n 例1(2012年高考課標全國卷)已知函數(shù)f(x)|xa|x2|.n (1)當a3時,求不等式f(x)3的解集;n (2)若f(x)|x4|的解集包含1,2,求a的取值范圍n 當x2時,由f(x)3得2x53,解得x1;n 當2x3時,f(x)3無解;n 當x3時,由f(x)3得2x53,解得x4.n 所以f(x)3的解集為x|x1x|x4n (2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.n 當x1,2時,|x4|x2|xa|n 4x(2x)|xa|n 2ax2a.n 由條件得2a1且2a2,即3a0.n 故滿足條件的a的取值范圍為3,0n 考向二絕對值不等式的證明n 考向三絕對值不等式的

5、綜合應用n 例3設函數(shù)f(x)|2x4|1.n (1)畫出函數(shù)yf(x)的圖象;n (2)若不等式f(x)ax的解集非空,求a的取值范圍n 3設函數(shù)f(x)|x1|x2|.n (1)畫出函數(shù)yf(x)的圖象;n (2)若不等式|ab|ab|a|f(x)(a0,a、bR)恒成立,求實數(shù)x的取值范圍n 解析:(1)當x1時,n f(x)(x1)(x2)2x3,n 當12時,f(x)(x1)(x2)2x3,n 圖象如圖所示:n 【答題模板】含有參數(shù)的絕對值不等式n 【典例】(10分)(2012年高考遼寧卷)已知f(x)|ax1|(aR),不等式f(x)3的解集為x|2x1n (1)求a的值;n 【思

6、路導析】(1)利用絕對值不等式的公式求解,注意分類討論思想的應用;(2)構造函數(shù),轉化為函數(shù)最值問題n 【 規(guī) 范 解 答 】 ( 1 ) 由 | a x 1 | 3 得 4ax2. 1分n 又f(x)3的解集為x|2x1,所以當a0時,不合題意. 3分n 【名師點評】解含有參數(shù)的絕對值不等式時,以下幾點在備考時要高度關注:n (1)要準確、熟練地利用絕對值的定義或公式法、平方法、幾何意義法、零點分段討論法等去掉絕對值n (2)去掉絕對值的幾種方法應用時各有利弊,在解只含n 有一個絕對值的不等式時,用公式法較為簡便;但若不等式含有多個絕對值時,則應采用分段討論法;應用平方法時,要注意只有在不等

7、式兩邊均為正的情況下才能施行因此,我們在去絕對值符號時,用何種方法需視具體情況而定n (3)將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透,這是命題的新動向,解題時強化函數(shù);數(shù)形結合與轉化化歸思想方法的靈活應用n 1(2012年高考廣東卷)不等式|x2|x|1的解集為 .n 解析:利用零點分段討論法解絕對值不等式n 當x2時,原不等式可化為x2x1,該不等式恒成立n 當2x0時,原不等式可化為x2x1,n 2(2012年高考陜西卷)若存在實數(shù)x使|xa|x1|3成立,則實數(shù)a的取值范圍是_n 解析:利用絕對值不等式的性質求解n |xa|x1|(xa)(x1)|a1|,n 要使|xa|x1|3有解,n 可使|a1|3,3a13,2a4.n 答案:2,4本小節(jié)結束請按ESC鍵返回 若有不當之處,請指正,謝謝!若有不當之處,請指正,謝謝!

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