《《兩角和與差的正弦、余弦、正切公式》教學設計說明》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《《兩角和與差的正弦、余弦、正切公式》教學設計說明（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 . . . 《兩角和與差的正弦、余弦、正切公式》教學設計 一、教學分析 1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式是在研究了兩角差的余弦公式的基礎上，進一步研究具有“兩角和差”關系的正弦、余弦、正切公式的.在這些公式的推導中，教科書都把對照、比較有關的三角函數(shù)式，認清其區(qū)別，尋找其聯(lián)系和聯(lián)系的途徑作為思維的起點，如比較cos(α-β)與cos(α+β),它們都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式從運算或換元的角度看都有在聯(lián)系，即α+β=α-(-β)的關系，從而由公式C(α-β)推得公

2、式C(α+β)，又如比較sin(α-β)與cos(α-β)，它們包含的角相同但函數(shù)名稱不同，這就要求進行函數(shù)名的互化，利用誘導公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等. 2.通過對“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”的推導，揭示了兩角和、差的三角函數(shù)與這兩角的三角函數(shù)的運算規(guī)律，還使學生加深了數(shù)學公式的推導、證明方法的理解.因此本節(jié)容也是培養(yǎng)學生運算能力和邏輯思維能力的重要容，對培養(yǎng)學生的探索精神和創(chuàng)新能力，發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力都有著十分重要的意義. 3.本節(jié)的幾個公式是相互聯(lián)系的，其推導過程也充分說明了它們之間的在聯(lián)系，讓學生深刻領會它們的這種聯(lián)系，從而加深對公式的理

3、解和記憶.本節(jié)幾個例子主要目的是為了訓練學生思維的有序性，逐步培養(yǎng)他們良好的思維習慣，教學中應當有意識地對學生的思維習慣進行引導，例如在面對問題時，要注意先認真分析條件，明確要求，再思考應該聯(lián)系什么公式，使用公式時要具備什么條件等.另外，還要重視思維過程的表述，不能只看最后結果而不顧過程表述的正確性、簡捷性等，這些都是培養(yǎng)學生三角恒等變換能力所不能忽視的. 二、三維目標 1.知識與技能：在學習兩角差的余弦公式的基礎上，通過讓學生探索、發(fā)現(xiàn)并推導兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,了解它們之間的在聯(lián)系，并通過強化題目的訓練，加深對公式的理解，培養(yǎng)學生的運算能力與邏輯推理能力，從而提高解決問題的

4、能力. 2.過程與方法：通過兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的運用，會進行簡單的求值、化簡、恒等證明，使學生深刻體會聯(lián)系變化的觀點，自覺地利用聯(lián)系變化的觀點來分析問題，提高學生分析問題解決問題的能力. 3.情感態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)學習，使學生掌握尋找數(shù)學規(guī)律的方法，提高學生的觀察分析能力，培養(yǎng)學生的應用意識，提高學生的數(shù)學素質(zhì). 三、教學重、難點 教學重點：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式與其推導. 教學難點：靈活運用所學公式進行求值、化簡、證明. 四、教學用具 三角板，彩色粉筆，幻燈片 五、教學方法 教法：引導探究，歸納總結 學法：合作討論，自主學習 六、教學過程

5、1．導入新課 (問題導入)教師出示問題，先讓學生計算以下幾個題目，既可以復習回顧上節(jié)所學公式，又為本節(jié)新課作準備.若sinα=，α∈(0,)，cosβ=,β∈(0,),求cos(α-β),cos(α+β)的值.學生利用公式C（α-β）很容易求得cos（α-β），但是如果求cos（α+β）的值就得想法轉化為公式C（α-β）的形式來求，此時思路受阻,從而引出新課題，并由此展開聯(lián)想探究其他公式. 2．推進新課 提出問題 ①還記得兩角差的余弦公式嗎？請一位同學到黑板上默寫出來. ②在公式C(α-β)中，角β是任意角，請學生思考角α-β中β?lián)Q成角-β是否可以？此時觀察角α+β與α-(-β)之間

6、的聯(lián)系，如何利用公式C(α-β)來推導cos(α+β)=? ③分析觀察C(α+β)的結構有何特征？ ④在公式C(α-β)、C(α+β)的基礎上能否推導sin(α+β)=?sin(α-β)=? ⑤公式S(α-β)、S(α+β)的結構特征如何？ ⑥對比分析公式C(α-β)、C(α+β)、S(α-β)、S(α+β)，能否推導出tan(α-β)=? tan（α+β）=？ ⑦分析觀察公式T(α-β)、T(α+β)的結構特征如何？ ⑧思考如何靈活運用公式解題？ 活動：對問題①，學生默寫完后，教師播放幻燈片，然后引導學生觀察兩角差的余弦公式，點撥學生思考公式中的α,β既然可以是任意角，是怎樣任

7、意的？你會有些什么樣的奇妙想法呢？鼓勵學生大膽猜想，引導學生比較cos(α-β)與cos(α+β)中角的在聯(lián)系，學生有的會發(fā)現(xiàn)α-β中的角β可以變?yōu)榻?β，所以α-(-β)=α+β〔也有的會根據(jù)加減運算關系直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕.這時教師適時引導學生轉移到公式C(α-β)上來,這樣就很自然地得到 cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ. 所以有如下公式： cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 我們稱以上等式為兩角和的余弦公式，記作C(α+β). 對問題②，教師引

8、導學生細心觀察公式C(α+β)的結構特征,可知“兩角和的余弦，等于這兩角的余弦積減去這兩角的正弦積”，同時讓學生對比公式C(α-β)進行記憶，并填空：cos75°=cos(_________)==__________=___________. 對問題③，上面學生推得了兩角和與差的余弦公式，教師引導學生觀察思考，怎樣才能得到兩角和與差的正弦公式呢？我們利用什么公式來實現(xiàn)正、余弦的互化呢？學生可能有的想到利用誘導公式⑸⑹來化余弦為正弦(也有的會想到利用同角的平方和關系式sin2α+cos2α=1來互化，此法讓學生課下進行),因此有 sin(α+β)=cos［-(α+β)］=cos［(-α)-β

9、］ =cos(-α)cosβ+sin(-α)sinβ =sinαcosβ+cosαsinβ. 在上述公式中,β用-β代之，則 sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. 因此我們得到兩角和與差的正弦公式，分別簡記為S(α+β)、S(α-β). sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. 對問題④⑤，教師引導學生觀察公式的結構特征并結合推導過程進行記憶，同時進一步體會本節(jié)公式的探究過程與公式變化特點，體驗三角公式的這種簡潔美、對稱

10、美.為強化記憶，教師可讓學生填空,如sin(θ+φ)=___________，sin=_____. 對問題⑥，教師引導學生思考，在我們推出了公式C(α-β)、C(α+β)、S(α+β)、S(α-β)后,自然想到兩角和與差的正切公式，怎么樣來推導出tan(α-β)=?,tan(α+β)=?呢？學生很容易想到利用同角三角函數(shù)關系式，化弦為切得到.在學生探究推導時很可能想不到討論，這時教師不要直接提醒，讓學生自己悟出來. 當cos(α+β)≠0時，tan(α+β)= 如果cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0時,分子、分母同除以cosαcosβ得 tan(α+β)=，據(jù)角α、β的

11、任意性，在上面的式子中，β用-β代之，則有 tan(α-β)= 由此推得兩角和、差的正切公式，簡記為T(α-β)、T(α+β). tan(α+β)= tan(α-β)=? 對問題⑥,讓學生自己聯(lián)想思考，兩角和與差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的嗎？學生回顧自己的公式探究過程可知，α、β、α±β都不能等于+kπ(k∈Z)，并引導學生分析公式結構特征，加深公式記憶. 對問題⑦⑧，教師與學生一起歸類總結，我們把前面六個公式分類比較可得C(α+β)、S(α+β)、T(α+β)叫和角公式；S(α-β)、C(α-β)、T(α-β)叫差角公式.并由學生歸納總結以上六個公式的推導

12、 過程，從而得出以下邏輯聯(lián)系圖.可讓學生自己畫出這六個框圖.通過邏輯聯(lián)系圖，深刻理解它們之間的在聯(lián)系，借以理解并靈活運用這些公式.同時教師應提醒學生注意：不僅要掌握這些公式的正用，還要注意它們的逆用與變形用.如兩角和與差的正切公式的變形式 ????tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)，tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)，在化簡求值中就經(jīng)常應用到，使解題過程大大簡化，也表達了數(shù)學的簡潔美.對于兩角和與差的正切公式，當tanα，tanβ或tan（α±β）的值不存在時，不能使用T（α±β）處理某些有關問題，但可改用誘導公式或其他

13、方法，例如：化簡tan(-β)，因為tan的值不存在，所以改用誘導公式tan(-β)=來處理等. ? 應用示例 例1?已知sinα=,α是第四象限角，求sin(-α),cos(+α),tan(-α)的值. ????活動：教師引導學生分析題目中角的關系，在面對問題時要注意認真分析條件，明確要求.再思考應該聯(lián)系什么公式，使用公式時要有什么準備，準備工作怎么進行等.例如此題中，要先求出cosα,tanα的值，才能利用公式得解，此題是直接應用公式解題，目的是為了讓學生初步熟悉公式的應用，教師可以完全讓學生自己獨立完成. 解：由sinα=,α是第四象限角，得cosα=. ∴tanα==.

14、于是有sin(-α)=sincosα-cossinα= cos(+α)=coscosα-sinsinα= tan(α-)===. ????點評：本例是運用和差角公式的基礎題，安排這個例題的目的是為了訓練學生思維的有序性，逐步培養(yǎng)他們良好的思維習慣. 變式訓練1 1.不查表求cos75°,tan105°的值. 解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30° =, tan105°=tan(60°+45°)=?=-(2+). 2.設α∈(0,),若sinα=,則2sin(α+)等于(????) A.???????????????

15、B.?????????????C.?????????????D.4 答案：A 例2??已知sinα=,α∈(,π),cosβ=,β∈(π,)，求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β)． ????活動：教師可先讓學生自己探究解決，對探究困難的學生教師給以適當?shù)狞c撥，指導學生認真分析題目中已知條件和所求值的在聯(lián)系.根據(jù)公式S(α-β)、C(α+β)、T(α+β)應先求出cosα、sinβ、tanα、tanβ的值，然后利用公式求值，但要注意解題中三角函數(shù)值的符號. 解：由sinα=,α∈(,π),得 cosα==-=，∴tanα=. 又由cosβ=,β∈(π,). sin

16、β==, ∴tanβ=.∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ =×()-(. ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=()×()-×() = ∴tan(α+β)==. ????點評：此題仍是直接利用公式計算求值的基礎題，其目的還是讓學生熟練掌握公式的應用，訓練學生的運算能力. 變式訓練2 ????引導學生看章頭圖，利用本節(jié)所學公式解答課本章頭題，加強學生的應用意識. 解：設電視發(fā)射塔高CD=x米，∠CAB=α，則sinα=， 在Rt△ABD中，tan(45°+α)=tanα. 于是x=, 又∵sinα=,α∈(0,),∴cosα≈,ta

17、nα≈. tan(45°+α)==3, ∴x=-30=150(米). 答：這座電視發(fā)射塔的高度約為150米. 例3?在△ABC中，sinA=(0°

18、暗含條件. 解:∵在△ABC中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B). 又∵sinA=且0°

19、件. 變式訓練3 在△ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,則△ABC是(????) A.銳角三角形?????B.鈍角三角形??????C.直角三角形??????D.等腰非直角三角形 答案：C 七、課堂小結 1.學生提綱契領：學生回顧本節(jié)課都學到了哪些數(shù)學知識和數(shù)學方法，有哪些收獲與提高，在公式推導中你悟出了什么樣的數(shù)學思想？對于這六個公式應如何對比記憶？其中正切公式的應用有什么條件限制？怎樣用公式進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值與恒等式證明。 2.教師畫龍點睛：我們本節(jié)課要理解并掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式與其推導，要正確熟練地運用公式解題.在解題時要注意分析三角函數(shù)名稱、角的關系，領悟變換思路，強化數(shù)學思想方法。 八、布置作業(yè) 課本課后習題A組：3題，4題，B組：1題 補充：已知0<β<,<α<,cos(-α)=,sin(+β)=,求sin(α+β)的值. 九、板書設計 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 兩角和與差的余弦公式?????????例1??????????變式訓練1 ? 兩角和與差的正弦公式?????????例2??????????變式訓練2 ? 兩角和與差的正切公式?????????例3??????????變式訓練3 10 / 10