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1、萬有引力與航天 專練七 萬有引力與航天 一、考點內(nèi)容 （1）以萬有引力定律為基礎(chǔ)的行星、衛(wèi)星勻速圓周運動模型及其應(yīng)用；(2)雙星模型、估算天體的質(zhì)量和密度等；(3)以開普勒三定律為基礎(chǔ)的橢圓運行軌道及衛(wèi)星的發(fā)射與變軌、能量等相關(guān)內(nèi)容；(4)萬有引力定律與地理、數(shù)學(xué)、航天等知識的綜合應(yīng)用。 二、考點突破 1．2019年5月17日，我國成功發(fā)射第45顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星，該衛(wèi)星屬于地球靜止軌道衛(wèi)星(同步衛(wèi)星)。該衛(wèi)星(　　) A．入軌后可以位于北京正上方 B．入軌后的速度大于第一宇宙速度 C．發(fā)射速度大于第二宇宙速度 D．若發(fā)射到近地圓軌道所需能量較少 2．20

2、19年1月，我國嫦娥四號探測器成功在月球背面軟著陸，在探測器“奔向”月球的過程中，用h表示探測器與地球表面的距離，F(xiàn)表示它所受的地球引力，能夠描述F隨h變化關(guān)系的圖象是(　　) 3．2018年2月，我國500 m口徑射電望遠(yuǎn)鏡(天眼)發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星“J0318＋0253”，其自轉(zhuǎn)周期T＝5.19 ms，假設(shè)星體為質(zhì)量均勻分布的球體，已知萬有引力常量為6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的星體的密度最小值約為(　　) A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3 C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3 4．金星、地球和火星繞太陽的公

3、轉(zhuǎn)均可視為勻速圓周運動，它們的向心加速度大小分別為a金、a地、a火，它們沿軌道運行的速率分別為v金、v地、v火。已知它們的軌道半徑R金＜R地＜R火，由此可以判定(　　) A．a(chǎn)金＞a地＞a火　　　　 B．a(chǎn)火＞a地＞a金 C．v地＞v火＞v金 D．v火＞v地＞v金 5．如圖所示，設(shè)行星繞太陽的運動是勻速圓周運動，金星自身的半徑是火星的n倍，質(zhì)量為火星的k倍。不考慮行星自轉(zhuǎn)的影響，則(　　) A．金星表面的重力加速度是火星的倍 B．金星的“第一宇宙速度”是火星的倍 C．金星繞太陽運動的加速度比火星小 D．金星繞太陽運動的周期比火星大 6．如圖所示，將一個半徑為R、質(zhì)量為M的均

4、勻大球，沿直徑挖去兩個半徑分別為大球一半的小球，并把其中一個放在球外與大球靠在一起，挖去小球的球心、球外小球球心、大球球心在一條直線上，則大球中剩余部分與球外小球的萬有引力大小約為(已知引力常量為G)(　　) A．0.01 B．0.02 C．0.05 D．0.04 7．兩顆互不影響的行星P1、P2，各有一顆近地衛(wèi)星S1、S2繞其做勻速圓周運動。圖中縱軸表示行星周圍空間某位置的引力加速度a，橫軸表示某位置到行星中心距離r平方的倒數(shù)，a－關(guān)系如圖所示，衛(wèi)星S1、S2的引力加速度大小均為a0。則(　　) A．S1的質(zhì)量比

5、S2的大 B．P1的質(zhì)量比P2的大 C．P1的第一宇宙速度比P2的小 D．P1的平均密度比P2的大 8．引力波的發(fā)現(xiàn)證實了愛因斯坦100年前所做的預(yù)測。1974年發(fā)現(xiàn)了脈沖雙星間的距離在減小就已間接地證明了引力波的存在。如果將該雙星系統(tǒng)簡化為理想的圓周運動模型，如圖所示，兩星球在相互的萬有引力作用下，繞O點做勻速圓周運動。由于雙星間的距離減小，則(　　) A．兩星的運動周期均逐漸減小 B．兩星的運動角速度均逐漸減小 C．兩星的向心加速度均逐漸減小 D．兩星的運動線速度均逐漸減小 9．(多選)宇航員在某星球表面以初速度2.0 m/s水平拋出一物體，并記錄下物體的運動軌跡，如圖所

6、示，O為拋出點，若該星球半徑為4000 km，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2·kg－2，則下列說法正確的是(　　) A．該星球表面的重力加速度為4.0 m/s2 B．該星球的質(zhì)量為2.4×1023 kg C．該星球的第一宇宙速度為4.0 km/s D．若發(fā)射一顆該星球的同步衛(wèi)星，則同步衛(wèi)星的繞行速度一定大于4.0 km/s 10．(多選) 2017年，人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波。根據(jù)科學(xué)家們復(fù)原的過程，在兩顆中子星合并前約100 s時，它們相距約400 km，繞二者連線上的某點每秒轉(zhuǎn)動12圈。將兩顆中子星都看作是質(zhì)量均勻分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、萬有引

7、力常量并利用牛頓力學(xué)知識，可以估算出這一時刻兩顆中子星(　　) A．質(zhì)量之積　　　　　 B．質(zhì)量之和 C．速率之和 D．各自的自轉(zhuǎn)角速 11．2016年10月17日發(fā)射的“神舟十一號”飛船于10月19日與“天宮二號”順利實現(xiàn)了對接。在對接過程中，“神舟十一號”與“天宮二號”的相對速度非常小，可以認(rèn)為具有相同速率。它們的運動可以看作是繞地球的勻速圓周運動，設(shè)“神舟十一號”的質(zhì)量為m，對接處距離地球表面高度為h，地球的半徑為r，地球表面處的重力加速度為g，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，“神舟十一號”在對接時，下列結(jié)果正確的是(　　) A．

8、對地球的引力大小為mg B．向心加速度為g C．周期為 D．動能為 12．我國首顆量子科學(xué)實驗衛(wèi)星于2016年8月16日1點40分成功發(fā)射。量子衛(wèi)星成功運行后，我國將在世界上首次實現(xiàn)衛(wèi)星和地面之間的量子通信，構(gòu)建天地一體化的量子保密通信與科學(xué)實驗體系。假設(shè)量子衛(wèi)星軌道在赤道平面，如圖所示。已知量子衛(wèi)星的軌道半徑是地球半徑的m倍，同步衛(wèi)星的軌道半徑是地球半徑的n倍，圖中P點是地球赤道上一點，由此可知(　　) A．同步衛(wèi)星與量子衛(wèi)星的運行周期之比為 B．同步衛(wèi)星與P點的速度之比為 C．量子衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的速度之比為 D．量子衛(wèi)星與P點的速度之比為 13．開普勒第三定律

9、指出：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等。該定律對一切具有中心天體的引力系統(tǒng)都成立。如圖，嫦娥三號探月衛(wèi)星在半徑為r的圓形軌道Ⅰ上繞月球運行，周期為T。月球的半徑為R，引力常量為G。某時刻嫦娥三號衛(wèi)星在A點變軌進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，在月球表面的B點著陸。A、O、B三點在一條直線上。求： (1)月球的密度； (2)在軌道Ⅱ上運行的時間。 答案 二、考點突破 1．【答案】D 【解析】同步衛(wèi)星只能位于赤道正上方，A項錯誤；由＝知，衛(wèi)星的軌道半徑越大，衛(wèi)星做勻速圓周運動的線速度越小，

10、因此入軌后的速度小于第一宇宙速度(近地衛(wèi)星的速度)，B項錯誤；同步衛(wèi)星的發(fā)射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，C項錯誤；若發(fā)射到近地圓軌道，所需發(fā)射速度較小，所需能量較小，D項正確。 2．【答案】D 【解析】在嫦娥四號探測器“奔向”月球的過程中，根據(jù)萬有引力定律，可知隨著h的增大，探測器所受的地球引力逐漸減小但并不是均勻減小的，故能夠描述F隨h變化關(guān)系的圖象是D。 3．【答案】C 【解析】毫秒脈沖星穩(wěn)定自轉(zhuǎn)時由萬有引力提供其表面物體做圓周運動的向心力，根據(jù)G＝m，M＝ρ·πR3，得ρ＝，代入數(shù)據(jù)解得ρ≈5×1015 kg/m3，C正確。 4．【答案】A 【解析】金星、地球和火

11、星繞太陽公轉(zhuǎn)時萬有引力提供向心力，則有G＝ma，解得a＝G，結(jié)合題中R金＜R地＜R火，可得a金＞a地＞a火，選項A正確，B錯誤；同理，有G＝m，解得v＝，再結(jié)合題中R金＜R地＜R火，可得v金＞v地＞v火，選項C、D錯誤。 5．【答案】B 【解析】由G＝mg得g＝，可知＝，選項A錯；由G＝m得v＝，可知＝，選項B對；由G＝ma得a＝，可知距離越遠(yuǎn)，加速度越小，而＝c，可知越遠(yuǎn)周期越大，所以選項C、D均錯。 6．【答案】D 【解析】由題意知，所挖出小球的半徑為，質(zhì)量為，則未挖出小球前大球?qū)η蛲庑∏虻娜f有引力大小為F＝G＝，將所挖出的其中一個小球填在原位置，則填入左側(cè)原位置小球?qū)η蛲庑∏虻娜f

12、有引力為F1＝G＝，填入右側(cè)原位置小球?qū)η蛲庑∏虻娜f有引力為F2＝G＝，大球中剩余部分對球外小球的萬有引力大小為F3＝F－F1－F2≈0.04，D選項正確。 7．【答案】B 【解析】萬有引力充當(dāng)向心力，故有G＝ma，解得a＝GM，故圖像的斜率k＝GM，因為G是恒量，M表示行星的質(zhì)量，所以斜率越大，行星的質(zhì)量越大，故P1的質(zhì)量比P2的大，由于計算過程中，衛(wèi)星的質(zhì)量可以約去，所以無法判斷衛(wèi)星質(zhì)量關(guān)系，A錯誤，B正確；因為兩個衛(wèi)星是近地衛(wèi)星，所以其運行軌道半徑可認(rèn)為等于行星半徑，根據(jù)第一宇宙速度公式v＝可得v＝，從題圖中可以看出，當(dāng)兩者加速度都為a0時，P2半徑要比P1小，故P1的第一宇宙速度比

13、P2的大，C錯誤；星球的密度ρ＝＝＝＝，故星球的半徑越大，密度越小，所以P1的平均密度比P2的小，D錯誤。 8．【答案】A 【解析】雙星做勻速圓周運動具有相同的角速度，靠相互間的萬有引力提供向心力。根據(jù)G＝m1r1ω2＝m2r2ω2，知m1r1＝m2r2，知軌道半徑比等于質(zhì)量之反比，雙星間的距離減小，則雙星的軌道半徑都變小，根據(jù)萬有引力提供向心力，知角速度變大，周期變小，故A正確，B錯誤；根據(jù)G＝m1a1＝m2a2知，L變小，則兩星的向心加速度均增大，故C錯誤；根據(jù)G＝m1，解得v1＝，由于L平方的減小比r1的減小量大，則線速度增大，故D錯誤。 9．【答案】AC 【解析】根據(jù)平拋運動的

14、規(guī)律：h＝gt2，x＝v0t，解得g＝4.0 m/s2，A正確；在星球表面，重力近似等于萬有引力，得M＝≈9.6×1023 kg，B錯誤；由＝mg得第一宇宙速度為v＝＝4.0 km/s，C正確；第一宇宙速度為最大的環(huán)繞速度，D錯誤。 10．【答案】BC 【解析】由題意可知，合并前兩中子星繞連線上某點每秒轉(zhuǎn)動12圈，則兩中子星的周期相等，且均為T＝ s，兩中子星的角速度均為ω＝，兩中子星構(gòu)成了雙星模型，假設(shè)兩中子星的質(zhì)量分別為m1，m2，軌道半徑分別為r1、r2，速率分別為v1、v2，則有：G＝m1ω2r1、＝m2ω2r2，又r1＋r2＝L＝400 km，解得m1＋m2＝，A錯誤，B正確；又

15、由v1＝ωr1、v2＝ωr2，則v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωL，C正確；由題中的條件不能求解兩中子星自轉(zhuǎn)的角速度，D錯誤。 11．【答案】C 【解析】“神舟十一號”在對接處的重力加速度小于地球表面的重力加速度，對地球的引力小于mg，故A錯誤；在地球表面重力等于萬有引力，有G＝mg，解得：GM＝gr2， 對接時，萬有引力提供向心力，有G＝ma，聯(lián)立得：a＝g，故B錯誤；根據(jù)萬有引力提供向心力，有G＝m(r＋h)，聯(lián)立得T＝，故C正確；根據(jù)萬有引力提供向心力，G＝m，動能Ek＝mv2＝＝，故D錯誤。 12．【答案】D 【解析】由開普勒第三定律得＝，又由題意知r量＝mR，r同＝nR，所以＝＝＝，故A錯誤；P為地球赤道上一點，P點角速度等于同步衛(wèi)星的角速度，根據(jù)v＝ωr，所以有＝＝＝，故B錯誤；根據(jù)G＝m，得v＝，所以＝＝＝，故C錯誤；綜合B、C，有v同＝nvP，＝，得＝，故D正確。 13．【解析】(1)由萬有引力充當(dāng)向心力：＝m2r 解得M＝ 月球的密度：ρ＝，解得ρ＝。 (2)橢圓軌道的半長軸：a＝ 設(shè)橢圓軌道上運行周期為T1，由開普勒第三定律有：＝ 在軌道Ⅱ上運行的時間為t＝ 解得t＝。 7